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微专题 1 直线与圆
[考情分析] 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦
长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.
考点一 直线的方程
1.已知直线l ：A x+B y+C =0，直线l ：A x+B y+C =0，则l ∥l A B -A B =0，且A C -A C ≠0(或B C -
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
B 2 C 1 ≠0)，l 1 ⊥l 2 A 1 A 2 +B 1 B 2 =0. ⇔
|A x +B y +C|
⇔ 0 0
2.点P(x ，y )到直线l：Ax+By+C=0(A，B不同时为零)的距离d= .
0 0 √A2+B2
|C -C |
1 2
3.两条平行直线l ：Ax+By+C =0，l ：Ax+By+C =0(A，B不同时为零)间的距离d= .
1 1 2 2 √A2+B2
例1 (1)(多选)(2024·安庆模拟)下列说法正确的是( )
[ π] [3π )
A.直线xsin α+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是 0， ∪ ，π
4 4
B.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件
C.过点P(1，2)且在x轴、y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0
D.经过平面内任意相异两点(x ，y )，(x ，y )的直线都可以用方程(x -x )(y-y )=(y -y )(x-x )表示
1 1 2 2 2 1 1 2 1 1
答案 AD
解析 对于A，直线的倾斜角为θ，则tan θ=-sin α∈[-1，1]，
[ π] [3π )
因为0≤θ<π，所以θ∈ 0， ∪ ，π ，故A正确；
4 4
对于B，当a=-1时，直线x-y+1=0与直线x+y-2=0斜率分别为1，-1，斜率之积为-1，故两直线相互垂直，
所以充分性成立，
若“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”，则a2+a=0，
故a=0或a=-1，所以得不到a=-1，故必要性不成立，故B错误；
对于C，当截距为0时，设直线方程为y=kx，又直线过点P(1，2)，
代入直线方程可得k=2，所以直线方程为y=2x，x y
当截距不为0时，设直线方程为 + =1，又直线过点P(1，2)，
a a
代入直线方程可得a=3，所以直线方程为x+y-3=0，
所以过点P(1，2)且在x轴、y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0或y=2x，故C错误；
对于D，经过平面内任意相异两点(x ，y )，(x ，y )的直线，
1 1 2 2
当斜率等于0时，y =y ，x ≠x ，方程为y=y ，能用方程(x -x )(y-y )=(y -y )(x-x )表示；
1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1
当斜率不存在时，y ≠y ，x =x ，方程为x=x ，能用方程(x -x )(y-y )=(y -y )(x-x )表示；
1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1
y- y x-x
1 1
当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为 = ，也能用方程(x -x )(y-y )=(y -y )(x-x )表示，故D正
y - y x -x 2 1 1 2 1 1
2 1 2 1
确.
(2)已知y=(x-a)2+(xln x-a+3)2(a∈R)，则y的最小值为 .
答案 2
解析 设点P(x，xln x)是函数f(x)=xln x图象上的点，点Q(a，a-3)是直线l：y=x-3上的点，
则|PQ|=√(x-a) 2+(xlnx-a+3) 2，所以y=|PQ|2.
因为f'(x)=ln x+1，设曲线y=f(x)在点M(x ，y )处的切线l 与直线l平行，则f'(x )=ln x +1=1，解得x =1，
0 0 1 0 0 0
|1-0-3|
则点M(1，0)，所以|PQ|的最小值为点M(1，0)到直线l的距离d= =√2，
√2
所以y=(x-a)2+(xln x-a+3)2的最小值为2.
[易错提醒] 解决直线方程问题的三个注意点
(1)利用A B -A B =0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.
1 2 2 1
(2)要注意直线方程每种形式的局限性.
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.
跟踪演练1 (1)(多选)已知直线l：√3x-y+1=0，下列四个说法中正确的是( )
π
A.直线l的倾斜角为
6
B.若直线m：x-√3y+1=0，则l⊥m
C.点(√3，0)到直线l的距离为2
D.过点(2√3，2)，并且与直线l平行的直线方程为√3x-y-4=0
答案 CD
π
解析 直线l的斜率k =√3，倾斜角为 ，A不正确；
1 3
√3 π
直线m的斜率k = ，倾斜角为 ，与直线l不垂直，B不正确；
2 3 6
点(√3，0)到直线l的距离|√3×√3-0+1|
d= =2，C正确；
2
过点(2√3，2)，与直线l平行的直线方程为y-2=√3(x-2√3)，即√3x-y-4=0，D正确.
(2)(2024·遂宁模拟)若点A(a，a)，B(b，eb)(a，b∈R)，则A，B两点间距离|AB|的最小值为
.
√2
答案
2
解析 点A(a，a)在直线y=x上，点B(b，eb)在曲线y=ex上，
即求|AB|的最小值等价于求直线y=x上的点到曲线y=ex上的点的距离的最小值.
过y=ex上的点(m，em)作y=ex的切线，
则切线方程为y-em=em(x-m)，
令em=1，可得m=0，故该切线为y=x+1，
则直线y=x+1与y=x的距离即为|AB|的最小值，
|1| √2 √2
此时|AB|= = ，即|AB| = .
√1+1 2 min 2
考点二 圆的方程
1.圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
2.圆的一般方程
( D E) √D2+E2-4F
x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中D2+E2-4F>0，表示以 - ，- 为圆心， 为半径的圆.
2 2 2
例2 (1) (2024·浙江金丽衢十二校联考)圆C：x2+y2-2x+4y=0的圆心C坐标和半径r分别为( )
A.C(1，-2)，r=√5 B.C(1，-2)，r=5
C.C(-1，2)，r=√5 D.C(-1，2)，r=5
答案 A
解析 圆C：x2+y2-2x+4y=0，即C：(x-1)2+(y+2)2=5，
它的圆心C坐标和半径r分别为C(1，-2)，r=√5.
(2)(2024·晋中模拟)已知直线l：y=x与圆Γ：(x-2k) 2 +(y-k+1) 2 =1(k∈R)，下列说法正确的是( )
A.所有圆Γ均不经过点(1，1)
B.若Γ关于l对称，则k=-2
C.若l与Γ相交于A，B两点，且|AB|=√2，则k=-2
D.存在与x轴和y轴均相切的圆Γ
答案 A
解析 对于A，若圆Γ经过点(1，1)，则(1-2k) 2 +(1-k+1) 2 =1，化简整理得5k2-8k+4=0，因为Δ=64-4×5×4=64-80=-16<0，所以方程无解，
所以所有圆Γ均不经过点(1，1)，所以A正确；
对于B，圆Γ：(x-2k) 2 +(y-k+1) 2 =1的圆心坐标为(2k，k-1)，
若Γ关于l对称，则直线l过圆心，所以2k=k-1，得k=-1，所以B错误；
对于C，因为l与Γ相交于A，B两点，且|AB|=√2，所以圆心到直线的距离为d=
√
12-
(√2) 2
=
√2
，
2 2
|2k-k+1| √2
又d= = ，解得k=-2或k=0，所以C错误；
√2 2
对于D，若存在与x轴和y轴均相切的圆Γ，则|2k|=|k-1|=1，此方程组无解，
所以不存在与x轴和y轴均相切的圆Γ，所以D错误.
[规律方法] 解决圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.
跟踪演练2 (1)(多选)已知实数x，y满足x2+y2-4y+3=0，则( )
y
A.当x≠0时， 的最小值是-√3
x
x √3
B. 的最大值是
y 3
C.y-x的最小值是2-√2
D.x2+y2的最小值是1
答案 BCD
解析 由x2+y2-4y+3=0，得x2+(y-2)2=1.该方程表示圆心为C(0，2)，半径r=1的圆.
y
设k= (x≠0)，则k表示圆上的点(除去点(0，1)和(0，3))与原点O(0，0)连线的斜率，
x
|-2|
由y=kx(x≠0)，则 ≤1，解得k≥√3或k≤-√3，
√k2+(-1) 2
由题意，y一定不等于0，
√3 x 1 √3
所以- ≤ = ≤ (x可以为0)，
3 y k 3
y x √3
即当x≠0时， 无最小值， 的最大值是 ，故A错误，B正确；
x y 3设y-x=b，则y=x+b，b表示当直线y=x+b与圆有公共点时，直线在y轴上的截距，
|b-2|
则 ≤1，解得2-√2≤b≤2+√2，即y-x的最小值是2-√2，故C正确；
√12+(-1) 2
因为x2+y2表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在y轴上，
所以当x=0，y=1时，x2+y2取得最小值，且最小值为1，故D正确.
(2)已知M(-1，1)，若坐标原点O(0，0)在动直线l：mx+ny-2m+2n=0上的投影为点N，则|MN|的取值范
围是( )
A.[√2，2√2] B.[√2，3√2]
C.[1，3√2] D.[2√2，3√2]
答案 B
解析 直线l：mx+ny-2m+2n=0，即(x-2)m+(y+2)n=0，
{x-2=0, { x=2,
令 解得
y+2=0, y=-2,
所以动直线l恒过定点P(2，-2).
因为坐标原点O(0，0)在动直线l上的投影为点N，
故∠ONP=90°，所以N在以OP为直径的圆上，
1
则圆的圆心为Q(1，-1)，半径r=
√(2-0) 2+(-2-0) 2
=√2.
2
又|MQ|=√(-1-1) 2+(1+1) 2=2√2，
所以|MQ|-r≤|MN|≤|MQ|+r，即√2≤|MN|≤3√2，
即|MN|的取值范围是[√2，3√2].
考点三 直线、圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.
其判断方法为：
(1)点线距离法.
{ Ax+By+C=0,
(2)判别式法：设圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2，直线l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，联立方程组
(x-a) 2+(y-b) 2=r2,
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ=0，
直线与圆相交⇔Δ>0.
2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.考向1 直线与圆的位置关系
例3 (多选)(2024·金华模拟)已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，则下列命题
正确的有( )
A.直线l恒过定点(3，1)
B.圆C被y轴截得的弦长为2√6
C.直线l与圆C恒相交
D.直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为2x-y-5=0
答案 ACD
解析 对于A，由已知可得，圆心C(1，2)，半径r=5，
直线方程可化为l：m(2x+y-7)+x+y-4=0，
{2x+ y-7=0, {x=3,
由 可得
x+ y-4=0, y=1,
所以直线l恒过定点P(3，1)，A正确；
对于B，将x=0代入圆的方程有1+(y-2)2=25，解得y=2±2√6，
弦长为√(0-0) 2+(2+2√6-2+2√6) 2=4√6，B错误；
因为点P(3，1)到圆心C(1，2)的距离为√(1-3) 2+(2-1) 2=√5<5=r，
所以点P在圆内，直线l与圆C恒相交，C正确；
当圆心C与定点P的连线恰好与l垂直时，圆心到直线的距离最大，直线l被圆C截得的弦长最短，又
1-2 1
k = =- ，
PC 3-1 2
则l的斜率k应满足k ·k=-1，所以k=2，
PC
代入点斜式方程有y-1=2(x-3)，
即2x-y-5=0，D正确.
考向2 圆与圆的位置关系
例4 (1)(2024·聊城模拟)若圆C ：x2+y2=1与圆C ：(x-a)2+(y-b)2=4恰有一条公切线，则下列直线一定不
1 2
经过点(a，b)的是( )
A.2x+y-√2=0 B.2x-y+2=0
C.x+y-√2=0 D.x-y+2=0
答案 D
解析 圆C ：x2+y2=1的圆心C (0，0)，半径r =1，圆C ：(x-a)2+(y-b)2=4的圆心C (a，b)，半径r =2，
1 1 1 2 2 2
若圆C 与圆C 恰有一条公切线，则两圆内切，
1 2
所以|C C |=|r -r |，即√a2+b2=1，所以点(a，b)的轨迹为圆x2+y2=1，
1 2 1 2|0+0-√2| √10
对于A，圆心(0，0)到直线2x+y-√2=0的距离为 = <1，则该直线与圆相交，过点(a，b)，故
√5 5
A不符合；
|0-0+2| 2√5
对于B，圆心(0，0)到直线2x-y+2=0的距离为 = <1，则该直线与圆相交，过点(a，b)，故B
√5 5
不符合；
|0+0-√2|
对于C，圆心(0，0)到直线x+y-√2=0的距离为 =1，则该直线与圆相切，过点(a，b)，故C不符
√2
合；
|0-0+2|
对于D，圆心(0，0)到直线x-y+2=0的距离为 =√2>1，则该直线与圆相离，不过点(a，b)，故D
√2
符合.
(2)(多选)已知圆C ：(x-1)2+(y-2a)2=9，圆C ：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R，则下列选项正确的是( )
1 2
A.直线C C 恒过定点(3，0)
1 2
B.当圆C 和圆C 外切时，若P，Q分别是圆C ，C 上的动点，则|PQ| =10
1 2 1 2 max
4
C.若圆C 和圆C 共有2条公切线，则a<
1 2 3
1 3√6
D.当a= 时，圆C 与圆C 相交弦的弦长为
3 1 2 2
答案 ABD
解析 对于A，由圆C ：(x-1)2+(y-2a)2=9，圆C ：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R，
1 2
可知C (1，2a)，半径r =3，C (4，-a)，半径r =2，
1 1 2 2
故直线C C 的方程为y+a=-a(x-4)，
1 2
即y=-a(x-3)，所以直线C C 恒过定点(3，0)，A正确；
1 2
对于B，当圆C 和圆C 外切时，
1 2
|C C |=r +r ，即√(1-4) 2+(2a+a) 2=3+2，
1 2 1 2
4
解得a=± ，
3
4
当a= 时，如图所示，当P，C ，C ，Q共线时，
3 1 2|PQ| =|C C |+r +r =
√
(1-4) 2+
(8
+
4) 2
+5=10；
max 1 2 1 2
3 3
4
同理求得当a=- 时，|PQ| =10，B正确；
3 max
对于C，若圆C 和圆C 共有2条公切线，则两圆相交，
1 2
则|r -r |<|C C |0)，
{ |a|=|b|=r, {b=-a=r,
则 |a+b-2| 即 2
=r, =r,
√2 √2
{b=√2,
解得 a=-√2,
r=√2,
所以圆C的方程为(x+√2)2+(y-√2)2=2.
6.(2024·苏锡常镇调研)莱莫恩(Lemoine)定理指出：过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，
分别和BC，CA，AB所在直线交于点P，Q，R，则P，Q，R三点在同一条直线上，这条直线被称为三角
形的Lemoine线.在平面直角坐标系Oxy中，若三角形的三个顶点坐标分别为A(0，1)，B(2，0)，C
(0，-4)，则该三角形的Lemoine线的方程为( )
A.2x-3y-2=0 B.2x+3y-8=0
C.3x+2y-22=0 D.2x-3y-32=0
答案 B
解析 设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，D2+E2-4F>0，
{
1+E+F=0,
{
D=0,
∴ 4+2D+F=0, 解得 E=3,
16-4E+F=0, F=-4,( 3) 2 25
∴外接圆方程为x2+y2+3y-4=0，即x2+ y+ = .
2 4
易知外接圆在A(0，1)处的切线方程为y=1，
x y 5
又BC： + =1，令y=1，得x= ，
2 -4 2
(5 )
∴P ，1 .
2
在C(0，-4)处的切线方程为y=-4，
x
又AB： +y=1，令y=-4，得x=10，
2
∴R(10，-4).
x-10
y+4
则三角形的Lemoine线的方程为 =5 ，即2x+3y-8=0.
1+4 -10
2
7.(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A，B两点，则|AB|的
最小值为( )
A.1 B.2
C.4 D.2√5
答案 C
解析 因为b是a，c的等差中项，
所以2b=a+c，c=2b-a，
代入直线方程ax+by+c=0得ax+by+2b-a=0，
即a(x-1)+b(y+2)=0，
{x-1=0, { x=1,
令 得
y+2=0, y=-2,
故直线恒过(1，-2)，设P(1，-2)，
圆化为标准方程得x2+(y+2)2=5，
设圆心为C，画出直线与圆的图形，如图，
由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，
又|PC|=1，|AC|=√5，
此时|AB|=2|AP|=2√|AC|2-|PC|2=2√5-1=4.
8.已知圆O：x2+y2=4上两点A(x ，y )，B(x ，y )满足x x +y y =0，则|x +√3 y +6|+|x +√3 y +6|的最小值
1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2
为( )
A.3√2-2 B.6-2√2
C.6√2-4 D.12-4√2
答案 D
解析 由x x +y y =0得⃗OA·⃗OB=0，即⃗OA⊥⃗OB，则OA⊥OB，|AB|=√2|OA|=2√2，
1 2 1 2
(|x +√3 y +6| |x +√3 y +6|)
因为|x +√3 y +6|+|x +√3 y +6|=2 1 1 + 2 2 ，
1 1 2 2 √1+(√3) 2 √1+(√3) 2
所以由点到直线的距离公式，可知|x +√3 y +6|+|x +√3 y +6|表示A，B两点到直线l：x+√3y+6=0的距
1 1 2 2
离之和的2倍.
如图所示，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为D，F，
设AB，DF的中点分别为M，E，则ME是梯形ADFB的中位线，可得|AD|+|BF|=2|ME|，
则|x +√3 y +6|+|x +√3 y +6|=2(|AD|+|BF|)=4|ME|，即点M到直线l的距离的4倍.
1 1 2 2
1 1
因为△AOB是直角三角形，所以|OM|= |AB|= ×2√2=√2，
2 2
则点M在圆x2+y2=2上运动，半径r=√2.
由图可知，当O，M，E三点共线时，|ME|最小，
|0+0+6|
又原点O到直线l的距离d= =3，|ME| =d-r=3-√2，
√1+(√3) 2 min
所以|x +√3 y +6|+|x +√3 y +6|=4|ME|的最小值为4(3-√2)=12-4√2.
1 1 2 2
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.下列说法正确的是( )
A.直线y=ax-2a+4(a∈R)必过定点(2，4)
B.直线y+1=3x在y轴上的截距为1
C.直线√3x+3y+5=0的倾斜角为120°
D.过点(-2，3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y+1=0
答案 AD
{x-2=0, {x=2,
解析 对于A选项，直线方程可化为a(x-2)+(4-y)=0，由 可得
4- y=0, y=4,所以直线y=ax-2a+4(a∈R)必过定点(2，4)，A正确；
对于B选项，直线方程可化为y=3x-1，故直线y+1=3x在y轴上的截距为-1，B错误；
√3
对于C选项，直线√3x+3y+5=0的斜率为- ，该直线的倾斜角为150°，C错误；
3
对于D选项，过点(-2，3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程可设为2x+y+c=0，
则2×(-2)+3+c=0，可得c=1，
所以过点(-2，3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y+1=0，D正确.
10.(2024·哈尔滨模拟)已知圆C：(x-2)2+y2=4，直线l：(m+1)x+2y-3-m=0(m∈R)，则( )
A.直线l恒过定点(1，1)
B.存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点
C.当m=-3时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1
D.圆C与圆x2+y2-2x+8y+1=0恰有两条公切线
答案 ACD
{ x-1=0, {x=1,
解析 对于A，直线l的方程可化为m(x-1)+x+2y-3=0，由 得
x+2y-3=0, y=1,
直线l过定点(1，1)，A正确；
对于B，又(1-2)2+12=2<4，即定点(1，1)在圆C内，则直线l与圆C相交，有两个交点，B错误；
|2-0|
对于C，当m=-3时，直线l：x-y=0，圆心C(2，0)到直线l的距离为d= =√2，
√2
而圆C半径为2，且2-√2<1，因此恰有2个点到直线l的距离等于1，C正确；
对于D，圆C的半径r =2，圆x2+y2-2x+8y+1=0化为(x-1)2+(y+4)2=16，
1
圆心为(1，-4)，半径r =4，
2
两圆圆心距为d'=√(1-2) 2+(-4-0) 2=√17，
则r -r 0时，y=-x2+2，当y<0时，y=x2-2，当y=0时，x=±√2，
所以曲线E的图象如图所示，其中x∈[-√2，√2]，对于A，分别过A，C作x轴的垂线，过B，D作y轴的垂线，则围成矩形EFGH，
因为A(-√2，0)，C(√2，0)，B(0，-2)，D(0，2)，所以|EF|=|AC|=2√2，|EH|=|BD|=4，
所以矩形EFGH的面积为2√2×4=8√2，
由图可知，曲线E是封闭图形，且在矩形EFGH内，
所以曲线E围成的面积小于8√2，所以A正确；
对于B，因为点(x，y)和点(-x，-y)均满足方程x2+|y|=2，
所以曲线E关于原点中心对称，所以B正确；
对于C，由图可知，曲线E上到直线x+y=4距离最小的点位于第一象限，
此时y>0，则y=-x2+2，设(x，y)为y=-x2+2上任意一点，
则此点到直线x+y=4的距离为
( 1) 2 7
|x+ y-4| |x-x2+2-4| x2-x+2 x- + 1
d= = = = 2 4 7√2，当且仅当x= 时取等号，
√2 √2 √2 ≥ 2
√2 8
7√2
所以曲线E上的点到直线x+y=4距离的最小值为 ，所以C正确；
8
对于D，设(x，y)为曲线E上任意一点，则其到原点的距离为√x2+ y2，
√x2+ y2=√2-|y|+ y2= √ ( |y|- 1) 2 + 7 ≥ √7 ，当且仅当|y|= 1 时取等号，
2 4 2 2
√7
所以曲线E上的点到原点距离的最小值为 ，所以D错误.
2
三、填空题(每小题5分，共15分)12.(2024·杭州质检)写出与圆x2+y2=1相切且方向向量为(1，√3)的一条直线的方程 .
答案 y=√3x+2或y=√3x-2(写出一个即可)
解析 因为切线的方向向量为(1，√3)，
所以切线的斜率为√3，
故可设切线方程为y=√3x+b.
因为直线y=√3x+b与圆x2+y2=1相切，
又圆x2+y2=1的圆心坐标为(0，0)，半径为1，
|√3×0-0+b| |b|
圆心(0，0)到直线y=√3x+b的距离为 = ，
√(√3) 2+(-1) 2 2
|b|
所以 =1，解得b=2或b=-2.
2
所以与圆x2+y2=1相切且方向向量为(1，√3)的直线方程为y=√3x+2或y=√3x-2(写出一个即可).
13.(2024·海口调研)已知圆C：x2+(y-2)2=16，点P在直线l：x+2y+6=0上，过点P作C的两条切线，切点分
别为A，B.当∠APB最大时，cos∠APB= .
3
答案 -
5
解析 如图所示，易知∠APB=2∠APC，若∠APB最大时，则∠APC最大.
由题意知圆C的圆心C(0，2)，半径r=4，
|AC| 4
在Rt△APC中，sin∠APC= = ，则当∠APC最大时，|PC|取得最小值，
|PC| |PC|
显然由点到直线的距离公式，
|0+2×2+6|
可知|PC| = =2√5，
min √12+22
2
则此时sin∠APC= ，
√5
3
则cos∠APB=1-2sin2∠APC=- .
5
14.[曼哈顿距离]人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距
离”.其定义如下：设A=(x ，y )， B=(x ，y )，则A，B两点间的曼哈顿距离d(A，B)=|x -x |+|y - y |.已
1 1 2 2 1 2 1 2
知M=(1，2)，若点P满足d(M，P)=2，点N在圆C：x2+y2+6x+4y=0上运动，则|PN|的最大值为 .答案 3√13
解析 由题意得，圆C：(x+3)2+(y+2)2=13，圆心C(-3，-2)，半径r=√13，
设点P(x ，y )，则|x -1|+|y -2|=2，
0 0 0 0
故点P的轨迹为如图所示的正方形，其中A(1，4)，B(3，2)，
则|AC|=√(1+3) 2+(4+2) 2=2√13，
|BC|=√(3+3) 2+(2+2) 2=2√13，
则|PN|≤|AC|+r=2√13+√13=3√13，
即|PN|的最大值为3√13.
15题6分，16题5分，共11分
15.(多选)[双纽线]平面内与定点F (-a，0)，F (a，0)距离之积等于a2(a>0)的动点的轨迹称为双纽线.曲线C
1 2
是当a=2√2时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列结论正确的是( )
A.曲线C关于原点中心对称
B.满足|PF |=|PF |的点P有且只有一个
1 2
C.|OP|≤4
D.若直线y=kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为(-1，1)
答案 ABC
解析 设P(x，y)，根据双纽线的定义可得√(x+a) 2+ y2·√(x-a) 2+ y2=a2，
当a=2√2时，曲线C：√(x+2√2) 2+ y2·√(x-2√2) 2+ y2=8，
即y4+2y2(x2+8)+(x2-8) 2 =64，整理得(x2+ y2) 2 =16(x2- y2).
对于A，用(-x，-y)替换方程中的(x，y)，原方程不变，所以曲线C关于原点中心对称，故A正确；
对于B，若|PF |=|PF |，则√(x+2√2) 2+ y2=√(x-2√2) 2+ y2，所以x=0，此时y2+8=8，即y=0，
1 2
所以满足|PF |=|PF |的点P有且只有一个，即(0，0)，故B正确；
1 2
对于C，当x≠0时，由(x2+ y2) 2 =16(x2- y2)，
16(x2- y2)
得x2+y2= ≤16，
x2+ y2
当且仅当y=0，x=±4时取等号，所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过4，故C正确；
对于D，直线y=kx与曲线C一定有公共点(0，0)，若直线与曲线C只有一个交点，将y=kx代入方程
(x2+ y2) 2 =16(x2- y2)中，
得(1+k2) 2 x4=16(1-k2)x2，当x≠0时，
方程(1+k2) 2 x2=16(1-k2)无解，则1-k2≤0，解得k≥1或k≤-1，故D错误.
{√4-(x-2) 2,0≤x<4,
16.已知函数f(x)= 若对于正数k (n∈N*)，直线y=k x与函数f(x)的图象恰好有2n+1
f(x-4),x≥4, n n
个不同的交点，则k2 +k2 +…+k2
= .
1 2 n
n
答案
4(n+1)
解析 当0≤x<4时，y=f(x)=√4-(x-2) 2，即(x-2)2+y2=4，y≥0，
表示以(2，0)为圆心，2为半径的圆在x轴(含x轴)的上半部分，
当x≥4时，f(x)=f(x-4)，函数周期为4，
如图，作出函数f(x)的图象.
因为直线y=k x与函数f(x)的图象恰有2n+1个不同的交点，
n
根据图象知，直线y=k x与第n+1个半圆相切，
n
第n+1个半圆的圆心为(4n+2，0)，半径为2，
2 2 1
故直线y=k x的斜率k = = = ，
n n √(4n+2) 2-4 √16n2+16n √4n2+4n
所以k2 = 1 = 1(1 - 1 ) ，
n 4n2+4n 4 n n+1
所以k2 +k2 +…+k2 = 1( 1- 1 + 1 - 1 +…+ 1 - 1 ) = n .
1 2 n 4 2 2 3 n n+1 4(n+1)
