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专题 08 旋转模型
基本模型总结——等线段，共端点
模型一 半角模型
已知：正方形ABCD，
结论：(1)
(2)△CEF周长为正方形周长的一半
(3)△AEF中，EF边上的高等于AB
提问：如果把45°这个条件和某个结论互换，
是否仍然成立呢？
(4)AE平分∠BEF，AF平分∠DFE
【等腰三角形】
已知：等腰RT ABC，∠DAE＝45°
△
结论：
【晋级版】
已知：正方形ABCD，∠MAN＝45°
结论：
AH＝AB1．已知 是边长为 的等边三角形，以 为边作等腰三角形 ，使得 ，且
，点 是 边上的一个动点，作 交 边于点 ，且满足 ，则
的周长为 ．
2．如图，在正方形 内作 ， 交 于点 ， 交 于点 ，连接 ，过点 作
，垂足为 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，若 ， ，则 的长为
．
3．如图，正方形 中， ，点 、 分别是边 、 上的两点， ， 于
点 ，连接 分别交 、 于点 、 ，将 绕点 逆时针旋转，使 与 重合，得到
．以下结论正确的是 ．
① ；② 的周长是定值，定值是2；③ ；④ ．
4．如图，正方形 的边长为 1， 为 上的点， 为 上的点，且 的周长为 2，则
度．5．如图，在正方形 中， ， 为 上一动点， 交 于 ，过 作 交 于点
，过 作 于 ，连接 ，在以下四个结论中：① ，② ，③ 的
周长为12，④ ，其中正确的结论有 （填写序号）．
6．问题：如图（1），在 中， ， ， ，试探究 、 、 满
足的等量关系．
【探究发现】小聪同学利用图形变换，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，由已知条件
易得 ， ．根据“边角边”，可证 ，
得 ．在 中，由 定理，可得 ，由 ，可得 、 、 之
间的等量关系是 ．
【实践运用】
（1）如图（2），在正方形 中， 的顶点 、 分别在 、 边上，高 与正方形的边长
相等，求 的度数；
（2）在（1）条件下，连接 ，分别交 、 于点 、 ，若 ， ， ，运用
小聪同学探究的结论，求正方形的边长及 的长．7．已知，如图1，四边形 是正方形， 、 分别在边 、 上，且 ，我们把这种模
型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
（1）在图1中，连接 ，为了证明结论“ ”，小明将 绕点 顺时针旋转 后解
答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程；
（2）如图2，当 的两边分别与 、 的延长线交于点 、 ，连接 ，试探究线段 、 、
之间的数量关系，并证明．
8．已知 是等腰直角三角形， ， ，点 是边 上的一个动点（不运动至点 ，
，点 在 所在直线上，连接 ， ，且
（1）若点 是线段 上一点，如图1，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ， ， ，
①求证： ；
②若 ， ，求 的长；
（2）如图2，若 ， ，求 的长．（直接写出答案即可）9．问题背景
如图（1），在四边形 中， ， ， ，以点 为顶点作一个角，角
的两边分别交 ， 于点 ， ，且 ，连接 ，试探究：线段 ， ， 之间的数
量关系．
（1）特殊情景
在上述条件下，小明增加条件“当 时”如图（2），小明很快写出了： ， ，
之间的数量关系为 ．
（2）类比猜想
类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段 ， ， 之间的数量关系是否仍然成立？若
成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题
如图（3），在 中， ， ，点 ， 均在边 上，且 ，若
，请直接写出 的长．10．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形 的两顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，点
在原点．现将正方形 绕 点顺时针旋转，当 点第一次落在直线 上时停止旋转，旋转过程中，
边交直线 于点 ， 边交 轴于点 （如图）．
（1）求边 在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当 和 平行时，求正方形 旋转的度数；
（3）试证明在旋转过程中， 的边 上的高为定值；
（4）设 的周长为 ，在旋转过程中， 值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，
请给予证明，并求出 的值．11．（1）如图1，在正方形 中， 是 上一点， 是 延长线上一点，且 ．求证：
；
（2）如图2，在正方形 中， 是 上一点， 是 上一点，如果 ，请你利用（1）
的结论证明： ．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图 3，在直角梯形 中， ， ， ， 是 上一点，且
， ， ，求直角梯形 的面积．模型二 对角互补+邻边相等
已知DC=EC
90°型
√2
结论：①BE＋EO＝ OC
②OC平分∠AOB
1
S +S = OC2
③ △COD △COE 2
任意角型
特点归纳：由于对角互补这一性质，所以四边形内部的三角形绕某一顶点旋转后，会形
成一个平角，相当于是延长了四边形的一条边。12．四边形 被对角线 分为等腰直角 和直角 ，其中 和 都是直角，另一条对角
线 的长度为2，求四边形 的面积．
13．如图， 为正方形， 为 、 的交点， 为 △， ， ，若
，则正方形的面积为 ．
14．问题背景：
如图1：在四边形 中， ， ， ． ， 分别是 ， 上
的点．且 ．探究图中线段 ， ， 之间的数量关系．
（1）小王同学探究此问题的方法是：延长 到点 ．使 ．连接 ，先证明 ，
再证明 ，可得出结论，他的结论应是 ；（并写出证明过程）
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形 中， ， ． ， 分别是 ， 上的点，且
，上述结论是否仍然成立，并说明理由．15．如图， 中， ，以斜边 为边向外作正方形 ，且正方形对角线交于点 ，连
接 ，已知 ， ，则另一直角边 的长为 ．
16．已知 ， 平分 ．
（1）在图1中，若 ， ，求证： ；
（2）在图2中，若 ， ，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请
给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图3中：① ， ，则 ；
②若 ， ，则 （用含 的三角函数表
示），并给出证明．17．如图， ， 的平分线 上有一点 ， ，将一个直角三角板 角的顶点与
重合，它的两条边分别与 ， （或它们的反向延长线）相交于点 ， ．
（1）当三角板绕点 旋转到 与 垂直时（如图 ，求证： ．
（2）当三角板绕点 旋转到 与 不垂直时：
①在图2这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段 ， 之间又有怎
样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
②在图3这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 ， 之间又有怎
样的数量关系？请直接写出你的猜想，并给予证明．题型三 【60°、90°角旋转模型】
① 遇等边三角形旋60度，造等边三角形
如图，无论P点在等边△ABC内部还是外部，把△CBP绕点C旋转60°，使CB与CA重
合，可知△PCP’为等边三角形
总结：点P绕△ABC的任意一个顶点旋转60°时，旋转后的对应点为P’点、P和与旋转中心构
成等边三角形。
②遇等腰直角三角形旋90度，造等腰直角三角形
如图，P为等腰RT ABC平面上一点，将△ABP绕点A逆时针旋转90°，则△CPP′为等腰
√2
RT ，△CPP′实质上是△由BP，PC和 AP构成。
△
特别地，我们可以把等腰直角三角形看作是正方形的一半，因此正方形中的旋转可以按
等直角三角形来处理，如下图。
18．如图甲，在等边三角形 内有一点 ，且 ， ， ，求 的度数和等边三
角形 的边长．（1）李明同学作了如图乙的辅助线，将 绕点 逆时针旋转 ，如图乙所示，连接 ，可说明
是直角三角形从而问题得到解决．请你说明其中理由并完成问题解答．
（2）如图丙，在正方形 内有一点 ，且 ， ， ：类比第一小题的方法求
的度数，并直接写出正方形 的面积．
19．如图，在等边 中，点 ， 在 上， ， ， ，则 的长为 ．
20． 、 是等腰 斜边 所在直线上的两点，满足 ，求证： ．21．如图，已知 为等边 内的一点，且 ， ， ，将线段 绕点 按逆时针方向
旋转 至 的位置．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
22．如图， 是正 内一点， ， ， ，将线段 以点 为旋转中心逆时针旋转
得到线段 ，下列结论：①△ 可以由 绕点 逆时针旋转 得到；②点 与 的距离
为4；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的结论是 ．
23．已知：如图，四边形 中， ， ， ．
（1）连接 ， 的形状是 ；
（2）求证： ．24．如图，点 是正方形 内一点，点 到点 ， 和 的距离分别为1， ， ，延长 与
相交于点 ，则 的长为 ．
25．如图， 是正 内一点， ， ， ，将线段 以点 为旋转中心逆时针旋转
得到线段 ，下列结论：
①△ 可以由 绕点 逆时针旋转 得到；
②点 与 的距离为4；
③ ；
④ ；
⑤ ．
其中正确的结论是 ．
26．如图，在 中， ， 、 是斜边 上两点，且 ，将 绕点 顺时
针旋转 后，得到 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④
，其中正确的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个27．如图， 是等边三角形 内一点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．若
， ， ，则四边形 的面积为 ．
28．如图， 是正 内一点， ， ， ，将线段 以点 为旋转中心逆时针旋转
得到线段 ，下列结论：①△ 可以由 绕点 逆时针旋转 得到； ②点 与 的距离
为6； ③ ； ④ ； ⑤ ．其中正确的结论是 （填序
号）．
29．如图，在 中， ， ， ，将线段 绕着点 逆时针旋转 得到 ，
连接 ， ，则 的面积为 ．
30．如图，已知 中， 是斜边 的中点， 、 分别在 、 上，且 ， ，
．求：线段 的长．31．平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以
达到解决问题的目的．
（1）探究发现：如图1， 是等边 内一点， ， ， ．求 的度数．
解：将 绕点 旋转到△ 的位置，连接 ，则 是 三角形．
， ， ，
为 三角形． 的度数为 ．
（2）类比延伸：如图2，在正方形 内部有一点 ．连接 、 、 ，若 ， ，
，求 的长；
（3）拓展迁移：如图3，若点 是正方形 外一点， ， ， ，求 的度数．
32．如图，点 是等边 外一点， ， ，
（1）将 绕点 逆时针旋转 得到△ ，画出旋转后的图形；
（2）在（1）的图形中，求 的度数．
33．如图，点 是等边三角形 内的一点， ， ， ，则 ，长为 ．
34．问题背景：如图①设 是等边 内一点， ， ， ，求 的度数．小君研
究这个问题的思路是：将 绕点 逆时针旋转 得到 ，易证：
是等边三角形， 是直角三角形，所以 ．
简单应用：（1）如图2，在等腰直角 中， ． 为 内一点，且 ， ，
，则
（2）如图3，在等边 中， 为 内一点，且 ， ， ，则 ．
拓展延伸：①如图4， ， ．求证： ．
②若图4中的等腰直角 与 在同侧如图5，若 ， ，请直接写出 的长．
35． 、 是四边形 的两条对角线， 是等边三角形， ，设 ， ，
，则 的最大值为 ．36．在正方形 的边 上任取一点 ，作 交 于点 ，取 的中点 ，连接 、
．
（1）如图1，则线段 和 有怎样的数量关系和位置关系？
（2）如图2，将 绕点 逆时针旋转 ，如图3，将 绕点 逆时针旋转 ，则（1）中的结
论还成立吗？如果成立请选择三图中任一图加以证明；如果不成立，请说明理由．
