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2025—2026 学年度上学期 2025 级
1 月月考数学试卷
命题人：冯韵 审题人：冷劲松
考试时间：2026 年 1 月 15 日
一、单选题
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出集合 ，再根据并集的定义即可得解.
【详解】由题意得 ， ，
所以 ．
故选：D．
2. 化简 得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据诱导公式及同角三角函数基本关系化简可得结果.
【详解】因为
.
又因为 2 为第二象限角，所以 ， .
所以 .
故选：C
3. 在 内，函数 的定义域是（ ）
第 1页/共 21页A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题直接求函数定义域即可.
【详解】由题意得 ，解得 ，所以 ，
即在 内，函数 的定义域为 ．
故选：C.
4. 函数 的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和符号性逐项分析判断.
【详解】由题意可知：函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，所以函数 奇函数，故 AC 错误；
又因为当 时，则 ，可知 ，
第 2页/共 21页此时 的符号性与 的符号性一致，故 D 错误；
故选：B.
5. 那么方程 的一个近似解（误差不超过 0.02）为
（ ）
A. 1.437 5 B. 1.375 C. 1.25 D. 1.422
【答案】D
【解析】
【分析】根据二分法直接判断即可得解．
【详解】设近似解为 ，
由零点存在性定理及二分法计算数据：
因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，
因为
且 ， ，
所以可取近似解 ．
故选：D
6. 已知 、 ，则 是 的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
第 3页/共 21页【解析】
【分析】令 ，其中 ，分析函数 的单调性与奇偶性，将不等式
变形为 ，结合函数 的单调性判断可得出结论.
【详解】令 ，其中 ，该函数的定义域关于原点对称，
因为 ，即函数 为奇函数，
因为函数 、 在 上均为增函数，
所以，函数 在 上 增函数，
由 可得 ，即 ，
则 ，即 ，
所以，“ ” “ ”，
所以， 是 的充要条件.
故选：A.
7. 已知函数 ，则函数 的零点个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定函数 的值域，利用换元法令 ，则 ，则将函
数 的零点问题转化为函数 的图象的交点问题，作函数
图象，确定其交点以及其横坐标范围，再结合 的图象，即可确定
第 4页/共 21页的零点个数.
【详解】已知 ，当 时， ，
当 时， ，
作出其图象如图示：
可知 值域为 ，设 ，则 ，
则函数 的零点问题即为函数 的图象的交点问题，
而 ，作出函数 的图象如图示：
可知： 的图象有两个交点，横坐标分别在 之间，
不妨设交点横坐标为 ，
当 时，由 图象和直线 可知，二者有两个交点，
即此时 有两个零点；
第 5页/共 21页当 时，由 图象和直线 可知，二者有 3 个交点，
即此时 有 3 个零点，
故函数 的零点个数是 5，
故选：B.
【点睛】本题考查了复合函数的零点个数的确定问题，综合性较强，涉及到函数的值域以及分段函数的性
质的应用和数形结合的思想方法，解答的关键是采用换元法将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题.
8. 已知定义在 上的单调函数 满足 ．若对
，使得 成立，则 的最小
值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得 ， 为常数，则 ，从而（c） ，
可求得 及 的解析式，由条件可知 ，利用 的单调
性求解即可．
【详解】 ，且 在 上单调，
， 为常数， ，
， ，
在 上单调递增，
对 ， ，使得 成立，
，
第 6页/共 21页又当 时， ，
当 时， ，则 ，
， ，又 ， ．
故选：C．
二、多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 的角是一个锐角
B. 与 的终边相同
C. 将时钟拨快 分钟，则分钟转过的角度是
D. 若 是第一象限角，则为 第一或第三象限角
【答案】CD
【解析】
【分析】根据弧度和角度之间的换算关系判断 A；根据终边相同的角的表示判断 B；根据任意角的概念判断
C；根据角的范围判断 D 项.
【详解】A 项， ，是钝角，A 错误；
B 项， ， 与 终边相同，
，是第三象限角，而 是第一象限角，B 错误；
C 项，时钟拨快 分钟，则分钟转过 角为负角，且是整个表盘的一半，则为 ，C 正确；
D 项， 是第一象限角， ， ，
， 是第一或第三象限角，D 正确．
故选：CD．
10. 已知下列函数中，最小正周期为 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
第 7页/共 21页【分析】对于 A，画函数 的图象，根据图象判断结论，对于 B，根据
结合图象平移判断结论，对于 C，结合周期的定义举反例判断即可，对
于 D，根据 ，结合余弦型函数周期公式求周期可判断.
【详解】画 的图象，如图，
由图可知函数的最小正周期为 ，故 A 正确；
对于 B，由于 ，
所以函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位得到，
结合选项 A 可得函数 周期为 ，故 B 正确；
对于 C，设 ，则 ， ，
所以 ，故 C 错误；
对于 D，对于函数 ，当 时， ，
当 时， ，
所以 ，其最小正周期为 ，故 D 错误.
故选：AB
第 8页/共 21页11. 设函数 的定义域为 ，且满足 为奇函数， 为偶函数，当 时，
，则（ ）
A. B. 在 上单调递减
C. 为奇函数 D. 方程 仅有 10 个不同实数解
【答案】ACD
【解析】
【分析】由 为奇函数和 为偶函数得 ，即 是周期为 8 的周期函
数即可判断 AC，作出函数 在 和 的函数图象，利用数形结合即可判断 BD.
【详解】由 为奇函数，可得 ，即 （*），
又 为偶函数，则 ，即 ，
由（*）， ，即 ，
则 ，故 ，
所以 是以 8 为一个周期的周期函数，
对于 A， ，故 A 正确；
对于 C， ，
又 为奇函数，所以 为奇函数，故 C 正确；
对于 B，因方程 的根的个数，即 与 的交点个数，
作出函数 在 和 的函数图象：
由图可知 在 上单调递增，故 B 错误；
由图可知， 与 有 10 个交点，即方程 仅有 10 个不同实数解，故 D 正确.
第 9页/共 21页故选：ACD.
三、填空题
12. 已知函数 的图象关于点 对称，则 的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦函数的对称性结合整体思想求解即可.
【详解】因为函数 的图象关于点 对称，
所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 .
故答案为： .
13. 函数 的值域是_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦函数的最值性质进行求解即可.
【详解】由函数的解析式可知： ，
，
当 时，即 时，显然 不成立，
当 时， ，
因为 ，且 ，
第 10页/共 21页所以有 或 ，
所以该函数的值域为 ，
故答案为：
14. 已知函数 存在直线 与 的图象有 4 个交点，则 ______，若
存在实数 ，满足 ，则
的取值范围是______.
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】画出分段函数的图象，利用数形结合的思想求 m，再根据二次函数的性质及 求出
的范围.
【详解】作出 的图象如下，
因为直线 与 的图象有 4 个交点，所以 ；
记 ，
则直线 与 的图象有 5 个交点， ，如图所示：
第 11页/共 21页由图可知， ，由二次函数的对称关系可得， ，
所以 ，即 的取值范围是 .
故答案为：4； .
四、解答题
15. 已知函数 ，最小正周期是 ．
（1）求函数 在 的单调递减区间；
（2）解不等式
【答案】（1） 和
（2）
【解析】
【分析】（1）先由周期确定 ,把 看成一个整体结合三角函数性质求出递减区间即可；
（2） 等价于 结合正弦函数的图像与性质求解不等式即可.
【小问 1 详解】
因为 ，最小正周期是 ，所以 ，即 ，所以
，
所以函数 的单调递减区间为 解得 ，
第 12页/共 21页当 时 ；当 时 ，
又因为 ，所以函数 在 的单调递减区间为 和 .
【小问 2 详解】
因为 ,所以 ,即 ,所以 ,
由正弦函数的图像可知 ,解得 ,
因此不等式的解集为
16. 已知圆 是单位圆，锐角 的终边与圆 相交于点 ，将射线 绕点 按逆时针方向旋转
后与单位圆相交于点 .
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）记点 的横坐标为 ，若 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义和三角函数的基本关系式，即可求解；
（2）利用三角函数的诱导公式，化简原式 ，代入即可求解；
（3）根据题意，得到 ，结合诱导公式，化简原式 ，即可求解.
【小问 1 详解】
第 13页/共 21页解：由圆 是单位圆，锐角 的终边与圆 相交于点 ，
可得 ，所以 .
【小问 2 详解】
解：由 .
【小问 3 详解】
解：因为 为锐角，且 ，可得 ，
将射线 绕点 按逆时针方向旋转 后与单位圆相交于点 ，
则点 的横坐标为 且 ，所以 ，
则
.
17. 已知函数 的最小正周期为 ．
（1）求函数 的对称轴、对称中心；
（2）已知函数 ，若 ， ，使得 ，
求实数 m 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式，结合正弦型函数的对称性进行求解即可；
（2）根据同角的三角函数关系式，结合换元法、二次函数的性质、正弦型函数的最值性质、存在性和任意
性的定义进行求解即可.
第 14页/共 21页【小问 1 详解】
由题意可知 ，故 ，即 ，
令 .
令 .
所以函数 的对称轴为 、对称中心为 ；
【小问 2 详解】
令 ，由 得：
， ，该函数的图象的对称轴 ，
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则函数 的最小值为 ，最大值为 ，
即函数 ，即 ，
当 时， ，
所以 ，即 .
当 时， ，不合题意舍去，
当 时， ，
由题意得 ，即 ，解得 ，
第 15页/共 21页当 时， ，
由题意得 ，即 ，解得 ，
综上可得： .
18. 已知函数 ， ；
（1）解不等式： ；
（2）求证： 为定值，并求
的值；
（3）若 满足 ， 满足 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据对数的运算性质化简不等式，结合换元法、一元二次不等式的解法、对数函数的单调性
进行求解即可；
（2）根据指数的运算性质，结合定值的特征运用倒序相加进行求解即可；
（3）根据所给的两个等式的形式构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可.
【小问 1 详解】
已知 ，则 ，
第 16页/共 21页，
所以不等式 可化为 ，
令 ，则不等式变为 ，
即 ，解得 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以，不等式的解集为 .
【小问 2 详解】
已知 ，则 ， ，
所以 为定值 ，
令 ，
则 ，
两式相加得 ，所以 ，
即 的值为 .
小问 3 详解】
已知 满足 ，即 ，
已知 满足 ，即 ，
第 17页/共 21页令 ，
则原方程组可化为 和 ，
而 可化为 ，
设 ，因为函数 都是实数集上的增函数，
所以函数 是实数集上的增函数，
由 ， ，
所以有 ，
因为函数 是实数集上的增函数
所以 ，即 ，
，
所以 .
19. 已知两个函数 ， ， ， 若对任意的 ，存在唯一的 ，使
得 成立，则称 为 的“友好函数”.
（1）判断函数 ， 是否为 ， 的“友好函数”，并说明理由；
（2）若函数 ， 是 ， 的“友好函数”，求 的最小值；
（3）已知函数 ， ， ， ，若 是
的“友好函数”，且 也是 的“友好函数”，求实数 的值及 的最大值.
【答案】（1）不是，理由见解析；
（2） ；
（3） ， 的最大值为 1.
【解析】
【分析】（1）根据“友好函数”的定义判断即可；
第 18页/共 21页（2）根据定义，问题化为函数 值域是函数 值域的子集，即可求参数范围，进而确定最小值；
（3）由函数新定义及已知， 的值域与 值域相同（且值域中的数值一一对应），利用正弦型函数
性质求 的值域，再讨论参数 k 研究 值域，即可得参数范围.
【小问 1 详解】
， 不是 ， 的“友好函数”，理由如下：
取 ，因为 ，所以不存在 ，使得 ，
所以 ， 不是 ， 的“友好函数”；
【小问 2 详解】
由题意，对任意 ，存在唯一 使 成立，
即 ，所以函数 的值域是函数 值域的子集.
因为 ， ，所以 ，其值域为 ，
而 在 上单调递增，故值域为 ，
从而 ，即 ，所以 ；
【小问 3 详解】
当 是 的“友好函数”时，
由题意，对任意的 ，存在唯一的 ，使 成立，
即 ，则 的值域是 值域的子集.
当 是 的“友好函数”时，
由题意，对任意的 ，存在唯一的 使 成立，
第 19页/共 21页即 ，则 的值域是 值域的子集.
所以 的值域与 值域相同（且值域中的数值一一对应）.
当 是 的“友好函数”时，因为 ，
若存在 使得 ，则不存在 ，使得 ，
所以当 时， ，所以 ，
因为 在 上单调递减，所以 ，
①当 时， ，不符合要求；
②当 时， ， ，
因为 ，所以 ，不符合要求；
③当 时， ， ，
若 ，则 在 上单调递减，
从而 在 上单调递增，故 ，
从而 时， ，
因为 的值域与 值域相同，所以 ，
第 20页/共 21页即 ，所以 ，又 在 上单调递增，
所以当 时， 的最大值为 1.
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
此时 值域与 值域中的数值不可能一一对应，不符合要求.
综上： ， 的最大值为 1.
【点睛】关键点点睛：第三问，将问题化为 的值域与 值域相同（且值域中的数值一一对应）为
关键.
第 21页/共 21页
