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专题 08 期末复习专题：解答题压轴题
目录
【考点一 等腰三角形之压轴题】............................................................................................................................1
【考点二 不等式与分式方程之压轴题】..............................................................................................................23
【考点三 平行四边形之压轴题】..........................................................................................................................40
【考点一 等腰三角形之压轴题】
1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图1，在等边 中，点 ， 分别是 ， 上的点，
， 与 交于点 .
(1)求证： ；
(2)如图2，以 为边作等边 ， 与 相等吗？并说明理由；
(3)如图3，若点 是 的中点，连接 ， ，判断 与 有什么数量关系？并说明理由.
【答案】(1)见解析
(2)相等，理由见解析
(3) ，理由见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、
等边三角形的性质
【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）根据等边三角形的性质，由 即可证明；
（2）结论： ，证明 ，可得结论．
（3）证明 ，推出 ，可得结论．
【详解】（1）证明：如图1中，∵ 是等边三角形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：相等．
理由：如图2中，
∵ 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图3中，结论： ．
理由：延长 到R，使得 ，连接 ．∵等边 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
2．（24-25八年级上·全国·假期作业）【基础巩固】（1）如图1，在 与 中， ，， ，求证： ；
【尝试应用】（2）如图2，在 与 中， ， ， ，B、D、
E三点在一条直线上， 与 交于点F，若点F为 中点，
①求 的大小；
② ，求 的面积；
【拓展提高】（3）如图3， 与 中， ， ， ， 与 交
于点F， ， ， 的面积为18，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）① ；②2；（3）6
【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）由 证 即可；
（2）①同（1）得 ，得 ，即可得出结论；
②过点A作 于点G，证 ，得 ， ，再由等腰直角三角形
的性质得 ，则 ，然后由三角形面积关系即可得出结论；
（3）连接 ，同（2）得 ，则 ， ，得 ，再证
，得 ， ，然后证 ，得 ，进而由
，得 ，则 ，即可得出结论．
【详解】解：（1） ，
，
即 ，
在 和 中，
，
；
（2）① ， ，
，
，
同（1）得： ，，
；
②如图2，过点A作 于点G，
则 ，
由①可知， ，
，
点F为 中点，
，
又 ，
，
， ，
， ，
，
，
；
（3）解：如图3，连接 ，
同（2）得： ，
， ，
，
在 和 中，
，
，，
，
∴ ，
，
，
，
，
，
，
负值舍去，
即 的长为6．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判
定与性质，三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题
的关键，属于中考常考题型．
3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究
图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔
的数学天地．
【发现问题】
（1）如图1，在 和 中， ， ， ，连接 、 ，延长
BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系为：_____， ______；
【类比探究】
（2）如图2，在 和 中， ，连接 ，延长
， 相交于点D．请猜想 与 的数量关系及 的度数，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在 和 中， ，连接 ，当 ，
E， 三点刚好在同一直线上时，请直接写出 的度数．
【答案】（1） ； ；（2） ； ．理由见解析；（3）【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用相关知识
成为解题的关键．
（1）设 交 于点G，由 可得 ，而 、
，即可根据“ ”证明 ，所以 ， ，则
即可解答；
（2）根据等腰三角形的性质，利用 证明 可得 ，然后再根据等
腰三角形的性质即可解答；
（3）根据等腰直角三角形的性质，利用 证明 可得 ，则
，因为 ， ，即可作答．
【详解】解：（1）如图1，设 交 于点G，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ，30．
（2） ，理由如下：
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）如图3所示：
∵ 和 都是等腰三角形，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴ ．
4．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在 中， ， ，点P从点B出
发沿 移动，运动到C时停止，点Q在 边上随P移动，且始终保持 ．
(1)在 中， ， ；
(2)点P在边 上运动，
①当 时， ， ；
②当 时，判断 与 的数量关系，并说明理由；
③当 为等腰三角形时，直接写出 的长．
【答案】(1) ，45(2)①15，60；② ，理由见解析；③ 或3
【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质及分类等知识，解决问题的关键
是分类讨论．
（1）根据勾股定理求得 ，根据“等角对等边”得出 的值；
（2）①根据 ， ， 得出
，进一步得出结果；
②可证得 ，从而得出 ；
③分三种情形讨论：当 时，可推出 ，从而得出 ，
，进一步得出结果；当 时，可得出 ，进一步得出结果；
当 时，点Q和点C重合，点P和B点重合，故此种情况不存在．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
故答案为： ，45；
（2）解：①∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为：15，60；
② ，理由如下：
由①知， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
③分以下三种情况：
如图，
当 时，
由②知， ， ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
如图，
当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，
，
∴ ， ，
∴点Q和点C重合，点P和B点重合，故此种情况不存在，
综上所述： 或3．
5．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在 中， ， ，点 是边 上一动点，过点
作 ，点 与点 关于直线 对称，连接 ， ．
(1)如图①，连接 ，若 ， ，
①求证 是等边三角形；
②线段 的最小值为__________．
(2)如图②，取 中点 ，连接 ， ．求证 ．
【答案】(1)①见解析；②
(2)见解析
【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、全等的性质和
SAS综合（SAS）【分析】（1）①设直线l与 交于点M，根据平行线的性质及轴对称的性质即可得证；②当 时，
最小，利用等边三角形的性质及勾股定理即可解答；
（2）延长 至点G，使得 ，连接 ，证明 ，
，利 用线段垂直平分线的判定定理即可得证．
【详解】（1）证明：①设直线l与 交于点M，如图：
∵ ， ，
∴ ，
∵点E与点C关于直线l对称，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
②解：∵ 是等边三角形
∴
当 时， 最小，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图：延长 至点G，使得 ，连接 ，
∵F是 中点，
∴ 且 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，点E与点C关于直线l对称，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∵ 且F是 中点，
∵ ．
【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，
线段垂直平分线的判定， 掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键．
6．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在 中， ， ，点 为 上一点，点 为
上一点，线段 ， 交于点 ．
(1)若 为 的角平分线．
①如图 ，已知 ，求证： ；
②如图 ，已知 ，求证： ；
(2)如图 ，若 为 的中线，且 ， ， ，求 的长．
【答案】(1) 见详解； 见详解；
(2) ① ②
【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）、利用二次根式的性质化简
【分析】（1）①由角平分线的定义可得∶ 由等边对等角和对顶角相等即可解答；
②先根据三角形的内角和定理可得 ，则 ，由等腰三角形的性质和线段垂直平分线
的性质即可得结论；
（2）如图3中，作 交 的延长线于H，证明 和 ，即
可解答∶
【详解】（1）证明∶①∵ 为 的角平分线∴ ，
∵ ，
∴
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ；
（2）解：如下图3：作 交 的延长线于H，
∵ 是中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ，
∴
【点睛】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性
质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三
角形解决问题．
7．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，在 中， ， ，线段
与边 垂直且相等，过点 作 ，垂足为点 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2， 的平分线交 的延长线于点 ，连接 并延长，交 的延长线于点 ，请判断
与 的数量关系，并证明；
(3)如图3，在（2）的条件下，将 沿 折叠，在 的变化过程中，当点 的对应点与点 重合时，
连接 ．
①求证： ；
②若 ， ，请直接写出 的长．
【答案】(1)见详解
(2) ，证明见详解
(3)①见详解；②5
【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题
【分析】（1）可证得 ，从而 ，进而证得
；
（2）可证得 ，从而得 ，进而证得 ，从而得出
；
（3）①由折叠得 ，可证得 ，从而，从而得出 ，进而得出 ；
②根据 得出 ，根据折叠得出 ， 勾股定理求出
，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：∵ ，
，
，
，
，
∵ ，
，
，
．
（2）解： ，理由如下：
∵ 是 的平分线，
，
由（1）知， ，
，
，
，
，
，
．
（3）①证明：∵ 沿 折叠，点 落在点 ，
，
，
，
，
，
，
．
②解：∵ ，
，
由①知，点 是 的中点，，
根据折叠可得 ，
，
．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，
解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
8．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）请认真完成下列数学活动．
【例题再现】
（1）如图1， 是等边三角形， ，分别交 ， 于点 ．
求证： 是等边三角形；
【探究延伸】
（2）如图2， 和 为等边三角形，点 在同一直线上，连接 ．
①求 的度数；
②试探究线段 与 之间的数量关系，并说明理由．
【类比探究】
（3）如图3， 和 为等腰直角三角形，且 ，点 在同一直线上，
于点 ，连接 ．则 的度数为 ；线段 与 之间的数量关系为 ．（直接写出答
案，不需要说明理由）
【答案】（1）见解析；
（2）① ；② ，理由见解析；
（3） ；
【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角
形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质解题的关键．
（1）根据 为等边三角形得到 ，根据平行线的性质得出
，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得出 ， ， ，得到 ，
证明 ，得到 ，即可得到答案；
②根据全等三角形的性质，等边三角形的性质以及线段的和差即可得到答案；
（3）由 可证 ，得到 ， ，根据等腰直角三角形的性质即
可求解．
【详解】（1）证明： 是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解：① 和 为等边三角形，
， ， ，
，
，
，
，
；
② ，理由如下：
，
，
为等边三角形，
，
；
（3） 和 为等腰直角三角形，且 ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，，
.
9．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】
已知等边 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ．
【问题探究】
（1）如图 ，点 为 内部一点，连接 、 、 ，满足 ， 为 延长线上一点，
且 ，连接 ，求证：
① ；
② 是等边三角形；
【拓展延伸】
（2）如图2，在（1）的条件下，点 是 中点，连接 并延长交 于点 ，连接 ，若 ，
， ，求 的长度．（用含 、 的式子表示）
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）
【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等
边三角形的判定和性质
【分析】（1）①根据等边三角形的性质及三角形的内角和即可得证；②证明 ，得
， ，即可得证；
（2）延长 至 ，使 ，连接 ，证明 ，得 ， ，
证明 ，得 ，即可得出结论；
【详解】（1）证明：①∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在四边形 中，
，
即 ；
②∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
（2）解：如图，延长 至 ，使 ，连接 ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
由（1）得： 是等边三角形，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 的长度为 ．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，平行线的判
定和性质，中点的定义等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）【问题背景】
在 中， ， ，点 是 内一点，连接 ，直线 交边 于点 ，
，垂足为 ，点 在直线 上，且 ，连接 ， ， ．
【问题初探】
（1）如图1，判断 的形状，并说明理由；
【问题拓展】
（2）如图2，当 时，直线 交线段 于点 ，求证：点 为线段 的中点；
【问题提升】
（3）当 ， ， 三点共线，点 ， 重合，点 恰好是 的中点时，若 ，请直接写出
的面积．
【答案】（1） 是等腰直角三角形，证明见解析；（2）见解析；（3）6
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、对顶角相等、线段中点的有关计算
【分析】（1）结合对顶角相等和三角形内角和定理得到 ，进而证明 ，利用
全等三角形性质即可得到 的形状；
（2）过点 作 ，交直线 于点 ，结合等腰三角形性质和全等三角形性质证明
，再次结合全等三角形性质求解，即可解题；
（3）过点 作 ，垂足为点 ，证明 ，得到 ，由（1）中
，利用全等三角形性质和等腰三角形性质得到 ，最后根据三
角形面积公式求解，即可解题．
【详解】解：（1） 是等腰直角三角形．
证明：如图，
，
，
，，
，
在 和 中， ，
， ，
，
， ，
，
，
是等腰直角三角形；
（2）证明：如图，过点 作 ，交直线 于点 ，
，
由（1）得， 是等腰直角三角形，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
由（1）得， ，
，
，
，
，
，
，
，
点 为线段 的中点；
（3）解：如图，过点 作 ，垂足为点 ，，
，点 ， 重合，
，
，
，
点 是 的中点，
，
，
，
，
由（1）得， 是等腰直角三角形，
，
，
，
在 和 中， ，
， ，
， ，
由（1）得， ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了对顶角相等，三角形内角和定理，全等三角形性质和判定，等腰直角三角形性质和判
定，线段中点的判定，三角形面积公式，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定．
【考点二 不等式与分式方程之压轴题】
11．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则
称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程 的解为 ，而不等式组
的解集为 ，可以发现 在 的范围内，所以方程 是不等式组 的“相伴方程”．问题解决：
(1)在方程① ，② 中，不等式组 的“相伴方程”是___________（填序号）；
(2)若关于 的方程 是不等式组 的“相伴方程”，求 的取值范围；
(3)若方程 ， 都是关于 的不等式组 的“相伴方程”，试求 的取值范
围．
【答案】(1)②
(2)
(3)
【知识点】求不等式组的解集、解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题主要考查一元一次不等式组和一元一次方程相结合的问题，能根据题目中的已知条件构建一
元一次不等式组是解题的关键．
（1）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义即可求得答案；
（2）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义，可得到关于 的一元一次不等式组，
解不等式组即可求解；
（3）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据 “相伴方程”的定义，可得到关于 的一元一次不等式
组，解不等式组即可求解．
【详解】（1）解：方程① ，
解得： ，
方程②： ，
解得： ，
不等式组 ，
解得： ，
在 范围内，
方程②是不等式组 的“相伴方程”，
故答案为：②；
（2）方程 ，
解得： ，不等式组 ，
解得： ，
由题意可得： ，
解得： ；
（3）方程 ，
解得： ，
方程 ，
解得： ，
，
解得： ，
和 都在 范围内，
，
解得： ．
12．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）定义：若三个代数式满足以下条件，则称这三个代数式构成“和谐
不等式”．
①只要其中存在两个代数式的和大于第三个代数式；
②满足上述条件的不等式的解集为大于2的实数．
例如：若三个代数式 、 和 构成关于 的不等式满足 且解集为 ，则称 ， 和 构成
“和谐不等式”．
(1)判断代数式 ， ， 是否构成“和谐不等式”？请说明理由．
(2)若 ， ， 构成“和谐不等式”，则 ______；
(3)若 ， ， 构成“和谐不等式”，求关于 的一元一次不等式组 的
解集．
【答案】(1)构成“和谐不等式”，理由见解析
(2) 或2
(3)【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是：
（1）根据“和谐不等式”的定义判断即可；
（2）分 ， ， 三种情况讨论即可；
（3）分 ， ， 三种情况讨论，依据新定义求出a，b 的关系，然
后代入不等式组求解即可．
【详解】（1）解：构成“和谐不等式”
理由：∵ 的解集为 ，
∴代数式 ， ， 是构成“和谐不等式”
（2）解：当 时，
解得 ，
∵ ， ， 构成“和谐不等式”
∴ ，
∴ ，
解得 ；
当 时，
解得 ，
∵ ， ， 构成“和谐不等式”
∴ ，
∴ ，
解得 ；
当 时，
解得 ，
∵ ， ， 构成“和谐不等式”
∴ ，
∴不符合题意，舍去，
综上，m的值为 或2；
（3）解：当 时，
解得 ，
∵ ， ， 构成“和谐不等式”，
∴ ，∴ ，
代入不等式组 ，得 ，
解得 ；
当 时，
解得 ，
∵ ， ， 构成“和谐不等式”，
∴ ，
∴ ，
代入不等式组 ，得 ，
解得 ，
∴不等式无解；
当 时，
解得 ，
∵ ， ， 构成“和谐不等式”，
∴ ，
∴ （不符合题意，舍去），综上， .
13．（23-24七年级下·福建泉州·期末）对x，y定义一种新运算，规定： （其中a，b均为
非零常数）．例如： ．
(1)已知 ， ．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组 恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围；
(2)若不论m，n取何值时， 的值都是一个定值，请求出该定值．
【答案】(1)① ， ；②
(2)
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】题考查了一元一次不等式组的整数解，实数的运算，解二元一次方程组：
（1）①利用题中的新定义化简已知两式，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；
②把a与b的值代入确定出 ，表示不等式组，变形后表示出解集，根据解集恰有2024个
整数解确定出p的范围即可；
（2）利用新定义 ，变形后得出 ，
由不论m，n取何值时， 的值都是一个定值，即可得出 ，解得 ，代
入 ，即可求得 ．
【详解】（1）解：① ， ，
解得：
， ．
②由①得： ，解得：
∵关于m的不等式组 恰好有2024个整数解，
，
．
（2）解：
，
∵且不论m，n取何值， 的值都是一个定值，
解得：
，
∴该定值为 ．
14．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）定义：若m，n都是不为0的实数，且满足 ，则称点
为“爱心点”．
(1)①在点 ， ， 中，是“爱心点”的有______（填字母）；
②若点 是“爱心点”．则a，b满足的关系式为______；
(2)若 是“爱心点”，且s，t分别是不等式组 的最大整数解和最小整数解，求k的取值
范围；
(3)已知p，q为有理数，且以关于x，y的方程组 的解为坐标的点 是“爱心点”，
求 的平方根．
【答案】(1)①B，C；②(2)
(3) 的平方根为 ．
【知识点】有理数四则混合运算、求一个数的平方根、已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一
次不等式组的整数解
【分析】（1）根据定义分别求得 的值即可求解；
（2）解不等式组得 ，根据 是“爱心点”可得 ；进一步可得 ， ，
据此即可求解；
（3）由题意得 ，解不等式组得 ；根据p，q为有理数可得 ，据此即
可求解
【详解】（1）解：①∵ ，
∴ ，
∴
∴
同理：由 得：
此时，
由 得：
此时， ，
∴是“爱心点”的有 ；
②∵点 是“爱心点”
∴ 且
即：
故答案为：①B，C；②
（2）解：解不等式组 得：
∵ 是“爱心点”，
∴由（1）可知：∵s是不等式组 的最大整数解
∴
∴
∴ ，
解得：
（3）解：∵点 是“爱心点”，
∴
由 ， 得：
∴
∵p，q为有理数，
∴
∴
∴ 的平方根为 ．
【点睛】本题考查了新定义题型，涉及了一元一次不等式组的求解、二元一次方程组的求解等知识点，正
确理解题意是解题关键．
15．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子
比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有
一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分
母的次数时，我们称之为“真分式”．例如： 、 这样的分式就是假分式；如： 、 这样
的分式就是真分式，假分数 可以化成 （即 ）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式
（即整式与真分式相加）．
如： ； ．
根据上面材料回答下列问题：
(1)分式 是______；（填“真分式”或“假分式”）(2)假分式 可化为带分式形式______；如果分式 的值为整数，则满足条件的整数x是______；
(3)将假分式 化为带分式．
【答案】(1)真分式
(2) ； 或 或 或 ；
(3)
【知识点】约分
【分析】本题主要考查了分式的约分：
（1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求
解；
（2）仿照题意可得 ，则 是整数，据此可得 或 ，解之即可得到答案；
（3）把原式先变形为 ，再仿照题意进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，分式 是真分式；
（2）解： ；
∵ 的值是整数，
∴ 是整数，
∴ 是整数，
∴ 或 ，
∴ 或 或 或 ；
（3）解：
．16．（24-25八年级上·福建厦门·期末）新定义：如果两个实数 、b使得关于x的分式方程
的解是 成立，那么我们就把实数a，b组成的数对 称为关于x的分式方程 的一个“友
好数对”．
例如： ， 使得关于x的分式方程 的解是 成立，所以数对 就是关
于x的分式方程 的一个“友好数对”．
(1)判断下列数对是否为关于x的分式方程 的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，
打“×”．
① （ ）；
② （ ）．
(2)请判断数对 是否有可能是关于x的分式方程 的“友好数对”，如果可能，请求出此时的
n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由．
(3)若数对 是关于x的分式方程 的“友好数对”， ，
，试比较M、N的大小．
【答案】(1)×，√
(2)有可能，
(3)
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“友好数
对”的定义是解题的关键．
（1）根据“友好数对”定义分别判断即可；
（2）根据“友好数对”定义计算即可；
（3）根据“友好数对”定义计算即可．
【详解】（1）解：关于x的分式方程 ，
∵ 不是方程 的解，
∴数对 不是关于x的分式方程 的“友好数对”；∵ 是方程 的解，
∴数对 是关于x的分式方程 的“友好数对”；
故答案为：×，√；
（2）解：当 时，数对 有可能是关于x的分式方程 的“友好数对”，理由如下：
∵ 是方程 的解，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 时，数对 有可能是关于x的分式方程 的“友好数对”；
（3）解：∵数对 是关于x的分式方程 的“友好数对”，
∴ 是关于x的分式方程 的解，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
17．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：分式 ，所以分式 与 互为“3阶分式”．
(1)分式 与_______互为“4阶分式”；
(2)设正数x，y互为倒数，求证：分式 与 互为“2阶分式”；
(3)若分式 与 互为“1阶分式”（其中a，b为正数），求 的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【知识点】分式加减混合运算
【分析】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键．
（1）设另一个分式为M，根据定义，得到 ，据此求解即可；
（2）根据题意首先利用倒数关系，将x，y进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解；
（3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解．
【详解】（1）解：设另一个分式为M，
则 ，
解得 ，
故答案为： ；
（2）解：∵
，
又∵正数x，y互为倒数，
∴ ，
∴分式 与 互为“2阶分式”；
（3）解：∵ 与 互为“1阶分式”，∴ ，
∴ ，
∴ ，其中a，b为正数，
∴ ．
18．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一
般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想
阀门发现新问题、新结论的重要方法．
请观察以下等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
第5个等式： ；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第7个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明；
(3)应用运算规律，计算： ．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3)1
【知识点】分式乘除混合运算、数字类规律探索
【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出第n个等式可表示为
是解题的关键．
（1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）根据（2）中的结论进行计算即可．【详解】（1）解：由题知，
因为第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
第5个等式： ；
…，
所以第n个等式可表示为： ．
当 时，
第7个等式为： ．
故答案为： ；
（2）解：由（1）知，
第n个等式可表示为： ．
证明如下：
左边 右边，
所以此等式成立；
（3）解：由（2）知，
当 时，
，
所以 ，
则原式 ．
故答案为：1．
19．（24-25八年级上·福建福州·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程 的解为 ， ；方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；
…
(1)根据上面的规律，猜想方程 的解是 ；
(2)利用材料提供的方法解关于x的方程： ；
(3)已知 ，利用材料提供的方法解关于x的方程： .（结果保留a）
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题关键是正确理解题意给出的规律．
（1）根据题意给出的规律即可求出答案；
（2）先将原方程变形为： , 然后根据题意给出的规律，即可得出答案；
（3）方程两边同时乘以2，将原方程变形为： , 再方程两边同时减去3，方程变形为
, 再根据题意给出的规律，即可得出答案
【详解】（1）解：根据题中的规律，猜想方程 的解为：
， ，
故答案为： ， ；
（2）解：由题意，得 ，
∴ ，
∴ 或 ，解得： ， ，
经检验： ， 是原方程的解；
（3）解： ，
方程两边同时乘以2，得 ，
方程两边再同时减去3，得 ，
∴ 或 ，
解得： ， ，
经检验： ， 是原方程的解．
20．（23-24八年级上·江苏南通·期末）［核心素养］【阅读材料】若分式 与分式 的差等于它们的积，
即 ，则称分式 是分式 的“关联分式”．
例如 与 ．
解： ，
，
是 的“关联分式”．
【解决问题】
（1）已知分式 ，则 ___________ 的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
（2）小明在求分式 的“关联分式”时，用了以下方法．
解：设分式 的“关联分式”为 ，
则 ，
，．
请你仿照小明的方法求分式 的“关联分式”；
【拓展延伸】
（3）①观察（1）和（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“关联分式”___________；
②用发现的规律解决问题：若 是 的“关联分式”，求实数 ， 的值．
【答案】（1）是；（2） ；（3）① ，② ，
【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算
【分析】本题是考查了异分母分式的加减及分式的乘法，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运
算是解决本题的关键.
（1）根据关联分式的定义进行判断；
（2）仿照题目中给到的方法进行求解；
（3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论，类比形式求解即可.
【详解】解：（1）
，
，
是 的“关联分式”，
故答案为：是；
（2）设分式 的“关联分式”是 ，
则 ，
，
，
，即分式 的“关联分式”为 ．（3）①解：①设 的“关联分式”为 ，则 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ；
②由题意得
， ．
【考点三 平行四边形之压轴题】
21．（24-25八年级上·山东淄博·期末）【问题初探】
（1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形 中， ，且 ，点E是 的中点，
点F为对角线 上的点，且 ，连接线段 ，若 ，求 的长．
小鹏同学考虑到点E是 的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以
想到连接 ，与 交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题．
【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答．
（2）如图2，在 中， 平分 ，过点A作 延长线的垂线，垂足为点D， ，求证：
．
【学以致用】
（3）如图3，在 中， ，点D在 上， ，点E，F分别是 ， 的中点，连接
并延长，与 的延长线交于点G，连接 ，若 ，求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、利用平行四边
形的性质证明、与三角形中位线有关的证明【分析】（1）连接 ，交 于点O，易得 为 的中位线，根据平行四边形的性质，结合勾股
定理求出 的长，即可求出 的长；
（2）延长 交 的延长线于点G，证明 ，得到 ，取 的中点F，连接
，证明 ，得到 ，进而得到 ，即可得证；
（3）连接 ，取 中点H，连接 ，根据三角形的中位线定理，推出 是等边三角形，进
而推出 是等边三角形，得到 ，进而得到 ，等边对等角求出 ，进而推
出 ，即可得证．
【详解】解：（1）连接 ，交 于点O，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，延长 交 的延长线于点G，
∵ 平分 ， ，
∴ ， ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
取 的中点F，连接 ，则有 ，且 ，
∴ ，
∵ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（3）如图，连接 ，取 中点H，连接 ，
∵E，F分别为 和 中点，
∴ 和 分别为 和 的中位线，
∴ 且 ， 且 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰
三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造三角形的中位线，
是解题的关键．
22．（24-25九年级上·湖北·期末）【提出问题】
如图1，在 中， 于点E， 于点F．求证： ；
【问题探究】
如图2，在四边形 中， ，G是 的中点，P是 上的一点，连接 ， ．若 ，
．求证： ；
【拓展延伸】
如图3，在四边形 中， ，P是边 上的一点，连接 ， ．若 ，
， ， ， ，直接写出PD的长为 ．
【答案】提出问题：证明见解析；问题探究：证明见解析；拓展延伸：
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解
三角形、利用平行四边形的性质证明
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理；
提出问题：由垂直可得 ，由 ，可得 ， ，得到
，即可证明 ；
问题探究：过 作 于 ，过 作 于 ，过 作 交 延长线于 ，先证明
，得 ， ，再证明 ，得到 ，推出
，即可证明 ，得到 ， ；拓展延伸：过 作 于 ，过 作 交 延长线于 ，证明 ，得到
，再由勾股定理得到 ，最后根据 计算即可．
【详解】解：提出问题：∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
问题探究：过 作 于 ，过 作 于 ，过 作 交 延长线于 ，则
，
∵G是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
拓展延伸：过 作 于 ，过 作 交 延长线于 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
23．（24-25八年级上·海南海口·期末）在四边形 中， ，对角线 交于点O，且
．点E、F分别为 边上的动点，连结 ．
(1)如图1，①求证： ；
②求证：四边形 为平行四边形；
③ 恰好经过点O，当 时，如图2，连接 ，若 ， ，求 的度数．
(2)平移 ，当点E与点A重合时，如图3， 将 沿 折叠得到 ，当点 恰好落在线段
上时，过点D作 ，交 延长线于点G，其中 ， ， ，求线段 的长．
【答案】(1)①见解析；②见解析；③
(2)11
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、利用平行四边形
性质和判定证明、折叠问题
【分析】（1）①根据 ，得出 ，即可证明 ．
②由①得 ，得出 ，结合 ，即可证明四边形 为平行四边形；
③根据 ， ，得出 ，根据平行四边形的性质得出 ，证出
是 的垂直平分线，即可得 ，根据等腰三角形的性质得出 ，根据
， ，求出 ，再根据 即可求解．
（2）根据平行四边形的性质可得 ， ，根据 ，得出 ，由折叠知，
，即可得出 ， ，在 中，勾股定理求出 ，
在 中，求出 ， 即可求解．
【详解】（1）①证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
②证明：由①得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 为平行四边形；
③解：∵ ， ，
∴ ，
由②得：四边形 为平行四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是 的垂直平分线，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵在 中， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
由折叠知， ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ， ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】该题主要考查了平行四边形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，
全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
24．（2018·湖北随州·一模）定义：如图1，在 中，把 绕点A顺时针旋转α（ ）得到
，把 绕点A逆时针旋转β得到 ，连接 ．当 时，我们称 是 的
“旋补三角形”，边 上的中线 叫做 的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，是 的“旋补三角形”， 是 的“旋补中线”．
①如图2，当 为等边三角形时， 与 的数量关系 ；
②如图3，当 时，则 长为 ．猜想论证：
（2）在图1中，当 为任意三角形时，猜想 与 的数量关系，并给予证明．
【答案】（1）① ；② ；（2） ，证明见解析
【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形性
质和判定证明
【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的
判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键．
（1）①根据含30度的直角三角形的性质解答；②证明 ，根据全等三角形的性质得到
，根据直角三角形的性质计算；
（2）证明四边形 是平行四边形，得到 ，根据全等三角形的性质得
到 ，得到答案．
【详解】解：（1）①∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是 的“旋补三角形”，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
②∵ 是 的“旋补三角形”，
∴ ，
在 和 中，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ， 是 的“旋补中线”，
∴ ，
故答案为：4；（2）猜想 ．
证明：如图，延长 至点E使得 ，连接 ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
25．（23-24八年级上·重庆渝北·期末）如图，等腰三角形 中， ，D为 边上一点，E为射
线 上一点，连 ．(1)如图1，点F在线段 上，连 、 ．若 ， 为等边三角形， ， ，求
的长；
(2)如图2，F为线段 的垂直平分线上一点，连接 、 、 ，M为 的中点，连接 、 ．若
，求证： ；
(3)如图3， ，D为 中点，F为 中点， 与 交于点G，将 沿射线 方向平移得
，连接 、 ．若 ，直接写出 的最小值．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行
四边形的性质证明
【分析】（1）由 可判定 ，由全等三角形的性质得 ，即可求解；
（2）延长 至N，使 ，连接 ， ，延长 ，交 于 ，交 于 ，由 可判定
，由全等三角形的性质得 ， ，由线段垂直平分线的性质及等腰三
角形的性质得 ，由交的和差可得 ，由三角形内角和得 ，由
可判定 ，由全等三角形的性质得 ，即可求证；
（3）作以 、 为边的平行四边形 ，由平行四边形的性质得 ，由两点之
间连线段最短得当 、 、 三点共线时 取得最小值，此时 取得最小值，连接 ，
过 作 ， 交 于 ，延长 交 于 ，由平行线间的距离处处相等得
，同理可证 ， ，由平移的性质得 ， ，
由直角三角形的特征及勾股定理得 ，由勾股定理得 ，即可求解．
【详解】（1）解： 是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，，
（ ），
，
；
（2）证明：如图，延长 至N，使 ，连接 ， ，延长 ，交 于 ，交 于 ，
M为 的中点，
，
在 和 中
，
（ ），
， ，
，
，
，
， ，
，
点F在 的垂直平分线上，
，
，
，
，
，
，
，
， ， ，
，，
在 和 中，
，
（ ），
，
，
是 的垂直平分线，
；
（3）解：如图，作以 、 为边的平行四边形 ，
，
，
，
，
当 、 、 三点共线时， 取得最小值，
此时 取得最小值，
如下图：连接 ，过 作 ， 交 于 ，延长 交 于 ，
，
，
，
，
，是等边三角形，
，
，
是 中点，
∴ ， ， ，
，
，
，
同理可证： ， ，
由平移得 ， ，
，
，
，
，
取得最小值是 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判
定及性质，线段垂直平分线的判定及性质，勾股定理，平移的性质，平行线之间的距离等；掌握相关的判
定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形，由两点之间连线段最短找出线段和取得
最小值的条件是解题的关键．
26．（23-24八年级下·广东深圳·期末）在平行四边形 中， 于E， 于F，H为
上一动点，连接 ， 交 于G，且 ．
(1)如图1，若 ，求 、 的长；
(2)如图2，当 时，求证： ；
(3)如图3，若 ，点H是直线 上任一点，将线段 绕C点逆时针旋转 ，得到线段 ，请
直接写出 的最小值______．
【答案】(1) ， ；(2)证明见解析
(3)
【知识点】根据旋转的性质求解、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问
题
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得 ，再利用含30度角的直角三角形的性质以及
勾股定理求解即可；
（2）过点 作 于点 ，连接 ，由垂直平分线的性质和等边对等角的性质，得到 ，
证明 ，得到 ， ，进而得出 ，再证明
，得到 ，即可得出结论；
（3）在 取点 ，使得 ，连接 并延长交 于 ，连接 ，则 是等边三角形，结
合旋转的性质，可证 ，得出 ，进而推出 ，设 与 的
交点为 ，点 在直线 上运动，则当点 运动到点 处时， 有最小值，由（1）可知， ，
从而得出 ，再利用勾股定理，求出 的长，即为 的最小值．
【详解】（1）解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
在 中， ， ，
， ，
，
，
在 中， ， ，
，
，
，
；
（2）证明：如图，过点 作 于点 ，连接 ，， ，
垂直平分 ，
，
，
四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
；
（3）解：如图，在 取点 ，使得 ，连接 并延长交 于 ，连接 ，
四边形 是平行四边形，
，
是等边三角形，
， ，
由旋转的性质可知， ， ，，即 ，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
设 与 的交点为 ，
点 在直线 上运动，
当点 运动到点 处时， 有最小值，
， ，
，
由（1）可知， ，
，
，
在 中， ，
， ，
即 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等
腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，综合
性较强，掌握相关知识点是解题关键．
27．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图1， 中， ， ， ，E为 边上
的一个动点，连接 ，过点E作 交 于点F，把 沿着 翻折得 ，连接 ．(1)证明： ；
(2)当 时，求折痕 的长；
(3)当 为等腰三角形时，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)折痕 的长为 ；
(3) 的长为 或 ．
【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题、利用平行四边形的性质证明、折叠问题
【分析】（1）由 ，得 ，故 ，而 沿着 翻折
得 ，有 ，即得 ；
（2）设 交 于K，由 ，可得 ，而 沿着 翻折得 ，可证
，即可得 ，故 ， ，设设 ，则
，知 ，解得 ，即 ， ，设
，则 ，有 ，据此求解即可；
（3）分两种情况讨论，当 时，当 时，利用勾股定理列式计算，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 沿着 翻折得 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：设 交 于K，如图：∵ ，
∴ ，
∵ 沿着 翻折得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知 ，
又 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，∴ ，
∴ ，
∴折痕 的长为 ；
（3）解：当 时，过B作 于T，如图：
设 ，
由（1）知 ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，即 ；
当 时，如图：
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
解得 ，即 ；
∵E在边 上，
∴ ，
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，等腰
三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
28．（22-23八年级下·四川成都·期末）在平行四边形 中， ，将 沿对角线
翻折，点B的对应点为点E，线段 与边 交于点F．
(1) ，求 的度数；
(2)若 是以 为腰的等腰三角形，求线段 的长；
(3)如图2，连接 的延长线交 于点N， 的延长线交 于点M，当点M到 的距离最小值时，
求出此时 的面积．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质，即可求解；
（2）先证明 ，然后分两种情况：当 时；当 时，即可求解；
（3）过点M作 于点Q，可得 是等腰直角三角形，从而得到当 最小时， 最小，即
当 最小时，点M到 的距离最小，此时 ，过点A作 于点S， 与T，此时
是等腰直角三角，再由勾股定理求出 ， 是等腰直角三角形，
，即可求解．
【详解】（1）解：由折叠的性质得： ，
∵四边形 是平行四边形，∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，此时 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
当 时，此时 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述，线段 的长为 或 ；
（3）解：如图，过点M作 于点Q，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
即 ，
∴当 最小时， 最小，即当 最小时，点M到 的距离最小，此时 ，
过点A作 于点S， 与T，此时 是等腰直角三角，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ， 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，翻
折的性质等知识是解题的关键．
29．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在 中，对角线 与 相交于点O， ，
点E，F，G分别为 ， ， 的中点，连结 ， ， ， ， 交 于点 M．
(1)求证： ．
(2)求证：四边形 为平行四边形．
(3)如图2，当 为矩形时，若 ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，矩形的性质，等边三角形的判定与性
质，勾股定理等，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质先证明 ，再根据点 为 中点可得结论；（2）根据三角形中位线定理可得 ， ，结合平行四边形的性质，证明 ，
，即可得出结论；
（3）过点 作 于点 ，证明 是等边三角形，，求出 ，再利用勾股定理求出 ，
得到 的长，进而可计算四边形 的面积．
【详解】（1）解： ，
， 互相平分，
，
，
，
点 为 中点，
；
（2） ，
， ，
点 ， ， 分别为 ， ， 的中点，
， ， ，
， ，
四边形 是平行四边形；
（3）如图，过点 作 于点 ，
矩形 ， ，
，
∴ ，
∴ ， 是等边三角形，
， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
四边形 的面积 ．
30．（23-24八年级下·广西南宁·期末）【探究与证明】
折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究．同学们以“平行四边形纸片的折叠”
为主题开展数学活动．
在平行四边形纸片 中，点E为 边上任意一点，将 沿 折叠，点B的对应点为 ．
(1)如图1，若点 恰好落在边 上时， 四边形 的形状是 ．
(2)如图2，若点 三点在同一条直线上时，求证： ；
(3)如图3，若 时，连接 ，并延长交 于点F．若平行四边形纸片 的面积为24，
，求线段 的长．
【答案】(1)四边形 是平行四边形，理由见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、折叠问题
【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到 ，推出 ，即可
证明四边形 是平行四边形；
（2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明 是等腰三角形，即可得出结论；
（3）延长 交 于点H，由折叠的性质先证明 是等腰三角形，得到 ，根据
平行四边形的性质得到 ，易证利 是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出
，进而得到 ，利用勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：四边形 是平行四边形，理由如下：
由折叠的性质可得： ， ，
四边形 是平行四边形，
，，
，
， ，
，
四边形 是平行四边形；
（2）证明：由折叠的性质可得： ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
点 三点在同一条直线上
是等腰三角形，
；
（3）解：如图，延长 交 于点H，
由折叠的性质可得： ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形 是平行四边形， ，
， ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
