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专题06 因式分解法解一元二次方程及根与系数的关系
考点一 因式分解法解一元二次方程 考点二 十字相乘法解一元二次方程
考点三 换元法解一元二次方程 考点四 已知一元二次方程的解求另一个解
考点五 根据一元二次方程的根与系数的关系求参数与代数式的值
考点六 一元二次方程根的判别式与根与系数的综合问题
考点一 因式分解法解一元二次方程
例题：（2022·四川成都·九年级期末）解下列一元二次方程．
(1)x2﹣4x＝5； (2)2（x+1）2＝x（x+1）．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）通过移项，分解因式，化为一元一次方程，即可求解；
（2）通过移项，分解因式，化为一元一次方程，即可求解．
(1)
解：x2﹣4x＝5，
移项得：x2﹣4x-5=0，
分解因式得：（x-5）（x+1）=0，
∴x-5=0或x+1=0，
解得： ；
(2)
解：2（x+1）2＝x（x+1），
移项得：2（x+1）2-x（x+1）=0，分解因式得：（x+1）（2x+2-x）=0，
∴x+1=0或2x+2-x=0，
解得： ．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程，是解题的关键．
【变式训练】
1.（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）解方程：
(1) ；
(2)（
【答案】(1) 或 ；
(2)
【解析】
【分析】
（1）运用公式法解一元二次方程即可；
（2）运用公式法解一元二次方程即可；
(1)
∵
∴
解得： 或 ；
(2)
（2x+1）2-3（2x+1）=0，
（2x+1）（2x+1-3）=0，
2x+1=0或2x+1-3=0，
解得 ；
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用公式法解一元二次方程是解答本题的关键．
2.（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）解下列方程：(1)
(2)
【答案】(1) ，
(2) ，
【解析】
【分析】
（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
(1)
解：
∴ ，
(2)
∴ ，
【点睛】
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，因式分解是解本题的关键．
考点二 十字相乘法解一元二次方程
例题：（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）解方程：
(1) ． (2)【答案】(1) 或
(2)
【解析】
【分析】
（1）运用十字相乘法解一元二次方程．
（2）运用十字相乘法解一元二次方程．
(1)
∵
∴ ，
解得： 或 ．
(2)
（x-2）（x-5）=0，
x-2=0或x-5=0，
解得x=2，x=5．
1 2
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用十字相乘法解一元二次方程是解答本题的关键．
【变式训练】
1.（2022·全国·九年级）解一元二次方程： ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】
利用十字相乘法因式分解法求解即可．
，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ．【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分
解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2．（2021·江苏·扬州市江都区实验初级中学一模）解方程： ；
【答案】 ，
【解析】
【分析】
利用十字相乘法因式分解法求解即可；
【详解】
，
或 ，
所以 ， ；
【点睛】
本题考查了解一元二次方程 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法
简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
3．（2022·全国·九年级）用因式分解法解方程：x2-10x+16=0
【答案】x=2，x=8
1 2
【解析】
【分析】
利用因式分解方法求解即可．
【详解】
解：x2-10x+16=0，
因式分解得，(x-2)(x-8)=0，
由此得：x-2=0，x-8=0，
解得：x=2，x=8．
1 2
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分
解法，解题的关键是根据题目要求选取相应的方法求解．考点三 换元法解一元二次方程
例题：（2022·江苏南京·二模）若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x=3，x=−5，则关于y的方程
1 2
a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】
【分析】
设t=y+1，则原方程可化为at2+bt+c=0，根据关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x=3，x=-5，得到
1 2
t=3，t=-5，于是得到结论．
1 2
【详解】
解：设t=y+1，
则原方程可化为at2+bt+c=0，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x=3，x=-5，
1 2
∴t=3，t=-5，
1 2
∴y+1=3或y+1=-5，
解得y=2，y=-6．
1 2
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了换元法解一元二次方程，关键是正确找出两个方程解的关系．
【变式训练】
1．（2022·湖南邵阳·九年级期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知 ，求 的值．
解：设 ，则原方程变形为 ，
即
∴
得t＝﹣2，t＝1
1 2
∴ 或已知 ，求 的值．
【答案】
【解析】
【分析】
先换元，再求出t的值，最后求出答案即可．
【详解】
解：设
∴
即 ，
∴ ，
解得： ， （舍去）
∴
即 的值为 ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．
2．（2022·四川泸州·一模）请阅读下列材料：
解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0．
解法如下：
将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，
原方程可化为y2﹣5y+4＝0，
解得y＝1，y＝4．
1 2
（1）当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝± ；
（2）当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝± ．
综合（1）（2），可得原方程的解为x＝ ，x＝﹣ ，x＝ ，x＝﹣ ．
1 2 3 4参照以上解法，方程x4﹣x2﹣6＝0的解为 _____．
【答案】 ，
【解析】
【分析】
仿照范例，可以设 ，则原方程化为一元二次方程： ，先解出y的值，再进一步解出x的值．
【详解】
解：设 ，则原方程可化为： ，
解得：y＝3，y＝﹣2，
1 2
（1）当y＝3时，x2＝3，解得x＝ ，x＝ ，
1 2
（2）当y＝﹣2．时，x2＝﹣2，此方程无实数根，
综合（1）（2），可得原方程的解是：x＝ ，x＝ ，
1 2
故答案为：x＝ ，x＝
1 2
【点睛】
本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去
代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量
代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂
问题简单化，变得容易处理．
考点四 已知一元二次方程的解求另一个解
例题：（2022·陕西·西安铁一中分校三模）若关于x的方程 有一个根是2，则另一个根是
（ ）
A．6 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由根和系数的关系即可求得方程的另一个根．【详解】
解：设另一个根为m，由根和系数的关系有：
解得
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏南京·二模）关于x的方程x2+bx−2=0有一个根是1，则方程的另一个根是______．
【答案】-2
【解析】
【分析】
设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到1×t=-2，然后解一次方程即可．
【详解】
解：设方程的另一个根为t，
根据题意得1×t=-2，解得t=-2．
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x+x=- ，xx= ．
1 2 1 2 1 2
2．（2022·四川成都·二模）已知关于x的方程x2+3x+m＝0的一个根是1，则此方程的另一个根为 _____．
【答案】-4
【解析】
【分析】
设该方程的两根为x，x，根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和，结合“已知关于x的方程
1 2
x2+3x+m＝0的一个根是1”，即可得到答案．
【详解】
设该方程的两根为x，x，
1 2
则x+x＝﹣3，
1 2
∵该方程的一个根为1，
∴另一个根为：﹣3﹣1＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
考点五 根据一元二次方程的根与系数的关系求参数与代数式的值
例题1：（2022·江苏南京·模拟预测）已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x﹣4m＝0的两个实数根是x x，且
1， 2
x+x＝4，则m的值为__．
1 2
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得出x+x＝﹣2（m﹣1）＝4，再解方程即可．
1 2
【详解】
解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x﹣4m＝0的两个实数根是x 和x，且x+x＝4，
1 2 1 2
∴由根与系数的关系得：x+x＝﹣2（m﹣1）＝4，
1 2
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
例题2：（2022·江西南昌·二模）若一元二次方程 的两个实数根为a，b，则 的值为
_______．
【答案】5
【解析】
【分析】
先根据根与系数的关系得到 然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：根据题意得
故答案为：
【点睛】
本题考查了根与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握根与系数的关系，若 是一元二次方程
的两根时，则【变式训练】
1．（2022·四川泸州·中考真题）已知关于 的方程 的两实数根为 ， ，若
，则 的值为（ ）
A． B． C． 或3 D． 或3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系以及 求解即可．
【详解】
解：由题意可知： ，且
∵ ，
∴ ，解得： 或 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
故选：A
【点睛】
本题考查根与系数的关系以及根据方程根的情况确定参数范围，解题的关键是求出 ，再利用根与系
数的关系求出 或 （舍去）．
2．（2022·贵州六盘水·九年级期末）若a，b是关于x的方程 的两个实数根，则
___．
【答案】2020
【解析】
【分析】由a，b是关于x的方程 的两个实数根得， ， ，再整理代数式即可
求得答案．
【详解】
解： a，b是 的两个实数根，
，a+b=2,
即 ，
，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出
， 是解题的关键．
3．（2022·四川泸州·二模）已知 是关于x的一元二次方程 两个实数根，且
，则a＝______．
【答案】2
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程根的判别式可得 ，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得 ，然
后根据 建立方程，解方程即可得．
【详解】
解：由题意，此方程根的判别式 ，
解得 ，
是关于 的一元二次方程 两个实数根，，
，
，
，
解得 或 （舍去），
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方
程的根与系数的关系是解题关键．
考点六 一元二次方程根的判别式与根与系数的综合问题
例题：（2022年四川省南充市中考数学试卷）已知关于x的一元二次方程 有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为 ，若 ，求k的值．
【答案】(1)k ；
(2)k=3
【解析】
【分析】
根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2） 0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到 ，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．
(1)
解：∵一元二次方程 有实数根．
∴ 0，即32-4（k-2） 0，
∆
解得k
(2)∵方程的两个实数根分别为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得k=3．
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识
是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖南·双牌县教育研究室模拟预测）已知关于 的一元二次方程 有 ， 两个
实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求 及 的值；
(3)是否存在实数 ，满足 ？若存在，求出实数 的值？若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ；
(3)存在； 或
【解析】
【分析】
（1）根据方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可；
（2）利用根与系数的关系求出两根之和，把x 的值代入计算求出x，进而求出m的值即可；
1 2
（3）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式计算，判断即可．
(1)
解：∵关于 的一元二次方程 有 ， 两个实数根，∴ ，
解得 ；
(2)
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
(3)
解：存在，理由如下：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
整理得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ， ．
【点睛】
此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的判别式意义
是解本题的关键．
2．（2022·湖北荆门·一模）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：无论 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根分别为 、 ，且 ，求 的值．
【答案】(1)见解析；
(2) ，【解析】
【分析】
（1）利用一元二次方程根的判别式判断即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式的变形求值即可．
(1)
解：∵一元二次方程 ，
，
∴无论 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2)
解：依题意得， ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
（3a+1）（a-1）=0，
解得 ， ；
【点睛】
本题考查了一元二次方程 根的判别式 及根与系数的关系 ，
．一、选择题
1．（2022·山西·孝义市教育科技局教学研究室三模）一元二次方程 的根为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】
【分析】
利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】
解：
解得： ，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法，配方
法，公式法是解题的关键．
2．（2022·重庆实验外国语学校八年级期中）若一元二次方程 的一个根是 ，则另一个根
是（ ）
A．6 B．5 C．-3 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
设方程的另一个根为m，由根与系数的关系即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设方程的另一个根为m，
则有m+3=5，
解得：m=2，故D正确．故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于 是解题的关键．
3．（2022·江西吉安·九年级期末）已知矩形的长和宽是方程 的两个实数根，则矩形的对角线
的长为（ ）
A．6 B．7 C．20 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设矩形的长和宽分别为a、b，解出a、b，利用勾股定理得到矩形的对角线长 ，代入计算出矩形
的对角线长即可．
【详解】
解：设矩形的长和宽分别为a、b，
∵x2﹣6x+8＝0
∴(x﹣4)(x﹣2)=0
∴x=4或x=2，
∵长和宽是方程的两个实数根
∴a＝4，b＝2，
所以矩形的对角线长 2 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，也考查了矩形的性质及勾股定理，熟练掌握一元二次方程的解法及勾股
定理是解题的关键．
4．（2022·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学三模）若 是一元二次方程 的两个根，
则 的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．【答案】A
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的定义，根与系数的关系，可得 ， ，再代入，即可求解．
【详解】
解：∵ 是一元二次方程 的两个根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的定义，根与系数的关系
是解题的关键．
5．（2022年贵州省黔东南州中考数学真题）已知关于 的一元二次方程 的两根分别记为 ，
，若 ，则 的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据根与系数关系求出 =3，a=3，再求代数式的值即．
【详解】
解：∵一元二次方程 的两根分别记为 ， ，
∴ + =2，
∵ ，∴ =3，
∴ · =-a=-3，
∴a=3，
∴ ．
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是
解题关键．
6．（2022·山东·招远市教学研究室八年级期中）关于x的一元二次方程 有一个根为x
＝5，则关于x的一元二次方程 必有一个根为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
先将方程 化为 ，再根据方程 有一个根
为x＝5，根据x-1=5求解即可．
【详解】
解：将关于x的一元二次方程 变形，得 (m≠0)，
令u=x-1，得 ，
关于x的一元二次方程 有一个根为x＝5，
关于u的一元二次方程 (m≠0)有一个根为u=5，
将u=5代入u=x-1，得 ，
解得，x=6，
故选：D．【点睛】
本题考查了解一元二次方程，掌握换元法是解本题的关键．
二、填空题
7．（2022·全国·九年级）方程 的根是__．
【答案】 或
【解析】
【分析】
将方程右边整体移至左边，再将左边因式分解即可得．
【详解】
解：移项，得： ，
将左边因式分解，得： ，
即 ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题主要考查用因式分解法解方程的能力，只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的
时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方
法．
8．（2022·青海海东·九年级期末）关于x的方程 的一个根是 ，则它的另一个根
________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，求出另外一个根即可．
【详解】
解：∵关于x的方程 的两根之积为： ，∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ．
故答案为：-1．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握 及 ，是解题的关键．
9．（2022·全国·九年级）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为α、β，则αβ﹣α﹣β的值为 __．
【答案】
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得到α+β＝3，αβ＝1，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：根据根与系数的关系得到α+β＝3，αβ＝1，
所以αβ﹣α﹣β＝αβ﹣（α+β）＝1﹣3＝﹣2．
故答案为：-2
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，则x+x= ，xx＝
1 2 1 2 1 2
．
10．（2022·山东·陵城区教学研究室一模）若直角三角形的两边长分别是一元二次方程x2－7x＋12＝0的两
个实数根，则该直角三角形的面积是_______．
【答案】6或 ．
【解析】
【分析】
解方程求出两边长，再分类讨论求出面积即可．
【详解】解：解方程 得，
， ，
当3和4是直角三角形的两条直角边时，直角三角形的面积为 ；
当3是直角三角形的直角边，4是直角三角形的斜边时，另一条直角边为 ，直角三角形的面
积为 ；
故答案为：6或 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法和勾股定理，解题关键是正确地解方程，分类讨论，求出直角三角形的直
角边长．
11．（2022·湖南·吉首市教育科学研究所模拟预测）对于实数 ，定义运算“※”： ※ = ．
例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，则 ※
=_____．
【答案】20
【解析】
【分析】
根据新定义表示出 ，根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，进而
即可求解．
【详解】
解：∵ 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ．
故答案为：20．【点睛】
本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
12．（2022·安徽·舒城县仁峰实验学校八年级阶段练习）对于实数a，b，先定义一种新运算“ ”如下：a
b＝
（1）计算： ＝_____；
（2）若2 m＝36，则实数m等于_____．
【答案】 4
【解析】
【分析】
（1）直接根据定义列出式子求解即可；
（2）分 进行分类讨论，根据新定义列出关于 的方程，解之可得答案．
【详解】
解：（1）根据题意：
，
，
，
故答案为： ；
（2）当 时， ，解得： （舍去），
当 时， ，
解得： ， （舍去），
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查实数的运算，二次根式的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是理解新定义，依据新定
义分情况列出关于 的方程．
三、解答题
13．（2022·山东德州·九年级期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用十字乘法把方程的左边分解因式，再解方程即可；
（2）先移项，再把方程的左边利用提公因式的方法分解因式，再解方程即可．
(1)
解： ，
∴ 或
解得：
(2)
，移项得：
或
解得： ，
【点睛】
本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“因式分解的方法解一元二次方程的步骤”是解
本题的关键．
14．（2022·河南信阳·九年级期末）解方程：
(1)x2－2x－3＝0
(2)（x﹣3）2＝2x﹣6
【答案】(1)x＝3，x＝－1
1 2
(2)x＝3，x＝5
1 2
【解析】
【分析】
（1）把常数项移到右边后，用配方法解一元二次方程即可；
（2）把右边部分移项后，用因式分解法解一元二次方程即可．
(1)
解：x2－2x－3＝0
移项，得：x2－2x＝3，
配方，得：x2－2x＋1＝3＋1，
即（x－1）2＝4．
两边同时开方，得：x－1＝±2，
∴x＝3，x＝－1．
1 2
(2)
解：（x﹣3）2＝2x﹣6
∵（x﹣3）2＝2（x﹣3），
∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（x﹣5）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣5＝0，解得：x＝3，x＝5．
1 2
【点睛】
此题考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题的关键．
15．（2022·浙江·乐清市乐成第一中学八年级期中）用适当的方法解方程：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1) ， ；
(2) ，
【解析】
【分析】
将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于 的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于 的一元一次方程，分别求解即可得出
答案．
(1)
解： ，
，
则 或 ，
解得 ， ，
所以，原方程的解为 ， ；
(2)
解：
，则 ，
或 ，
解得 ， ．
所以，原方程的解为 ， ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．
16．（2022·北京门头沟·二模）已知关于x的二次方程 有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果m为正整数，求此方程的根．
【答案】(1) 且 ；
(2)x=0，x=-1
1 2
【解析】
【分析】
（1）由方程有两个不相等的实数根得到∆>0，利用公式求出m的取值范围；
（2）由（1）及m为正整数，可得m=1，利用因式分解法解方程即可．
(1)
解：∵关于x的二次方程 有两个不相等的实数根，
∴∆>0，
∴ ，
解得 ；
∵ ，
∴ 且 ；
(2)
∵ 且m≠0，m为正整数，∴m=1，
∴该方程为 ，
解得x=0，x=-1．
1 2
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解一元二次方程，正确掌握一元二次方程根的判别
式与根的情况是解题的关键．
17．（2022·全国·九年级）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，方程的根为x，x，求代数式（x2+2x）（x2+4x+2）的值．
1 2 1 1 2 2
【答案】(1)m≤
(2)1
【解析】
【分析】
（1）根据△≥0，解不等式即可；
（2）将m＝2代入原方程可得：x2+3x+1＝0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论．
(1)
解：∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根，
∴△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）≥0，
∴m≤ ．
(2)
当m＝2时，方程为x2+3x+1＝0，
∴x+x＝﹣3，xx＝1，
1 2 1 2
∵方程的根为x，x，
1 2
∴x2+3x+1＝0，x2+3x+1＝0，
1 1 2 2
∴（x2+2x）（x2+4x+2）
1 1 2 2
＝（x2+2x+x﹣x）（x2+3x+x+2）
1 1 1 1 2 2 2
＝（﹣1﹣x）（﹣1+x+2）
1 2
＝（﹣1﹣x）（x+1）
1 2
＝﹣x﹣xx﹣1﹣x
2 1 2 1
＝﹣x﹣x﹣2
2 1＝3﹣2
＝1
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于 ，
两根之积等于 ”，是解题的关键．
18．（2022·山东烟台·八年级期中）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个实数根 满足 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)0
【解析】
【分析】
（1）根据根的判别式 ，据此可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出 ，和题干的式子联立解得x 的值，代入原方程即可得到k的
1
值．
(1)
由题意知， ，
则 ，
∵ ，即 ，
所以，无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)
由题意知， ①，
∵ ②，∴由①+②，得 ，即 ，
将 代入方程，解得 ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式 ，当
时，方程有两个不相等的实数根，当 ，方程有两个相等的实数根，当 时，方程无实数根．
19．（2022·湖北十堰·中考真题）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据根的判别式 ，即可判断；
（2）利用根与系数关系求出 ，由 即可解出 ， ，再根据 ，即可得到
的值．
(1)
，
∵ ，
∴ ，
该方程总有两个不相等的实数根；
(2)
方程的两个实数根 ， ，
由根与系数关系可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得： ， ，
∴ ，即 ．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．
20．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x，x，则x＋x＝ ，xx＝
1 2 1 2 1 2
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x，x，则x＋x＝ ；xx＝ ．
1 2 1 2 1 2
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 的值．
【答案】(1) ；
(2)
(3) 或
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系先求出 ， ，然后将 进行变形求解即可；
（3）根据根与系数的关系先求出 ， ，然后求出s-t的值，然后将 进行变形求解即可．
(1)
解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x，x，
1 2∴ ， ．
故答案为： ； ．
(2)
∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴ ， ，
∴
(3)
∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴ ， ，
∵
∴ 或 ，当 时， ，
当 时， ，
综上分析可知， 的值为 或 ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出
或 ，是解答本题的关键．
