文档内容
2023 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
初三数学 试卷
（时间100分钟 满分150分）
考生注意∶
1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1. 下列实数中，有理数 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查实数的分类及算术平方根，熟练掌握实数的分类及算术平方根是解题的关键；根据
实数的分类可进行排除选项．
【详解】解：∵ ，
∴ 是有理数，而 、 、 是无理数；
故选B．
2. 下列单项式中，与单项式 是同类项的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同类项的定义，根据字母相同，字母的指数也相同的项叫做同类项，进行判断即
可．
【详解】解：与单项式 是同类项的是 ；
故选C．3. 已知直线 经过第一、二、四象限，则直线 经过( )
A. 第一、三、四象限 B. 第一、二、四象限
C. 第一、二、三象限 D. 第二、三、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
【详解】解：已知直线 经过第一、二、四象限，
则得到 ，
那么直线 经过第一、三、四象限．
故选：A．
【点睛】此题考查一次函数图象与系数的关系．解题关键在于注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b
的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直
线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
4. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（cm） 185 180 185 180
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【详解】∵ = > = ，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵ = < < ，
∴选择甲参赛，
故选A．【点睛】此题主要考查了平均数和方差的应用，解题关键是明确平均数越高，成绩越高，方差越小，成绩
越稳定.
5. 如图， 的对角线 、 相交于点 ，如果添加一个条件使得 是矩形，那么下列
添加的条件中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，根据判定定理逐项判断即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形．
则A不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形．
则B不符合题意；
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴平行四边形 是菱形．
则C不符合题意；
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形．
则D正确．
故选：D．
6. 如图，一个半径为 的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了 ，假设绳索
（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（ ）
A. cm B. cm C. cm D. cm
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式．利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中 所对应的弧长，然后根据弧
长公式计算即可．
【详解】解：根据题意，重物上升的高度为
．
故选：B．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 方程 的解是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程和二次根式的性质求解即可；
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案是 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解和二次根式的性质，准确计算是解题的关键．
8. 不等式组 的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先
分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解： ，
解①得： ，
解②得： ，
∴不等式组的解集是 ．9. 方程组 的解是__________．
【答案】 或
【解析】
【分析】本题考查解二元二次方程组，一元二次方程，代入消元法，将方程组先转化为一元二次方程，再
进行求解即可．
【详解】解：
由②得： ③；
把③代入①，得： ，解得： ，
∴ ，
∴方程组的解为： 或 ；
故答案为： 或
10. 关于 的一元二次方程 根的情况是：原方程______实数根．
【答案】有两个不相等的
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ，若
，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有两个相等的实数根，若
，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
∴原方程有两个不相等的实数根，故答案为：有两个不相等的．
11. 如果二次函数 的图像的一部分是上升的，那么 的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数解析式可得抛物线
开口向上，则当 在对称轴右侧时，函数图像上升，所以求出函数的对称轴即可求解．
【详解】解： ，又抛物线开口向上，
当 时， 随 的增大而减小，图像下降；当 时， 随 的增大而增大，图像上升；
二次函数 的图像的一部分是上升的，
，
故答案为： ．
12. 如果反比例函数 的图像经过点 ，那么 的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图像上的点，将点 代入函数解析式，求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
解得： ；
故答案为： ．
13. 如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，那么抽取的三条线段能构成三角形的
概率是_______．
【答案】
【解析】【分析】根据构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可．
【详解】∵从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段
∴可能有：2、4、6；2、6、7；4、6、7；2、4、7四种可能性
又∵构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
∴符合条件的有：2、6、7；4、6、7两种
故概率为：
故答案为：
【点睛】本题考查构成三角形的条件以及概率的计算，掌握构成三角形的三边之间的关系是解题关键．
14. 小杰沿着坡比 的斜坡，从坡底向上步行了 米，那么他上升的高度是______米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握坡比的定义．设坡度的高为 米，根据勾股
定理列方程求解．
【详解】解：设坡度的高为 米，则水平距离为 米，
，
解得： ，
故答案为： ．
15. 某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了 名家长进行问卷调查，每位学生家
长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这 名家长的问卷真实有效），将这 份问卷进行回
收整理后，绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该校共有 名学生，那么可以估计该
校对手机持“严格管理”态度的家长____人．【答案】
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，解题的关键是数形结合．先根据条形统
计图计算出稍加询问的百分比，进而结合扇形统计图求出严格管理的百分比，最后利用样本估计总体即可
求解．
【详解】解：稍加询问的百分比： ，
严格管理的百分比： ，
持“严格管理”态度的家长人数： （人），
故答案为： ．
16. 如图，梯形 中， ， ， 平分 ，如果 ， ，
，那么 是_______（用向量 、 表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，向量的运算，解题的关键是熟练掌握这些知识．
根据角平分线的定义，平行线的性质，推出 ，结合 ，可得 ，最后根据，即可求解．
【详解】解：设 ，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
17. 如图，在 中， ， ． 已知点 是边 的中点，将 沿直线 翻
折，点 落在点 处，联结 ，那么 的长是_______．
【答案】 ##
【解析】【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线分线段成比例，如图， 为点 关于 的对称点，过点
作 ，过点 作 ，则 ，联结 ，可知 ，得
进 而 根 据 勾 股 定 理 可 得 ， ， 再 由 ， 得
，结合 ， ，可知 ，再根据勾股定理即可求解，根据折
叠的性质得 是解决问题的关键．
【详解】解：如图， 为点 关于 的对称点，过点 作 ，过点 作 ，则
，联结 ，
∴ ，
∵点 是边 的中点，即 ，
∴ ，则 为 的中点，即 ，
∴ ， ，
∵ 为点 关于 的对称点，∴ ，且 ， ，
则 ，
∴ ，则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
18. 如图，点 是函数 图象上一点，连接 交函数 图象于点 ，点 是
轴负半轴上一点，且 ，连接 ，那么 的面积是_______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】过点 ， 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ， ，反比例函数比例系数的几何意义得
， ， 证 得 ， 由 此 得 ， 证 得，然后根据等腰三角形的性质得 ，则 ，由此得得
，进而可得 的面积．
【详解】解：过点 ， 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ， ，如下图所示：
点 是函数 图象上一点，点 是反比例函数 图象上的点，
根据反比例函数比例系数的几何意义得： ， ，
轴， 轴，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
，
， 轴，
，，
，
即 ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比
例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分
78分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算法则．先计算零指数幂、化简二
次根式、绝对值，再算加减即可．
【详解】解：原式
．
20. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和解一元二次方程
的方法和步骤．先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行求解即可．【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解，
当 时， ，
∴ 不是原方程的解．
21. 如图， 和⊙ 相交于点 、 ，连接 、 、 ，已知 ， ，
．
（1）求 的半径长；
的
（2）试判断以 为直径 是否经过点 ，并说明理由．
【答案】（1）
（2）以 为直径的 经过点 ，见解析【解析】
【分析】本题主要考查了圆的相关性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题
的关键是灵活运用这些知识．
（1）连接 ，设 与 的交点为 ，根据题意可得 ， ，在
中，根据勾股定理求出 ，进而求出 ，在 中，根据勾股定理求出 ，即可
求解；
（2）根据题意并结合（1）可得 ，可证明 ，得到
，取 的中点 ，连接 、 ，推出 ，结合 垂直平分
，即可求解．
【小问1详解】
解：连接 ，设 与 的交点为 ．
和⊙ 相交于点 、 ， ，
， ，
在 中， ，
；
，
在 中， ，；
即 的半径长为 ；
【小问2详解】
以 为直径的 经过点 ．
， ，
，又 ，
，
，
取 的中点 ，连接 、 ，
，
又 垂直平分 ， ，
以 为直径的 经过点 ．
22. A市“第××届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送 名学
生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐 人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地 千米
的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有 分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已
知这辆车的平均速度是每小时 千米，人步行的平均速度是每小时 千米（上、下车时间忽略不计）．
（1）如果该小汽车先送 名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由；
（2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的
理由．
【答案】（1）不能，见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据题意分别求出单程送达比赛场地的时间和另外送4名学生的时间，进而问题可求解；
（2）设汽车与另外 名学生相遇所用时间为 小时，根据题意可得 ，进而求解即可．
【小问1详解】
解：他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地．
∵单程送达比赛场地的时间是： （小时） （分钟）；
∴送完另 名学生的时间是： （分钟） （分钟）；
∴他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地．
【小问2详解】
解：先将 名学生用车送达比赛场地，另外 名学生同时步行前往比赛场地，
汽车到比赛场地后返回到与另外 名学生的相遇处再载他们到比赛场地．（用这种方案送这 名学生到达
比赛场地共需时间约为 分钟）．理由如下：
先将 名学生用车送达比赛场地的时间是： （小时） （分钟），
此时另外 名学生步行路程是： (千米)；
设汽车与另外 名学生相遇所用时间为 小时．
则 ；
解得 （小时） （分钟）；
从相遇处返回比赛场地所需的时间也是 （分钟）；所以，送这 名学生到达比赛场地共需时间为：
（分钟）；
又 ；
所以，用这种方案送这 名学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地．
23. 如图，在菱形 中，点 、 、 、 分别在边 、 、 、 上， ，
， ．
（1）求证： ；
（2）分别连接 、 ，求证：四边形 是等腰梯形．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，等腰梯形的判定
（1）连结 ，可得 ， ，进而即可得到结论；
（2）欲证明四边形 是等腰梯形，只需推知 ， ，即可．
【小问1详解】
证明：连结 ．∵四边形 是菱形，
∴ ；
又 ， ，
∴ ， ；
∴ ， ；
∴ ．
【小问2详解】
证明：连接
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
又 ，∴ ；
又 ，
∴四边形 是梯形；
∵ ,即 ；
又∵ ，即 ；
∵四边形 是菱形，
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∴梯形 是等腰梯形．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与
轴交于点 ．
（1）求该抛物线的表达式及点 的坐标；
（2）已知点 ，联结 ，过点 作 ，垂足为 ，点 是 轴上的动点，分别联结
、 ，以 、 为边作平行四边形 ．
① 当 时，且 的顶点 正好落在 轴上，求点 的坐标；
② 当 时，且点 在运动过程中存在唯一的位置，使得 是矩形，求 的值．【答案】（1） ；点
（2）① ；② 的值为 或
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标代入表达式求出a的值即可得到函数表达式，进而根据对称性求出点 B的坐
标；
（ 2 ） ① 在 中 ， ， 则 ； 得 到
； 过 点 作 ， 垂 足 为 ． 在 中 ，
， ；证明四边形 是矩形，则 ；即
可得到答案；②根据m的取值分三种情况分别进行解答即可．
【小问1详解】
解：把 代入 ，
得 ，
解得 ；
∴抛物线的表达式为 ；
∵抛物线的对称轴是直线 ，抛物线 与 轴交于点 和点 ，
∴点 ．
【小问2详解】①由题意，得 ， ，
∴ ；
∵四边形 是平行四边形，
∴ ；
又点 在 轴上，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ， ；
在 中， ，
∴ ；
∴ ；过点 作 ，垂足为 ．
在 中， ， ；
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ；
∴ ．
②当 时，根据 不同取值分三种情况讨论：
当 时，即点 与点 重合时，符合题意；
当 时，如图情况符合题意，取 的中点P，以 为直径作圆P，则 在圆上，
此时圆P和x轴有唯一切点D，符合题设条件，
则 ，
∵ ，
由①知， ，则 ，
则 ，∵ ， ,
∴ ，解得 ；
当 时，可得 ，所以符合题意的 不存在；
综合 、 、 ，符合题意的 的值为 或 ．
【点睛】此题考查了二次函数的综合题，考查了解直角三角形，切线的性质、勾股定理、矩形的判定和性
质、平行四边形的性质等知识，分类讨论是解题的关键．
25. 如图，在扇形 中， ， ，点 、 是弧 上的动点（点 在点
的上方，点 不与点 重合，点 不与点 重合），且 ．
（1）①请直接写出弧 、弧 和弧 之间的数量关系；
②分别连接 、 和 ，试比较 和 的大小关系，并证明你的结论；
（2） 分别交 、 于点 、 ．
①当点 在弧 上运动过程中， 的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求
的值；
②当 时，求圆心角 的正切值．
【答案】（1）① ；② ，证明见解析；（2）① 的值不变， ；② 或 ．
【解析】
【分析】（1）①根据“同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”即可得到答案；
②在弧 上取点 连接 ，使得 ，可得 ，根据角的和差关系可得
，则 ，即可得到答案；
（2）①证明 ，即可得到答案；
② 过 点 在 下 方 作 ， 截 取 ， 连 接 、 ， 证 得
， 可 得 ， 进 一 步 证 得
，则可得 ，由勾股定理和线段的和差关系可得
，联立解得 ，过点N作 于点F，则 ，利用勾股定理求得 ，
，根据正切的概念计算即可．
【小问1详解】
解：① ， ，
，
；
② ．证明如下：
在弧 上取点 连接 ，使得 ，；
、 可得 ；
，
，
；
；
．
【小问2详解】
解：① 的值不变， ．
， ，
；
， ，
；
；
；
．
②如图，过点 在 下方作 ，截取 ，连接 、 ，
，
，
， ，
；
又 ， ，
，
，
；
， ；
解得 或 ；
过点N作 于点F，则 ，
，
，
，
设 ，则 ，
当 时，在 中， ，即 ，
解得： ，
；
当 时，
在 中， ，即 ，
解得： ，
．
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似
三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
