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微专题 2 圆锥曲线的方程与性质
[考情分析] 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质是每年高考必考的内容，常以选择题、填空题以及解
答题第(1)问的形式出现，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等.
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF |+|PF |=2a(2a>|F F |).
1 2 1 2
(2)双曲线：||PF |-|PF ||=2a(0<2a<|F F |).
1 2 1 2
(3)抛物线：|PF|=|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴；
“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.
x2
例1 (1)(2024·东北三省三校联考)已知F 是椭圆C： +y2=1的左焦点，直线x=1与C交于A，B两点，
1 2
则△F AB周长为( )
1
A.√2 B.√3
C.2√2 D.4√2
(2)(2024·常德沅澧共同体联考)已知抛物线方程为y2=16x，焦点为F.圆的方程为(x-5)2+(y-1)2=1，设P为
抛物线上的点，Q为圆上的一点，则|PF|+|PQ|的最小值为( )
A.6 B.7
C.8 D.9
[易错提醒] 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
(1)双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；
(2)椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2=b2+c2，双曲线中的关系式为c2=a2+b2；
(3)确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置.
x2 y2
跟踪演练1 (1)(2024·安康模拟)已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，点M在椭圆上，
a2 b2 1 2
且满足∠F MF =90°，MF 延长线交椭圆于另一点C，|M F |=2|F C|=2，则椭圆的方程为( )
1 2 2 2 2
x2 x2
A. +y2=1 B. +y2=1
9 5
x2 y2 x2 y2
C. + =1 D. + =1
9 4 18 2x2 y2
(2)(2024·揭阳模拟)已知F ，F 分别是双曲线E： - =1的左、右焦点，M是E的左支上一点，过F
1 2 4 12 2
作∠F MF 平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则|ON|= .
1 2
考点二 椭圆、双曲线的几何性质
1.求离心率通常有两种方法
c
(1)求出a，c，代入公式e= .
a
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取
值范围.
x2 y2 x2 y2
2.与双曲线 - =1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay=0的双曲线方程为 - =λ(λ≠0).
a2 b2 a2 b2
考向1 椭圆、双曲线的几何性质
x2 y2
例2 (1)(多选)已知椭圆C： + =1的左、右焦点分别为F ，F ，点P在椭圆上，则下列说法正确的
9 5 1 2
是( )
A.F ，F 的坐标分别为(-2，0)，(2，0)
1 2
B.椭圆的短轴长为10
C.|PF |的最小值为1
1
D.当P是椭圆的短轴端点时，∠F PF 取到最大值
1 2
(2)(多选)若P是双曲线C：x2-y2=2上一点，F ，F 分别为C的左、右焦点，则下列结论中正确的是(
1 2
)
A.双曲线C的虚轴长为√2
B.若PF ⊥PF ，则△PF F 的面积为2
1 2 1 2
C.|PF |的最小值是2-√2
1
D.双曲线C的焦点到其渐近线的距离是2
考向2 离心率
例3 (1)(2024·南京模拟)已知椭圆C的左、右焦点分别为F ，F ，下顶点为A，直线AF 交C于另一点
1 2 1
B，△ABF 的内切圆与BF 相切于点P.若|BP|=|F F |，则C的离心率为( )
2 2 1 2
1 1
A. B.
3 2
2 3
C. D.
3 4
x2 y2
(2)(2024·新课标全国Ⅰ)设双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 作平行于y
a2 b2 1 2 2
轴的直线交C于A，B两点，若|F A|=13，|AB|=10，则C的离心率为 .
1[规律方法] (1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平
方的方法，建立与|PF |·|PF |的联系.
1 2
b a
(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求 或 的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后
a b
因式分解得到.
x2 y2
跟踪演练2 (1)(多选)(2024·成都模拟)连接椭圆C： + =1(a>√3)的三个顶点所围成的三角形面积为
a2 3
2√3，记椭圆C的右焦点为F，则( )
A.a=4
1
B.椭圆C的离心率为
2
C.椭圆C的焦距为2√7
2 024
D.椭圆C上存在点P，使|PF|=2
2 025
y2 x2
(2) (2024·安徽A10联盟模拟)过双曲线C： - =1(a>b>0)的下顶点F作某一条渐近线的垂线，分别与
a2 b2
两条渐近线相交于M，N两点，若⃗NF=2⃗FM，则C的离心率为( )
2√3
A. B.√3
3
C.2√3 D.3
考点三 抛物线的几何性质
抛物线的焦点弦的几个常见结论：
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x ，y )，B(x ，y )，α是直线AB的倾斜角，则
1 1 2 2
p2
(1)x x = ，y y =-p2.
1 2 1 2
4
2p
(2)|AB|=x +x +p= .
1 2 sin2α
1 1 2
(3) + = .
|FA| |FB| p
p
(4)以线段AB为直径的圆与准线x=- 相切.
2
例4 (多选)已知抛物线y2=2px(p>0)经过点M(1，2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于两个不
同的点A(x ，y )，B(x ，y )，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为k ，k ，则( )
1 1 2 2 1 2
A.p=2 B.|AB|≥4
C.⃗OA·⃗OB=-4 D.k k =-4
1 2
[规律方法] 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直
角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.跟踪演练3 (多选)已知点A(x ，y )，B(x ，y )是抛物线y2=8x上过焦点的两个不同的点，焦点为F，则(
1 1 2 2
)
A.焦点F的坐标为(4，0)
B.|AB|=x +x +4
1 2
C.y y =-8
1 2
1 1 1
D. + =
|FA| |FB| 2答案精析
例1 (1)D (2)C
跟踪演练1 (1)C (2)2
x2 y2
例2 (1)ACD [椭圆 + =1，
9 5
其中a2=9，b2=5，
∴c2=a2-b2=4.
对于A，c=2，F ，F 的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，故A正确；
1 2
对于B，椭圆的短轴长为2b=2√5，
故B错误；
对于C，a-c≤|PF |≤a+c，
1
∴|PF |的最小值为1，故C正确；
1
对于D，当P是椭圆的长轴端点时，∠F PF =0；
1 2
当P不是长轴端点时，0<∠F PF <π，利用余弦定理可知
1 2
cos∠F PF
1 2
|PF |2+|PF |2-|F F |2
= 1 2 1 2
2|PF ||PF |
1 2
4a2-4c2-2|PF ||PF |
= 1 2
2|PF ||PF |
1 2
2b2
= -1
|PF ||PF |
1 2
2b2
≥(|PF |+|PF | ) 2 -1
1 2
2
2b2
= -1，
a2
当|PF |=|PF |，即P是椭圆的短轴端点时，cos∠F PF 最小，此时∠F PF 最大，故D正确.]
1 2 1 2 1 2
x2 y2
(2)BC [由双曲线C：x2-y2=2，得双曲线C： - =1，
2 2
设双曲线C的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，
则a=√2，b=√2，c=2.
选项A，双曲线C的虚轴长为2√2，故A错误；
选项B，|F F |=4，又PF ⊥PF ，
1 2 1 2{|PF | 2+|PF | 2=16,
1 2
则
||PF |-|PF ||=2√2,
1 2
得|PF ||PF |=4，
1 2
故△PF F 的面积为
1 2
1
|PF ||PF |=2，故B正确；
2 1 2
选项C，易知|PF | =c-a=2-√2，故C正确；
1min
选项D，易得双曲线C的焦点坐标为(±2，0)，渐近线方程为x±y=0，
2
所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为 =√2，故D错误.]
√2
3
例3 (1)B (2)
2
跟踪演练2 (1)BD (2) A
例4 ABD [因为抛物线y2=2px(p>0)经过点M(1，2)，
所以22=2p，解得p=2，故A正确；
所以抛物线方程为y2=4x，
则焦点F(1，0)，
{ y2=4x,
设直线l：x=my+1，则
x=my+1,
消去x整理得y2-4my-4=0，
则Δ=16m2+16>0，
所以y +y =4m，y y =-4，
1 2 1 2
则x +x =m(y +y )+2
1 2 1 2
=4m2+2，
x x =(my +1)(my +1)
1 2 1 2
=m2y y +m(y +y )+1=1，
1 2 1 2
所以|AB|=x +x +2=4m2+4≥4，
1 2
故B正确；
因为⃗OA=(x ，y )，⃗OB=(x ，y )，
1 1 2 2
所以⃗OA·⃗OB=x x +y y =-3，故C错误；
1 2 1 2
y y
1 2
由题意知，x ≠0且x ≠0，所以k k = · =-4，故D正确.]
1 2 1 2 x x
1 2
跟踪演练3 BD [由抛物线y2=8x，可得焦点为F(2，0)，故A错误；
由抛物线的性质可得|AB|=|AF|+|BF|=x +2+x +2=x +x +4，故B正确；
1 2 1 2设直线AB的方程为x=my+2，与抛物线的方程联立，
可得y2-8my-16=0，
则y +y =8m，y y =-16，
1 2 1 2
故C错误；
1 1 1 1
+ = +
|FA| |FB| x +2 x +2
1 2
1 1
= y2 + y2
1+2 2+2
8 8
8 8
= +
y2+16 y2+16
1 2
8 y2+8×16+8 y2+8×16
1 2
=
y2y2+16 y2+16 y2+162
1 2 1 2
8(y + y ) 2-16 y y +162
1 2 1 2
=
(y y ) 2+16(y + y ) 2-32y y +162
1 2 1 2 1 2
8×(8m) 2+162+162
=
162+16×(8m) 2+32×16+162
1
= ，故D正确.]
2
