文档内容
初三数学摸拟试卷
（满分150分，100分钟完成）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1. 下列各数中，与 相等的是（ ）
.
A B. C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方逆运算和同底数幂乘法的逆运算，正确运用公式是解题关键．先利用幂的乘
方的逆运算将 的底变为 ，再通过同底数幂乘法的逆运算变出 ，即可计算．
【详解】解： ，
故选：A．
2. 某公司三月份的产值为a万元，比二月份增长了 ，那么二月份的产值（单位：万元）为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，根据“三月份的产值为 万元，比二月份增长了 ”，得出答案即可，
理解题意、正确列出代数式是解题的关键．
【详解】解：∵三月份的产值为 万元，比二月份增长了 ，
∴二月份的产值 ，故选：C．
3. 下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A．x，y的指数分别为2，2，此选项错误；
B． 的指数为1，此选项正确；
C．x＋y的指数为2，此选项错误；
D．x，y的指数分别为1，2．此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，分清因数和指数是解答此题的关键．
4. 如果点C是线段AB的中点，那么下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点C是线段AB的中点，可以判断 ，但它们的方向相反，继而即可得出答案．
【详解】解：由题意，
∵点C是线段AB的中点，
∴
∵ 与 为相反向量，
∴ ；
故选：C．
【点睛】本题考查了平面向量的知识，注意向量包括长度及方向，及0与 的不同．
5. 某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图象能大致表示水的深度h和注水时间t之间关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系为先快后慢．
【详解】根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，每一段h随t的增大
而增大，增大的速度是先快后慢．
故选C．
【点睛】此题考查了函数的图象，根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力．要能根据
几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
6. 已知四边形 中，对角线 与 相交于点 ， ，下列判断中错误的是（ ）
A. 如果 ， ，那么四边形 是矩形
B. 如果 ， ，那么四边形 是矩形
C. 如果 ， ，那么四边形 是菱形
D. 如果 ， ，那么四边形 是菱形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的
判定方法逐项进行分析判定即可得答案．
【详解】解：A、如果 ， ，那么四边形 是梯形，不是平行四边形也就不是矩形，故A选项错误，符合题意；
B、如果 ， ，则四边形 是平行四边形，则 ， ，因为
所以 ，那么平行四边形 是矩形，故B选项正确，不符合题意；
C、如果 ， ，则四边形 是平行四边形，又 ，那么平行四边形
是菱形，故C选项正确，不符合题意；
D、如果 ， ，则可以证得四边形 是平行四边形，又 ，那么平行四边
形 是菱形，故D选项正确，不符合题意，
故选A．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]
7. 当 时， ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握 是解题的关键．
根据 的进行计算即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴．
∴
故答案为： ．
8. 不等式组 的整数解是________．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，整数解的问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
写解每一个不等式，再取解集的公共部分，然后即可求解．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
∴ 原不等式的解集为： ，
∴整数解为： ， ，
故答案为： ， ．
9. 如果关于x的方程 有实数根，那么a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据关于 x 的方程 有实数根，得出
，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：∵关于x的方程 有实数根，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
10. 在实数范围内分解因式， ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，二次根式的乘法，熟练掌握公式法进行因式分解是解决本题的关键．根据题
意，利用十字相乘因式分解．
【详解】解：
．
11. 如果实数x满足 ，那么 的值是________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的
关键．
利用完全平方公式把方程变形为 ，利用换元法，设 ，则
，转化为解一元二次方程，求出 可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，
即可得出答案．【详解】解：∵ ，
∴ ，
，
设 ，则 ，
因式分解得： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
当 时，则 ，
整理得： ，
∴ ，
解得： ， ，
经检验， ， 都是方程 的解，
∴ 的值为 ；
当 时，则 ，
整理得： ，，
∴ 时，方程无解．
综上所述， 的值为 ，
故答案为： ．
12. 如果一次函数 的图像一定经过第二、三象限，那么常数m的取值范围为
________．
【答案】 且
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图像与性质，运用数形结合思想解题是解题的关键，根据“一次函数
的图像一定经过第二、三象限”可知，此图像与x轴的交点在原点的左边，即与x轴
交点的横坐标小于0，从而得解．
【详解】解：∵一次函数 的图像一定经过第二、三象限，
∴此图像与x轴的交点在原点的左边，且 ，即 ，
∴此图像与与x轴交点的横坐标小于0，
令 ，解得： ，
解得： ，
∴常数m的取值范围为 且 ，
故答案为： 且 ．
13. 某班进行一次班级活动，要在2名男同学和3名女同学中，随机选出2名学生担任主持人，那么选出
的2名学生恰好是一男一女的概率是________．【答案】 ##0.6
【解析】
【分析】本题考查的是画树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
先画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得到答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有20种等可能的情况数，选出的2位同学恰好为一男一女的有12种，
则主持人是一男一女的概率为 ．
故答案为： ．
14. 一斜坡的坡角为 ，坡长比坡高多100米，那么斜坡的高为________（用 的锐角三角比表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正弦函数的应用．利用所给角的正弦函数求解．
【详解】解：如图所示．由题意得 ，
∵ ， ，∴ ，
整理得 ，
∴斜坡的高为 米．
故答案为： ．
15. 在 中， ，点 是重心，如果 ， ，那么 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了重心的定义与性质，结合勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，关键是掌握重心性
质并运用勾股定理列式求解是解题关键．本题先利用重心求出 和 ，再利用勾股定理列式整体法求
出 ，最后利用直角三角形斜边中线性质和重心性质求出 ．
【详解】解：如图，设 延长线交 于点 ， 延长线交 于点 ， 延长线交 于点 ，
∵点 是重心， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，∴ ，
①+②得： ，
化简得： ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是重心， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16. 如图，⊙A和⊙B的半径分别为5和1，AB＝3，点O在直线AB上，⊙O与⊙A、⊙B都内切，那么⊙O半
径是________．
【答案】 或 ．
【解析】
【分析】根据两圆内切时圆心距=两圆半径之差的绝对值，分两种情况求解即可．
【详解】当点O在点A左侧时，⊙O半径r= ,当点O在点B右侧时，⊙O半径r= .故填 或 .
【点睛】此题考查圆与圆之间的位置关系，解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的
数量之间的联系.
17. 如图，在 中， ， ， 是中线，将 沿直线 翻折后，点 落
在点 ，那么 的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确
进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点 作 于点 ，计算得出
，再证明四边形 是平行四边形，得 ，再在 中求解 即
可．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是中线，
∴ ，
由翻折知 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
由翻折知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
18. 在一个三角形中，如果一个内角是另一内角的 倍（ 为整数），那么我们称这个三角形为 倍三角
形．如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为________．
【答案】 或 或 或
【解析】
【分析】根据n倍三角形的定义结合三角形内角和定理，进行分类讨论计算即可．
【详解】设最小的内角为 ．分类讨论：
①当2倍角为 ，3倍角为 时，可得： ，
解得 ．
②当2倍角为 ，3倍角为 时，可得： ，
解得 ．
③当3倍角为 ，2倍角为 时，可得： ，
解得 ．
④当 即是2倍角又是三倍角时，即另一个内角为 ，可得： ，
解得 ．综上可知，最小的内角为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查三角形内角和定理．理解题干中n倍三角形的定义以及利用分类讨论的思想是解答本题
的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
[将下列各题的解答过程，做在答应纸上]
19. 已知： ，求： 值．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂、分母有理化以及完全平方公式的运算，先整理得出 ，
， ，再运用完全平方公式展开代入数值，进行计算即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ．
∴
20. 已知点 在双曲线 上．
（1）求此双曲线的表达式与点 的坐标；
（2）如果点 在此双曲线上，图像经过点 、 的一次函数的函数值 随 的增大而增大，求
此一次函数的解析式．
【答案】（1） ， ；（2） ．
【解析】【分析】（1）把点A（2，m+3）代入 求得m，即可求出结果；
（2）把点B（a，5-a）代入 求得a得到B点的坐标，根据A点坐标和函数的增减性排除掉不符合题
意的点，再由待定系数法求出一次函数解析式．
【详解】解：（1）∵点A（2，m+3）在双曲线 上，
∴ ，
解得：m=-6，
∴m+3=-3，
∴此双曲线的表达式为 ，
点A的坐标为（2，-3）；
（2）∵点B（a，5-a）在此双曲线 上，
∴ ，
解得：a=-1或a=6，
经检验： 都是原方程的根，且符合题意，
的
∴点B 坐标为（-1，6）或（6，-1），
∵一次函数的函数值 随 的增大而增大，由（1）知A（2，-3），
∴点B的坐标只能为（6，-1），
设一次函数的解析式为y=kx+b，
∴ ，解得： ，
∴一次函数 解析式为 ．
的
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式以及一次函数的性质，熟练掌
握待定系数法求解析式是解题的关键．
21. 已知：如图，在 中， ， ， ， ， 与 相
交于点G．
求：
（1） 的长；
（2） 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）过点A作 于E，交 于F．则 ，由勾股定理得，
．由 ， ，可得 ， ，则
， ， ，由勾股定理得， ，则
，由勾股定理得， ，计算求解即可；（2）由题意知， ，证明 ，则 ，由
，可求 ．
【小问1详解】
解：过点A作 于E，交 于F．
∵ ， ，
∴ ，
由勾股定理得， ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴ ；
【小问2详解】解：由题意知， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，余弦，全等三角形的判定与性质等知识．熟练
掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理，余弦，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22. 个集装箱装满了甲、乙、丙三种商品共 吨，每个集装箱都只装载一种商品，根据下表提供的信
息，解答以下问题：
商品类型 甲 乙 丙
每个集装箱装载量（吨）
每吨价值（万元）
（1）如果甲种商品装 个集装箱，乙种商品装 个集装箱，求 与 之间的关系式；
（2）如果其中 个集装箱装了甲种商品，求每个集装箱装载商品总价值的中位数．
【答案】（1）
（2）每个集装箱装载商品总价值的中位数是98万元
【解析】
【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式及中位数，正确认识题中图表及理解题意是解题关键．
（1）先列出三种商品装集装箱的个数的式子，再利用三种商品共 吨列式即可；（2）先得出三种商品装载集装箱的个数，再得出 个集装箱装载商品总价值分别是多少，利用中位数定
义即可求解．
【小问1详解】
解：∵甲种商品装 个集装箱，乙种商品装 个集装箱，一共 个集装箱，
∴丙种商品装 个集装箱，
∴由题意得： ，
化简得： ；
【小问2详解】
当 时， ， ，
∴甲、乙、丙三种商品装载集装箱个数分别是 、 、 ，
由表可知每个甲集装箱装载商品总价值为 （万元），
每个乙集装箱装载商品总价值为 （万元），
每个丙集装箱装载商品总价值为 （万元），
∴ 个集装箱装载商品总价值有 个 万元， 个 万元， 个 万元，
∴这 个数据从小到大排列后第 、 个数据分别是 、 万元，
∴每个集装箱装载商品总价值的中位数是 （万元）．
23. 已知：如图，在梯形 中， ， ，点E在 的延长线上， ．（1）求证： ；
（2）当 平分 时，求证： 是等腰直角三角形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接 ，由梯形 ， ，可得 ， ．证明
．则 ．由 ，可得 ．进而可
得 ．
（2）由 平分 ，可得 ．即 ，由梯形 ， ，
，可得 ．则 ．证明 ，
则 ，由 ，可求
，进而可得 ，进而结论得证．
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵梯形 ， ，
∴ ， ．
又∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，∴ ．
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
证明：∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵梯形 ， ， ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，平行线的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形内角
和定理，等腰三角形的判定等知识．熟练掌握等腰梯形的性质，平行线的性质，角平分线，全等三角形的
判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定是解题的关键．
24. 如图，抛物线 顶点为坐标原点 、且经过点 ，直线经过点 和点 ．
（1）求抛物线与直线的表达式；（2）如果将此抛物线平移，平移后新抛物线的顶点 在原抛物线上，新抛物线的对称轴与直线 在原
抛物线的内部相交于点 ，且 ，求新抛物线的表达式．
【答案】（1）抛物线表达式为 ，直线的表达式为
（2）新抛物线的表达式 或
【解析】
【分析】（ ）利用待定系数法求解即可；
（ ）设直线 与 轴交于点 ，求出 ，设点 的坐标为 ，则点 的坐标为
，分 当点 在线段 上时， 当点 在 延长线上时两种情况讨论即可；
本题考查二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
∵抛物线 顶点为坐标原点O，
∴ ， ，
∵点 在二次函数图象上，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线表达式为 ，
的
设直线 表达式为 ，
∵直线经过点 和点 ，∴ ，
∴ ，
∴直线的表达式为 ；
【小问2详解】
设直线 与 轴交于点 ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设点 的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，
∵ 轴，
∴ ，
当点 在线段 上时，如图，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点C的坐标为 ，
∴新拋物线的表达式 ，
当点 在 延长线上时，延长 交 轴于点 ，在 的延长线上截取 ，连接 ，
如图，
则 ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ （正值不符合题意，舍去），
∴点 的坐标为 ．
∴新抛物线的表达式 ．
25. 已知： 的直径 与 相交于点C、D， 的直径 与 相交于点E，设 的
半径为x，OE的长为y．
（1）如图，当点E在线段 上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）当点E在直径 上时，如果 的长为3，求公共弦 的长；
（3）设 与 相交于G，试问 能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出 弧的长度（不
必写过程）；如果不能，请简要说明理由
【答案】（1）
（2） 或
（3） 能为等腰三角形， 的长度为 或
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理、相似三角形的性质与判定，解直角三角形，圆的基本知识，做题时一
定要分析各种情况，不要遗漏．
（1）欲求y关于x的函数解析式，连接 ，证明 即可；
（2）求公共弦 的长，作 ，垂足为M．通过圆的知识得出 ，转化为求 的
长；分为两种情况：点E在线段 上时；点E在线段 上时，求出BM的长；
（3） 为等腰三角形，分为两种情况：点E在线段 上时；点E在线段 上时，根据角的关系
先求出角的度数，从而求出 的长度．
【小问1详解】
解：连接 ，∵ 的直径 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴y关于x的函数解析式为 ；
【小问2详解】
解：如图所所示，当点E在线段 上时，作 ，垂足为M，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
设两圆的公共弦 与 相交于H，则 垂直平分 ．
∴ ．
∴ ．
当点E在线段 上时，作 ，垂足为M，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ．
同理可得综上所述， 的长为 或 ；
【小问3详解】
解：如图所示，当点E在线段 上时，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
当 时，设 ，
∴ ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，∴ 的长为 ；
如图所示，当点E在线段 上时，同理可证明 ，
当 时，设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的长为 ；综上所述， 能为等腰三角形， 的长度为 或 ．
