文档内容
2023-2024 学年度第一学期初三期末质量调研
数学学科
（测试时间：100分钟，满分：150分）
考生注意：
1.本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 抛物线 向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】原抛物线的顶点坐标 ，再把点 向右平移3个单位长度得点 ，然后根据顶点式写
出平移后的抛物线解析式即可．
【详解】解：将抛物线 向右平移3个单位后，得到的抛物线的解析式 ．
故选A．
【点睛】本题主要考查了抛物线的平移，掌握抛物线的平移规律是解答本题的关键．
2. 如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的正切值（ ）
A. 扩大为原来的两倍 B. 缩小为原来的
C. 不变 D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】由于锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，所得的三角形与原三角形相似，得到锐角 的大
小没改变，根据正切的定义得到锐角 的正切函数值也不变．
【详解】解：因为锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，所得的三角形与原三角形相似，
所以锐角 的大小没改变，所以锐角 的正切函数值也不变．
故选：C．
【点睛】本题考查了正切的定义，解题的关键是掌握在直角三角形中，一个锐角的正切等于它的对边与邻
边的比值．
3. 已知 是线段 的黄金分割点，且 ，那么下列等式能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是
掌握黄金分割点的性质．
【详解】解：如图，
∵点 是线段 的黄金分割点，且 ，
∴ ，
故选：A．
4. 如果两个非零向量 与 的方向相反，且 ，那么下列说法错误的是（ ）
A. 与 是平行向量 B. 的方向与 的方向相同
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，m，n都是正数， ，c,d都是负数，根据向量运算法则计算判断即可．
【详解】设 ，m，n都是正数， ，c,d都是负数，
则 ，故A正确，不符合题意；
的方向与 的方向相反，
故B错误，符合题意；
若 ，则 正确，不符合题意；
若 ，则 正确，不符合题意，
故选B．
5. 如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的 处架起测角仪，测角仪的高 米，从点 测得
教学大楼顶端 的仰角为 ，测角仪底部 到大楼底部 的距离是 米，那么教学大楼 的高是（
）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了仰角问题，过 作 于点 ，则四边形 是矩形，根据性质和三角函数
即可求解，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，熟练掌握三角函数的应用．
【详解】如图，过 作 于点 ，
则有四边形 是矩形，∴ 米， 米， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
6. 如图，锐角 中， ，现想在边 上找一点 ，在边 上找一点 ，使得
与 相等，以下是甲、乙两位同学的作法：（甲）分别过点 、 作 、 的垂线，垂足
分别是 、 ，则 、 即所求；（乙）取 中点 ，作 ，交 于点 ，取 中点 ，
作 ，交 于点 ，则 、 即所求．对于甲、乙两位同学的作法，下列判断正确的是（
）
A. 甲正确乙错误 B. 甲错误乙正确 C. 甲、乙皆正确 D. 甲、乙皆错误
【答案】C
【解析】
【分析】根据甲乙两人作图的作法即可证出结论．
【详解】甲：如图，∵ ， ，
∴ ，∴B，D，E，C四点共圆，
∴ ，
∴甲正确；
乙：如图， ∵取 中点 ，作 ，交 于点 ，取 中点 ，作 ，交 于
点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴B，D，E，C四点共圆，
∴ ，
∴乙正确；
故选：C
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，基本作图，四点共圆，圆的内接四边形的性质，等腰三角
形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 已知线段 厘米， 厘米，如果线段 是线段 和 的比例中项，那么 _____厘米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到 ，然后利用比例性质计算即可，解题
的关键是理解四条线段 、 、 、 ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相
等， ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，当 时，线段 是线段
和 的比例中项．
【详解】∵线段 是线段 和 的比例中项，
∴ ， 即 ，
∴ ，
故答案为： ．
8. 计算： _________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了向量计算，正确掌握运算的法则是解题的关键．
【详解】
．
9. 二次函数 的图像与 轴的交点坐标是_________
【答案】（0，-4）
【解析】
【分析】将x=0代入二次函数解析式中，求出y的值，即可求出结论．【详解】解：将x=0代入 中，
解得y=-4
∴二次函数 的图像与 轴的交点坐标是（0，-4）
故答案为：（0，-4）．
【点睛】本题考查了求二次函数图象与y轴的交点坐标，掌握y轴上点的坐标特征是解题关键．
10. 已知抛物线 的开口向上，那么 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的性质；根据抛物线 的开口向上，得到 ，计
算即可．
【详解】∵抛物线 的开口向上，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
11. 如果点 和点 是抛物线 （ 是常数）上的两点，那么 _________ ．
（填“＞”、“＝”或“＜”）
【答案】=
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的增减性，根据抛物线开口向下，得到距离对称的距离越大，函数值越下，计
算判断即可．
【详解】∵二次函数 ，
∴抛物线开口向下，且距离对称轴越远的点的函数值越小，对称轴为直线 ，
∵ ，∴ ，
故答案为： ．
12. 在 中， ， ，垂足 为点 ，如果 ， ，那么
_____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了根据余弦及同角的余角相等，由 ，得到 ，则
，通过同角的余角相等得出 即可求解，掌握三角函数的定义是解题的关
键．
【详解】如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故答案为： ．
13. 小华沿着坡度 的斜坡向上行走了 米，那么他距离地面的垂直高度上升了_____米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坡度，根据题意画图，过点 作 于点 ，由坡度 得到 ，
再利用勾股定理即可求解，熟练掌握坡度及勾股定理．
【详解】如图，过点 作 于点 ，则由题意得 米，
∵坡度 ，
∴ ，即 ，
∴设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，解得： ，
∴ 米，即他距离地面的垂直高度上升了 米，
故答案为： ．
14. 写出一个经过坐标原点，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线的表达式，这个抛物线的表达式可以是
_____．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据题意写出开口向上，且经过点 抛物线的表达式即可，
掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．
【详解】依题意得，开口向下，经过点 ，
∴抛物线的表达式可以是 ，
故答案为： ．（答案不唯一）
15. 如图，在 中，点 是重心，过点 作 ，交边 于点 ，连接 ，如果
，那么 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，连接 ，延长
交 于点 ，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解，解题的关键是熟练掌握基本知识的
应用．
【详解】连接 ，延长 交 于点 ，
∵点 是重心，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
16. 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面 宽 米，拱桥的最高点 到水面 的距离是 米，
如图建立直角坐标平面 ，如果水面上升了 米，那么此时水面的宽度是_____米．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，设该抛物线的解析式是 ，由题意结合图象可知，点
在函数图象上，求出解析式 ，然后把 代入即可求解，准确理解题意，并能够用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
【详解】设该抛物线的解析式是 ，
由题意结合图象可知，点 在函数图象上，
代入得： ，解得： ，
∴该抛物线的解析式是 ，
则水面上升了 米，此时 ，
∴ ，解得： ，
则此时水面的宽度是 米，
为
故答案 ： ．
17. 如图，已知 与 相似， ， ， ， ，
连接 ，交边 于点 ，那么线段 的长是_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的性质与判定，三角函数和勾股定理，过 作 于点 ，构造相
似三角形，再通过性质即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．【详解】如图，过 作 于点 ，
在 中，由勾股定理得：
∵ 与 相似， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．18. 如图，已知在菱形 中， ，将菱形 绕点 旋转，点 、 、 分别旋转至点 、
、 ，如果点 恰好落在边 上，设 交边 于点 ，那么 的值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】过点A作 于点M，则 ，设 则 ，根据旋转的性质，得
，则 ， 证明三点共线，再证明 ，延长 二线
交于点 ，接着 即可．
【详解】过点A作 于点M，菱形 ，
则 ，
设 则 ，连接 ，
根据旋转的性质，菱形 ，得 ，
， ， ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ， ，
延长 交 于点 ，
∵菱形 ，
∴ ，
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∵
∴ 重合，G，D，F三点共线，
延长 二线交于点 ，
则 ，
∵
∴ ，
∴ ，
解得 ，∵
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数，勾股定理，旋转性质，等腰三角
形的三线合一行，三角形相似的判断和性质，熟练掌握菱形的性质，三角函数，三角形相似的判定是解题
的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 如图，已知在 中，点 、 、 分别在边 、 、 上， ， ，
．
（1）求 的长；
（2）如果 ， ，求四边形 的周长．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握定理是解题的关键．
(1)利用平行线分线段成比例定理，列式计算即可．
(2)先证明 ，再利用平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质，列式计算即可．
【小问1详解】
∵ ，∴ ．
∵ ， ．
∴ ．
解得 ．
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ．
解得 ．
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，∴四边形 的周长为 ．
20. 已知二次函数 ．
（1）用配方法将函数 的解析式化为 的形式，并指出该函数图像的对称
轴和顶点坐标；
的
（2）设该函数 图像与 轴交于点 、 ，点 在点 左侧，与 轴交于点 ，顶点记作 ，求四边形
的面积．
【答案】（1） ，对称轴为直线 ，顶点坐标 ；
（2） ．
【 解 析 】
【分析】（ ）利用配方法把二次函数的一般形式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴和顶点坐标；
（ ）令 求出与 轴交点坐标，令 求出与 轴交点坐标，然后求面积即可；
本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握配方法和顶点式的相关性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意得： ，
∴对称轴为直线 ，顶点坐标 ；
【小问2详解】
根据题意画图，令 ，则 ，
∴点 ，则 ，
令 ，则 ，解得 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
由（ ）得： ，
∴ ，
，
．
21. 如图，在 中， ， ， 的垂直平分线交边 于点 ，交边 于点
，交 的延长线于点 ．（1）求 的长；
（2）求 的正弦值．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（ ）过 作 于点 ，在 中通过 ，求出 即可求解；
（ ）过 作 于点 ，在 中通过 ，求出 即可；
此题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【小问1详解】
如图，过 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
如图，过 作 于点 ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
22. 周末，小李计划从家步行到图书馆看书．如图，小李家在点 处，现有两条路线：第一条是从家向正
东方向前进 米到路口 ，再沿 的南偏东 方向到图书馆 ；第二条是从家向正南方向前进 米
到路口 ，再沿 的南偏东 方向到图书馆 ．假设小李步行的速度大小保持不变，那么选择哪条路线更快到达图书馆？请通过计算说明．（参考数据： ， ， ）
【答案】选择第一条是 路线更快．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形——方向角的应用，过 作 交 延长线于点 ，过 作
于点 ，构造直角三角形，再利用三角函数即可，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】如图，过 作 交 延长线于点 ，过 作 于点 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
设 ，则 ，
由题意得： 米， 米， ， ，在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，解得： ，
∴第一条是 （米），
第二条是 ： （米），
∵ ，
∴应选择第一条是 路线更快．
23. 已知：如图，在等腰梯形 中， ， ，点 在边 上， 与 交于点
， ．
（1）求证： ；
（2）如果点 是边 的中点，求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰梯形 的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关
键．
(1)先证明 ，得到 ；再证明 ，得到 ，等
量代换即可．
(2)先 ，得到 ；再证明 ，得到 ，等量代换即可．
【小问1详解】
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵等腰梯形 中， ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴ ．
【小问2详解】
∵等腰梯形 中， ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点 是边 的中点，
∴ ．∴ ；
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
24. 已知在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 、点 （点 在点
的左侧），与 轴交于点 ，抛物线的顶点为 ，且 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 是线段 上一点，如果 ，求点 的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点 平移至点 处，过点 作 直线 ，垂
足为点 ，如果 ，求平移后抛物线的表达式．
【答案】（1）
（2）（3）
【解析】
【分析】（1）设点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，根据对称轴， ，列式
，利用根与系数关系计算确定 值即可．
（2） 过点 作 于点 ，交 右侧的 的延长线于点 ，交 左侧的 的延长线于点
，利用三角形全等，确定坐标，后根据解析式交点确定所求坐标即可．
（3）设抛物线向左平移了 个单位，则点 ，过点 作 轴的平行线交过点 和 轴的平行线
于点 ，交过点 和 轴的平行线于点 ， 证明 ，根据相似三角形的性质得出
即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与 轴交于点 、点 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，
抛物线的顶点为 ，且 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
解得 ，
故抛物线的解析式为 ．
【小问2详解】过点 作 于点 ，交 右侧的 的延长线于点 ，
∵ ，
∴ ，
过点 作 轴于点 ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
的
∵抛物线 解析式为 ， ，
∴ ， ，
∴
∴ ，
设 的解析式为 ， 的解析式为∴ ，
解得
∴ 的解析式为 ， 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
故 ；
【小问3详解】
∵ ，点 ,
设抛物线向左平移了 个单位，则点 ，
过点 作 轴的平行线交过点 和 轴的平行线于点 ，交过点 和 轴的平行线于点 ，由（2）知，直线 的表达式为： ，
设
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题为考查了二次函数综合运用，三角形全等和相似、解直角三角形、图象平移等，正确作辅助
线是解题的关键．
25. 如图，已知正方形 ，点 是边 上的一个动点（不与点 、 重合），点 在 上，满足，延长 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ．
①当 时，求 的值；
②如果 是以 为腰的等腰三角形，求 的正切值．
【答案】（1）证明见解析；
（2） ； 或 ．
【解析】
【分析】（ ）设 ，则 ，根据等腰三角形的性质和角度和差即可求解；
（ ） 过 作 于点 ，根据正方形的性质证明 ，得出
，从而可证明 是 的平分线，通过角平分线的性质和等面积法即可求解；
分当 时和当 时两种情况讨论即可．
【小问1详解】
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
又∵ ，∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ；
【小问2详解】
如图，过 作 于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
当 时，如图，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（ ）得 ，则 ，
设 ，则 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 三点共线，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
当 时，如图，过 作 于点 ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
综上可知： 的正切值为 或 ．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用，三角函数和等腰三角形
的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
