文档内容
2023-2024 学年度第一学期初三期末质量调研
数学学科
（测试时间：100分钟，满分：150分）
考生注意：
1.本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
的
1. 抛物线 向右平移3个单位长度，则所得抛物线 解析式为（ ）
A. B. C. D.
2. 如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的正切值（ ）
A. 扩大为原来的两倍 B. 缩小为原来的
.
C 不变 D. 不能确定
3. 已知 是线段 的黄金分割点，且 ，那么下列等式能成立的是（ ）
.
A B.
C. D.
4. 如果两个非零向量 与 的方向相反，且 ，那么下列说法错误的是（ ）
A. 与 是平行向量 B. 的方向与 的方向相同
C. 若 ，则 D. 若 ，则
5. 如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的 处架起测角仪，测角仪的高 米，从点 测得
教学大楼顶端 的仰角为 ，测角仪底部 到大楼底部 的距离是 米，那么教学大楼 的高是（）
A. B.
C. D.
6. 如图，锐角 中， ，现想在边 上找一点 ，在边 上找一点 ，使得
与 相等，以下是甲、乙两位同学的作法：（甲）分别过点 、 作 、 的垂线，垂足
分别是 、 ，则 、 即所求；（乙）取 中点 ，作 ，交 于点 ，取 中点 ，
作 ，交 于点 ，则 、 即所求．对于甲、乙两位同学的作法，下列判断正确的是（
）
A. 甲正确乙错误 B. 甲错误乙正确 C. 甲、乙皆正确 D. 甲、乙皆错误
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
的
7. 已知线段 厘米， 厘米，如果线段 是线段 和 比例中项，那么 _____厘米．
8. 计算： _________．
9. 二次函数 的图像与 轴的交点坐标是_________10. 已知抛物线 的开口向上，那么 的取值范围是_________．
11. 如果点 和点 是抛物线 （ 是常数）上的两点，那么 _________ ．
（填“＞”、“＝”或“＜”）
12. 在 中， ， ，垂足为点 ，如果 ， ，那么
_____．
13. 小华沿着坡度 的斜坡向上行走了 米，那么他距离地面的垂直高度上升了_____米．
14. 写出一个经过坐标原点，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线的表达式，这个抛物线的表达式可以是
_____．
15. 如图，在 中，点 是重心，过点 作 ，交边 于点 ，连接 ，如果
，那么 _____．
16. 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面 宽 米，拱桥的最高点 到水面 的距离是 米，
如图建立直角坐标平面 ，如果水面上升了 米，那么此时水面的宽度是_____米．（结果保留根号）
17. 如图，已知 与 相似， ， ， ， ，
连接 ，交边 于点 ，那么线段 的长是_____．18. 如图，已知在菱形 中， ，将菱形 绕点 旋转，点 、 、 分别旋转至点 、
、 ，如果点 恰好落在边 上，设 交边 于点 ，那么 的值是_________．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 如图，已知在 中，点 、 、 分别在边 、 、 上， ， ，
．
（1）求 的长；
（2）如果 ， ，求四边形 的周长．
20. 已知二次函数 ．（1）用配方法将函数 的解析式化为 的形式，并指出该函数图像的对称
轴和顶点坐标；
（2）设该函数的图像与 轴交于点 、 ，点 在点 左侧，与 轴交于点 ，顶点记作 ，求四边形
的面积．
21. 如图，在 中， ， ， 的垂直平分线交边 于点 ，交边 于点
，交 的延长线于点 ．
（1）求 的长；
的
（2）求 正弦值．
22. 周末，小李计划从家步行到图书馆看书．如图，小李家在点 处，现有两条路线：第一条是从家向正
东方向前进 米到路口 ，再沿 的南偏东 方向到图书馆 ；第二条是从家向正南方向前进 米
到路口 ，再沿 的南偏东 方向到图书馆 ．假设小李步行的速度大小保持不变，那么选择哪条路线
更快到达图书馆？请通过计算说明．（参考数据： ， ， ）23. 已知：如图，在等腰梯形 中， ， ，点 在边 上， 与 交于点
， ．
（1）求证： ；
（2）如果点 是边 的中点，求证： ．
24. 已知在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 、点 （点 在点
的左侧），与 轴交于点 ，抛物线的顶点为 ，且 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 是线段 上一点，如果 ，求点 的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点 平移至点 处，过点 作 直线 ，垂
足为点 ，如果 ，求平移后抛物线的表达式．
25. 如图，已知正方形 ，点 是边 上的一个动点（不与点 、 重合），点 在 上，满足
，延长 交 于点 ．（1）求证： ；
（2）连接 ．
①当 时，求 的值；
②如果 是以 为腰的等腰三角形，求 的正切值．
