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专题 06 实数的相关概念
题型一 无理数的概念
1．下列说法错误的是（ ）
A．无理数的相反数还是无理数
B．无限不循环小数都是无理数
C．正数、负数统称有理数
D．实数与数轴上的点一一对应
【解答】解：A、无理数的相反数还是无理数，如 的相反数是 也是无理数， 的相反数﹣ ，
π π
也是无理数等．故本选项正确；
B、无理数就是无限不循环小数，故本选项正确；
C、正数、负数和0统称为有理数；故本选项错误；
D、实数与数轴上的点一一对应．故本选项正确；
故选：C．
2．在 ，3.14，0，0.101 001 000 1…， 中，无理数有 2 个．
【解答】解：在 ，3.14，0，0.101 001 000 1…， 中， ，0.101 001 000 1…是无理数，无理
数有2个．
故答案为：2．
3．在实数：1，﹣ ， ， ， ，3.1313313331…（两个1之间一次多一个3）中，无理数有 3 个．
【解答】解：﹣ ＝﹣2， π
无理数有： ， ，3.1313313331…，共3个．
π
故答案为：3．
4．在“﹣3， ，2 ，0.101001”中无理数有 1 个．
【解答】解：无理π数有2 ，只有1个．
故答案是：1． π5．下列各数中无理数有 4 个． ，3.141， ，4.2 ， ，0.1010010001…， ， ．
【解答】解：无理数有 ， ，0.1010010001…， ，共4个，
故答案为：4．
题型二 平方根、算术平方根、立方根的概念
6．下列说法中，不正确的有（ ）
①任何数都有算术平方根；
②一个数的算术平方根一定是正数；
③a2的算术平方根是a；
④（ ﹣4）2的算术平方根是 ﹣4；
⑤算π术平方根不可能是负数．π
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：①负数没有算术平方根，原来的说法不正确；
②0的算术平方根是0，原来的说法不正确；
③a2的算术平方根是|a|，原来的说法不正确；
④（ ﹣4）2的算术平方根是4﹣ ，原来的说法不正确；
⑤算π术平方根不可能是负数的说法π正确．
故不正确的有4个．
故选：C．
7．下列说法错误的是（ ）
A．无理数没有平方根
B．一个正数有两个平方根
C．0的平方根是0
D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数
【解答】解：A、∵整数都有平方根，∴正无理数有平方根，故本选项错误，符合题意；
B、一个正数有两个平方根，这两个数互为相反数，故本选项正确，不符合题意；
C、0的平方根是0，故本选项正确，不符合题意；
D、互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，故本选项正确，不符合题意．
故选：A．8． 的算术平方根为（ ）
A．3 B．±3 C．9 D．±9
【解答】解： ＝9，9的算术平方根为 ＝3，
所以 的算术平方根为3，
故选：A．
9．（﹣5）0的立方根是 1 ，10﹣2的算术平方根是 ， 的平方根是 ± 2 ．
【解答】解：（﹣5）0＝1，故1立方根是：1，
10﹣2＝ ， 算术平方根是： ，
＝4的平方根是：±2．
故答案为：1； ，±2．
10．一个数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则这个数是（ ）
A．﹣1 B．3 C．9 D．﹣3
【解答】解：由题意得，
2a﹣1﹣a+2＝0，
解得a＝﹣1，
所以2a﹣1＝﹣3，﹣a+2＝3，
即一个数的两个平方根分别是3与﹣3，
所以这个数是9，
故选：C．
11．如果一个正数的两个平方根分别为a﹣3和2a+1，则这个正数为 ．
【解答】解：根据题意得a﹣3+2a+1＝0，
解得：a＝ ，
∴这个正数为（a﹣3）2＝（ ）2＝ ，故答案为： ．
12．若a+1和﹣5是实数m的平方根，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4或﹣6
【解答】解：∵a+1和﹣5是m的平方根，
∴a+1＝﹣5或a+1+（﹣5）＝0，
∴a＝﹣6或4．
故选：D．
13．已知2x﹣1与﹣x+8是a的平方根，则a＝ 22 5 或 2 5 ．
【解答】解：∵2x﹣1与﹣x+8是a的平方根，
∴2x﹣1与﹣x+8互为相反数或相等
∴2x﹣1﹣x+8＝0或2x﹣1＝﹣x+8
解得x＝﹣7或x＝3，
∴2x﹣1＝﹣15，﹣x+8＝15或5是a的平方根，
∴a＝（±15）2＝225或a＝52
故答案为：225或25．
14．一个正整数的平方根为±m，则比这个正整数大5的数的算术平方根是（ ）
A．m+5 B． C．m2+5 D．
【解答】解：根据题意得：这个正数为m2，
则比这个数大5的数的算术平方根是 ，
故选：D．
15．已知3m﹣1和﹣2m﹣2是某正数a的平方根，则a的值是（ ）
A．3 B．64 C．3或﹣ D．64或
【解答】解：根据题意得：3m﹣1＝﹣2m﹣2或3m﹣1+（﹣2m﹣2）＝0，
解得：m＝﹣ 或3，
当m＝﹣ 时，
3m﹣1＝﹣ ，∴a＝ ；
当m＝3时，
3m﹣1＝8，
∴a＝64；
故选：D．
16．已知2a+1和5是正数b的两个平方根，则a+b的值是（ ）
A．25 B．30 C．20 D．22
【解答】解：由题意得，b＝25，a＝﹣3，
∴a+b＝﹣3+25＝22．
故选：D．
17．已知3x+1的算术平方根是4，x+y﹣17的立方根是﹣2，求x+y的平方根．
【解答】解：根据题意得：3x+1＝16，x+y﹣17＝﹣8，
解得：x＝5，y＝4，
则x+y＝4+5＝9，9的平方根为±3．
所以x+y的平方根为±3．
18．已知无理数8﹣ ，x是它的整数部分，y是它的小数部分，求（y+ ）x﹣1的平方根．
【解答】解：∵16＜17＜25，
∴4 ＜5．
∴x＝3．
∴y＝8﹣ ﹣3＝5﹣ ．
∴（y+ ）x﹣1＝（5﹣ + ）2＝52＝25．
∵25的平方根是±5，
∴（y+ ）x﹣1的平方根是±5．
题型三 实数比大小、无理数的估算
19．已知a＝ ﹣ ，b＝ ﹣ ，c＝ ﹣ ，那么a，b，c的大小关系是（）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【解答】解：a＝
＝ ，
b＝
＝ ，
c＝
＝ ，
∵ ＞ ＞ ，
∴ ＜ ＜ ，
即a＜b＜c，
故选：A．
20．比较大小： ＞ ．
【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：＞．
21．比较大小：﹣ ＜ ﹣1.5．
【解答】解： ＝3，（﹣1.5）2＝2.25，
∵3＞2.25，
∴﹣ ＜﹣1.5．故答案为：＜．
22．比较大小： ＜ 1（填写“＞”或“＜”）．
【解答】解：∵9＜15＜16，
∴3＜ ＜4，
∴ ＜ ＜1，
故答案为：＜
23．比较大小 ＜ ．
【解答】解： ＝20
＝20+2
∵ ＜ ，
∴20 ＜20+2 ，
∴ ＜ ．
故答案为：＜．
24．下列整数中，与10﹣ 最接近的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵25＜30＜36，30离25更近，
∴5＜ ＜6，且更接近5，
∴﹣6＜﹣ ＜﹣5，且更接近﹣5，
∴4＜10﹣ ＜5，且更接近5．
故选：C．
25．已知M＝ ，则M的取值范围是（ ）
A．8＜M＜9 B．7＜M＜8 C．6＜M＜7 D．5＜M＜6【解答】解：M＝ ，
∵2＜ ＜3，
∴6＜4+ ＜7，
∴6＜M＜7，
故选：C．
26．已知a是整数，且a＜ ＜a+1，则a的值是 3 ．
【解答】解：∵ ＜ ＜ ，
∴3＜ ＜4，
∴a＝3．
故答案为3．
27． 的小数部分是 ﹣ 4 ．
【解答】解：∵ ＜ ＜ ，
∴4＜ ＜5，
∴ 的整数部分是4，
∴ 的小数部分是 ﹣4．
故答案为： ﹣4．
28．满足 的整数x有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵1＜ ＜2，
∴﹣2＜﹣ ＜﹣1，
又∵1＜ ＜2，﹣ ＜x＜ ，∴整数x为﹣1，0，1，
故选：C．
29．若 的整数部分为a，小数部分为b，求 的值 6 ．
【解答】解：∵ ＜ ＜ ，
∴3＜ ＜4，
又∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴a＝3，b＝ ﹣3，
∴a2+b﹣ ＝9+ ﹣3﹣ ＝6，
故答案为：6．
30．设[x）表示大于x的最小整数，如[3）＝4，[﹣1.2）＝﹣1，下列4个结论：
①[0）＝0；②[x）﹣x的最小值是0；③[x）﹣x的最大值是1；④存在实数x，使[x）﹣x＝0.5成立．
其中正确的是 ③④ ．（填序号）
【解答】解：由题意得[0）＝1，
∴①不正确，不满足题意．
∵[x）＞x，
∴[x）﹣x＞0，
∴②不正确，不符合题意．
∵[x）表示大于x的最小整数，
∴当x为整数时，[x）﹣x取最大值是1，
∴③正确，符合题意．
当x的小数部分为0.5时，[x）﹣x＝0.5，
∴④正确，符合题意．
故答案为：③④．
31．比较大小错误的是（ ）
A． ＜ B． +2＜ ﹣1 C． ＞﹣6 D． ＞
【解答】解：∵5＜7，∴ ＜ ，因此选项A不符合题意；
∵5＜ ＜6，
∴7＜ +2＜8，
∵9＜ ＜10，
∴8＜ ﹣1＜9，
∴ +2＜ ﹣1，因此选项B不符合题意；
∵4＜ ＜5，
∴11＜ +7＜12，
∴5.5＜ ＜6，
∴﹣6＜﹣ ＜﹣5.5，因此选项C不符合题意；
∵3 ＝ ，2 ＝ ，而 ＞ ，
∴3 ＞2 ，因此选项D符合题意；
故选：D．
32．（1）已知 ， 求x2﹣xy+y2的值．
（2）已知7+ 和7﹣ 的小数部分分别为a，b，试求代数式ab﹣a+4b．
【解答】解：（1） ， ，
xy＝1，x+y＝10，x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝97．
（2）∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
ab﹣a+4b＝a（b﹣1）+4b＝（ ）（2﹣ ）+4（3﹣ ）＝3．
33．对于一个实数m（m≥0），规定其整数部分为a，小数部分为b，如：当m＝3时，则a＝3，b＝0；当
m＝4.5时，则a＝4，b＝0.5．
（1）当m＝ 时，b＝ ﹣ 3 ；当m＝ 时，a＝ 3 ；
π π
（2）当m＝9﹣ 时，求a﹣b的值；
（3）若a﹣b＝ ﹣1，则m＝ 1 1 ﹣ ．
【解答】解：（1）当m＝ 时，a＝3，b＝ ﹣3；
∵3＜ ＜4， π π
∴当m＝ 时，a＝3；
故答案为： ﹣3，3；
（2）∵2＜π ＜3，
∴﹣3＜﹣ ＜﹣2，
∴9﹣3＜9﹣ ＜9﹣2，即6＜9﹣ ＜7，
∴a＝6，b＝9﹣ ﹣6＝3﹣ ，
∴a﹣b＝6﹣（3﹣ ）＝3+ ；
（3）∵25＜30＜36，∴5＜ ＜6，
∴4＜ ﹣1＜5，
∵a﹣b＝ ﹣1，0＜b＜1，
∴4＜b+ ﹣1＜6，即4＜a＜6，
∵a≥0，且a为整数，
∴a＝5，b＝5﹣（ ﹣1）＝6﹣ ，
∴m＝a+b＝5+6﹣ ＝11﹣ ，
故答案为：11﹣ ．
题型四 最简二次根式及同类二次根式
34．若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数a为 2 ．
【解答】解：若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数a为2，
故答案为：2．
35．在二次根式 ， ， ， ， ， ， 中，最简二次根式有 2
个．
【解答】解： ， 是最简二次根式，
故答案为：2．
36．在二次根式 、 、 、 ， ， 中，是最简二次根式的共有 3 个．
【解答】解：二次根式 、 、 、 ， ， 中，是最简二次根式的是 、
， ，故答案为：3
37．在 、 、 、 、 中，是最简二次根式的是 ．
【解答】解：在 、 、 、 、 中，只有 是最简二次根式．
故答案为： ．
38．在二次根式 ， ， ， ， ， 中，最简二次根式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： ＝3 ， ＝ ， ＝ 等都不是最简二次根式，
而 ， ， 是最简二次根式，
即最简二次根式有3个．
故选：C．
39．如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么3 的值为 3 ．
【解答】解：由题意得3a+8＝12﹣a，
解得a＝1，
当a＝1时3 ＝3．
故答案为：3．
40．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则a+b＝ 2 ．
【解答】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，
解得： ，
则a+b＝2，
故答案为：2．
41．最简二次根式 与 能合并，则a的值为 1 ．【解答】解：根据题意得1+a＝4﹣2a，
解得a＝1．
故答案为1．
42．在 ， ， ，……， 这1999个式子中，与 可以合并的共有 1 9 个
【解答】解：∵ ＝20 ， ＜20 ，
∴ 在 ， ， ， … … ， 这 1999 个 式 子 中 ， 与 可 以 合 并 的 有
… ，
即共19个．
故答案为19．
43．如果最简二次根式 与 能进行合并，则x的值为 2 ．
【解答】解：∵最简二次根式 与 能进行合并，
∴2x﹣1＝5﹣x，
解得：x＝2．
故答案为：2．
题型五 无理数的在数轴上的表示
44．如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以﹣1所在的点为旋转中心，将过﹣1点的对角线顺时
针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（ ）
A． B．﹣ C． ﹣1 D．1﹣
【解答】解：以数轴的单位长线段为边作一个正方形，
∴正方形的对角线长度为 ，
过﹣1点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，∴A表示的数是为：﹣1+ ．
故选：C．
45．如图所示，以C为圆心，BC为半径的圆与数轴上交于点A，则点A所表示的数为a，则a的值是（
）
A． +2 B． ﹣2 C．﹣ +2 D．﹣ ﹣2
【解答】解：由题意得：BC＝ ，
即AC＝BC＝ ，
∵点C表示的数为2，
∴点A表示的数为2﹣ ．
故选：C．
46．如图，数轴上点C所表示的数是（ ）
A．2 B．3.7 C．3.8 D．
【解答】解：∵OA＝3，AB＝3﹣1＝2，
∴OB＝ ＝ ，
∴OC＝OB＝ ，
∴点C表示的数为 ．
故选：D．47．如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别1， ，则 A的直径长为（ ）
⊙
A． ﹣1 B．1﹣ C．2 ﹣2 D．2﹣2
【解答】解：∵数轴上A、B两点表示的数分别为1和 ，
∴AB＝ ﹣1，
∴ A的直径为2AB＝2 ﹣2．
⊙
故选：C．
48．如图，在数轴上找到表示﹣3的点B，过点A作AB⊥OB，AB＝2，以O为圆心，OA为半径作弧，弧
与数轴交于点C，则点C在数轴上表示的数是 ﹣ ．
【解答】解：在直角三角形ABO中，OA＝ ＝ ＝ ．
∴OC＝OA＝ ，
∴点C所表示的数为0﹣ ＝﹣ ．
49．如图，在数轴上点A，B对应的实数分别为1，3，BC⊥AB，BC＝1，以A为圆心，AC为半径画弧，
交数轴正半轴于点P，则点P对应的实数为 1+ ．【解答】解：在直角三角形ABC中，AB＝ ＝ ＝ ．
∴点P表示的数为1+ ．
50．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，其中c为8的立方根，求代数式 +|b﹣a|+ ﹣|2b|
的值．
【解答】解：∵c为8的立方根，
∴c＝2，
∵a＜0，b﹣a＜0，b﹣c＜0，2b＜0，
∴原式＝|a|+|b﹣a|+|b﹣c|﹣|2b|
