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专题09 算术平方根与立方根的综合运用
1．若a是 的平方根，b是 的立方根，则a+b的值是（ ）
A．4 B．4或0 C．6或2 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
由a是 的平方根可得a=±2，由b是 的立方根可得b=4，由此即可求得a+b的值．
【详解】
∵a是 的平方根，
∴a=±2，
∵b是 的立方根，
∴b=4，
∴a+b=2+4=6或a+b=-2+4=2．
故选C．
【点睛】
本题考查了平方根及立方根的定义，根据平方根及立方根的定义求得a=±2、 b=4是解决问题的关
键．
2．现将体积是125 的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方
体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36 ，若只
排放一层，n的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算出每个小正方体的棱长，再计算出木板的长度，后建立不等式求不等式的整数解即可．
【详解】
解：∵体积是125 的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，∴每一块的棱长l＝2.5cm，
∵长方形面积是36 ，长方形木板的长是宽的4倍，
设宽为x cm，长为4x cm，
x•4x＝36，
得：x＝3，
∴长为12 cm，根据题意,得2.5n≤12，
∴n≤4.8，
∵n是正整数，
∴n的最大值是4．
故选：C．
【点睛】
本题考查了立方体的体积，长方形的面积，算术平方根即平方根中的正的那个，不等式的整数解，
熟练求不等式的整数解是解题的关键．
3．已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为 ，f的算术
平方根是8，求 的值是( )
A． B． C． 或 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出c+d，ab及e的值，代入计算即可．
【详解】
由题意可知：ab=1，c+d=0， ，f=64，
∴ ， ，
∴
= ；
故答案为：D【点睛】
此题考查了实数的运算，算术平方根，绝对值，相反数以及倒数和立方根，熟练掌握运算法则是
解本题的关键．
4．已知x为实数，且 ﹣ ＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（ ）
A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据立方根的性质，可得x﹣3＝2x+1，解出 ，再由算术平方根的性质，即可求解．
【详解】
解：∵ ﹣ ＝0，
∴ ．
∴x﹣3＝2x+1．
∴x＝﹣4．
∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9．
∴x2+x﹣3的算术平方根为 ．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了立方根和算术平方根的性质，熟练掌握立方根和算术平方根的性质是解题的关键．
5．已知 ，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据立方根的定义求出 的值，再根据算术平方根的定义即可得．
【详解】
解： ，
，解得 ，
则 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了立方根与算术平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握立方根与算术平方根的定义是
解题关键．
6．实数a、b，c在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为（ ）
A．﹣3b B．﹣2a﹣b C．a﹣2b D．﹣b
【答案】D
【解析】
【分析】
由图可知， ，且 ，结合立方根、算术平方根、绝对值的性质化简解题即可．
【详解】
解： ，且
，
原式
故选：D．
【点睛】
本题考查利用数轴判断式子的正负，涉及绝对值、算术平方根、立方根等知识，是重要考点，难
度较易，掌握相关知识是解题关键．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
7．若 且 的算术平方根为 ，则 __________．【答案】5
【解析】
【分析】
先求出b=16，再代入 ，根据立方根的定义即可解答．
【详解】
解：∵ 的算术平方根为 ，
∴b=16，
∴ ，
∴ ，
∴a =5．
故答案为5．
【点睛】
本题考查算术平方根的定义和立方根的定义，熟知定义是解题关键．
8．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为 ，输出的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．
【详解】
解： ＝8， ＝2，2的算术平方根是 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键．
9．-8的立方根与 的算术平方根的和为______．
【答案】1【解析】
【分析】
－8的立方根为－2， =9，9的算术平方根为3，两数相加即可．
【详解】
解：∵－8的立方根为－2，
=9，9的算术平方根为3，
∴－2+3=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查立方根与算术平方根的定义，掌握基本概念是解题的关键．
10．已知 的立方根是3， 的算术平方根是4，c是 的整数部分，则 的平
方根为___________．
【答案】±4
【解析】
【分析】
利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求
出值后，进一步求得平方根即可．
【详解】
∵5a＋2的立方根是3，3a＋b-1的算术平方根是4，
∴5a＋2＝27，3a＋b-1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是 的整数部分，
∴c＝3，
∴
∴ 的平方根是±4．
故答案为：±4．
【点睛】
本题主要考查的知识点是立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值，解题关键是读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
11．若一个正数的两个不同的平方根分别是3x﹣1和4﹣4x，则这个数的立方根是___．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数求出 的值，进而确定出这个数，求出这个数的立
方根即可．
【详解】
解： 一个正数的两个平方根互为相反数，
，
解得 ，
，
，
这个数为64，
这个数的立方根是 ．
故答案为：4．
【点睛】
此题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解本题的关键．
12．已知 ， ， ， ，若 ，则
_______；若 ，则 _______．
【答案】 2140 -214
【解析】
【分析】
根据 ， ，结果是原来的10倍，被开方数是原来的100倍，即可求出x，
根据 ， ，结果是原来的-10倍，被开方数是原来的-1000倍，即可求出
y值．
【详解】∵ ，
∴
∵ ，
∴
故答案为：2140，-214
【点睛】
本题考查了平方根和立方根的计算．
三、解答题
13．已知 和 是某数的两个平方根， 的立方根是 ．
(1)求a，b的值；
(2)求 的算术平方根．
【答案】(1)a＝2，b＝－6
(2)5a−3b+8的算术平方根为6
【解析】
【分析】
（1）根据某数的两个平方根互为相反数即可确定a的值，然后代入12 + 7b + 3＝－27求解即可；
（2）先求出代数式的值，然后求算术平方根即可．
(1)
解：根据题意可得： ，
解得a＝2．
又由 ，
把a＝2代入得12 + 7b + 3＝－27
∴b＝－6．
(2)
当a＝2，b＝－6时，
∴5a－3b+8
＝5×2－3×（－6）+8
＝36，
∴ ．
【点睛】题目主要考查平方根及立方根的性质，算术平方根的计算方法，熟练掌握平方根及立方根的计算
方法是解题关键．
14．阅读材料，解答问题：材料：∵ ，即∵ ，
∴ 的整数部分为2，小数部分为 ．
问题：已知 的立方根是3， 的算术平方根是4，c是 的整数部分．求：
(1) 的小数部分为_______；
(2)求 的平方根．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据 ，求出 的整数部分为3，进而得到小数部分为 ；
(2)根据 的立方根是3得到 求出 ；根据 的算术平方根是4求出 ，
最后代入 中求出平方根即可．
(1)
解：∵ ，
∴ 的整数部分为3，即c=3，
∴ 的小数部分为 ．
故答案是： ；
(2)
解：∵ 的立方根是3，
∴ ，
解得 ，
∵ 的算术平方根是4，
∴ ，代入 ，解得 ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
【点睛】
本题考察了无理数的估值及平方根、立方根的概念等，属于基础题，熟练掌握平方根、立方根的
概念是解题的关键．
15．观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题；
409
b 0.004096 4.096 4096000 4096000000
6
0.16 1.6 16 160 1600
(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的
立方根的小数点就向___移动___位．
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知 ，则 ___， ___．
(3)类比上述立方根运算：已知 ，则 ___， ___．
【答案】(1)右；一；
(2)0.235；23.5；
(3)19.13；191.3
【解析】
【分析】
（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律；
（2）根据（1）的规律可得结论；
（3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值．
(1)
用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立
方根的小数点就向右移动一位．
故答案为：右，一；
(2)
∵ 2.35，∴ 0.235， 23.5，
故答案为：0.235，23.5；
(3)
在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一
位．
∵ 1.913，
∴ 19.13， 191.3．
故答案为：19.13，191.3．
【点睛】
本题考查数字的变化类、数的开方，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所
求数字的值．
16．已知2a+4的立方根是2，3a+b－1的算术平方根是3， 的小数部分为c．
(1)分别求出a，b，c的值；
(2)求a+b的平方根．
【答案】(1) ， ，
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，即可求出a、b、c的值；
（2）求出a+b的值，再求其平方根即可．
(1)
∵ 的立方根是2， 的算术平方根是3，
∴
解得： ．
∵c是 的小数部分， ，∴ ．
(2)
∵a=2，b=4
∴a+b=6，
∴a+b的平方根是 ．
【点睛】
本题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、代数式求值、求一个数的平方
根等知识点．熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
17．已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求 +2 的算术平方根．
【答案】 +2 的算术平方根是2 ．
【解析】
【分析】
利用平方根、立方根性质求出a与b的值，代入原式计算即可求出所求．
【详解】
解：由题可知a+9＝（﹣5）2，2b﹣a＝（﹣2）3，
解得：a＝16，b＝4，
∴ +2 ＝ +2 ＝4+4＝8，8的算术平方根是2 ，
则 +2 的算术平方根是2 ．
【点睛】
本题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
18．（1）利用求平方根、立方根解方程：
①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0．
（2）观察下列计算过程，猜想立方根．
13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729
（ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为
，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为 ，验证得19683的立方根是
（ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空：
① = ； ② = ；③ = ．【答案】（1）①x=±3；②x=﹣1；（2）（ⅰ）7，2，27；（ⅱ）①49，②﹣72，③0.81．
【解析】
【分析】
（1）直接利用解方程的基本步骤求解；
（2）分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据阅读知识求出
个位数和十位数即可．
【详解】
（1）①3x2=27,∴x2=9，∴x=±3;
②∵2（x﹣1）3+16=0，∴（x﹣1）3=﹣8，
∴x﹣1=﹣2，∴x=﹣1．
（2）（ⅰ）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由 ，猜想
19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27
（ⅱ）① ； ② ；③ ．
故答案为：（1）7，2，27；（2）①49，②﹣72，③0.81．
【点睛】
本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解
题的关键，有一定难度．
