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厦门英才学校高中部 2025—2026 学年度第一学期 9 月月考
高一数学试卷
命题人：高邵阳 审题人：刘敏
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系判断即可.
【详解】由题意可得 ， ， ， ，
所以 .所以只有选项B正确.
故选：B.
2. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】由集合的并集运算即可求解.
【详解】由 ，
可得 ，
故选：D
3. 设全集 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解.
【详解】因为 ， ，则 ，
又 ，所以 ，
故选：A.
4. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由 可得 或 ，即可判断.
【详解】由 可得 或 ，
又 或
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
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学科网（北京）股份有限公司故选:
的
5. 命题 ， 否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由全称命题的否定为存在量词命题，即可得答案.
【详解】因为命题 ， ，
所以其否定为： ， .
故选：A
6. 已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用给定的分段函数，代入求值即可.
【详解】依题意， .
故选：B
7. 对于任意 ， 都有意义，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法，分类讨论计算即可.
【详解】易知 恒成立，
显然当 时，符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司当 时，要满足题意需 ，即 ，
综上 .
故选：C
8. 已知 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由基本不等式计算可得结果.
【详解】由题意， ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】AC
【解析】
【分析】利用定义域与对应关系确定函数是否相同即可.
【详解】对于A，易知 ，两函数定义域均为R，故是同一函数，A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于B，易知 中 ，两函数定义域不同，故B错误；
对于C， ，两函数定义域均为R，故是同一函数，C正确；
对于D， 中 ，两函数定义域不同，故D错误.
故选：AC
10. 已知 均为实数，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ，
【答案】AB
【解析】
【分析】结合不等式的性质逐项分析即可.
【详解】选项A，若 ，则 ， ，即 ，选项A正确；
选项B，若 ， ，则 ， ， ，即 ，选项B正确；
选项C，若 ， ，取 ， ， ， ，则 ， ， ，选项C错
误；
选项D，若 ， ，则 ，选项D错误.
故选：AB.
11. 已知关于x的不等式 的解集为 ，则下列选项中正确的是（ ）
A.
B. 不等式 的解集是
C.
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学科网（北京）股份有限公司D. 的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据解集形式可得 ，以及两根，根据韦达定理可得a、b、c的关系，代入B、C、D选项求
解即可.
【详解】因为关于x的不等式 的解集为 ，
所以由二次函数性质可得 ，
且方程 的根为 ，
由韦达定理可得 ，所以 .
A选项错误；
B选项， ，即 ，由于 ，解得 ，B选项正确；
C选项， ，C选项正确；
D选项， ，即 ，
由于 ，则可化为 ，解集为 ，D选项正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设集合 ，则 的非空子集个数为__________.
【答案】7
【解析】
【分析】根据非空子集个数公式计算即可.
【详解】集合 ，则 的子集个数为 ,
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学科网（北京）股份有限公司所以 的非空子集个数为 .
故答案为： .
13. 函数 的定义域是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用根号下的式子为非负且分母不为零解不等式可得.
【
详解】易知需满足 且 ，
解得 且 ；
因此定义域为 .
故答案为：
14. 已知 ，函数 若对任意x∈［–3，+ ），f(x)≤ 恒成立，则a
的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意分类讨论 和 两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.
【详解】分类讨论：①当 时， 即： ，
整理可得： ，
由恒成立的条件可知： ，
结合二次函数的性质可知：
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，则 ；
②当 时， 即： ，整理可得： ，
由恒成立的条件可知： ，
结合二次函数的性质可知：
当 或 时， ，则 ；
综合①②可得 的取值范围是 ，故答案为 .
点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x) ；(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x) .有关
max min
二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有⇔效方法．一般从：①开口方⇔向；②对称轴
位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设全集为 ，已知集合 .
（1）求 ；
（2） ；
【答案】（1）
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）直接利用并集运算求解即可；
（2）先利用补集运算求解 ，然后利用交集运算求解即可.
【小问1详解】
因为集合 ，
所以
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
因为集合 ，
所以 或 ，
所以 或 .
16. 解下列不等式
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【
分析】（1）直接化简解出一元二次不等式即可；
（2）根据判别式即可得到其解；
（3）移项并通分将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解.
【小问1详解】
将不等式 化简为 ，
解得 或 ，
则解集为 ；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
将不等式 化简 为，
因为 ，
该不等式无实数解，即解集为 ；
【小问3详解】
，即 ，通分可得 ，
则 ，解得 ，
所以解集为 .
17. 已知集合 ， ．
（1）若 ，求 ；
（2）若存在正实数 ，使得“ ”是“ ”成立的必要不充分条件，求正实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）当 时，求得 或 ，由分式不等式的解法，求得集合 ，结合交
集的运算法则，即可求解；
（2）由（1）知 ，根据题意，转化为集合 是集合 的真子集，列出不等式组，即可
求解.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：当 时，集合 ，则 或 ，
又由不等式 ，即 解得 ，所以 ，
所以 .
【小问2详解】
解：由（1）知，集合 ，当 时， ，
因为“ ”是“ ”成立的必要不充分条件，即集合 是集合 的真子集，
则 且等号不能同时成立，解得 ，
所以正实数m的取值范围中 .
18. 设函数 ，
（1）若不等式 的解集为 ，求 的值；
（2）若 ，求不等式 的解集．
（3）若 ， ， ，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）答案不唯一，具体见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据不等式的解集与一元二次方程的根的关系，结合韦达定理求解；
（2）把不等式转化为 ，对 进行分类讨论，求出不同情况下 的解集；
（3）把不等式进行变形，再利用基本不等式进行求解.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司由不等式 的解集为 可得：
方程 的两根为1，3且 ，
由根与系数的关系可得： ， ，所以
【小问2详解】
由 得 ，
又因为 ，所以不等式
化为 ，即 ，
当 时，原不等式变形为 ，解得
当 时， ，原不等式 ．
若 ，原不等式 ．
此时原不等式的解的情况应由 与1的大小关系决定，故
当 时，不等式 的解为 ；
当 时， ，不等式 或 ；
当 时， ，不等式 或
综上所述，不等式的解集为：
当 时， ；
当 时， ；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
【小问3详解】
由已知得 ， ，又 则
当且仅当 ，即 时等号成立.
19. 已知集合 中含有三个元素 ，同时满足① ；② ；③ 为偶数，那么称
集合 具有性质 .已知集合 ，对于集合 的非空子集 ，若 中存
在三个互不相同的元素 ，使得 均属于 ，则称集合 是集合 的“期待子集”.
（1）试判断集合 是否具有性质 的三元子集，并说明理由；
（2）若集合 具有性质 ，证明：集合 是集合 的“期待子集”；
（3）证明：若集合 ，则集合 具有性质 的三元子集的充要条件是集合 是集合 的“期待
子集”.
【答案】（1）集合 不具有性质 ，理由见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）从集合 中任取三个元素，分情况讨论是否满足性质 的三个条件；
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学科网（北京）股份有限公司（2）先根据性质 确定 的值，再验证集合 是否为 的“期待子集”；
（3）根据“期待子集”的定义构造元素，证明满足性质 的条件.
【小问1详解】
集合 不具有性质 的三元子集，理由如下：
（i）从集合 中任取三个元素 均为奇数时， 为奇数，不满足条件③
（ii）从集合 中任取三个元素 有一个为 ，另外两个为奇数时，不妨设 ， ，
则有 ，即 ，不满足条件②.
综上所述，可得集合 不具有性质 的三元子集.
【小问2详解】
证明：由 是偶数，得整数 是奇数，
当 时，由 ，得 ，即 ，不合题意，
当 时，由 ，得 ，即 ，或 （舍），
因 为 是 偶 数 ， 所 以 集 合 ， 令 ， 解 得
，
显然 ，所以集合 是集合 的“期待子集”得证.
【小问3详解】
证明：先证充分性：
当集合 是集合 的“期待子集”时，存在三个互不相同的 ，使得 均属于 ，
不妨设 ，令 ， ， ，则 ，即满足条件①，
因为 ，所以 ，即满足条件②，
因为 ，所以 为偶数，即满足条件③，
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学科网（北京）股份有限公司所以当集合 是集合 的“期待子集”时，集合 具有性质 .
再证必要性：
当集合 具有性质 ，则存在 ，同时满足① ；② ；③ 为偶数，
令 ， ， ，则由条件①得 ，
由条件②得 ，
由条件③得 均为整数，
因为 ，
所以 ，且 均为整数，所以 ，
因为 ，所以 均属于 ，
所以当集合 具有性质 时，集合 是集合 的“期待子集”.
综上所述，集合 是集合 的“期待子集”的充要条件是集合 具有性质 .
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