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专题08 算术平方根的整数部分与小数部分
1．估计 的值在（ ）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3至4之间
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断 的取值范围，从而得出 的取值范围．
【详解】
∵
∴ ，
∴ ，
即 在0到1之间，
故选A．
【点睛】
本题考查二次根式的估算，常见方法有2种：平方法去根号比较、将整数转化到根号内比较．
2．估计 的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式值的估算办法，可得结果.
【详解】
解：∵3< ,
∴4< ,∴ ,
故 的值在2到3之间，选B.
【点睛】
本题考查了实数的估计大小，掌握放缩法估计实数的大小是解题的关键.
3．估算 的运算结果应在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
【答案】C
【解析】
【分析】
先估算出 的大小,然后求得 的大小即可.
【详解】
解: 9<15<16,
3< <4， 5＜ ＜6，
故选C.
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小:利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算.
4．根据下表回答：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
1 1.21 1.44 1.69 1.96
下列结论正确的是（）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】分析：根据 的取值范围，然后根据表格得出答案．
详解：∵1.44＜1.5＜1.69， ∴1.2＜ ＜1.3， 故选C．
点睛：本题主要考查的是无理数的估算问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是得出
被开方数的取值范围，从而得出答案．
5．如图，长方形的长为3，宽为2，对角线为 ，且 ，则下列各数中与点 表示的数最
接近的是（ ）
A．-3.5 B．-3.6 C．-3.7 D．-3.8
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求得A点坐标，再利用二分法估算即可得出 比较接近-3.6．
【详解】
解：∵长方形的长为3，宽为2，
∴ ，
∴A所表示的数为 ，
∵ ， ，
∴ 介于-3.6和-3.7之间，
∵ ，
∴ 比较接近-3.6，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理，算术平方根的估算．掌握二分法估算是解题关键．
6．写出一个比 大且比 小的整数____．
【答案】答案不唯一，如：1
【解析】
【分析】
先对 进行估值，在找出范围中的整数即可．
【详解】
解：∵1< <2
∴-2<x<2,(x为整数)
故答案为：-1,0,1（答案不唯一）
【点睛】
本题考查算术平方根的估值．理解算术平方根的定义是关键．
7．已知. 的整数部分是x, 小数部分是y，则x-y=_________
【答案】4-
【解析】
【详解】
，
，
，
.
8．a是 的整数部分，b的立方根为-2，则a+b的值为________．
【答案】-5
【解析】
【详解】
∵32<10<42,
∴ 的整数部分a=3,∵b的立方根为-2,
∴b=-8,
∴a+b=-8+3=-5.
故答案是：-5.
9．若 ( 是整数)，则 __________．
【答案】9
【解析】
【分析】
利用“夹逼法”估算出 的范围即可进行判断．
【详解】
解：∵ ，即 ，∵k为整数，∴k=9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，属于基本题型，熟练掌握“夹逼法”估算的方法是解题关键．
10．如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的
边长为a，则 的整数部分为________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据正方形的边长，进行估算，可得结论．
【详解】
解：拼剪后的正方形的面积 ，
∴ ，
∵ ，即∴ ，
∴ 的整数部分是1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查图形的拼剪，正方形的性质及无理数的估算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用
所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题(共0分)
11． 的整数部分为x，小数部分为y，
（1）求x 、y的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据 ，可得整数，小数，根据x、y的值，可得答案；
（2）将x和y的值代入计算即可．
【详解】
解：(1)∵
∴x=4，y= -4
(2)由（1） ＝
＝
=16+ +4
=20+
【点睛】本题考查求算术平方根的整数部分和小数部分，二次根式的混合运算．根据算术平方根估算无理
数是解题关键．
12．已知 和 的小数部分分别为 ，求该代数式 的值.
【答案】0
【解析】
【分析】
先估算出 的大小，然后求得 、 的值，最后直接代入利用二次根式的法则进行计算即可．
【详解】
解； ，
．
． ．
．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的大小、二次根式的混合运算，求得 、 的值是解题的关键．
13．设2+ 的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．
【答案】 ．
【解析】
【详解】
试题分析：先找到 介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，
然后代入求值即可．
试题解析：因为4＜6＜9，所以2＜ ＜3，
即 的整数部分是2，所以2+ 的整数部分是4，小数部分是2+ -4= -2，
即x=4，y= -2，所以 = ．
考点：1．估算无理数的大小；2．算术平方根．
14．已知 ＝3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是 的整数部分，求a+b+3c的平方根．
【答案】a =5、 b =2、c =6；a+b+3c的平方根是±5
【解析】
【分析】
根据 求出a的值，根据3a+b-1的平方根是±4求出b的值，根据c是 的整数部分求
出c的值，把求得的值代入a+b+3c，然后求出入a+b+3c的平方根即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴a=5；
∵3a+b-1的平方根是±4，
∴3a+b-1=16，
∴b=2；
∵c是 的整数部分，6< <7，
∴c=6；
∴a+b+3c=5+2+18=25，
∴a+b+3c的平方根是 ．
【点睛】
本题考查了算术平方根的意义，平方根的意义，无理数的估算，熟练掌握算术平方根的意义、平
方根的意义、夹逼法估算无理数的值是解答本题的关键．
15．阅读并解答下列问题，例如： ，即 ， 的整数部分为2，小数部
分为 ．
请解答：(1) 的整数部分是_______，小数部分是_______．
(2)已知： 小数部分是 ， 小数部分是 ，请求出m+n的值．
【答案】(1)4， -4；
(2)1
【解析】
【分析】
（1）因为 （即 ），所以可得 的整数部分；用 减去得到的整
数部分，可得 的小数部分；
（2）由 与 的小数部分相同，可得 的值，根据不等式的性质求出 的整数部分，
用 减去 的整数部分，可得 的值，将 、 的值代入即可．
(1)
∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分是4，小数部分是 ；
(2)
∵ 小数部分是 ，由（1）得 的小数部分是 ，
∴ 与 的小数部分相同，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ 的整数部分是4，
∵ 的小数部分是 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了二次根式性质的应用、不等式的性质、整数、小数等知识点，解答本题的关键是理解
题干并熟练运用以上知识点．
16．如图，每个小正方形的边长均为 ，阴影部分是一个正方形．
（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；
（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；
（3） 为阴影正方形边长的小数部分， 为 的整数部分，求 的值．
【答案】（1）13， ；（2）不大于 的所有正整数为：1，2，3；（3）
【解析】
【分析】
（1）由大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得到阴影部分面积，根据算术平方根的定义
即可求出边长；
（2）对 进行估值，即可解答；
（3）对 ， 估值，分别求出a，b的值即可．
【详解】
解：（1）阴影部分面积为： ，
∵阴影部分是一个正方形，∴边长为： ，
故答案为：13， ．
（2）不大于 的所有正整数为：1，2，3．
（3）∵ ，
∴ ，
∵
∴
∴ ．
【点睛】
本题考查了无理数的估值及运算，解题的关键是掌握无理数的估值方法．
17．（1）采用夹逼法，利用 的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下：
因为 ，
所以
因为 ， ，
所以
因为 ，
所以
因为 ，
所以
因此 (精确到百分位)，
使用夹逼法，求出 的近似值(精确到百分位)．（2）我们规定用符号 表示数 的整数部分，例如
①按此规定 ；
②如果 的整数部分是 的小数部分是 求 的值．
【答案】（1） ；（2）①5，②
【解析】
【分析】
（1）仿照使用夹逼法求 近似值的方法解答即可；
（2）①先使用夹逼法确定 的范围，然后即可确定 的范围，再根据规定解答即可；
②先确定 的整数部分a与 的小数部分 的值，再代入所求式子化简计算即可．
【详解】
解：（1）因为 ，
所以
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以
因为 ，
所以 ，
因此 ．
（2）①因为3.12=9.61，3.22=10.24，所以 ，
所以 ，
所以 5；
故答案为：5；
②因为 ，
所以 ，
所以原式
．
【点睛】
本题考查了利用夹逼法求算术平方根的近似值、对算术平方根的整数和小数部分的认识以及实数
的简单计算，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握算术平方根的相关知识是解题关键．
