文档文本内容
湖北省武昌实验中学高一年级十二月月考
数 学 试 卷
命题教师：高一数学组
考试时间：2025年12月22日14:00—16:00
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知点 在幂函数 的图像上，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据幂函数的系数为 可求得 的值，再将点 的坐标代入函数 的解析式，求出 的值，进而可
求得 的值.
【详解】由于函数 为幂函数，则 ，解得 ，则 ，
由已知条件可得 ，得 ，因此， .
故选：A.
2. 化简 的值得( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用指数与对数的运算法则求解即可.【详解】由
，故选D.
【点睛】本题考查了对数的运算法则、指数的运算法则，考查了推理能力与计算能力以及应用所学知识解
答问题的能力，属于基础题.
3. 在n＝log (6－m)中，实数m的取值范围是
(m－3)
A. m>6或m <3 B. 3< m <6
C. 3< m <4或4< m <6 D. 4< m <5
【答案】C
【解析】
【详解】由题意得 ∴3<m<6且 ≠4.
考点：对数的定义.
4. 函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合复合函数单调性、对数函数的定义域求得 的取值范围.
【详解】由复合函数单调性遵循“同增异减”可知，因为 在 上单调递增，且
在 上单调递增，
故 在 上也单调递增，且 在 恒成立，
由此可得： ，解得 ，
故选：A.5. 若函数 有最小值，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，将 转化为关于 的函数，讨论开口方向与对称轴判断即可.
【详解】设 ，则 ， ， 有最小值.
当 时，二次函数 开口向下，无最小值；
当 时， 无最小值；
当 时，若 在 上有最小值，则对称轴 ，解得 .
故选：A
6. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析函数的奇偶性，由此可排除两个选项，再取特值计算所对函数值正负即可判断作答.
【详解】显然 的定义域为 ，且 ，于是得 为偶函数，其图象关于y轴对称，选项B和C不满足；
而 ，显然选项D不满足，
所以函数 的图象大致为A.
故选：A
7. 已知函数 ，若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断函数 为奇函数，然后对函数 表达式进行有理化化简，再用“同增异减”法则
结合奇偶性判断复合函数单调性，以及利用指数，对数函数的单调性，进而可得解.
【详解】函数 的定义域为 ,
,所以函数 为奇函数，
又
，
在 单调递增，可以得到函数 在 上单调递增，：因为 单调递减，所以 ，即 ；
：因为 ， ，即 ；
：因为 ， ，且 ， ，
要证 ，等价于证 ；
因 ，则等价于证 ，
因为 ，不等式两边同乘 （不等号方向不变），
只需证：
因为 ； ； ，
结合 ，得 ，故 ，
将上述式子代入 ，展开得：
，
则 =
，
因 ，即 ，
因 是单调递增函数，故 ，即 ，
因此 ，即 ，原不等式 成立，
因 ，且 单调递增，故 ，综上 ，
所以： ，因为 单调递增，所以 .
故选：A.
8. 设 分别是函数 和 的零点，其中 ，则 的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据零点的定义得到 的关系，再利用函数的单调性求出 的取值范围.
【详解】因为 分别是函数 和 的零点，
所以有 ，分别化简可得 .
因为 ，所以 .
因为 与 互为反函数，其图像关于直线 对称，且 的图像也关于直线 对
称，
由 ，令 ，可得 ，即 ，故 .
又因 ，所以 ，因此 ，即 .
因此 ，令 ，
设 ，则，
所以 在 上单调递增，所以 ，即
所以 的取值范围是 .
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. 若 ，则 D.
【答案】BD
【解析】
【分析】运用换底公式，结合根式与分数指数幂的互化公式、指数幂的运算公式、指数式与对数式的互化
公式逐一判断即可.
【详解】A：根据对数的换底公式，可知 ，所以本选项运算不正确；
B：因为 ，所以本选项运算正确；
C：因为 ，所以 ，
因此 ，所以本选项运算不正确；
D：因为 ，所以本选项运算正确，
故选：BD10. 已知函数 ，下列选项正确的有（ ）
A.
B.
C. 函数 有唯一零点
D. 不等式 的解集为
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A选项，将 代入解析式，化简整理即可判断A正确；
对于B选项，通过代入作差，计算可得 ，故B错误；
对于C选项，令 ，化简可得 ，即 ，方程无解，故C错误；
对于D选项，化简不等式，可得 ，即 ，解不等式即可，故D正确.
【详解】对于A，因为 ，
所以 ，
所以 ，故A选项正确；
对于B，根据解析式，得
，
所以 ，所以 ，故B选项错误；对于C，令 ，即 ，
则 ，即 ，所以 ，方程无解，故C选项错误；
对于D，不等式 ，即 ，化简得 ，
即 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，解不等式得 ，即 ，故D选项正确.
故选：AD
11. 已知函数 ，函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则 有 个零点
.
B 若 ，则 有6个零点
C. 若 有5个零点，则 的取值范围为
D. 存在 ，使得 没有零点
【答案】AB
【解析】
【分析】作出函数 的图象，利用函数与方程的思想并由换元法令 ，将函数零点个数问题转
化为函数图象交点个数的问题，讨论参数 的取值与零点个数的关系即可得出结论.
【详解】作出函数 的图象如下：令 ，则由 可得 ，
①当 时，则方程 有1个根，且 ，此时方程 只有1解，所以 只有1
个零点；
②当 ，则方程 有两个根 或 ，
由图知 仅有一解， 有2解，所以可知 有 个零点；
③当 时，则方程 有三个根 ，且 ，
当 时，此时方程 只有1解，当 时，此时方程 有2解，
当 时，此时方程 有2解，所以此时 有5个零点；
④当 时，则方程 有三个根分别为 ，
易知方程 有1解，方程 有2解，方程 有3解，所以此时 有6个零点；
⑤ 当 时，方程 有两个根 ，且 ，
当 时，此时方程 有2解，当 时，此时方程 有3解，所以 有5
个零点，
⑥当 时，则方程 有1个根为4，此时方程 有2解，所以 有2个零点，
⑦ 当 时，方程 有1个根且 ，由 可得方程 仅有1解，，所以 有1
个零点，
综上所述，若 ，则 有 个零点，即A正确；
若 ，则 有6个零点，可知B正确；
若 有5个零点，则实数 的取值范围为 ，因此C错误；
结合已有分析可知，对任意实数 ， 都有零点，因此D错误.
故选：AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设 ，则 的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数运算性质化简求值即可.
【详解】 ， .
故答案为： .
13. 已知函数 ，正实数 满足 ，则 的最小值
为________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知得到函数 的图象关于点 对称，类比奇偶性，得到函数的单调性、进而求得
，再利用基本不等式求解即得.
【详解】 ，
这说明 的图象关于点 对称，类似奇函数，在原点两侧单调性相同，
由于 时 在上单调递增且函数值恒正，
可推出 在 上单调递减，因此 是减函数.
即 ，因此 ，
当且仅当 时，即 取得.
故答案为： .
14. 对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 _________.
【答案】
【解析】
【分析】由对数有意义可得： ，将不等式 等价转化为
在 上恒成立，构造函数
，由函数 在 上单调递增，故 时
，则 ，当 时，
，则 ，再根据二次函数的图象和性质即可求出实数 的值，
最后取交集即可求解.
【详解】由题意可知： 且 成立，则 ，
因为对任意的 ，不等式 恒成立，
也即 在 上恒成立，
记 ，则 在 上单调递增，当 时， ，即 恒成立，则 ，所以
，解得： ；
当 时，不等式显然成立；
当 时， ，即 在 恒成立，
则 ，因为 在 上单调递减，所以
时， ，解得： ，
因为对任意的 ，不等式 恒成立，
则综上可知：实数 的值为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知 ，
（1）用区间表示A和B；
（2）已知函数 ， ，求 的最大值，并写出此时x的值．
【答案】（1） ，
（2） ，
【解析】
【分析】（1）根据对数型复合函数的定义域及单调性求解即可；（2）根据对数的运算化简可得 ，进而结合 的取值范围求解即可.
【小问1详解】
由 ，得 ，解得 且 ，即 ，
由 ，得 ，即 .
【小问2详解】
由 ，
，
因为 ，则 ，
则 ，即 时， 取得最大值 .
16. 设函数 （ ， ），
（1）若 ，求使不等式 恒成立的 的取值范围；
（2）若 ， ，且 在 上的最小值为 ，求m的值.
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）先得函数 是 上的奇函数，且函数 是减函数，进而转化问题为不等式
恒成立，进而结合 求解即可；
（ 2 ） 先 由 求 得 ， 再 令 ， 则 根 据 其 单 调 性 可 得 ，，进而根据二次函数的性质讨论即可求解．
【小问1详解】
当 时， ， ，
则 ，所以 是奇函数，
因为 为减函数， 为增函数，
所以 是减函数，
由不等式 ，可得 ，
则 ，即 恒成立，
所以 ，即 ，解得 ，
故 的取值范围是 .
【小问2详解】
由 ，得 ，解得 或 （舍），
所以 ，
令 ，当 时， ，
所以 ，开口向上，对称轴为 ，
①当 即 时， ，解得 （舍去）②当 即 时， ，解得 ，符合题意.
综上所述， .
17. 我们一般使用分贝（符号是 ）来表示声音强度（瓦/平方米，符号是 ）的等级，强度为
的声音对应的等级为 ，科学研究表明，它们满足关系： ，其中 为修正
系数（常数）， 为普通人能听到的声音的最小强度（常数），清晨时风吹落叶的沙沙声其强度为
，上学高峰时汽车川流不息声音强度达到 ，经某科技爱好者用分贝测试仪测得声
音等级分别为 和 .
（1）求 与 的值，并求当测得同学们早读声音等级为 时，早读的声音强度；
（2）某天上午体育课进行了测试，同学们非常疲倦，午间教室非常安静，比平常降低了 ，求平常中
午的声音强度是这天中午声音强度的多少倍？
【答案】（1） ， ；
（2） 倍.
【解析】
【分析】（1）利用给定条件求解出 ，再分别代入求值即可.
（2）利用给定条件建立方程得到 ，利用对数的运算性质求解出 ，得到答案
即可.
【小问1详解】当 时， ，当 ， ，
， ，
两式解得 ，即 ，
，
即 ，
所以早读声音强度为 ；
【小问2详解】
设平时中午的声音强度为 ，今天中午的声音强度为 ，
， ，即 ，
，解得 ，
所以平时中午的声音强度是今天的 倍.
18. 已知函数 （ 且 ）．
（1）求 的定义域；
（2）若当 时，函数 在 有且只有一个零点，求实数b的范围；
（3）是否存在实数a，使得当 的定义域为 时，值域为 ，若存在，求出
实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据对数的真数大于0结合分析不等式运算求解；
（2）根据题意分析可知 在 上有且只有一个解，进而结合函数单调性运算求解；
（3）根据定义域和值域可得 ，且 ，结合单调性分析可知
有两个大于1相异实数根，结合二次函数零点分布运算求解.
【小问1详解】
由 ，得 或 ．
所以 的定义域为 ．
【小问2详解】
令 ，可知 在 上为增函数，
可得 ，且 ，可知 的值域为 ，
因为 ，则 在定义域内为减函数，可得 ，
所以函数 在 上的值域为 ，
又因为函数 在 有且只有一个零点，
即 在 上有且只有一个解，
所以b的范围是 ．
【小问3详解】
存在，理由如下：
假设存在这样的实数a，使得当 的定义域为 时，值域为 ，由 且 ，可得 ，且 ．
令 ，可知 在 上为增函数，
因为 ，则 在定义域内为减函数，
所以 在 上为减函数，
可得 ，
可知 在 上有两个互异实根，可得 ，
即 有两个大于1相异实数根．
则 ，解得 ，
所以实数a的取值范围 .
【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法
（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解；
（2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．
.
19 设常数 .
（1）已知 的图象过点 ，求实数 的值；
（2）当 时，对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若方程 有两个实数根 ，且 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把点的坐标代入解析式，求出 值即可；
（2）将 ，代入解析式，得 ，利用换元法结合二次函数的单调性求出
函数的最小值，根据已知条件有 ，即可求解；
（3）利用换底公式化方程为 ，利用换元法及韦达定理得
，根据 解出 的范围即可.
【小问1详解】
因为 图象过点 ，所以 ，
所以 ，解得 .
【小问2详解】
当 时， ，
因为 ，所以 ，
令 ，则有 ， ，
函数 的对称轴为 ，所以 ，
，所以 ，
因为对任意 ，都有 恒成立，所以 ，所以 ，即实数 的取值范围为： .
【小问3详解】
因为 ，则 ，
化为 ，
整理有： ，
因为 ，所以 ，
所以原式可化 为： ，
令 ，则有 ，
，
所以方程有两个根，设为 、 ，且 ， ，
所以 ， ，
，
又因为 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ， ，
， ， ， ，又因为 ，所以 .
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换底公式以及换元法得到： ，然后利
用 解出 的范围.
