文档内容
2024—2025 学年海南高一年级阶段性教学检测（一）
数学
1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页．
2．考查范围：必修第一册第一章、第二章．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 高一（1）班视力比较好的同学可以构成集合
B. 方程 的解构成的集合与 相等
C.
D. 方程 的实数解构成的集合为
【答案】B
【解析】
【分析】A根据确定性判断；B写出解集即可判断；C注意点集的两个点不同；D注意 的情况.
【详解】A：视力比较好的标准不明确，不能构成集合，错；
B：由 ，可得解为 或 ，对应集合为 ，对；
C：显然 表示不同的点，故集合不相等，错；
D：若 时，集合为 ，不能写成 ，错.
故选：B
2. 命题 ： ，使 是素数，则命题 的否定为（ ）
A. ，使 不是素数 B. ， 是素数
C. ， 不是素数 D. ，使 不是素数
【答案】C
【解析】【分析】由特称命题的否定是存在改任意并否定原结论，即可得答案.
【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为 ， 不是素数.
故选：C
3. 下列命题中真命题的序号为（ ）
①若 ，则 ， ； ②若 ，则 ；
③存在不全等的三角形，使它们的面积相等； ④面积相等的两个三角形一定是全等三角形．
A. ②③ B. ①④ C. ①③ D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】①由 ， 等式成立，即可判断；②利用不等式的传递性判断；③④示例：两个直角三
角形，直角边分别为 和 ，即可判断.
【详解】①由 ， 时， 也成立，假命题；
②若 ，必有 ，而 ，故 ，真命题；
③两个直角三角形，直角边分别为 和 ，则它们的面积相等，但三角形不全等，
所以存在不全等的三角形，使它们的面积相等，真命题；
④同③示例，知面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，假命题.
故选：A
4. 不等式 的解集为 ，则（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】将 或3代入不等式左侧判断与0的大小关系，即可确定元素与集合的关系.
【详解】由 ，故 ，
由 ，故 .故选：C
5. 定义：已知集合 满足 ， ，都有 ，则称集合 对于这种*运算是封闭的．下
列论述错误的是（ ）
A. 若 ，则 对于加法“＋”封闭 B. 若 ，则 对于减法“－”封闭
.
C 若 ，则 对于乘法“×”封闭 D. 若 ，则 对于除法“÷”封闭
【答案】D
【解析】
【分析】根据题设新定义，结合数的加减乘除性质判断各项正误.
【详解】A：任意两个自然数相加必是自然数，所以 对于加法“＋”封闭，对；
B：任意两个实数相减必是实数，所以 对于减法“－”封闭，对；
C：任意两个有理数相乘必是有理数，所以 对于乘法“×”封闭，对；
D：对于除数是0的情况，任何数除以0没有意义，故 对于除法“÷”不封闭，错.
故选：D
6. 不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】由 ，得 ，
即 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：A.
7. 已知集合 ， ，则（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分别求出集合 ，再根据集合的包含关系及交集的定义即可得解.
【详解】由 ，得 ，解得 ，
故 ， ，
所以 是 的真子集， ，
故B正确，ACD错误.
故选：B.
8. 已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据题设得到 且 ，代入目标式并应用基本不等式求最小值，注意取值条件.
【详解】由题设 ，又 ， ，故 ，则 ，
所以 ，当且仅当 ， 时等号成立，
的
所以 最小值为8.
故选：D
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法中正确的是（ ）A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】CD
【解析】
【分析】举出反例即可判断AB；根据不等式的性质即可判断CD.
【详解】对于A，当 时， ，故A错误；
对于B，当 时， ，故B错误；
对于C，若 ，则 ，
所以 ，故C正确；
对于D，若 ，则 ，则 ，故D正确.
故选：CD.
10. 已知集合 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 有2个子集 B. 中任意两个元素差的最小值为
C. D. 或
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据集合的交并补运算及子集的定义逐一判断即可.
【详解】对于A， ，所以 有2个子集，故A正确；
对于B， ，
则 中任意两个元素差的最小值为 ，故B正确；
对于C， 或x≥1)，所以 ，故C错误；对于D， 且 ，
所以 或x>1)，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知集合 ， ， ， ，若关于 的方程
有两个不相等的实数解，则实数 的值可能为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题设可得 ，则 在 上有两个不等的实数解，结合对应二
次函数性质列不等式求参数范围，即可得答案.
【详解】由 ，则 至少有一个元素属于 ，
由 ，则 至少有一个元素不属于 ，
又 ，故 ，
由 有两个不相等的实数解，
对于二次函数 ，开口向上且对称轴为 ，
{
Δ=1+4a>0
)
所以 (-2) 2−2−a>0 ，可得 .
32+3−a≥0
故选：BC
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 不等式 的解集为_________．
【答案】
【解析】【分析】将不等式化为 ，即可求解集.
【详解】由题设 ，即 ，解集为 .
故答案为：
13. 若 ，则 的最大值为_________．
【答案】
【解析】
【
分析】直接利用基本不等式求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
14. 若集合 ， ，且 ，则实数 _________．
【答案】0或1
【解析】
【分析】根据题设有 ，结合包含关系及 ，讨论参数求对应参数值，并判断
是否同时属于集合 ，即可得答案.
【详解】由题设 ，又 ，且 ，
由于 ，讨论如下：当 ，即 时， ，满足；
当 ，即 时， ，满足；
而 或 或 时， ，不满足.
所以 0或1.
故答案为：0或1
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知 ， ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用不等式的性质证明即可；
（2）应用作差法比较大小，即可证.
【小问1详解】
由 ，则 ，故 ，
由 ，则 ，故 ，
所以 ，得证.
【小问2详解】
由 ，而 ，
所以 ，即 ，得证.
16. 在 中， ．
（1）若 ，求 面积的最大值；
（2）若 ，求 周长的最小值．【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据 ，结合基本不等式有 求最大值，再由
求面积最大值，注意取值条件；
（2）根据题设有 ，结合 求得 ， ，
注意等号成立条件，即得周长最小值.
【小问1详解】
由题设， ，且 ， ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 面积的最大值为 .
【小问2详解】
由 ，即 ，
由 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
故 ， ，它们取等号的条件均为 ，
所以 周长 ，即 周长的最小值为 .
17. 已知二次函数f (x)=ax2+bx+c， ，不等式 的解集为 或 ．（1）求 的解析式；
（2）设 ，不等式g(x)<0的解集为 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由题设有 的解集为 或 ，结合对应一元二次方程根与系数关
系求参数，即可得解析式；
（2）由题设有 的解集为 ，结合对应二次函数性质列不等式求参数范围.
【
小问1详解】
由题设 ，则 ，
即 的解集为 或 ，
所以 ，可得 ，故 ；
【小问2详解】
由 的解集为 ，
{ k−1>0 )
所以 ，可得 .
Δ=4−16(k−1)≤0
18. 已知二次函数 ，方程 有且仅有一个实数根．
（1）求 ， ， 的关系；（2）若 的图象过点 ，且 图象的对称轴与 轴正半轴相交．证明：方程 的两个
不同实根之和大于2的充要条件为 ．
【答案】（1） ；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题设 有且仅有一个实数根，有 求参数关系；
（2）由题设及（1）得 ，对于 有 且 ，进而有 ，即可证
结论.
【小问1详解】
由题设 有且仅有一个实数根，
则 ，所以 .
【小问2详解】
由题设 ，结合（1）有 ，
若 的两个不同实根分别为 ，
所以 ，即 ，
由两根之和大于2，即 ，故 ，则 ，
所以 ，
综上， ，
所以方程 的两个不同实根之和大于2的充要条件为 .
19. 已知集合 ， ．（1）若 ，且 ，求实数 ， 的值；
（2）若集合 ， 均为非空集合，且 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据题设有 、 ，结合补集确定参数值，注意验证；
（2）根据题设有 ，再由 ，即可求范围.
【小问1详解】
由题设 ，则 ，又 ，即 ，
此时 ， ，满足题设，
所以 .
【小问2详解】
由 且 均非空，则 ，即 ，
所以 ，且 ，即 ，
所以 ，即 .
