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微专题 1 直线与圆
[考情分析] 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦
长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.
考点一 直线的方程
1.已知直线l ：A x+B y+C =0，直线l ：A x+B y+C =0，则l ∥l A B -A B =0，且A C -A C ≠0(或B C -
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
B 2 C 1 ≠0)，l 1 ⊥l 2 A 1 A 2 +B 1 B 2 =0. ⇔
|A x +B y +C|
⇔ 0 0
2.点P(x ，y )到直线l：Ax+By+C=0(A，B不同时为零)的距离d= .
0 0 √A2+B2
|C -C |
1 2
3.两条平行直线l ：Ax+By+C =0，l ：Ax+By+C =0(A，B不同时为零)间的距离d= .
1 1 2 2 √A2+B2
例1 (1)(多选)(2024·安庆模拟)下列说法正确的是( )
[ π] [3π )
A.直线xsin α+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是 0， ∪ ，π
4 4
B.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件
C.过点P(1，2)且在x轴、y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0
D.经过平面内任意相异两点(x ，y )，(x ，y )的直线都可以用方程(x -x )(y-y )=(y -y )(x-x )表示
1 1 2 2 2 1 1 2 1 1
(2)已知y=(x-a)2+(xln x-a+3)2(a∈R)，则y的最小值为 .
[易错提醒] 解决直线方程问题的三个注意点
(1)利用A B -A B =0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.
1 2 2 1
(2)要注意直线方程每种形式的局限性.
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.
跟踪演练1 (1)(多选)已知直线l：√3x-y+1=0，下列四个说法中正确的是( )
π
A.直线l的倾斜角为
6
B.若直线m：x-√3y+1=0，则l⊥m
C.点(√3，0)到直线l的距离为2D.过点(2√3，2)，并且与直线l平行的直线方程为√3x-y-4=0
(2)(2024·遂宁模拟)若点A(a，a)，B(b，eb)(a，b∈R)，则A，B两点间距离|AB|的最小值为
.
考点二 圆的方程
1.圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
2.圆的一般方程
( D E) √D2+E2-4F
x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中D2+E2-4F>0，表示以 - ，- 为圆心， 为半径的圆.
2 2 2
例2 (1) (2024·浙江金丽衢十二校联考)圆C：x2+y2-2x+4y=0的圆心C坐标和半径r分别为( )
A.C(1，-2)，r=√5 B.C(1，-2)，r=5
C.C(-1，2)，r=√5 D.C(-1，2)，r=5
(2)(2024·晋中模拟)已知直线l：y=x与圆Γ：(x-2k) 2 +(y-k+1) 2 =1(k∈R)，下列说法正确的是( )
A.所有圆Γ均不经过点(1，1)
B.若Γ关于l对称，则k=-2
C.若l与Γ相交于A，B两点，且|AB|=√2，则k=-2
D.存在与x轴和y轴均相切的圆Γ
[规律方法] 解决圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.
跟踪演练2 (1)(多选)已知实数x，y满足x2+y2-4y+3=0，则( )
y
A.当x≠0时， 的最小值是-√3
x
x √3
B. 的最大值是
y 3
C.y-x的最小值是2-√2
D.x2+y2的最小值是1
(2)已知M(-1，1)，若坐标原点O(0，0)在动直线l：mx+ny-2m+2n=0上的投影为点N，则|MN|的取值范
围是( )
A.[√2，2√2] B.[√2，3√2]
C.[1，3√2] D.[2√2，3√2]
考点三 直线、圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.
其判断方法为：
(1)点线距离法.{ Ax+By+C=0,
(2)判别式法：设圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2，直线l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，联立方程组
(x-a) 2+(y-b) 2=r2,
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ=0，
直线与圆相交⇔Δ>0.
2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.
考向1 直线与圆的位置关系
例3 (多选)(2024·金华模拟)已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，则下列命题
正确的有( )
A.直线l恒过定点(3，1)
B.圆C被y轴截得的弦长为2√6
C.直线l与圆C恒相交
D.直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为2x-y-5=0
考向2 圆与圆的位置关系
例4 (1)(2024·聊城模拟)若圆C ：x2+y2=1与圆C ：(x-a)2+(y-b)2=4恰有一条公切线，则下列直线一定不
1 2
经过点(a，b)的是( )
A.2x+y-√2=0 B.2x-y+2=0
C.x+y-√2=0 D.x-y+2=0
(2)(多选)已知圆C ：(x-1)2+(y-2a)2=9，圆C ：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R，则下列选项正确的是(
1 2
)
A.直线C C 恒过定点(3，0)
1 2
B.当圆C 和圆C 外切时，若P，Q分别是圆C ，C 上的动点，则|PQ| =10
1 2 1 2 max
4
C.若圆C 和圆C 共有2条公切线，则a<
1 2 3
1 3√6
D.当a= 时，圆C 与圆C 相交弦的弦长为
3 1 2 2
l
[规律方法] (1)与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长 ，
2
构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.
(2)两圆相交公共弦的方程可通过两圆方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径定理求公共弦长.
跟踪演练3 (1)(2024·娄底模拟)已知圆C：(x-1)2+(y+2)2=16，过点D(0，1)的动直线l与圆C相交于M，
N两点，当|MN|=2√15时，直线l的方程为( )
A.4x+3y-3=0
B.3x-4y+4=0
C.x=0或4x+3y-3=0
D.4x+3y-3=0或3x-4y+4=0(2)(多选)(2024·泉州模拟)已知直线l：kx+y+2k-1=0与圆C：x2+y2-6y-7=0相交于A，B两点，下列说法正
确的是( )
A.若圆C关于直线l对称，则k=1
B.|AB|的最小值为4√2
C.当k=3时，对任意λ∈R，曲线W：x2+y2+3λx+(λ-6)y+5λ-7=0恒过直线l与圆C的交点
5
D.若A，B，C，O(O为坐标原点)四点共圆，则k=
3答案精析
例1 (1)AD
(2)2
解析 设点P(x，xln x)是函数f(x)=xln x图象上的点，点Q(a，a-3)是直线l：y=x-3上的点，
则|PQ|=√(x-a) 2+(xlnx-a+3) 2，
所以y=|PQ|2.
因为f'(x)=ln x+1，设曲线y=f(x)在点M(x ，y )处的切线l 与直线l平行，则f'(x )=ln x +1=1，解得x =1，则
0 0 1 0 0 0
点M(1，0)，
|1-0-3|
所以|PQ|的最小值为点M(1，0)到直线l的距离d= =√2，
√2
所以y=(x-a)2+(xln x-a+3)2的最小值为2.
√2
跟踪演练1 (1)CD (2)
2
例2 (1)A
(2)A [对于A，若圆Γ经过点(1，1)，
则(1-2k)2+(1-k+1)2=1，
化简整理得5k2-8k+4=0，
因为Δ=64-4×5×4=64-80=-16<0，所以方程无解，
所以所有圆Γ均不经过点(1，1)，
所以A正确；
对于B，圆Γ：(x-2k)2+(y-k+1)2=1的圆心坐标为(2k，k-1)，
若Γ关于l对称，则直线l过圆心，所以2k=k-1，得k=-1，
所以B错误；
对于C，因为l与Γ相交于A，B两点，且|AB|=√2，所以圆心到直线的距离为d=
√
12-
(√2) 2
=
√2
，
2 2
|2k-k+1| √2
又d= = ，
√2 2
解得k=-2或k=0，所以C错误；
对于D，若存在与x轴和y轴均相切的圆Γ，则|2k|=|k-1|=1，此方程组无解，所以不存在与x轴和y轴均相
切的圆Γ，所以D错误.]
跟踪演练2 (1)BCD (2)B
例3 ACD [对于A，由已知可得，圆心C(1，2)，半径r=5，直线方程可化为
l：m(2x+y-7)+x+y-4=0，
{2x+ y-7=0, {x=3,
由 可得
x+ y-4=0, y=1,
所以直线l恒过定点P(3，1)，A正确；
对于B，将x=0代入圆的方程有1+(y-2)2=25，解得y=2±2√6，
弦长为
√(0-0) 2+(2+2√6-2+2√6) 2
=4√6，B错误；
因为点P(3，1)到圆心C(1，2)的距离为√(1-3) 2+(2-1) 2=√5<5=r，
所以点P在圆内，直线l与圆C恒相交，C正确；
当圆心C与定点P的连线恰好与l垂直时，圆心到直线的距离最大，
直线l被圆C截得的弦长最短，
1-2 1
又k = =- ，
PC 3-1 2
则l的斜率k应满足k ·k=-1，所以k=2，
PC
代入点斜式方程有y-1=2(x-3)，
即2x-y-5=0，D正确.]
例4 (1)D
(2)ABD [对于A，由圆C ：(x-1)2+(y-2a)2=9，圆C ：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R，
1 2
可知C (1，2a)，半径r =3，
1 1
C (4，-a)，半径r =2，
2 2
故直线C C 的方程为
1 2
y+a=-a(x-4)，
即y=-a(x-3)，所以直线C C 恒过定点(3，0)，A正确；
1 2
对于B，当圆C 和圆C 外切时，
1 2
|C C |=r +r ，
1 2 1 2
即√(1-4) 2+(2a+a) 2=3+2，
4
解得a=± ，
3
4
当a= 时，
3
如图所示，当P，C ，C ，Q共线时，
1 2|PQ| =
max
|C C |+r +r
1 2 1 2
=
√
(1-4) 2+
(8
+
4) 2
+5=10；
3 3
4
同理求得当a=- 时，
3
|PQ| =10，B正确；
max
对于C，若圆C 和圆C 共有2条公切线，则两圆相交，
1 2
则|r -r |<|C C |
