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专题 08 认识一元二次方程（重难题型）
1．若a使得关于x的分式方程 有正整数解，且方程 有解,
则满足条件的所有整数a的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若 是方程 的一个根，则 的值为（ ）
A．2020 B． C．2019 D．
3．已知关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．2
4．已知 是关于 的一元二次方程 的解，则 等于（ ）
A．1 B．-2 C．-1 D．2
5．设m，n是方程 的两个实数根，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
6. a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
7．已知m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2020﹣m2+3m的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2019 D．-2020
8．已知 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． ≥3 D． ＜3
9．已知 是方程 的一个根，则代数式 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
10．若关于 的方程 的一个根是 ，则 的值是（ ）A．1 B． C． D．
11．已知 是一元二次方程 的一个根，则 的值是（
）．
A． B． C． D．
12．若a是方程 的一个根，则 的值为（ ）
A．2018 B． C．2019 D．
13．下列方程是关于 的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
14．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则﹣a﹣2b＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
15．下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋ ＋5
＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程个数是（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
16． 是关于x的一元二次方程 的解，则 （ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-6
17．下列关于 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
18．若 是方程 的根，则 的值为（ ）A．2022 B．2021 C．2019 D．2018
19．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2＋bx＋c＝0 B．
C．x2＋2x＝y2－1 D．3（x＋1）2＝2（x＋1）
20． 是关于 的一元二次方程 的解，则 （ ）
A． B． C． D．
21．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
22．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
23．关于 的方程 是一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
24．两个关于 的一元二次方程 和 ，其中 ， ， 是常
数，且 ，如果 是方程 的一个根，那么下列各数中，一定
是方程 的根的是（ ）
A． 2020 B． C．-2020 D．
25．若 是关于方程 的两个实数根，则实数
的大小关系是（）A． B． C． D．
26．若关于 的方程 的解为 ，则关于 的方程
的解为（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
27．关于 的方程 必有一个根为（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2
28．已知4是关于x的方程 的一个实数根，并且这个方程的两个实
数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．7或 C． 或 D．
29．方程 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（
）
A．m≠±l B．m≥-l且m≠1
C．m≥-l D．m＞-1且m≠1
30．若关于 的方程 有一个根为-2，则 的值是（ ）
A．4 B．-2 C．-3 D．-4
31．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
32．若m是方程 的一个根，设 ， ，则p与q的大小关
系为（ ）A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．与c的取值有关
33．若 是关于 的方程 的一个根，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
34．已知关于x的一元二次方程 有一个根为 ，则a的值为
________．
35．若m是方程2x2-3x﹣1＝0的根，则式子6m-4m2+2023的值为_____．
36．若关于x的方程x2－3x＋a＝0有一个解是2，则3а+1的值是____________．
37．一元二次方程 有一个根为1，则 __________．
38．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则2020﹣6m2+9m的值为_____．
39．已知实数a是一元二次方程 的一个根，求代数式
的值．
40．已知：P＝3a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）
（1）化简P；
（2）若a为方程 x2+x﹣ ＝0的解，求P的值．41．关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是3，求它的另一个根和k的值．
42．已知m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，求（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）的值．
43．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2﹣m＝0的常数项为0，则m的值为多少．
44．如果方程 与方程 有且只有一个公共根，求a的值．
45．阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x= ，把x= ，代入已知方程，得（ ）2 +
﹣1=0．化简，得y2+2y﹣4=0，故所求方程为y2+2y﹣4=0这种利用方程根的代换求新方程的
方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化
为一般形式）：
（1）已知方程x2+2x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，
则所求方程为 ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一
元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
46．已知关于x的方程 的一根为x=1，求m的值，并把多项式
分解因式．
47．已知m是方程x2+x-1=0的根，求式子2m2+2m+2018的值．48．已知方程 是关于 的一元二次方程．
（1）求 的取值范围；
（2）若该方程的一次项系数为 ，求此方程的根．
49．已知方程 ．
（1）当 为何值时，它是一元二次方程？
（2）当 为何值时，它是一元一次方程？
50．已知关于 的方程 ．
（1）当 为何值时是一元一次方程？
（2）当 为何值时是一元二次方程？51．若关于x的一元二次方程 有一个根为 ，且
，求 的值．
52．已知x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一个根，且a≠b，求 的值.
53．已知方程 是一元二次方程，求 的值．
54．若m是一元二次方程 的一个实数根．
（1）求a的值；
（2）不解方程，求代数式 的值．55．请阅读下面材料：
问题：已知方程x2+x-3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．
解：设所求方程的根为y，y= ，所以x＝2y
把x＝2y代入已知方程，得(2y)2+2y-3＝0
化简，得4y2+2y-3＝0
故所求方程为4y2+2y-3＝0
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根
法”解决下列问题：
（1）已知方程2x2-x-15＝0，求一个关于y的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反
数，则所求方程为：_________．
（2）已知方程ax2+bx+c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，求一个关于y的一元二次方程，
使它的根比已知方程根的相反数的一半多2．
56．已知关于 的方程 ，其中 是方程的一个根.
（1）求 的值及方程的另一个根；
（2）若△ 的三条边长都是此方程的根，求△ 的周长.57．若m是方程x2+x－1＝0的一个根，求代数式m3+2m2+2019的值．
58．已知：有代数式① ；② ；③ ；④ ．若从中随机抽取两个，用
“=”连接．
(1)写出能得到的一元二次方程；
(2)从(1)中得到的一元二次方程中挑选一个进行解方程．
