文档内容
专题六 微专题 1 直线与圆
(分值：84分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
√5
1.已知直线l倾斜角的余弦值为- ，且经过点(2，1)，则直线l的方程为( )
5
A.2x+y-5=0 B.2x-y-3=0
C.x-2y=0 D.x+2y-4=0
2.(2024·新乡模拟)已知直线l ：2x+my-1=0，l ：(m+1)x+3y+1=0，则“m=2”是“l ∥l ”的( )
1 2 1 2
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2024·北京)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为( )
A.√2 B.2
C.3 D.3√2
4.直线y=k(x-5)-2(k∈R)与圆(x-3)2+(y+1)2=6的位置关系为( )
A.相离 B.相交
C.相切 D.无法确定
5.(2024·聊城模拟)已知圆C与两坐标轴及直线x+y-2=0都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为( )
A.(x+√2) 2+(y-√2) 2 =√2
B.(x-√2) 2+(y+√2) 2 =2
C.(x-√2) 2+(y+√2) 2 =√2
D.(x+√2) 2+(y-√2) 2 =2
6.(2024·苏锡常镇调研)莱莫恩(Lemoine)定理指出：过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，
分别和BC，CA，AB所在直线交于点P，Q，R，则P，Q，R三点在同一条直线上，这条直线被称为三角
形的Lemoine线.在平面直角坐标系Oxy中，若三角形的三个顶点坐标分别为A(0，1)，B(2，0)，C
(0，-4)，则该三角形的Lemoine线的方程为( )
A.2x-3y-2=0 B.2x+3y-8=0
C.3x+2y-22=0 D.2x-3y-32=0
7.(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A，B两点，则|AB|的
最小值为( )A.1 B.2
C.4 D.2√5
8.已知圆O：x2+y2=4上两点A(x ，y )，B(x ，y )满足x x +y y =0，则|x +√3 y +6|+|x +√3 y +6|的最小值
1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2
为( )
A.3√2-2 B.6-2√2
C.6√2-4 D.12-4√2
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.下列说法正确的是( )
A.直线y=ax-2a+4(a∈R)必过定点(2，4)
B.直线y+1=3x在y轴上的截距为1
C.直线√3x+3y+5=0的倾斜角为120°
D.过点(-2，3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y+1=0
10.(2024·哈尔滨模拟)已知圆C：(x-2)2+y2=4，直线l：(m+1)x+2y-3-m=0(m∈R)，则( )
A.直线l恒过定点(1，1)
B.存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点
C.当m=-3时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1
D.圆C与圆x2+y2-2x+8y+1=0恰有两条公切线
11.在平面直角坐标系Oxy中，方程x2+|y|=2对应的曲线为E，则( )
A.曲线E是封闭图形，其围成的面积小于8√2
B.曲线E关于原点中心对称
7√2
C.曲线E上的点到直线x+y=4距离的最小值为
8
D.曲线E上的点到原点距离的最小值为√2
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2024·杭州质检)写出与圆x2+y2=1相切且方向向量为(1，√3)的一条直线的方程 .
13.(2024·海口调研)已知圆C：x2+(y-2)2=16，点P在直线l：x+2y+6=0上，过点P作C的两条切线，切点分
别为A，B.当∠APB最大时，cos∠APB= .
14.[曼哈顿距离]人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距
离”.其定义如下：设A=(x ，y )， B=(x ，y )，则A，B两点间的曼哈顿距离d(A，B)=|x -x |+|y - y |.已
1 1 2 2 1 2 1 2
知M=(1，2)，若点P满足d(M，P)=2，点N在圆C：x2+y2+6x+4y=0上运动，则|PN|的最大值为 .
15题6分，16题5分，共11分15.(多选)[双纽线]平面内与定点F (-a，0)，F (a，0)距离之积等于a2(a>0)的动点的轨迹称为双纽线.曲线C
1 2
是当a=2√2时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列结论正确的是( )
A.曲线C关于原点中心对称
B.满足|PF |=|PF |的点P有且只有一个
1 2
C.|OP|≤4
D.若直线y=kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为(-1，1)
{√4-(x-2) 2,0≤x<4,
16.已知函数f(x)= 若对于正数k (n∈N*)，直线y=k x与函数f(x)的图象恰好有2n+1
f(x-4),x≥4, n n
个不同的交点，则k2 +k2 +…+k2
= .
1 2 n答案精析
1.A 2.C 3.D 4.B 5.D 6.B
7.C 8.D 9.AD 10.ACD
11.ABC [当y>0时，y=-x2+2，当y<0时，y=x2-2，当y=0时，x=±√2，
所以曲线E的图象如图所示，其中
x∈[-√2，√2]，
对于A，分别过A，C作x轴的垂线，过B，D作y轴的垂线，则围成矩形EFGH，
因为A(-√2，0)，C(√2，0)，B(0，-2)，D(0，2)，所以|EF|=|AC|=2√2，|EH|=|BD|=4，
所以矩形EFGH的面积为2√2×4=8√2，
由图可知，曲线E是封闭图形，且在矩形EFGH内，
所以曲线E围成的面积小于8√2，所以A正确；
对于B，因为点(x，y)和点(-x，-y)均满足方程
x2+|y|=2，
所以曲线E关于原点中心对称，所以B正确；
对于C，由图可知，曲线E上到直线x+y=4距离最小的点位于第一象限，
此时y>0，则y=-x2+2，设(x，y)为y=-x2+2上任意一点，
则此点到直线x+y=4的距离为
|x+ y-4| |x-x2+2-4|
d= =
√2 √2
( 1) 2 7
x2-x+2 x- + 7√2
= = 2 4≥ ，
√2 8
√21
当且仅当x= 时取等号，
2
7√2
所以曲线E上的点到直线x+y=4距离的最小值为 ，所以C正确；
8
对于D，设(x，y)为曲线E上任意一点，则其到原点的距离为√x2+ y2，
√x2+ y2=√2-|y|+ y2
√ ( 1) 2 7 √7
= |y|- + ≥ ，
2 4 2
1
当且仅当|y|= 时取等号，
2
√7
所以曲线E上的点到原点距离的最小值为 ，所以D错误.]
2
12.y=√3x+2或y=√3x-2(写出一个即可)
解析 因为切线的方向向量为(1，√3)，
所以切线的斜率为√3，
故可设切线方程为y=√3x+b.
因为直线y=√3x+b与圆x2+y2=1相切，又圆x2+y2=1的圆心坐标为(0，0)，半径为1，
|√3×0-0+b| |b|
圆心(0，0)到直线y=√3x+b的距离为 = ，
√(√3) 2+(-1) 2 2
|b|
所以 =1，解得b=2或b=-2.
2
所以与圆x2+y2=1相切且方向向量为(1，√3)的直线方程为y=√3x+2或y=√3x-2(写出一个即可).
3
13.-
5
解析 如图所示，易知∠APB=2∠APC，若∠APB最大时，则∠APC最大.
由题意知圆C的圆心C(0，2)，半径r=4，
|AC| 4
在Rt△APC中，sin∠APC= = ，则当∠APC最大时，|PC|取得最小值，
|PC| |PC|
显然由点到直线的距离公式，
|0+2×2+6|
可知|PC| = =2√5，
min √12+22
2
则此时sin∠APC= ，
√53
则cos∠APB=1-2sin2∠APC=- .
5
14.3√13
解析 由题意得，圆C：(x+3)2+(y+2)2=13，圆心C(-3，-2)，半径r=√13，
设点P(x ，y )，则|x -1|+|y -2|=2，
0 0 0 0
故点P的轨迹为如图所示的正方形，其中A(1，4)，B(3，2)，
则|AC|=√(1+3) 2+(4+2) 2
=2√13，
|BC|=√(3+3) 2+(2+2) 2
=2√13，
则|PN|≤|AC|+r
=2√13+√13=3√13，
即|PN|的最大值为3√13.
15.ABC [设P(x，y)，根据双纽线的定义可得√(x+a) 2+ y2·√(x-a) 2+ y2=a2，当a=2√2时，
曲线C：√(x+2√2) 2+ y2·√(x-2√2) 2+ y2=8，
即y4+2y2(x2+8)+(x2-8) 2 =64，整理得(x2+ y2) 2 =16(x2- y2).
对于A，用(-x，-y)替换方程中的(x，y)，原方程不变，所以曲线C关于原点中心对称，故A正确；
对于B，若|PF |=|PF |，则√(x+2√2) 2+ y2=√(x-2√2) 2+ y2，所以x=0，此时y2+8=8，即y=0，
1 2
所以满足|PF |=|PF |的点P有且只有一个，即(0，0)，故B正确；
1 2
对于C，当x≠0时，
由(x2+ y2) 2 =16(x2- y2)，
16(x2- y2)
得x2+y2= ≤16，
x2+ y2
当且仅当y=0，x=±4时取等号，
所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过4，故C正确；
对于D，直线y=kx与曲线C一定有公共点(0，0)，若直线与曲线C只有一个交点，将y=kx代入方程
(x2+ y2) 2 =16(x2- y2)中，
得(1+k2) 2 x4=16(1-k2)x2，
当x≠0时，方程(1+k2) 2 x2=16(1-k2)无解，则1-k2≤0，解得k≥1或k≤-1，故D错误.]
n
16.
4(n+1)
解析 当0≤x<4时，
y=f(x)=√4-(x-2) 2，
即(x-2)2+y2=4，y≥0，
表示以(2，0)为圆心，2为半径的圆在x轴(含x轴)的上半部分，
当x≥4时，f(x)=f(x-4)，函数周期为4，如图，作出函数f(x)的图象.
因为直线y=k x与函数f(x)的图象恰有2n+1个不同的交点，
n
根据图象知，直线y=k x与第n+1个半圆相切，
n
第n+1个半圆的圆心为(4n+2，0)，半径为2，
2
故直线y=k x的斜率k =
n n √(4n+2) 2-4
2 1
= = ，
√16n2+16n √4n2+4n
所以k2 = 1 = 1(1 - 1 ) ，
n 4n2+4n 4 n n+1
所以k2 +k2 +…+k2 = 1( 1- 1 + 1 - 1 +…+ 1 - 1 )
1 2 n 4 2 2 3 n n+1
n
= .
4(n+1)
