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专题06 因式分解法解一元二次方程及根与系数的关系
考点一 因式分解法解一元二次方程 考点二 十字相乘法解一元二次方程
考点三 换元法解一元二次方程 考点四 已知一元二次方程的解求另一个解
考点五 根据一元二次方程的根与系数的关系求参数与代数式的值
考点六 一元二次方程根的判别式与根与系数的综合问题
考点一 因式分解法解一元二次方程
例题：（2022·四川成都·九年级期末）解下列一元二次方程．
(1)x2﹣4x＝5； (2)2（x+1）2＝x（x+1）．
【变式训练】
1.（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）解方程：
(1) ；
(2)（
2.（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）解下列方程：
(1)
(2)
考点二 十字相乘法解一元二次方程
例题：（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）解方程：
(1) ． (2)【变式训练】
1.（2022·全国·九年级）解一元二次方程： ．
2．（2021·江苏·扬州市江都区实验初级中学一模）解方程： ；
3．（2022·全国·九年级）用因式分解法解方程：x2-10x+16=0
考点三 换元法解一元二次方程
例题：（2022·江苏南京·二模）若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x=3，x=−5，则关于y的方程
1 2
a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【变式训练】
1．（2022·湖南邵阳·九年级期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知 ，求 的值．
解：设 ，则原方程变形为 ，
即
∴
得t＝﹣2，t＝1
1 2
∴ 或
已知 ，求 的值．2．（2022·四川泸州·一模）请阅读下列材料：
解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0．
解法如下：
将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，
原方程可化为y2﹣5y+4＝0，
解得y＝1，y＝4．
1 2
（1）当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝± ；
（2）当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝± ．
综合（1）（2），可得原方程的解为x＝ ，x＝﹣ ，x＝ ，x＝﹣ ．
1 2 3 4
参照以上解法，方程x4﹣x2﹣6＝0的解为 _____．
考点四 已知一元二次方程的解求另一个解
例题：（2022·陕西·西安铁一中分校三模）若关于x的方程 有一个根是2，则另一个根是
（ ）
A．6 B．3 C． D．
【变式训练】
1．（2022·江苏南京·二模）关于x的方程x2+bx−2=0有一个根是1，则方程的另一个根是______．
2．（2022·四川成都·二模）已知关于x的方程x2+3x+m＝0的一个根是1，则此方程的另一个根为 _____．
考点五 根据一元二次方程的根与系数的关系求参数与代数式的值
例题1：（2022·江苏南京·模拟预测）已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x﹣4m＝0的两个实数根是x x，且
1， 2
x+x＝4，则m的值为__．
1 2
例题2：（2022·江西南昌·二模）若一元二次方程 的两个实数根为a，b，则 的值为
_______．
【变式训练】
1．（2022·四川泸州·中考真题）已知关于 的方程 的两实数根为 ， ，若，则 的值为（ ）
A． B． C． 或3 D． 或3
2．（2022·贵州六盘水·九年级期末）若a，b是关于x的方程 的两个实数根，则
___．
3．（2022·四川泸州·二模）已知 是关于x的一元二次方程 两个实数根，且
，则a＝______．
考点六 一元二次方程根的判别式与根与系数的综合问题
例题：（2022年四川省南充市中考数学试卷）已知关于x的一元二次方程 有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为 ，若 ，求k的值．
【变式训练】
1．（2022·湖南·双牌县教育研究室模拟预测）已知关于 的一元二次方程 有 ， 两个
实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求 及 的值；
(3)是否存在实数 ，满足 ？若存在，求出实数 的值？若不存在，请说明理由．
2．（2022·湖北荆门·一模）已知关于 的一元二次方程 ．(1)求证：无论 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根分别为 、 ，且 ，求 的值．
一、选择题
1．（2022·山西·孝义市教育科技局教学研究室三模）一元二次方程 的根为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2022·重庆实验外国语学校八年级期中）若一元二次方程 的一个根是 ，则另一个根
是（ ）
A．6 B．5 C．-3 D．2
3．（2022·江西吉安·九年级期末）已知矩形的长和宽是方程 的两个实数根，则矩形的对角线
的长为（ ）
A．6 B．7 C．20 D．
4．（2022·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学三模）若 是一元二次方程 的两个根，则 的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．
5．（2022年贵州省黔东南州中考数学真题）已知关于 的一元二次方程 的两根分别记为 ，
，若 ，则 的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．
6．（2022·山东·招远市教学研究室八年级期中）关于x的一元二次方程 有一个根为x
＝5，则关于x的一元二次方程 必有一个根为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
7．（2022·全国·九年级）方程 的根是__．
8．（2022·青海海东·九年级期末）关于x的方程 的一个根是 ，则它的另一个根
________．
9．（2022·全国·九年级）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为α、β，则αβ﹣α﹣β的值为 __．
10．（2022·山东·陵城区教学研究室一模）若直角三角形的两边长分别是一元二次方程x2－7x＋12＝0的两
个实数根，则该直角三角形的面积是_______．
11．（2022·湖南·吉首市教育科学研究所模拟预测）对于实数 ，定义运算“※”： ※ = ．
例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，则 ※
=_____．
12．（2022·安徽·舒城县仁峰实验学校八年级阶段练习）对于实数a，b，先定义一种新运算“ ”如下：a
b＝（1）计算： ＝_____；
（2）若2 m＝36，则实数m等于_____．
三、解答题
13．（2022·山东德州·九年级期末）解方程：
(1)
(2)
14．（2022·河南信阳·九年级期末）解方程：
(1)x2－2x－3＝0
(2)（x﹣3）2＝2x﹣6
15．（2022·浙江·乐清市乐成第一中学八年级期中）用适当的方法解方程：
(1) ．
(2) ．
16．（2022·北京门头沟·二模）已知关于x的二次方程 有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果m为正整数，求此方程的根．
17．（2022·全国·九年级）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，方程的根为x，x，求代数式（x2+2x）（x2+4x+2）的值．
1 2 1 1 2 218．（2022·山东烟台·八年级期中）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个实数根 满足 ，求 的值．
19．（2022·湖北十堰·中考真题）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求 的值．
20．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x，x，则x＋x＝ ，xx＝
1 2 1 2 1 2
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x，x，则x＋x＝ ；xx＝ ．
1 2 1 2 1 2
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 的值．
