文档内容
专题 06 平方根与立方根规律性探究的
三类综合题型
目录
典例详解
类型一、平方根与算术平方根规律性探究问题
类型二、立方根规律性探究综合问题
类型三、根式与几何图形结合规律性探究问题
压轴专练
类型一、平方根与算术平方根规律性探究问题
例1．（1）填表：
… 1 100 10000 …
… 100 …
（2）利用上表中的规律，解决下列问题：已知 ， ，则 的值为 ；
（3）当 时，比较 和 的大小．
… 1 100 10000 …
… 100 …变式1-1．（1）观察发现：
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
表格中 ， ．
（2）归纳总结：
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位．
（3）规律运用：
①已知 ，则 ______；
②已知 ，则m＝______．
变式1-2．学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，
探求规律：
…
【实践探究】
（1）按照此规律，①计算： ________；
②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）；
（2）计算： ；
【迁移应用】（3）若 符合上述规律，请求出x的值．
变式1-3．先观察下列等式，再回答问题：
①
②
③
(1)根据上面等式提供的信息，请你写出式子 化简后的值：______；
(2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上面各等式的规律：______（直接写出）；
(3)对任何实数a， 表示不超过a的最大整数，如 ， ，请直接写出式子
的值：______．
类型二、立方根规律性探究问题
例2．求59319的立方根，解答如下：
① ，又 ， ，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又 ，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③划去59319后面的三位319得到数59，而 ，则 ，可得 ，由
此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是
．
变式2-1．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如 ，有些数则不能直接求得，如 ，但
可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们解答以下问题：
a … 0.04 4 400 40000 …
… 0.2 2 20 200 …
(1)运用你发现的规律，探究下列问题：已知 ，求下列各数的算术平方根：
① ；② ；
(2)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知 ，则
(3)知识联系与迁移：请求出下列方程中x的值
①
②
变式2-2．（1）填表：
a 0.000008 0.008 8 8000
（2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根 的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______；
（3）根据你发现的规律解答：
①已知 ， ， ，则 介于哪两个整数之间？
②已知 ，则 ______；
③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01
平方米）
变式2-3．观察下列规律回答问题：
(1) _______， _______；
(2)已知 ，若 ，用含x的代数式表示y，则 _______；
(3)根据规律写出 与a的大小情况．
类型三、根式与几何结合规律性探究问题
例3．下列每个三角形中的4个数之间都有相同的规律，根据这种规律，第4个三角形中的中间数字 为
，第 个三角形的中间数字用含 的代数式表示为 .
变式3-1．细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：
；；
；
（1）请用含 （ 为正整数）的等式表示上述变化规律：______；
（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；
（3）利用上面的结论及规律，请在图中作出等于 的长度；
（4）若 表示三角形面积， ， ， ，计算出 的值．
变式3-2．【课本再现】
小明用一些小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：
他把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形，按如图1拼在一起，就得到了
一个边长为 的大正方形 ．
【深度思考】
于是，他发现若把5个边长为1的正方形如图2摆放，再将这个图形按图3的方式剪裁，拼成图4，得到一
个大正方形 ．
(1)求拼成的正方形 的面积和边长．
(2)若要把 个小正方形按上述方法拼成边长为 的大正方形，则 ______________．变式3-3．如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解题，
， ；
， ；
， ；
(1)请用含有 （ 是正整数）的等式表示上述各式的变化规律；
(2)求 的长；
(3)求 的值．
1.（1）填表并观察规律：
a 4 400
（2）根据你发现的规律填空：
已知： ，则 ______；
已知： ， ，则 ______；（3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明．
4 400
2 20
2．【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两
个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪： ， ．所以 ．
小明： ， ．
这就说明 和 都是 的算术平方根，而 的算术平方根只有一个，所以
．
任务：
(1)猜想：当 ， 时， 和 之间存在怎样的关系？
(2)运用以上结论，计算：
① ；
② ；
(3)解决实际问题：已知一个长方形的长为 ，宽为 ，求这个长方形的面积．
3．先观察下列等式，再回答问题：
第一个等式 ；
第二个等式 ；第三个等式 ．
(1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第六个等式；
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第 个等式（ 为正整数）；
(3)对于任何实数 ， 表示不超过 的最大整数，如 ， ，计算：
的值．
4．观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题：
(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的
小数点就向___________移动___________位；
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知 ，则 ___________， ___________．
(3)类比上述立方根运算：已知 ，则 ___________， ___________．
5．阅读理解，观察下列式子：
① ；② ；
③ ；
④ ；
…
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若
______，则 ；反之也成立．
(2)根据上述的真命题，解答问题：若 与 的值互为相反数，求 的值．
6．完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题．
x … 64 6400 64000 …
… 8 m …
… n 40 …
(1)表格中的 ______， ______；
(2)已知 ，估计 和 的值；(结果保留四位小数)
(3)若 ，估计 的值．（参考数据：
)．（结果保留四位小数）7．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
第1个等式： ；第2个等式： ；第3个等式：
；第4个等式： ；……
规律发现：
(1)根据上述规律，直接写出下列算式的值：
① ______；
② ______．
(2)用含 （ 为正整数）的代数式表示出第 个等式：______．
(3)根据上述规律计算：
8．观察下列一组算式的特征，并探索规律：
；
；
；
．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
(1) ________；
(2) ________；（用含n的代数式表示）(3) ________；
(4)简便计算： ．
9．用“◇”和“☆”分别代表甲种植物和乙种植物，为了美化环境，采用如图所示的方案种植．
（1）观察图形，寻找规律，并填写下表：
（2）求出第 个图形中甲种植物和乙种植物的株数；
（3）是否存在一种种植方案，使得乙种植物的株数是甲种植物的株数的2倍？若存在，请你写出是第几个
方案，若不存在，请说明理由．
10．小明是一位善于思考．勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根．
比如：因为没有一个数的平方等于 ，所以 没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数 ，使
，那么 ，因此 就有两个平方根了．进一步，小明想：因为 ，所以 的平方
根是 ；因为 ，所以 的平方根就是 ．请你根据上面的信息解答下列问题：
（1）求 ， 的平方根；
（2）求 ， ， ， ， ， ，…的值，你发现了什么规律？请你将发现的规律用式子表示出来；（3）求 的值．
