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专题 06 双垂直型
【基本模型】
①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常
见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
②拓展：
在
（1） 正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在 和 内均有射影定理模
型．
（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．
【例题精讲】
例1.如图，AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，EF⊥AB．证明： AEF∽△ABE．
△
【答案】见解析．
【详解】证明：∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝ ∠DAB，∠ABE＝ ∠ABC.∵AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，
∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∴∠AEB＝90°.
∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°.
又∵∠BAE＝∠EAF，∴△AEF∽△ABE
例2.如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为D、E两点，则图中与△ABC
相似的三角形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，
∴∠A＝∠EBD＝∠CDE，∴△ADB∽△BED∽△DEC∽△BDC∽△ABC，
∴共有四个三角形与Rt ABC相似．故选：A．
例3.如图，四边形ABCD △中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将
两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（ ）
A. B．2 C. D．2
【解析】∵AD∥BC，∴∠ADF＋∠FCB＝180°.
根据折叠前后的图形全等得到DF＝DA＝3，
∠ADE＝∠FDE，CF＝CB＝5，∠BCE＝∠FCE，∠EFC＝∠B＝90°，
∴∠FDE＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠FEC＝90°，
∠DFE＝∠EFC＝90°，∴∠FDE＝∠FEC，
∴△DEF∽△ECF，∴＝，
∴EF2＝DF·CF＝3×5＝15，∴EF＝.故选A.【变式训练1】如图，在 中， ， 是 边上的高．
（1）若 ，则 ________；
（2）若 ，则 ________；
（3）若 ，则 ________．
【答案】 ①. 4 ②. ③.
【详解】解：（1）∵在 中， ， 是 边上的高．
∴∠ADC=∠ACB=90°，又∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴ ，即 ，
解得：AD= 4，
故答案为：4；
（2）由（1）知△ADC∽△ACB，
∴ ，即 ，
解得：AD=2，或AD=﹣8（舍去），
在Rt ADC中，由勾股定理得：CD= ，
△
故答案为： ；
（3）在Rt ADC中，AC=5，CD=4，
△由勾股定理得：AD= ，
由（1）中△ADC∽△ACB，
∴ ，即 ，解得：BC= ，
经检验，BC= ，故答案为： ．
【变式训练2】如图，在 中， ，则 的长是（ ）．
A. B. 6 C. D.
【答案】B
【详解】解：∵如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BC△D=90°，∴∠A=∠BCD，
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴ ，∴ ，
∴CD2＝BD•AD=9×4＝36，
∴CD＝6（舍去负值）．
故选：B．
【课后训练】
1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（ ）A．3：2 B．2：3 C．3：√13 D．2：√13．
【解析】∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，
AC CD 6 3
∴ = = =
BC BD 4 2
BC 2
∴ = ，故选：B．
AC 3
2．如图，在 中， 是斜边 上的高，则图中的相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【详解】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB
∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD
所以有三对相似三角形，
故选：C．
3．如图，在 Rt ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝ ，那么BC＝_______．
△
【答案】
【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴ ,
∵
∴BC＝ ，
故答案为： ．
4．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且 ＝ ．
△
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
5． 中， ， ，点E为 的中点，连接 并延长交 于点F，且有 ，
过F点作 于点H．（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4．
【详解】证明：（1） ，
，
，
，
在 和 中， ，
；
（2） 点 为 的中点，
，
由（1）已证： ，
，
设 ，则 ， ，
，
（等腰三角形的三线合一），
，
又 ，，
即 ；
（3）由（2）已证： ，
，
，
，
，即 ，
解得 ，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
由（2）可知，设 ，则 ，
，
解得 或 （不符题意，舍去），
，则在 中， ．
