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2024 年度杨浦区第二学期第三次模拟考试数学学科
（测试时间：100分钟，满分：150分）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有
一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1. 下列分数中，能化为有限小数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列关于 的方程，有实数根的是（ ）
A. B. C. D.
3. 体育课上，甲、乙两名同学分别进行了6次立定跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两
名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（ ）
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
4. 关于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
A. 该抛物线的对称轴是直线
B. 该抛物线的顶点坐标是
.
C 该抛物线与 轴有两个交点
D. 该抛物线在对称轴的左侧部分， 随 的增大而增大
的
5. 已知点A在半径为3 圆O上，如果点A到直线 的距离是6，那么圆O与直线 的位置关系是（
）
A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 以上答案都不对
6. 在四边形 中， ， ，添加下列条件后仍然不能推得四边形 为菱形的是
（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应
位置上】7. 单项式 的次数是______．
8. 今年春节黄金周上海共接待游客约16750000人，16750000这个数用科学记数法表示为______．
9. 已知 ，那么 _____．
10. 已知方程 ，如果设 ，那么原方程转化为关于y的整式方程为______．
11. 在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、圆、平行四边形、等腰梯形的图案，现将印有图案的
一面朝下，混合后随机抽取一张，则抽到的卡片上印有的图案是中心对称图形的概率是______．
12. 一个正多边形的中心角是 ，则这个正多边形的边数为________．
的
13. 已知在梯形 中， ，点 、 分别是边 、 中点， ，设
，那么 ______．（用含 的式子表示）
14. 如果函数 的图像向左平移2个单位后经过原点，那么 ______．
15. 月 日是世界读书日，某校为了解该校 名六年级学生每周阅读课外书籍的时间，随机抽取了该
校 名六年级学生，调查了他们每周阅读课外书籍的时间，并制作成如图所示的频数分布直方图，那么
估计该校六年级学生每周阅读课外书籍的时间不少于 小时的学生约有______名．
16. 如图，在 中， ， ， ，如果以 为直径的圆 与以 为圆心、
为半径的圆 相交，那么 的取值范围是______．17. 如图，已知矩形 ， 为对角线，点 、 分别是 与 的重心，连接 、 ，
如果 ，那么 _______．
18. 如图，已知在 中， ，垂足为点 ， ， ，点 、 分别在边
和 上， 将 分割成两个小三角形， 将 分割成两个小三角形，如果
分割成的两个小三角形与 分割成的两个小三角形分别相似，那么 的值是_______．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 先化简，再求值： ，其中 ．
20. 解不等式组： ，并写出它的整数解．21. 已知一次函数 的图像与反比例函数 的图像相交于 ， 两点，与
轴交于点 ．
（1）求一次函数解析式；
（2）设点 关于 轴的对称点为点 ，求 的面积．
22. 如图1是光的反射规律示意图， 是入射光线， 是反射光线，法线 平面镜 ，入射角
等于反射角 ．
的
如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板 、挡板 、平面镜 ，在挡板 正上方有
一可上下移动的挡板 （挡板的厚度都忽略不计），已知 厘米，当从点 发出的光线经
平面镜 反射后恰好经过点 时，测得入射角为 .（参考数据： ， ，
）（1）点 到平面镜 的距离是______厘米．
（2）移动挡板 ，使空隙 的长度是 厘米，当从点 发出的光线经平面镜 反射后恰好经过点
时，求入射角的度数．
（3）在（2）的条件下，如果从点 发出的光线经平面镜 反射后通过空隙 落到挡板 上的最高点
为 ，最低点为 ，那么 的长度是_____厘米．
23. 已知：如图，在 中， 平分劣弧 ， 与 交于点 ，点 在 延长线上，
，连接 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）连结 、 ，延长 交 于点 ，如果 ，求证：四边形 是正方形．
24. 已知平面直角坐标系 ，抛物线 ： 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于
点 ，把抛物线 向下平移得到抛物线 ，设抛物线 的顶点为 ，与 轴交于点 ，直线
与 轴交于点 ．（1）求抛物线 的表达式；
（2）当点 与点 重合时，求平移的距离；
（3）连接 ，如果 与 互补，求点 的坐标．
25. 如图，已知在 中， ， 是边 上的一点（不与点 、 重合）， 是边 延长
线上一点， ，延长 交边 于点 ．
（1）求证： ；
（2）如果 ，且 ，求 的余切值；
（3）连接 ，当 平分 时，求 的值．
