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专题 08 探索与表达规律
考点一 数字类规律探索 考点二 图形类规律探索
考点一 数字类规律探索
例题：（2022·新疆·和硕县第二中学七年级期末）若 ＝2， ＝4， ＝8， ＝16， ＝32…，则 的
末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
【答案】B
【分析】根据所给数据发现他们的个位数字以2、4、8、6为一个循环组，依次循环，然后计算即可．
【详解】解：由 ＝2， ＝4， ＝8， ＝16， ＝32，…，可知他们的个位数字以2、4、8、6为一个
循环组，依次循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴ 的末位数字与 的末位数字相同，
∴ 的末位数字是4，
故选：B．
【点睛】本题考查了数字类规律探索，观察所给数据得出末位数字的变化规律是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏扬州·八年级期末）若 （ 且 ）， ， ，……，
，则 等于（ ）
A．x B． C． D．
【答案】D【分析】分别求出 ， ， ， ，根据求出的结果得出每三个数就循环一次，再
根据得出的规律进行求解．
【详解】解： ，
，
，
，
该数列每三个数就循环一次，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是能根据求出的结果得出规律，再利用规律求解．
2．（2021·新疆·昌吉市第二中学七年级期中）观察下面一列数：1， ， ， ， ，……，按照这
个规律，第10个数应该是________．
【答案】
【分析】观察可得除第一项外，其余项满足：奇数项为正，偶数项为负，第n个数的分母为 ，分子比分
母小1，由此得出规律即可求解．
【详解】解：观察可得，当n＞1时，第n个数为 ，
则第10个数为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查数字类规律探索，解题的关键是根据题目的变化规律得到相应的结果．
考点二 图形类规律探索
例题：（2022·海南·海口中学七年级期末）将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折两次后，可以得到3条折痕，连续对
折三次后，可以得到7条折痕，那么对折6次可以得到______条折痕，对折n次可以得到______条折痕．
【答案】 63
【分析】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数
少1， 再根据对折规律求出对折n次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数，据此求解即可．
【详解】解：第一次对折后折痕的条数为 ，
第二次对折后折痕的条数为 ，
第三次对折后折痕的条数为 ，
……
第 次对折后折痕的条数为 ，
当n=6时， ，
故答案为：①63；② ．
【点睛】本题是对图形变化规律的考查，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东青岛·七年级期末）如图1，将一个边长为2的正三角形的三条边平分，连接各边中点，则
该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下：共有1+2+3=6个结点．如图2，将一个边长为3的正三角
形的三条边三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数是从上往下：共有
1+2+3+4=10个结点．……按照上面的方式，将一个边长为2022的正三角形的三条边2022等分，连接各边
对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有________个结点（填写最终个结点）
【答案】2047276
【分析】根据规律可知结点个数为1+2+3+4+……+n个， 为三角形边长数加1，据此即可求解．
【详解】解：将一个正三角形的三条边平分，该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下：共有1+2+3=
=6个结点，将一个正三角形的三条边三等分，该三角形被剖分的网格中的结点个数是从上往下：共有1+2+3+4=
=10个结点，
……
将一个正三角形的三条边 等分，该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有
个结点，：
将一个正三角形的三条边2022等分，该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有：1+2+3+…+2023=
=2047276个结点，
故答案为：2047276．
【点睛】本题考查的是图形的变化规律，根据图形的变化正确总结出规律是解题的关键．
2．（2022·河南·郑州市第五十七中学七年级期末）下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方
形涂有阴影，依此规律完成此题
图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个
涂有阴影的小正方形的个
5 a 13 b
数
(1)a＝_____ ， b＝_____；
(2)按照这种规律继续下去，则第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为___________；（用含n的代数式
来表示）
(3)按照这种规律继续下去，用（2）中的代数式求第2022个图形中涂有阴影的小正方形的个数．
【答案】(1)9；17
(2)4n+1
(3)8089根
【分析】（1）观察图形规律，可知第1个小正方形阴影有5个，第2个小正方形阴影有5+4=9个，第3个
小正方形阴影有5+4×2=13个，以此类推，可知第4个为5+4×3=17个；
（2）第n个为5+4（n-1）= ；
（3）将 代入 即可．（1）
第2个小正方形阴影有5+4=9个；
第4个小正方形阴影有5+4×3=17个
故答案为：9，17；
（2）
观察图形规律，可知：
第1个小正方形阴影有5个，
第2个小正方形阴影有5+4=9个，
第3个小正方形阴影有5+4×2=13个，
以此类推，
第n个为5+4（n-1）= ；
故答案为： ；
（3）
将 代入 中得：
即第2022个图形需要的火柴棒根数为8089根．
【点睛】本题是图形的规律探究题，找到题目中的规律，并用代数式把规律表示出来是解决本题的关键．
一、选择题
1．（2022·浙江丽水·七年级期中） 根据以上式子的变化
规律，则 的末位数字是( )
A．1 B．3 C．7 D．9
【答案】B
【分析】根据题意，找到7的乘方的末尾数字以7、9、3、1四个数字依次不断循环出现，用2015除以4，
余数是几，就和第几个数字相同，由此解决问题即可．【详解】解：由题意可知，7的乘方的末尾数字以7、9、3、1四个数字依次不断循环出现，
∵2015÷4=503…3，
∴72012的末位数字和73的末位数字相同是3．
故选：B．
【点睛】此题考查幂的末尾数字规律，根据7的乘方，找出末尾数字的规律是解决此题的关键．
2．（2022·山东烟台·期末）按一定规律排列的单项式： ， ， ， ， ，……，第n个单项式是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先观察系数与指数的规律，再根据规律定出第n个单项式即可．
【详解】解：∵ ， ， ， ， ，……，
∴系数是奇数项为-1，偶数项为1，即系数的规律是(-1)n-1,
指数的规律为2n+1，
∴第n个单项式为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查数式的变化规律，通过观察单项式的系数和指数，找到它们的规律是解题的关键．
3．（2022·江苏扬州·七年级期末）将一个按红黄绿蓝紫的顺序依次循环排列的纸环链，截去中间的一部分
后，剩下的部分如图所示，则被截去的中间一部分的纸环总数数可能是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】D
【分析】该纸链是5的倍数，剩下部分有12个，12=5×2+2，所以中间截去的是3+5n，从选项中数减3为5
的倍数即得到答案．
【详解】解：由题意，可知中间截去的是5n+3（n为正整数），
当5n+3=2020，解得n= ，选项A不符合题意，当5n+3=2021时，n= ，选项B不符合题意，
当5n+3=2022时，n= ，选项C不符合题意，
当5n+3=2023时，n=404，选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，从整体是5个不同颜色环的整数倍数，截去部分去3后为5的倍数，
从而得到答案．
4．（2022·山东济南·七年级期末）将正整数按如图所示的规律排列，若用有序数对（a，b）表示第a行，
从左至右第b个数，例如（4，3）表示的数是9，则（15，10）表示的数是（ ）
A．115 B．114 C．113 D．112
【答案】A
【分析】观察图形可知，每一行的第一个数字都等于前面数字的个数再加1，即可得出（15，1）表示的数，
然后得出（15，10）表示的数即可．
【详解】解：因为（1，1）表示的数是：1，
（2，1）表示的数是：1+1=2，
（3，1）表示的数是：1+1+2=4，
（4，1）表示的数是：1+1+2+3=7，
（5，1）表示的数是：1+1+2+3+4=11，
……
所以（a，1）表示的数是： ，
所以（15，1）表示的数是： ，
所以（15，10）表示的数是：106+10-1=115，
故选A．
【点睛】本题考查了找图形和数字规律，从题目分析发现每一行的第一个数字都等于前面数字的个数再加1是本题的关键．
5．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期末）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，第1个图形
有6颗棋子，第2个图形有9颗棋子，第3个图形有12颗棋子，第4个图形有15颗棋子……，以此类推，
第（ ）个图形有2022颗棋子．
A．672 B．673 C．674 D．675
【答案】B
【分析】观察图形，根据给定图形中棋子颗数的变化，找出变化规律：第n个图形有（3n＋3）颗棋子，然
后计算即可．
【详解】解：观察图形，可知：第1个图形有6＝3×2颗棋子，第2个图形有9＝3×3颗棋子，第3个图形
有12＝3×4颗棋子，第4个图形有15＝3×5颗棋子，……，
∴第n个图形有3×（n＋1）＝（3n＋3）颗棋子，
当3n＋3＝2022时，
解得：n＝673，
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中棋子颗数的变化情况，找出变化规律是解题
的关键．
二、填空题
6．（2021·四川·荣县一中七年级阶段练习）观察这些数的规律， 3，-8，15，-24，35，…则第10个数是
______．
【答案】
【分析】不难发现每个数的绝对值都是从 开始的自然数的平方减 ，且第奇数个数是正数，第偶数个数是
负数，由此即可解答．
【详解】解： ；
；
；；
；
第 个数是 ，
故答案为：
【点睛】此题考查了数字变化的规律，根据数字变化的正负性确定数字变化的规律是解题的关键．
7．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校阶段练习）用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这
样的规律摆下去，则第10个图形需棋子___________枚．
【答案】31
【分析】第 个图中，黑色棋子个数为4；第 个图中，黑色棋子个数为 ；第 个图中，黑色棋子个数
为 ；得出规律，进而求解出第10个图中，黑色棋子个数．
【详解】解：第 个图中，黑色棋子个数为4；
第 个图中，黑色棋子个数为 ；
第 个图中，黑色棋子个数为 ；
得出规律为第 个图中，黑色棋子个数为 ；
当 时，黑色棋子个数为
故答案为： ．
【点睛】本题主要考察了总结规律．解题的关键在于是否能够根据数据的特征推导出规律．
8．（2022·湖南永州·八年级期中）如图，每一幅图中均含有若干个正方形．第①幅图中含有1个正方形；
第②幅图中含有5个正方形；第③幅图中含有14个正方形…按这样的规律下去，则第⑦幅图中含有______
个正方形．【答案】140
【分析】观察图形发现第一个有1个正方形，第二个有1+4=5个正方形，第三个有1+4+9=14个正方形，…
第n个有：1+22+32+…+n2个正方形，从而得到答案．
【详解】解：观察图形发现第一个有1个正方形，
第二个有1+4=5个正方形，
第三个有1+4+9=14个正方形，
…
∴第n个有：（1+22+32+…+n2）个正方形，
则第7个有1+4+9+16+25+36+49=140个正方形，
故答案为：140．
【点睛】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形并找到规律，利用规律解决问题．
9．（2022·山东威海·期末）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆周上4等分点处分别标上数字0、1、
2、3，让圆周上表示数字0的点与数轴上表示 的点重合，将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示
数 的点对应圆周上的数字是__________．
【答案】3
【分析】由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以
4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，3，2，1的点重合．
【详解】解：∵-1-（-2022）=2021，
2021÷4=505…1，
∴数轴上表示数-2022的点与圆周上的数字3重合，
故答案为：3．
【点睛】本题找到表示数-2022的点与圆周上起点处表示的数字重合，是解题的关键．
10．（2022·广西南宁·七年级期末）如图，将一个正方形，第1次向右平移一下，平移的距离等于对角线长
的一半，即其中一个正方形的顶点与另一个正方形的中心重合，并把重叠部分涂上颜色；第2次向右平移
连续平移两次，每次平移的距离与第一次平移的距离相同，并且每平移一次把重叠部分涂上颜色，……，
则第2022次平移后所得到的图案中所有正方形的个数是______．【答案】8087
【分析】根据平移的性质和图示总结出规律，得出第n次平移后所得的图案中正方形的个数，再将次数代
入即可求出答案．
【详解】第一次平移形成3个正方形， ；
第二次平移形成7个正方形， ；
第三次平移形成11个正方形， ；
即第n次平移后可得到的正方形个数为， ；
将 代入可得， ，
故答案为8087．
【点睛】本题考查了平移的性质和规律的推算，根据前三次平移情况总结出规律，得出第n次平移后所得
的图案中正方形的个数为本题的关键．
三、解答题
11．（2022·广西梧州·七年级期中）已知下列等式：① ；② ；③ ，…
(1)请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子：______________；
(2)请你找出规律，写出第n个式子__________________．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题中所给等式的特点，可以写出第④的式子，
（2）根据题中所给等式的特点，可以写出第n个式子，
【详解】解：（1）① 22−12=3 ；② 32−22=5 ；③ 42−32=7 ，
∴第④个式子： ，
故答案为：52-42=9
（2）① 22−12=（1+1）2-12=2×1+1=3，
② 32−22=（2+1）2-22=2×2+1=5，③ 42−32=（3+1）2-32=2×3+1=7 ，
……
∴第n个式子： ．
故答案为：（n+1）2-n2=2n+1
【点睛】本题考查了数字的变化，解答本题的关键是明确题意，发现式子变化的特点，即可求解．
12．（2022·浙江台州·七年级期末）观察下面三行数：
，4， ，16， ，64，…；①
0，6， ，18， ，66，…；②
，2， ，8， ，32，…；③
(1)第①行第8个数为______；第②行第8个数为______；第③行第8个数为______．
(2)是否存在这样一列数，使三个数的和为322？若存在，请写出这3个数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)256，258，128；
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）①后一个数是前一个数的−2倍，②的数的规律是在①每个对应数加2，③后一个数是前一
个数的−2倍，由此可求解；
（2）通过观察可得规律：①的第n个数是（−2）n，②的第n个数是（−2）n＋2，③的第n个数是（−1）
n2n−1，再由（−2）n＋（−2）n＋2＋（−1）n×2n−1＝322，求n即可．
(1)
解：（1）−2，4，−8，16，−32，64，…，
第n个数为（-2）n，当n=8时，（-2）8=256，
∴第8个数是256，
②的数的规律是在①每个对应数加2
∴②的第8个数是256＋2＝258，
③的第n个数为（−1）n2n−1，当n=8时，（−1）8×27=27=128，
∴③的第8个数是128，
故答案为：256，258，128；
(2)
不存在一列数，使三个数的和为322，理由如下：
①的第n个数是（−2）n，②的第n个数是（−2）n＋2，③的第n个数是（−1）n2n−1，
由题意得，（−2）n＋（−2）n＋2＋（−1）n×2n−1＝322，设n为偶数，
∴4×2n−1＋2n−1＝5×2n−1＝320，
∴2n−1＝64，
∴n＝7，与n为偶数互相矛盾，
设n为奇数，
∴-4×2n−1-2n−1＝-5×2n−1＝320，
此方程无解，
∴不存在一列数，使三个数的和为322．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，找到式子中各数间的规律是解题的关键．
13．（2022·河南·郑州市第五十七中学七年级期末）下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正
方形涂有阴影，依此规律完成此题
图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个
涂有阴影的小正方形的个
5 a 13 b
数
(1)a＝_____ ， b＝_____；
(2)按照这种规律继续下去，则第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为___________；（用含n的代数式
来表示）
(3)按照这种规律继续下去，用（2）中的代数式求第2022个图形中涂有阴影的小正方形的个数．
【答案】(1)9；17
(2)4n+1
(3)8089根
【分析】（1）观察图形规律，可知第1个小正方形阴影有5个，第2个小正方形阴影有5+4=9个，第3个
小正方形阴影有5+4×2=13个，以此类推，可知第4个为5+4×3=17个；
（2）第n个为5+4（n-1）= ；
（3）将 代入 即可．
（1）
第2个小正方形阴影有5+4=9个；
第4个小正方形阴影有5+4×3=17个故答案为：9，17；
（2）
观察图形规律，可知：
第1个小正方形阴影有5个，
第2个小正方形阴影有5+4=9个，
第3个小正方形阴影有5+4×2=13个，
以此类推，
第n个为5+4（n-1）= ；
故答案为： ；
（3）
将 代入 中得：
即第2022个图形需要的火柴棒根数为8089根．
【点睛】本题是图形的规律探究题，找到题目中的规律，并用代数式把规律表示出来是解决本题的关键．
14．（2022·陕西西安·七年级期末）将边长相等的黑、白两色小正方形按如图所示的方式拼接起来，第1个
图由5个白色小小正方形和1个黑色小正方形拼接起来，第2个图由8个白色小正方形和2个黑色小正方
形拼接起来，第3个图由11个白色小正方形和3个黑色小正方形拼接起来，依此规律拼接．
(1)第4个图白色小正方形的个数为__；
(2)第10个图白色小正方形的个数为___；
(3)第n个图白色小正方形的个数为（用含n的代数式表示，结果应化简）；
(4)是否存在某个图形，其白色小正方形的个数为2021个，若存在，求出是第几个图形；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)14
(2)32
(3)
(4)存在，第673个
【分析】（1）由图可知，第一个图形由5个白色小正方形，第二个图形由8个，第三个图形由11个，往后每个图形依次增加3个，第四个图形在第三个图形的基础上增加3个即可；
（2）根据（1）中观察得到的结论“往后每个图形依次增加3个白色小正方形”，则第十个应该在第一个
的基础上增加9×3个；
（3）第一个：5=2+3，第二个：8=2+3×2，第三个：11=2+3×3，则第n个应该在2的基础上增加3n个；
（4）设第n个图白色小正方形的个数为2021，将2021代入（3）中的代数式，求出n，若n为整数，则存
在，否则，不存在．
（1）11+3=14（个），故答案为：14
（2）5+3×9=32（个），则答案为：32
（3）第一个：5=2+3，第二个：8=2+3×2，第三个：11=2+3×3，则地n个：2+3n，故答案为：2+3n
（4）设第n个图白色小正方形的个数为2021则 解得 所以第673个图白色小正方形的
个数为2021
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，根据题目给出的图形找出其中的变化规律是解题的关键．
15．（2022·安徽合肥·七年级期末）如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角
形排列而成，观察图案，当正方形只有一个时，等边三角形有 个（如图 ）；当正方形有 个时，等边三
角形有 个（如图 ）；以此类推
(1)若图案中每增加 个正方形，则等边三角形增加______个；
(2)若图案中有 个正方形，则等边三角形有______个．
(3)现有 个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？
【答案】(1)
(2)
(3) 个
【分析】（1）观察第 个图案可知：中间的一个正方形对应 个等边三角形，第 个图案可知增加一个正
方形，变成了 个等边三角形，增加了 个等边三角形；
（2）观察第 个图案，有 个等边三角形；第 个图案，有 个等边三角形； ，依次计算可解答；
（3）由（2）中的规律可知：用 所得的余数是 ，则等边三角形剩余最少 块，列式，解出即可解答．
（1）解：观察第 和 个图案可知：图案中每增加 个正方形，则等边三角形增加 个；故答案为： ；
（2）解：第 个图案：等边三角形有： （个），第 个图案：等边三角形有： （个），第 个图
案：等边三角形有： （个），第 个图案：等边三角形有： （个），…… 第 个
图案：等边三角形有： 个，故答案为： ；
（3）解： ， 用 ，再由题意得： ，解得： ，
按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少 块，则需要正方形 个．
【点睛】本题以等边三角形和正方形的拼图为背景，关键是考查规律性问题的解决方法，探究规律要认真
观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
16．（2021·广东·雷州市第三中学七年级期中）观察下列按一定规律排列的三行数：
如图，在上面的数据中，用长方形圈出同一列的三个数，这列的第一个数表示为a，其余各数分别用b，c
表示，
(1)若这三个数分别在这三行数的第8列，请写出a，b，c的值．
a＝ ；b＝ ；c＝ ．
(2)若这三个数分别在这三行数的第n列，则a的值为 ，c的值为 ；（用含有n的式子表
示）
(3)若a记为x，求a，b，c这三个数的和（结果用含x的式子表示并化简）．
【答案】(1)-256；259；-128
(2) ； ；
(3)
【分析】（1）根据题意得：第一行： ，……，由此发现：
第一行的数的规律，再观察第二行和第三行，可得第二行中每个数是第一行相应位置上的数加上 3，第三
行中
