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专题 08 认识一元二次方程（重难题型）
1．若a使得关于x的分式方程 有正整数解，且方程 有解,
则满足条件的所有整数a的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
先解分式方程，求得a的值，再由方程 有解得a的取值范围，则可求得a
的值，可求得答案．
【详解】
解分式方程 可得x=4- ，x≠2，
∵a使得关于x的分式方程 有正整数解，
∴a的值为0、2、6，
方程 ，
当a=0时，方程有实数解，满足条件，
当a≠0时，则有 ≥0，即16+8a≥0，解得a≥-2且a≠0，
∴满足条件的a的△值为-2，0、2、6，共4个，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查方程的解，求得a的整数值是解题的关键．
2．若 是方程 的一个根，则 的值为（ ）
A．2020 B． C．2019 D．
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程根的定义得到a2-1=a，再把 变形为-a（a2-1）+a+2020，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
∵a是方程 的一个根，
∴a2-a-1=0，即a2-1=a，a2-a=1
∴
=
=-1+2020
=2019．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解以及整体代入思想．
3．已知关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．2
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的定义得出m-1≠0，m2+1=2，求出m的值即可．
【详解】
∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴m2+1=2且m-1≠0，
解得：m=-1，
故选：B．
【点睛】
本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未
知数，③所含未知数的项的最高次数是2，且二次项系数不为0．
4．已知 是关于 的一元二次方程 的解，则 等于（ ）
A．1 B．-2 C．-1 D．2【答案】C
【分析】
方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，因而把x=-1代入方程就得到一个关
于m+n的方程，就可以求出m+n的值．
【详解】
将x=1代入方程式得1+m+n=0，
解得m+n=-1．
故选：C．
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，解题关键在于把求未知系数的问题转化为解方程的问题．
5．设m，n是方程 的两个实数根，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先分 和 两种情况解方程，得到m，n的值，然后再代入 求出值即可.
【详解】
当 时，原方程 可转化为 ，
解得， ， （舍去）
当 时，原方程 可转化为 ，
解得， ， （舍去）
所以，方程 的两个实数根m，n的值分别是 ， ，∴ .
故选：B.
【点睛】
此题主要考查了解一元二次方程，注意分类讨论是解此题的关键.
6. a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程根的定义得到a2+a＝1，再把﹣2a2﹣2a+2020变形为﹣2（a2+a）+2020，
然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，
∴a2+a﹣1＝0，即a2+a＝1，
∴﹣2a2﹣2a+2020＝﹣2（a2+a）+2020＝﹣2×1+2020＝2018．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，了解概念是关键
7．已知m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2020﹣m2+3m的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2019 D．-2020
【答案】B
【分析】
利用一元二次方程的解的定义得到m2-3m=-1，再把2020﹣m2+3m变形为2020﹣（m2-
3m），然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵m为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根．
∴m2-3m+1=0，
即m2-3m=-1，
∴2020﹣m2+3m =2020﹣（m2-3m）=2020-（-1）=2020+1=2021．
故选：B．【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解．
8．已知 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． ≥3 D． ＜3
【答案】B
【分析】
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解
答．
【详解】
解：∵ 是关于 的一元二次方程，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】
此题考查一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键．
9．已知 是方程 的一个根，则代数式 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
【答案】A
【分析】
先依据一元二次方程的定义得到a的代数式的值整体代入，再对 估算，从而可得代数
式的取值范围．
【详解】
解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，即 ，
∴原式= ，∵ ，
∴ ，
∴ ，即 的值在4和5之间，
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解得定义，估算．掌握整体代入法是解题关键．
10．若关于 的方程 的一个根是 ，则 的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据方程根的定义，回代原方程中，解关于a的方程求解即可.
【详解】
∵ 的方程 的一个根是 ，
∴ ，
解得 a= ，
故选C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根，熟记根的定义是解题关键.
11．已知 是一元二次方程 的一个根，则 的值是（
）．
A． B． C． D．
【答案】B【分析】
根据 是一元二次方程 的一个根，得到 ，从而得
，将 代入到原式，通过计算，即可得到答案．
【详解】
∵ 是一元二次方程 的一个根
∴
∴
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程、整式运算、分式运算的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次
方程、整式和分式运算的性质，从而完成求解．
12．若a是方程 的一个根，则 的值为（ ）
A．2018 B． C．2019 D．
【答案】A
【分析】
把x=a代入 ，得 ，代入 ，即可求解．
【详解】
∵a是方程 的一个根，∴ ，即： ，
∴ ，
故选A
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解以及代数式求值，用较低次幂代数式替换较高次幂代数
式，进行降幂，是解题的关键．
13．下列方程是关于 的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用一元二次方程定义进行解答即可．
【详解】
A、当a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C、不是整式方程，故此选项不合题意；
D、是一元二次方程，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意
抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系
数不等于0”；“整式方程”．
14．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则﹣a﹣2b＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
【答案】B
【分析】
将x＝1代入原方程即可求出（a+2b）的值．
【详解】
解：将x＝1代入原方程可得：12+a+2b＝0，
∴a+2b＝﹣1，∴﹣a﹣2b＝﹣（a+2b）＝1，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念．
15．下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋ ＋5
＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程个数是（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程的定义即可解答．
【详解】
解：①ax2+bx+c=0当a=0不是一元二次方程；
②3（x-9）2-（x+1）2=1是一元二次方程；
③x2＋ ＋5＝0是分式方程；
④x2＋5x3﹣6＝0是一元三次方程；
⑤3x2=3（x-2）2是一元一次方程；
⑥12x-10=0是一元一次方程．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2
的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
16． 是关于x的一元二次方程 的解，则 （ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-6
【答案】A
【分析】
根据方程的解的定义，将 代入 可得 ，然后利用整体代入法计算出 的值．
【详解】
解：把 代入 得，
，
，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，掌握方程的解的定义是解答此题的关键．
17．下列关于 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用一元二次方程定义进行解答即可．
【详解】
A.含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B.当a=0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C.由已知方程得到：x²+x-3=0，该方程是一元二次方程，故此选项符合题意；
D.含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式
方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未
知数；③未知数的最高次数是2．
18．若 是方程 的根，则 的值为（ ）A．2022 B．2021 C．2019 D．2018
【答案】B
【分析】
利用一元二次方程根的定义，代入变形计算即可．
【详解】
∵ 是方程 的根，
∴ ，
∴ ，
∴ =2021，
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义，熟练把方程的根转化为所含字母的一元二次方程是解
题的关键．
19．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2＋bx＋c＝0 B．
C．x2＋2x＝y2－1 D．3（x＋1）2＝2（x＋1）
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是
2，二次项系数不为0，是整式方程，含有一个未知数；
【详解】
A、 当a=0时，不是一元二次方程，故A错误；
B、 ，不是整式方程，故B错误；
C、 ，含有两个未知数，故C错误；D、 是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，正确理解一元二次方程的概念是解题的关键．
20． 是关于 的一元二次方程 的解，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
把 代入方程，得到a与b的式子，整体代入即可．
【详解】
解：把 代入 得，
，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，解题关键是明确方程解的意义，树立整体
代入思想．
21．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义解答即
可．
【详解】
A、是一元一次方程，不符合题意；B、是二元一次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、是二元二次方程，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查一元二次方程，熟记定义是解题的关键．
22．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答.
【详解】
符合一元二次方程定义的是 ，
故选：D.
【点睛】
此题考查一元二次方程的定义，熟记定义，掌握一元二次方程的构成特点是解题的关键.
23．关于 的方程 是一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的定义可得 =2，且a+1≠0，解方程即可；．
【详解】
解：由题意得 =2，且a+1≠0，，
解得：a=±1，
因为一元二次方程的系数不为0，即a+1≠0，所以a=1，
故选C．【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，关键是注意一元二次方程必须同时满足三个条件：①整
式方程，即等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．
24．两个关于 的一元二次方程 和 ，其中 ， ， 是常
数，且 ，如果 是方程 的一个根，那么下列各数中，一定
是方程 的根的是（ ）
A． 2020 B． C．-2020 D．
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】
∵ ， ，a+c=0
∴ ，
∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 是方程 的一个根，
∴ 是方程 的一个根，∴ 是方程 的一个根，
即 是方程 的一个根
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概
念．
25．若 是关于方程 的两个实数根，则实数
的大小关系是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用a是关于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根得到（a-m）（a-n）=-1＜0，进而
判断出m＜a＜n，同理判断出m＜b＜n，即可得出结论．
【详解】
解：∵a是关于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根，
∴（a-m）（a-n）+1=0，
∴（a-m）（a-n）=-1＜0，
∵m＜n，
∴m＜a＜n，
同理：m＜b＜n，
∵a＜b，
∴m＜a＜b＜n．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解的定义，不等式的性质，判断出（a-m）（a-n）＜0是
解本题的关键．26．若关于 的方程 的解为 ，则关于 的方程
的解为（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】C
【分析】
根据方程的解的定义，可知： ，解关于m的一元二次方程，即可求解．
【详解】
∵关于 的方程 的解为 ，
∴对于方程 ， ，
∴ ，
故选C．
【点睛】
本题主要考查方程的解的定义，掌握方程的解的定义以及解一元二次方程的方法，是解题
的关键．
27．关于 的方程 必有一个根为（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2
【答案】A
【解析】
【分析】
分别把 ， ， ， 代入 中，利用一元二次方程的解，当
为任意值时，则对应的 的值一定为方程的解.
【详解】
解：A、当 是， ，所以方程 必有一个根为1，
所以A选项正确；B、当 时， ，所以当 时，方程 有一个
根为 ，所以B选项错误；
C、当 时， ，所以当 时，方程 有一个
根为 ，所以C选项错误；
D、当 时， ，所以当 时，方程 有
一个根为 ，所以D选项错误.故选：A
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根，将选项分别代入方程求解是解题的关键.
28．已知4是关于x的方程 的一个实数根，并且这个方程的两个实
数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．7或 C． 或 D．
【答案】C
【分析】
把x=4代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两
条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．
【详解】
解：把x=4代入方程得16-4（m+1）+2m=0，
解得m=6，
则原方程为x2-7x+12=0，
解得x =3，x =4，
1 2
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．
综上所述，该△ABC的周长为10或11．
故选C．【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方
程的解也称为一元二次方程的根．也考查了三角形三边的关系．
29．方程 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（
）
A．m≠±l B．m≥-l且m≠1
C．m≥-l D．m＞-1且m≠1
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件求解可得．
【详解】
∵方程 是关于x的一元二次方程，
∴ ，
解得 ，
由 有意义得 ，
解得： ，
∴ 且 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整
式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
30．若关于 的方程 有一个根为-2，则 的值是（ ）
A．4 B．-2 C．-3 D．-4
【答案】A
【分析】把方程的根-2代入原方程，可以得到关于a的方程，解方程即可得到a的值．
【详解】
解：把方程的根-2代入原方程可得：
，
解之得：a=4，
故选A ．
【点睛】
本题考查一元二次方程与一元一次方程的综合应用，熟练掌握一元二次方程根的意义是解
题关键．
31．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】
A选项： 时，方程就不是二次方程，故A错误；
B选项：x在分母上，不满足方程左右两边均为整式的条件，故B错误；
C选项： 整理得： ，符合一元二次方程的定义，故C
正确；
D选项： 整理得： ，故D错误．
综上所述．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整
式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．32．若m是方程 的一个根，设 ， ，则p与q的大小关
系为（ ）
A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．与c的取值有关
【答案】A
【分析】
结合m是方程 的一个根，计算p-q的值即可解决问题．
【详解】
解：∵m是方程 的一个根，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴p＜q
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解以及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解的应用是
解答此题的关键．
33．若 是关于 的方程 的一个根，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
利用一元二次方程的解的定义，将x=1代入关于x的方程x2+x+a=0，然后解关于a的方程即
可．
【详解】
解：根据题意，得当x=1时，1+1+a=0，
解得，a=-2；
故选：D．【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，即一元二次方程的根，就是能够使方程左右两边相等的未
知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=1代入原方程即可求得a的
值．
34．已知关于x的一元二次方程 有一个根为 ，则a的值为
________．
【答案】-1．
【分析】
把 代入方程，转化为关于a的一元二次方程，求得a值，结合二次项系数不能为零，
确定结果即可．
【详解】
∵一元二次方程 有一个根为 ，
∴
∴a=1或a=-1，
∵方程 是一元二次方程，
∴a-1≠0，
∴a=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义，解法，熟练理解定义，确保二次项系数不为零是解
题的一个陷阱，要注意．
35．若m是方程2x2-3x﹣1＝0的根，则式子6m-4m2+2023的值为_____．
【答案】2021
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，将x=m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．
【详解】
解：把x=m代入2x2-3x-1=0，得
2m2-3m-1=0，则2m2-3m=1．
所以6m-4m2+2023=-2（2m2-3m）+2023=-2+2023=2021．
故答案为：2021．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能
够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
36．若关于x的方程x2－3x＋a＝0有一个解是2，则3а+1的值是____________．
【答案】7
【分析】
将x=2代入方程求出a=2，代入代数式求值即可．
【详解】
解：将x=2代入方程，得4-6+a=0，
解得a=2，
∴3a+1=6+1=7，
故答案为：7．
【点睛】
此题考查方程的解，已知字母的值求代数式的值，正确理解方程的解是解题的关键．
37．一元二次方程 有一个根为1，则 __________．
【答案】1
【分析】
把x=1代入方程 ，得到a+1-2=0，解方程即可．
【详解】
∵一元二次方程 有一个根为1，
∴a+1-2=0，
解得a=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的定义，代入转化为ａ的方程是解题的关键．
38．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则2020﹣6m2+9m的值为_____．【答案】2017
【分析】
把m代入原方程得到2 ﹣3m＝1，再把要求值的算式变形成含有 的形式后把
代入即可得解．
【详解】
解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴2m2﹣3m﹣1＝0，
即2m2﹣3m＝1，
∴2020﹣6m2+9m＝2020﹣3（2m2﹣3m）＝2020﹣3×1＝2017．
故答案为2017．
【点睛】
本题考查整式的化简求值与一元二次方程的综合应用，根据一元二次方程解的意义求得要
求值的整式变形后含有的已知算式的值是解题关键．
39．已知实数a是一元二次方程 的一个根，求代数式
的值．
【答案】
【详解】
解：∵实数a是一元二次方程 的一个根，
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．
40．已知：P＝3a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）（1）化简P；
（2）若a为方程 x2+x﹣ ＝0的解，求P的值．
【答案】（1）2a2+3a+1；（2）6
【分析】
（1）通过去括号，合并同类项，即可得到答案；
（2）把原方程整理得2x2+3x﹣5＝0，再根据解的定义得到2a2+3a=5，进而即可求解．
【详解】
解：（1）P＝3a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）
=3a2+3a-a2+1
=2a2+3a+1；
（2） x2+x﹣ ＝0，
整理得：2x2+3x﹣5＝0，
∵a为方程 x2+x﹣ ＝0的解，
∴2a2+3a﹣5＝0，即：2a2+3a=5，
∴P=2a2+3a+1=5+1=6．
【点睛】
本题主要考查整式的化简，一元二次方程的的解的定义，掌握整体代入思想方法，是解题
的关键．
41．关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是3，求它的另一个根和k的值．
【答案】它的另一个根是﹣2，k的值为﹣1
【分析】
先设它的另一个根是a，根据根与系数的关系可得3a＝﹣6，解可求a，再把x＝3代入方程
易求k．
【详解】
解：设它的另一个根是a，则
3a＝﹣6，
解得：a＝﹣2，把x＝3代入方程，得
9+3k﹣6＝0，
解得：k＝﹣1．
∴它的另一个根是﹣2，k的值为﹣1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系进行解题．
42．已知m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，求（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）的值．
【答案】3.
【分析】
把x＝m代入方程得：m2﹣3m+1＝0，即m2﹣3m＝﹣1，再整体代入原式＝m2﹣6m+9+m2﹣
4＝2（m2﹣3m）+5可得．
【详解】
解：∵m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，
∴m2﹣3m+1＝0，即m2﹣3m＝﹣1，
∴（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）＝m2﹣6m+9+m2﹣4＝2（m2﹣3m）+5＝3．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程，已知方程的根则代入满足方程.
43．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2﹣m＝0的常数项为0，则m的值为多少．
【答案】0
【分析】
常数项为零即m2﹣m＝0，再根据二次项系数不等于0，即可求得m的值．
【详解】
解：根据题意得：m2﹣m＝0，且m﹣1≠0，
解得：m＝0，
即m的值为0．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程
的定义是解本题的关键．
44．如果方程 与方程 有且只有一个公共根，求a的值．
【答案】-2
【分析】有且只有一个公共根，建立方程便可求解了．
【详解】
解： 有且只有一个公共根
∵
∴
∴
∵当a=-1时两个方程完全相同，故a≠-1，
∴
∴
当 时，代入第一个方程可得
1-a+1=0
解得：
【点睛】
本题考查根与系数的关系，关键在于有一个公共根的理解，从而建立方程，求得根．
45．阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已
知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x= ，把x= ，代入已知方程，得（ ）2 +
﹣1=0．化简，得y2+2y﹣4=0，故所求方程为y2+2y﹣4=0这种利用方程根的代换求新方程的
方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化
为一般形式）：
（1）已知方程x2+2x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，
则所求方程为 ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一
元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【答案】（1）y2﹣2y﹣1=0；（2）a+by+cy2=0（c≠0）．
【分析】(1) 根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求
的方程．
(2) 根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求
的方程．
【详解】
解：（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x，所以x=﹣y，
把x=﹣y代入方程x2+2x﹣1=0，得：y2﹣2y﹣1=0，
故答案为：y2﹣2y﹣1=0；
（2）设所求方程的根为y，则y= （x≠0），于是x= （y≠0），
把x= 代入方程ax2+bx+c=0，得a （ ）2+b（ ）+c=0，
去分母，得 a+by+cy2=0，
若c=0，有ax2+bx=0，
于是，方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不合题意，
∴c≠0，
故所求方程为a+by+cy2=0（c≠0）．
【点睛】
本题是一道材料题，考查了一元二次方程的应用，以及解法，是一种新型问题，要熟练掌
握．
46．已知关于x的方程 的一根为x=1，求m的值，并把多项式
分解因式．
【答案】 ，当 时，
【分析】
将x=1代入方程可求出m的值，然后根据因式分解法即可求出答案．
【详解】
解：∵ x=1是方程 的一个根，∴ ，
∴ ，
当 时， ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解和分解因式，能求出m的值是解此题的关键．
47．已知m是方程x2+x-1=0的根，求式子2m2+2m+2018的值．
【答案】2020．
【分析】
先根据方程的根的定义可得 ，从而可得 ，再代入求值即可得．
【详解】
∵m是方程 的根，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了方程的根的定义、整式的求值，掌握理解方程的根的定义是解题关键．
48．已知方程 是关于 的一元二次方程．
（1）求 的取值范围；
（2）若该方程的一次项系数为 ，求此方程的根．
【答案】（1） ；（2） ，
【分析】
（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可；
（2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a的值，再代入原
方程，解出方程即可.
【详解】
解： 化简，得．
方程 是关于 的一元二次方程，得
，解得 ，
当 时，方程 是关于 的一元二次方程；
由一次项系数为零，得 ．
则原方程是 ，即 ．
因式分解得 ，
解得 ， ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程
不含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程.
49．已知方程 ．
（1）当 为何值时，它是一元二次方程？
（2）当 为何值时，它是一元一次方程？
【答案】（1） （2） 或
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义解答本题；
（2）根据一次方程的定义可解答本题．
【详解】
解：（1） 方程 为一元二次方程，
，
解得： ，所以当 为 或 时，方程方程 为一元二次方程；
（2） 方程 为一元一次方程，
或
解得， 或 ，
故当 为2或 时，方程方程 为一元一次方程．
【点睛】
本题考查一元一次方程的定义、一元二次方程的定义，解题关键是理解一元一次方程的定
义和一元二次方程的定义，尤其是要注意一元一次方程的各种情况要考虑全面．
50．已知关于 的方程 ．
（1）当 为何值时是一元一次方程？
（2）当 为何值时是一元二次方程？
【答案】（1）-2或 1或0 （2）2
【分析】
（1）根据一元一次方程的定义，可得答案．
（2）根据一元二次方程的定义求解，未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，由这两
个条件得到相应的关系式，再求解即可
【详解】
解：（1）由题意，得当 时， ，
当 且 时， ；
当 时， ．
∴当 或 或 时， 是一元一次方程．
（2）由题意，得 ，且 ，解得 ，∴当 时， 是一元二次方程．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做
一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过
程中容易忽视的知识点．
51．若关于x的一元二次方程 有一个根为 ，且
，求 的值．
【答案】0．
【分析】
根据二次根式的被开方数是非负数求得a、c的值，再把 代入已知方程求得b的值，
最后代入，计算求出结果即可．
【详解】
中，
∵ 且 ，
解得： ，
∴ ，
∵关于 的一元二次方 有一个根为 ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，二次根式有意义的条件，求出a、c、b的值是解此题的关
键．
52．已知x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一个根，且a≠b，求 的值.
【答案】20
【分析】
先根据一元二次方程的解得到a+b=40，然后把原式进行化简得到= （a+b），再利用整
体代入的方法计算；
【详解】
把x=1代入方程得a+b-40=0，即a+b=40，
所以原式= .
53．已知方程 是一元二次方程，求 的值．
【答案】4
【分析】
一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可
【详解】
解：由题意，得
解|m|-2=2得m=±4，
当m=4时，m+4=8≠0，
当m=-4时，m+4=0不符合题意的要舍去，
∴m的值为4．【点睛】
本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一
元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程
中容易忽视的知识点．
54．若m是一元二次方程 的一个实数根．
（1）求a的值；
（2）不解方程，求代数式 的值．
【答案】（1） ；（2）4
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义得到 ，即可求解；
（2）利用方程的解得到 ，推出 和 ，再整体代入原式
即可求解．
【详解】
（1）由于 是关于 的一元二次方程，
所以 ，
解得 ；
（2）由（1）知，该方程为 ，
把 代入，得 ，
所以 ，①
由 ，得 ，所以 ，②
把①和②代入 ，
得 ，
即 ．
【点睛】
本题考查了一元二方程的定义，一元二方程的解以及求代数式的值，利用一元二方程的解
求得 和 是解题的关键
55．请阅读下面材料：
问题：已知方程x2+x-3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．
解：设所求方程的根为y，y= ，所以x＝2y
把x＝2y代入已知方程，得(2y)2+2y-3＝0
化简，得4y2+2y-3＝0
故所求方程为4y2+2y-3＝0
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根
法”解决下列问题：
（1）已知方程2x2-x-15＝0，求一个关于y的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反
数，则所求方程为：_________．
（2）已知方程ax2+bx+c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，求一个关于y的一元二次方程，
使它的根比已知方程根的相反数的一半多2．
【答案】（1）2y2+y-15＝0；（2） ．
【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y，然后把x=-y代入已知方程
整理后即可得到结果；
（2）设所求方程的根为y，则y= （x≠0），于是x=4-2y（y≠0），代入方程
ax2+bx+c=0整理即可得．
【详解】
解：（1）设所求方程的根为y，则y=-x，
所以x=-y，
把x=-y代入2x2-x-15＝0，
整理得，2y2+y-15＝0，
故答案为：2y2+y-15＝0；
（2）设所求方程的根为y，则y= （x≠0），
所以，x=4-2y（y≠0），
把x=4-2y代入方程ax2+bx+c=0，
整理得： ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法．
56．已知关于 的方程 ，其中 是方程的一个根.
（1）求 的值及方程的另一个根；
（2）若△ 的三条边长都是此方程的根，求△ 的周长.
【答案】（1）a=2，另一根是1；（2）3或7或9
【分析】
（1）把x＝3代入方程求出a的值，再把a的值代入方程，求出方程的另一个根；
（2）根据三角形的三边关系，确定三角形的三边长度，求出三角形的周长．
【详解】
解：（1）把x＝3代入方程得9（a−1）−4×3−1＋2a＝0，
解得a＝2，∴原方程为x2−4x＋3＝0，
（x−1）（x−3）＝0，
∴x ＝1，x ＝3，
1 2
故它的另一个根是1；
（2）由题意知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形：
①三边相等，边长为1，1，1；或3，3，3，
那么三角形的周长是3或9；
②仅有两边相等，∵1＋1＝2＜3，
∴三角形的边长只能为3，3，1，
那么三角形的周长是7；
由①、②知，三角形的周长可以是3，或7，或9．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解，把一元二次方程的解代入方程求出a的值，再把a值代
入方程，求出方程的另一个根，根据方程的根，确定三角形三边的值，然后求出三角形的
周长．
57．若m是方程x2+x－1＝0的一个根，求代数式m3+2m2+2019的值．
【答案】2020．
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，将x=m代入已知方程求得m（m+1）=1；然后将所求的代
数式转化为含有m（m+1）的代数式，并代入求值即可．
【详解】
解：根据题意，得
∴ ，或m（m+1）=1，
∴m3+2m2+2019 ．
【点睛】
本题主要考查了方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未
知数的值．58．已知：有代数式① ；② ；③ ；④ ．若从中随机抽取两个，用
“=”连接．
(1)写出能得到的一元二次方程；
(2)从(1)中得到的一元二次方程中挑选一个进行解方程．
【答案】(1)① ；② ；③ ； (2)①
；② ；③
【分析】
(1) 根据一元二次方程的定义，把所有情况列举出来判断即可得到答案；
(2)从中选取一个直接解方程即可得到答案.
【详解】
解：(1) 抽取到①②组合为： = ，故不是一元二次方程；
抽取到①③组合为： = ，故不是一元二次方程；
抽取到①④组合为： = ，故不是一元二次方程；
抽取到②③组合为： = ，即： ，故是一元二次方程；
抽取到②④ = ，即 ，故是一元二次方程；
抽取到③④组合为： = ，即 ，故是一元二次方程；
(2)选取一元二次方程②③组合： = 进行求解，=
解：化简得：
十字相乘法分解因式为： ，
解得： ；
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的概念以及求解，掌握只有一个未知数，且未知数的最高次
数是2次的多项式是一元二次方程是解题的关键.
