文档内容
专题 08 旋转模型
基本模型总结——等线段，共端点
模型一 半角模型
已知：正方形ABCD，
结论：(1)
(2)△CEF周长为正方形周长的一半
(3)△AEF中，EF边上的高等于AB
提问：如果把45°这个条件和某个结论互换，
是否仍然成立呢？
(4)AE平分∠BEF，AF平分∠DFE
【等腰三角形】
已知：等腰RT ABC，∠DAE＝45°
△
结论：
【晋级版】
已知：正方形ABCD，∠MAN＝45°
结论：
AH＝AB1．已知 是边长为 的等边三角形，以 为边作等腰三角形 ，使得 ，且
，点 是 边上的一个动点，作 交 边于点 ，且满足 ，则
的周长为 2 ．
【解答】证明：如图，在 延长线上截取 ，
是等边三角形， 是顶角 的等腰三角形，
， ，
，
，
，
在 中，
，
，
得 ， ，
，
，
， ， ，
△ ，，
故 的周长 ．
故答案是：2．
2．如图，在正方形 内作 ， 交 于点 ， 交 于点 ，连接 ，过点 作
，垂足为 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，若 ， ，则 的长为
6 ．
【解答】解：由旋转的性质可知： ， ．
四边形 为正方形，
．
又 ，
．
．
．
在 和 中 ，
．
， ，
， ．
设正方形的边长为 ，则 ， ．在 中，由勾股定理得： ，即 ．
解得： ． （舍去）
．
．
故答案为：6．
3．如图，正方形 中， ，点 、 分别是边 、 上的两点， ， 于
点 ，连接 分别交 、 于点 、 ，将 绕点 逆时针旋转，使 与 重合，得到
．以下结论正确的是 ①②④ ．
① ；② 的周长是定值，定值是2；③ ；④ ．
【解答】解： 四边形 为正方形，
， ，
把 绕点 顺时针旋转 可得到 ，如图，
， ， ， ，
，即点 在 的延长线上，
，
，
在 和 中
，
，
，
， ，
，所以①正确；，所以③错误；
的周长 ，所以②正确；
连接 ，如图，
四边形 为正方形，
，
绕点 逆时针旋转，使 与 重合，得到 ，
， ， ， ，
，
，
，
，
，
在 和 中
，
，
，
，所以④正确．
故答案为①②④．
4．如图，正方形 的边长为 1， 为 上的点， 为 上的点，且 的周长为 2，则
4 5 度．【解答】解：把 绕 顺时针旋转 ，得到 ，如图，
则 在 的延长线上，并且 ， ， ，
的周长为2，
，
而正方形 的边长为1，
，
，
，
，
而 公共，
，
，
．
故答案为：45．5．如图，在正方形 中， ， 为 上一动点， 交 于 ，过 作 交 于点
，过 作 于 ，连接 ，在以下四个结论中：① ，② ，③ 的
周长为12，④ ，其中正确的结论有 ②③ （填写序号）．
【解答】解：①连接 ，延长 交 于点 ，如图，
为正方形 的对角线，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
正方形 ，
，
，
，
， ，
，，
，
在 中， ，
，故①错误；
② ， ，
，故②正确；
③延长 至点 ，使 ，过点 作 ，如图
则四边形 为平行四边形，
，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
， ， 共圆， ，
为直径，，
点 在以 为直径的圆上，
，
，
，
， ，
，
，
．
的周长为12，故③正确；
④连接 交 于 ，则 ，
，
，
，
即 ，
，
又 ，
由①可知 ，
，
，
，
，故④错误．
故答案为②③．6．问题：如图（1），在 中， ， ， ，试探究 、 、 满
足的等量关系．
【探究发现】小聪同学利用图形变换，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，由已知条件
易得 ， ．根据“边角边”，可证
，得 ．在 中，由 定理，可得 ，由 ，可得 、
、 之间的等量关系是 ．
【实践运用】
（1）如图（2），在正方形 中， 的顶点 、 分别在 、 边上，高 与正方形的边长
相等，求 的度数；
（2）在（1）条件下，连接 ，分别交 、 于点 、 ，若 ， ， ，运用
小聪同学探究的结论，求正方形的边长及 的长．
【解答】探究发现：解：如图1中，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ．
， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，，
在 中， ，
又 ， ，
，
故答案分别为 ，勾股， ．
（1）解：如图2中，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
同理可证 ，
，
，
，
．
（2）如图3中，旋转 到 ，
，
由探究发现： ，
，设
， ，
四边形 是正方形，
，
在 中，根据勾股定理得，
或 （舍 ，
，
，
正方形的边长为6；
由（2）知，正方形 的边长为6，
，
由（1）可知 ，
， ，
由探究发现得 ，
设 ，
， ，
，，
解得 ，
．
7．已知，如图1，四边形 是正方形， 、 分别在边 、 上，且 ，我们把这种模
型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
（1）在图1中，连接 ，为了证明结论“ ”，小明将 绕点 顺时针旋转 后解
答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程；
（2）如图2，当 的两边分别与 、 的延长线交于点 、 ，连接 ，试探究线段 、 、
之间的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：
由旋转可得 ， ， ，
四边形 为正方形，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解： ，
证明如下：
如图，把 绕点 逆时针旋转 到 ，交 于点 ，
同（1）可证得 ，
，且 ，
．
8．已知 是等腰直角三角形， ， ，点 是边 上的一个动点（不运动至点 ，
，点 在 所在直线上，连接 ， ，且
（1）若点 是线段 上一点，如图1，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ， ， ，
①求证： ；
②若 ， ，求 的长；
（2）如图2，若 ， ，求 的长．（直接写出答案即可）
【解答】解：（1）① 点 与点 关于直线 的对称，垂直平分 ，
，
，
即 ，
，
，
，
，
在 与 中，
，
；
②由①可得： ，
， ，
，
垂直平分 ，
，
；
（2） 或 ．
理由：如图所示，当点 在 延长线上时，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ， ， ，
根据 ，可得 ，
在等腰直角三角形 中， ，
，
，，
在 中， ，
解得 ；
如图所示，当点 在线段 上时，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ， ， ，
根据 ，可得 ，
，
又 ，
在 中， ，
解得 ．
9．问题背景
如图（1），在四边形 中， ， ， ，以点 为顶点作一个角，角
的两边分别交 ， 于点 ， ，且 ，连接 ，试探究：线段 ， ， 之间的数
量关系．（1）特殊情景
在上述条件下，小明增加条件“当 时”如图（2），小明很快写出了： ， ，
之间的数量关系为 ．
（2）类比猜想
类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段 ， ， 之间的数量关系是否仍然成立？若
成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题
如图（3），在 中， ， ，点 ， 均在边 上，且 ，若
，请直接写出 的长．
【解答】解：（1） ，
如图1，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，
，
，即点 ， ， 共线．
由旋转可得 ， ， ．
，
，
，，
．
又 ，
，
故答案为： ．
（2）成立．
证明：如图2，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
可得 ， ， ， ．
，
，
点 ， ， 在同一直线上．
， ，
，
，
，
又 ，
，
；
（3） ，如图3，将 绕点 顺时针旋转 ，得到△ ，连接 ．
可得 ， ， ， ，
在 中， ，
， ，
，即 ，
．
易证△ ，
，
，即 ，
解得 ．
10．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形 的两顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，点
在原点．现将正方形 绕 点顺时针旋转，当 点第一次落在直线 上时停止旋转，旋转过程中，
边交直线 于点 ， 边交 轴于点 （如图）．
（1）求边 在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当 和 平行时，求正方形 旋转的度数；
（3）试证明在旋转过程中， 的边 上的高为定值；
（4）设 的周长为 ，在旋转过程中， 值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，
请给予证明，并求出 的值．【解答】解：（1）过点 作 轴，垂足为 ，如图1，
点 在直线 上，
．
在 中，
，
．
点第一次落在直线 上时停止旋转，
旋转了 ．
正方形 的边长为2，
．
在旋转过程中所扫过的面积为 ．
（2）如图1，
四边形 是正方形，
， ， ， ．
，
， ．
．
．
．
在 和 中，．
．
．
．
．
旋转过程中，当 和 平行时，正方形 旋转的度数为 ．
（3）证明：过点 作 ，垂足为 ，延长 交 轴于 点，如图2，
则 ， ．
．
在 和 中，
．
．
， ．
在 和 中
．
．
．
， ，
．
在旋转过程中， 的边 上的高为定值．（4）在旋转正方形 的过程中， 值不变化．
证明： （已证），
．
，
．
．
在旋转正方形 的过程中， 值不变化，等于4．
11．（1）如图1，在正方形 中， 是 上一点， 是 延长线上一点，且 ．求证：
；
（2）如图2，在正方形 中， 是 上一点， 是 上一点，如果 ，请你利用（1）
的结论证明： ．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图 3，在直角梯形 中， ， ， ， 是 上一点，且， ， ，求直角梯形 的面积．
【解答】解：（1）在正方形 中，
，
，
；
（2）如图2，
延长 至 ，使 ．连接 ，
由（1）知 ，
，
即 ，
又 ，
，
， ， ，
，；
（3）如图3，
过 作 ，交 延长线于 ，
在直角梯形 中，
，
，
又 ， ，
四边形 为正方形，
，
已知 ，
根据（1）（2）可知， ，
所以 ，即 ，
设 ，则 ，
在 中，
，即 ，
解这个方程，得： ，或 （舍去），
，
所以梯形 的面积为 ．
模型二 对角互补+邻边相等
90°型
已知DC=EC
√2
结论：①BE＋EO＝ OC
②OC平分∠AOB
1
S +S = OC2
③ △COD △COE 2任意角型
特点归纳：由于对角互补这一性质，所以四边形内部的三角形绕某一顶点旋转后，会形
成一个平角，相当于是延长了四边形的一条边。
12．四边形 被对角线 分为等腰直角 和直角 ，其中 和 都是直角，另一条对角
线 的长度为2，求四边形 的面积．
【解答】解：将 绕点 旋转 ，使 与 重合， 到 点，
则有 ，
所以 、 、 在同一直线上，则 是三角形，
又因为 ，
所以 是等腰直角三角形，
在 和 中，
四边形 的面积等于等腰直角三角形 的面积，
所以 ．
13．如图， 为正方形， 为 、 的交点， 为 △， ， ，若
，则正方形的面积为 4 ．
【解答】解：如图，过点 作 于 ，作 交 的延长线于 ，
，
四边形 是矩形，
，
，，
四边形 是正方形，
，
在 和 中，
，
，
，
四边形 是正方形，
设正方形 的边长为 ，则 ，
， ，
， ，
由勾股定理得，得 ，
，
四边形 的面积
四边形 的面积 ，
四边形 的面积 四边形 的面积，即可得： ，
解得 ，
正方形 的面积 ，
故答案为：4
14．问题背景：
如图1：在四边形 中， ， ， ． ， 分别是 ， 上
的点．且 ．探究图中线段 ， ， 之间的数量关系．（1）小王同学探究此问题的方法是：延长 到点 ．使 ．连接 ，先证明 ，
再证明 ，可得出结论，他的结论应是 ；（并写出证明过程）
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形 中， ， ． ， 分别是 ， 上的点，且
，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【解答】解：（1） ．
证明如下：如图1，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，；
故答案为 ；
（2）结论 仍然成立．
理由如下：延长 到点 使 ，连接 ，如图2，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．15．如图， 中， ，以斜边 为边向外作正方形 ，且正方形对角线交于点 ，连
接 ，已知 ， ，则另一直角边 的长为 7 ．
【解答】解法一：如图1所示，过 作 ，过 作 ，
四边形 为正方形，
， ，
，
又 ， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
又 ，
四边形 为矩形，
， ，，
为等腰直角三角形，
，
根据勾股定理得： ，
解得： ，
，
则 ．
故答案为：7．
解法二：如图2所示，
过点 作 ，交 的延长线于点 ；过点 作 于点 ．
易证 ， ， ．
点在 的平分线上，
为等腰直角三角形．
，
．
，
．
故答案为：7．16．已知 ， 平分 ．
（1）在图1中，若 ， ，求证： ；
（2）在图2中，若 ， ，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请
给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图3中：① ， ，则 ；
②若 ， ，则 （用含 的三角函数表
示），并给出证明．
【解答】（1）证明： 平分 ， ，
，
，
，
，
．
（2）解：成立．
证法一：如图，过点 分别作 ， 的垂线，垂足分别为 ， ，
平分 ，
，
， ，
，，
，
，
，由（1）知 ，
，
证法二：如图，在 上截取 ，连接 ，
， ， ， ，
， ，
，
，
，
；
（3）证明：由（2）知， ， ，
在 中， ，
即 ，
，
．
把 ，代入得 ．
17．如图， ， 的平分线 上有一点 ， ，将一个直角三角板 角的顶点与
重合，它的两条边分别与 ， （或它们的反向延长线）相交于点 ， ．（1）当三角板绕点 旋转到 与 垂直时（如图 ，求证： ．
（2）当三角板绕点 旋转到 与 不垂直时：
①在图2这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段 ， 之间又有怎
样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
②在图3这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 ， 之间又有怎
样的数量关系？请直接写出你的猜想，并给予证明．
【解答】（1）证明：如图1中， 是 的角平分线，
．
，
．
．
．
在 中， ，
同理： ．
．
（2）①（1）中结论仍然成立，理由：
如图2，过点 作 于 ， 于 ，
．
，
．
同（1）的方法得， ， ．．
， ，且点 是 的平分线 上一点，
．
， ，
．
，
．
， ．
．
．
②（1）中结论不成立，结论为： ．
理由：过点 作 于 ， 于 ，
，
，
．
同（1）的方法得， ， ，
．
， ，且点 是 的平分线 上一点，
．
， ，
．
．
．
， ．
．
．题型三 【60°、90°角旋转模型】
① 遇等边三角形旋60度，造等边三角形
如图，无论P点在等边△ABC内部还是外部，把△CBP绕点C旋转60°，使CB与CA重
合，可知△PCP’为等边三角形
总结：点P绕△ABC的任意一个顶点旋转60°时，旋转后的对应点为P’点、P和与旋转中心构
成等边三角形。
②遇等腰直角三角形旋90度，造等腰直角三角形
如图，P为等腰RT ABC平面上一点，将△ABP绕点A逆时针旋转90°，则△CPP′为等腰
√2
RT ，△CPP′实质上是△由BP，PC和 AP构成。
△
特别地，我们可以把等腰直角三角形看作是正方形的一半，因此正方形中的旋转可以按
等直角三角形来处理，如下图。
18．如图甲，在等边三角形 内有一点 ，且 ， ， ，求 的度数和等边三
角形 的边长．（1）李明同学作了如图乙的辅助线，将 绕点 逆时针旋转 ，如图乙所示，连接 ，可说明
是直角三角形从而问题得到解决．请你说明其中理由并完成问题解答．
（2）如图丙，在正方形 内有一点 ，且 ， ， ：类比第一小题的方法求
的度数，并直接写出正方形 的面积．
【解答】解：（1） 是等边三角形，
，
将 绕点 逆时针旋转 ，如图乙所示，连接 ，
， ， ，
由旋转得： ，
是等边三角形，
， ，
， ，
，
，
，
过点 作 ，交 的延长线于点 ，
， ，
由勾股定理得： ，
，由勾股定理得： ；
（2）将 绕点 逆时针旋转 得到 ，如图丙，
与（1）类似：可得： ， ， ，
，
，
由勾股定理得： ，
， ， ，
，
，
，
过点 作 ，交 的延长线于点 ；
，
，
；
在 中，由勾股定理，得 ，
正方形 的面积为5．
答： 的度数是 ，正方形 的面积为5．19．如图，在等边 中，点 ， 在 上， ， ， ，则 的长为
．
【解答】解：如图，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，过点 作 ，交
的延长线于 ，
， ，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，，
，
，
，
， ，
，
，
故答案为 ．
20． 、 是等腰 斜边 所在直线上的两点，满足 ，求证： ．
【解答】证明： ， ， ，
将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，
则 ， ， ， ， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
．21．如图，已知 为等边 内的一点，且 ， ， ，将线段 绕点 按逆时针方向
旋转 至 的位置．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
【解答】（1）证明： ， ， 是等边三角形，
， ，
，
，
在 和 中，
，
；（2）解： ，
，
， ，
是等边三角形，
， ，
在 中， ，
是直角三角形，
，
．
22．如图， 是正 内一点， ， ， ，将线段 以点 为旋转中心逆时针旋转
得到线段 ，下列结论：①△ 可以由 绕点 逆时针旋转 得到；②点 与 的距离
为4；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的结论是 ①②③⑤
．
【解答】解：由题意可知， ， ，
又 ， ，
△ ，又 ，
△ 可以由 绕点 逆时针旋转 得到，故结论①正确；
如图①，连接 ，
，且 ，
是等边三角形，
．
故结论②正确；
△ ， ．
在 中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
是直角三角形， ，
，
故结论③正确；
四边形 ，
故结论④错误；
如图②所示，将 绕点 逆时针旋转 ，使得 与 重合，点 旋转至 点．
易知 是边长为3的等边三角形， 是边长为3、4、5的直角三角形，
则 ，
故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．23．已知：如图，四边形 中， ， ， ．
（1）连接 ， 的形状是 等边三角形 ；
（2）求证： ．
【解答】解：（1）如图，连接 ．
， ，
是等边三角形；
故答案是：等边三角形；
（2）如图，以 为边向形外作等边 ，连接 ．
由（1）知， 是等边三角形，
则 ， ， ，
在 与 ，
，
，
，
，
在 中，有 ，即 ．24．如图，点 是正方形 内一点，点 到点 ， 和 的距离分别为1， ， ，延长 与
相交于点 ，则 的长为 ．
【解答】解：作 垂足为 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ．
四边形 为正方形，
， ，
绕点 顺时针旋转后得到 ，
， ，
，
，
， ，
，，
， ，
，
，
，
在 中， .
25．如图， 是正 内一点， ， ， ，将线段 以点 为旋转中心逆时针旋转
得到线段 ，下列结论：
①△ 可以由 绕点 逆时针旋转 得到；
②点 与 的距离为4；
③ ；
④ ；
⑤ ．
其中正确的结论是 ①②③⑤ ．
【解答】解；连接 ，如图1，
， ，
是等边三角形，
，故②正确；
，
且 ， ，
，故①正确；
，
，
，
，
故③正确；
△ 是等边三角形， ， ，
， ，
，
故④错误；
如图2，
将 绕 点顺时针旋转 到 位置，
同理可得 ，
故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
26．如图，在 中， ， 、 是斜边 上两点，且 ，将 绕点 顺时
针旋转 后，得到 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④
，其中正确的个数有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：在 中， ，
，
将 绕点 顺时针旋转 后，得到 ，
，
， ， ，
， ，
，
，故①正确；
即 ，
在 和 中
，
，
，
即 平分 ，故③正确；
，
将 绕点 顺时针旋转 后，得到 ，
， ，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
， ，
，故④正确；与 不一定相等，
与 不一定全等，不能推出 ，故②错误；
故选： ．
27．如图， 是等边三角形 内一点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．若
， ， ，则四边形 的面积为 ．
【解答】解：连接 ，如图，
为等边三角形，
， ，
线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
， ，
为等边三角形，
，
， ，
，且 ，
，
，
在 中， ， ， ，
，
为直角三角形， ，
，
故答案为： ．28．如图， 是正 内一点， ， ， ，将线段 以点 为旋转中心逆时针旋转
得到线段 ，下列结论：①△ 可以由 绕点 逆时针旋转 得到； ②点 与 的距离
为6； ③ ； ④ ； ⑤ ．其中正确的结论是 ①③④
（填序号）．
【解答】解：在△ 和 中， ，
△ ．
，
△ 可以由 绕点 逆时针旋转 得到，①正确；
如图1，连接 ，根据旋转的性质可知 是等边三角形，
点 与 的距离为8，②错误；
在 中， ， ， ，
是直角三角形， ．
面积为 ，
又等边 面积为 ，
四边形 的面积为 ，⑤错误；
，③正确；过 作 交 的延长线于 ，
，
，
，
，
，
，故④正确，
故答案为①③④．
29．如图，在 中， ， ， ，将线段 绕着点 逆时针旋转 得到 ，
连接 ， ，则 的面积为 ．
【解答】解：延长 至 ，使 ，连接 ，如图，
，
为等边三角形．
绕着点 逆时针旋转 得到 ，
为等边三角形，
， ，，
即 ．
在 和 中，
，
．
，
过点 作 于点 ，
， ，
，
．
故答案为： ．
30．如图，已知 中， 是斜边 的中点， 、 分别在 、 上，且 ， ，
．求：线段 的长．【解答】解： 是斜边 的中点，
把 绕 点旋转 得 ，连 ，如图，
， ， ，
而 为 △，
，
，
而 ，
，
又 ，而 ，
为等腰三角形，
．
31．平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以
达到解决问题的目的．
（1）探究发现：如图1， 是等边 内一点， ， ， ．求 的度数．
解：将 绕点 旋转到△ 的位置，连接 ，则 是 等边 三角形．
， ， ，
为 三角形． 的度数为 ．
（2）类比延伸：如图2，在正方形 内部有一点 ．连接 、 、 ，若 ， ，
，求 的长；（3）拓展迁移：如图3，若点 是正方形 外一点， ， ， ，求 的度数．
【解答】解：将 绕点 旋转到 的位置，连接 ，则 是等边三角形，
， ， ，
，
为直角三角形，
的度数 ，
故答案为：等边；直角； ；
（2）如图1，把 绕点 顺时针旋转 得到 ，
则 ， ，
旋转角是 ，
，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
，在 △ 中，由勾股定理得， ；
（3）将 绕点 逆时针旋转 ，得到△ ，连接 ，
，
， ， ，
在 中， ，
，根据勾股定理得， ，
，
，
，
，
是直角三角形，且 ，
．
32．如图，点 是等边 外一点， ， ，
（1）将 绕点 逆时针旋转 得到△ ，画出旋转后的图形；
（2）在（1）的图形中，求 的度数．【解答】解：（1）将 绕点 逆时针旋转 得到△ ，如图所示，
（2） △ 是由 旋转所得，
△ ，
， ， ，
是等边三角形，
， ，
， ， ，
，
．
33．如图，点 是等边三角形 内的一点， ， ， ，则
， 长为 ．【解答】解：将 绕点 旋转 得到 ，过点 作 于点 ，
， ， ，
是等边三角形，
， ，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
，，
，
，
，
．
故答案为： ， ．
34．问题背景：如图①设 是等边 内一点， ， ， ，求 的度数．小君研
究这个问题的思路是：将 绕点 逆时针旋转 得到 ，易证：
是等边三角形， 是直角三角形，所以 ．
简单应用：（1）如图2，在等腰直角 中， ． 为 内一点，且 ， ，
，则 13 5
（2）如图3，在等边 中， 为 内一点，且 ， ， ，则 ．
拓展延伸：①如图4， ， ．求证： ．
②若图4中的等腰直角 与 在同侧如图5，若 ， ，请直接写出 的长．
【解答】解：简单应用：（1）如图2，是等腰直角三角形，
， ，将
绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，
， ， ，
，
根据勾股定理得， ，
， ， ，
是以 为斜边的直角三角形，
，
，
故答案为：135；
（2）如图3，
是等边三角形，
， ，
将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，
， ， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
根据勾股定理得， ，
，
故答案为：13；
拓展延伸：①如图4，
在 中， ， ，
将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
， ， ，
，
，，
点 在 的延长线上，
，
在 中， ，
；
②如图5，
在 中， ， ，
将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
， ， ， ，
与 的交点记作 ，
，
，
，
，
，
点 在 的延长线上，
，
在 中， ．35． 、 是四边形 的两条对角线， 是等边三角形， ，设 ， ，
，则 的最大值为 ．
【解答】解：如图，过点 作 于点 ，使 ，连接 ， ，
，
，
，
是等边三角形，
， ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
，
在 中，，
，
，
，
以 ， ，4为边的三角形是直角三角形， ， 是直角边，
，
易知当 时，三角形的面积最大，此时 ，
，
的最大值为32，
的最大值为 ．
36．在正方形 的边 上任取一点 ，作 交 于点 ，取 的中点 ，连接 、
．
（1）如图1，则线段 和 有怎样的数量关系和位置关系？
（2）如图2，将 绕点 逆时针旋转 ，如图3，将 绕点 逆时针旋转 ，则（1）中的结论还成立吗？如果成立请选择三图中任一图加以证明；如果不成立，请说明理由．
【解答】（1） ，且 ．
证明：过 于点 ，延长 交 于点 ，作 于点 ．
则四边形 是正方形，四边形 是矩形，
， ，
，
，
， 是 的中点，
，
，
在 和 中，
，
，
， ， ，
，
，
；
（2）成立．
证明：图2中，作 ，
则 ，
又 是 的中点，
，
则 是 的中垂线，
，
，
，
是 的中点， ，则 ，
，
是等腰直角三角形，
，且 ；
图3中，延长 交 延长线于 ，连 ．
， ， ，
四边形 是矩形．
， ，
由图（2）可知，
平分 ， ，
，
又 ，
为等腰直角三角形
， ．
．
，
．
， ，
．
，
，
即 ，
又 ，
，
．
在 和 中，
，．
， ．
， ， ，
，
，
，
即 ，
．
