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专题 08 期末复习专题：解答题压轴题
目录
【考点一 等腰三角形之压轴题】............................................................................................................................1
【考点二 不等式与分式方程之压轴题】..............................................................................................................23
【考点三 平行四边形之压轴题】..........................................................................................................................40
【考点一 等腰三角形之压轴题】
1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图1，在等边 中，点 ， 分别是 ， 上的点，
， 与 交于点 .
(1)求证： ；
(2)如图2，以 为边作等边 ， 与 相等吗？并说明理由；
(3)如图3，若点 是 的中点，连接 ， ，判断 与 有什么数量关系？并说明理由.
2．（24-25八年级上·全国·假期作业）【基础巩固】（1）如图1，在 与 中， ，
， ，求证： ；
【尝试应用】（2）如图2，在 与 中， ， ， ，B、D、
E三点在一条直线上， 与 交于点F，若点F为 中点，
①求 的大小；
② ，求 的面积；
【拓展提高】（3）如图3， 与 中， ， ， ， 与 交
于点F， ， ， 的面积为18，求 的长．3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究
图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔
的数学天地．
【发现问题】
（1）如图1，在 和 中， ， ， ，连接 、 ，延长
BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系为：_____， ______；
【类比探究】
（2）如图2，在 和 中， ，连接 ，延长
， 相交于点D．请猜想 与 的数量关系及 的度数，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在 和 中， ，连接 ，当 ，
E， 三点刚好在同一直线上时，请直接写出 的度数．
4．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在 中， ， ，点P从点B出
发沿 移动，运动到C时停止，点Q在 边上随P移动，且始终保持 ．
(1)在 中， ， ；
(2)点P在边 上运动，
①当 时， ， ；
②当 时，判断 与 的数量关系，并说明理由；③当 为等腰三角形时，直接写出 的长．
5．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在 中， ， ，点 是边 上一动点，过点
作 ，点 与点 关于直线 对称，连接 ， ．
(1)如图①，连接 ，若 ， ，
①求证 是等边三角形；
②线段 的最小值为__________．
(2)如图②，取 中点 ，连接 ， ．求证 ．
6．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在 中， ， ，点 为 上一点，点 为
上一点，线段 ， 交于点 ．
(1)若 为 的角平分线．
①如图 ，已知 ，求证： ；
②如图 ，已知 ，求证： ；
(2)如图 ，若 为 的中线，且 ， ， ，求 的长．
7．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，在 中， ， ，线段
与边 垂直且相等，过点 作 ，垂足为点 ．
(1)如图1，求证： ；(2)如图2， 的平分线交 的延长线于点 ，连接 并延长，交 的延长线于点 ，请判断
与 的数量关系，并证明；
(3)如图3，在（2）的条件下，将 沿 折叠，在 的变化过程中，当点 的对应点与点 重合时，
连接 ．
①求证： ；
②若 ， ，请直接写出 的长．
8．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）请认真完成下列数学活动．
【例题再现】
（1）如图1， 是等边三角形， ，分别交 ， 于点 ．
求证： 是等边三角形；
【探究延伸】
（2）如图2， 和 为等边三角形，点 在同一直线上，连接 ．
①求 的度数；
②试探究线段 与 之间的数量关系，并说明理由．
【类比探究】
（3）如图3， 和 为等腰直角三角形，且 ，点 在同一直线上，
于点 ，连接 ．则 的度数为 ；线段 与 之间的数量关系为 ．（直接写出答
案，不需要说明理由）
9．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】
已知等边 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ．
【问题探究】
（1）如图 ，点 为 内部一点，连接 、 、 ，满足 ， 为 延长线上一点，
且 ，连接 ，求证：
① ；
② 是等边三角形；
【拓展延伸】
（2）如图2，在（1）的条件下，点 是 中点，连接 并延长交 于点 ，连接 ，若 ，
， ，求 的长度．（用含 、 的式子表示）10．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）【问题背景】
在 中， ， ，点 是 内一点，连接 ，直线 交边 于点 ，
，垂足为 ，点 在直线 上，且 ，连接 ， ， ．
【问题初探】
（1）如图1，判断 的形状，并说明理由；
【问题拓展】
（2）如图2，当 时，直线 交线段 于点 ，求证：点 为线段 的中点；
【问题提升】
（3）当 ， ， 三点共线，点 ， 重合，点 恰好是 的中点时，若 ，请直接写出
的面积．
【考点二 不等式与分式方程之压轴题】
11．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则
称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程 的解为 ，而不等式组
的解集为 ，可以发现 在 的范围内，所以方程 是不等式组 的“相伴方
程”．问题解决：
(1)在方程① ，② 中，不等式组 的“相伴方程”是___________（填序号）；
(2)若关于 的方程 是不等式组 的“相伴方程”，求 的取值范围；
(3)若方程 ， 都是关于 的不等式组 的“相伴方程”，试求 的取值范围．
12．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）定义：若三个代数式满足以下条件，则称这三个代数式构成“和谐
不等式”．
①只要其中存在两个代数式的和大于第三个代数式；
②满足上述条件的不等式的解集为大于2的实数．
例如：若三个代数式 、 和 构成关于 的不等式满足 且解集为 ，则称 ， 和 构成
“和谐不等式”．
(1)判断代数式 ， ， 是否构成“和谐不等式”？请说明理由．
(2)若 ， ， 构成“和谐不等式”，则 ______；
(3)若 ， ， 构成“和谐不等式”，求关于 的一元一次不等式组 的
解集．
13．（23-24七年级下·福建泉州·期末）对x，y定义一种新运算，规定： （其中a，b均为
非零常数）．例如： ．
(1)已知 ， ．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组 恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围；
(2)若不论m，n取何值时， 的值都是一个定值，请求出该定值．
14．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）定义：若m，n都是不为0的实数，且满足 ，则称点
为“爱心点”．
(1)①在点 ， ， 中，是“爱心点”的有______（填字母）；
②若点 是“爱心点”．则a，b满足的关系式为______；
(2)若 是“爱心点”，且s，t分别是不等式组 的最大整数解和最小整数解，求k的取值
范围；
(3)已知p，q为有理数，且以关于x，y的方程组 的解为坐标的点 是“爱心点”，
求 的平方根．
15．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子
比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有
一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如： 、 这样的分式就是假分式；如： 、 这样
的分式就是真分式，假分数 可以化成 （即 ）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式
（即整式与真分式相加）．
如： ； ．
根据上面材料回答下列问题：
(1)分式 是______；（填“真分式”或“假分式”）
(2)假分式 可化为带分式形式______；如果分式 的值为整数，则满足条件的整数x是______；
(3)将假分式 化为带分式．
16．（24-25八年级上·福建厦门·期末）新定义：如果两个实数 、b使得关于x的分式方程
的解是 成立，那么我们就把实数a，b组成的数对 称为关于x的分式方程 的一个“友
好数对”．
例如： ， 使得关于x的分式方程 的解是 成立，所以数对 就是关
于x的分式方程 的一个“友好数对”．
(1)判断下列数对是否为关于x的分式方程 的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，
打“×”．
① （ ）；
② （ ）．
(2)请判断数对 是否有可能是关于x的分式方程 的“友好数对”，如果可能，请求出此时的
n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由．
(3)若数对 是关于x的分式方程 的“友好数对”， ，
，试比较M、N的大小．
17．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为
“n阶分式”，例如：分式 ，所以分式 与 互为“3阶分式”．(1)分式 与_______互为“4阶分式”；
(2)设正数x，y互为倒数，求证：分式 与 互为“2阶分式”；
(3)若分式 与 互为“1阶分式”（其中a，b为正数），求 的值．
18．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一
般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想
阀门发现新问题、新结论的重要方法．
请观察以下等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
第5个等式： ；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第7个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明；
(3)应用运算规律，计算： ．
19．（24-25八年级上·福建福州·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；
…
(1)根据上面的规律，猜想方程 的解是 ；
(2)利用材料提供的方法解关于x的方程： ；(3)已知 ，利用材料提供的方法解关于x的方程： .（结果保留a）
20．（23-24八年级上·江苏南通·期末）［核心素养］【阅读材料】若分式 与分式 的差等于它们的积，
即 ，则称分式 是分式 的“关联分式”．
例如 与 ．
解： ，
，
是 的“关联分式”．
【解决问题】
（1）已知分式 ，则 ___________ 的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
（2）小明在求分式 的“关联分式”时，用了以下方法．
解：设分式 的“关联分式”为 ，
则 ，
，
．
请你仿照小明的方法求分式 的“关联分式”；
【拓展延伸】
（3）①观察（1）和（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“关联分式”___________；
②用发现的规律解决问题：若 是 的“关联分式”，求实数 ， 的值．
【考点三 平行四边形之压轴题】
21．（24-25八年级上·山东淄博·期末）【问题初探】
（1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形 中， ，且 ，点E是 的中点，点F为对角线 上的点，且 ，连接线段 ，若 ，求 的长．
小鹏同学考虑到点E是 的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以
想到连接 ，与 交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题．
【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答．
（2）如图2，在 中， 平分 ，过点A作 延长线的垂线，垂足为点D， ，求证：
．
【学以致用】
（3）如图3，在 中， ，点D在 上， ，点E，F分别是 ， 的中点，连接
并延长，与 的延长线交于点G，连接 ，若 ，求证： ．
22．（24-25九年级上·湖北·期末）【提出问题】
如图1，在 中， 于点E， 于点F．求证： ；
【问题探究】
如图2，在四边形 中， ，G是 的中点，P是 上的一点，连接 ， ．若 ，
．求证： ；
【拓展延伸】
如图3，在四边形 中， ，P是边 上的一点，连接 ， ．若 ，
， ， ， ，直接写出PD的长为 ．
23．（24-25八年级上·海南海口·期末）在四边形 中， ，对角线 交于点O，且
．点E、F分别为 边上的动点，连结 ．(1)如图1，
①求证： ；
②求证：四边形 为平行四边形；
③ 恰好经过点O，当 时，如图2，连接 ，若 ， ，求 的度数．
(2)平移 ，当点E与点A重合时，如图3， 将 沿 折叠得到 ，当点 恰好落在线段
上时，过点D作 ，交 延长线于点G，其中 ， ， ，求线段 的长．
24．（2018·湖北随州·一模）定义：如图1，在 中，把 绕点A顺时针旋转α（ ）得到
，把 绕点A逆时针旋转β得到 ，连接 ．当 时，我们称 是 的
“旋补三角形”，边 上的中线 叫做 的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，是 的“旋补三角形”， 是 的“旋补中线”．
①如图2，当 为等边三角形时， 与 的数量关系 ；
②如图3，当 时，则 长为 ．
猜想论证：
（2）在图1中，当 为任意三角形时，猜想 与 的数量关系，并给予证明．
25．（23-24八年级上·重庆渝北·期末）如图，等腰三角形 中， ，D为 边上一点，E为射
线 上一点，连 ．(1)如图1，点F在线段 上，连 、 ．若 ， 为等边三角形， ， ，求
的长；
(2)如图2，F为线段 的垂直平分线上一点，连接 、 、 ，M为 的中点，连接 、 ．若
，求证： ；
(3)如图3， ，D为 中点，F为 中点， 与 交于点G，将 沿射线 方向平移得
，连接 、 ．若 ，直接写出 的最小值．
26．（23-24八年级下·广东深圳·期末）在平行四边形 中， 于E， 于F，H为
上一动点，连接 ， 交 于G，且 ．
(1)如图1，若 ，求 、 的长；
(2)如图2，当 时，求证： ；
(3)如图3，若 ，点H是直线 上任一点，将线段 绕C点逆时针旋转 ，得到线段 ，请
直接写出 的最小值______．
27．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图1， 中， ， ， ，E为 边上
的一个动点，连接 ，过点E作 交 于点F，把 沿着 翻折得 ，连接 ．
(1)证明： ；
(2)当 时，求折痕 的长；
(3)当 为等腰三角形时，求 的长．28．（22-23八年级下·四川成都·期末）在平行四边形 中， ，将 沿对角线
翻折，点B的对应点为点E，线段 与边 交于点F．
(1) ，求 的度数；
(2)若 是以 为腰的等腰三角形，求线段 的长；
(3)如图2，连接 的延长线交 于点N， 的延长线交 于点M，当点M到 的距离最小值时，
求出此时 的面积．
29．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在 中，对角线 与 相交于点O， ，
点E，F，G分别为 ， ， 的中点，连结 ， ， ， ， 交 于点 M．
(1)求证： ．
(2)求证：四边形 为平行四边形．
(3)如图2，当 为矩形时，若 ，求四边形 的面积．
30．（23-24八年级下·广西南宁·期末）【探究与证明】
折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究．同学们以“平行四边形纸片的折叠”
为主题开展数学活动．
在平行四边形纸片 中，点E为 边上任意一点，将 沿 折叠，点B的对应点为 ．
(1)如图1，若点 恰好落在边 上时， 四边形 的形状是 ．
(2)如图2，若点 三点在同一条直线上时，求证： ；(3)如图3，若 时，连接 ，并延长交 于点F．若平行四边形纸片 的面积为24，
，求线段 的长．
