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专题六 微专题 2 圆锥曲线的方程与性质
(分值：90分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2024·安阳模拟)已知抛物线y=2ax2(a>0)的焦点到准线的距离为1，则a等于( )
A.2 B.1
1 1
C. D.
2 4
x2
2.(2024·葫芦岛模拟)已知F ，F 分别是椭圆C： +y2=1的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，且|PF |+
1 2 m 1
|PF |=6，则椭圆C的离心率是( )
2
1 √3
A. B.
3 3
2√2 2√2
C. D.
3 9
3.(2024·新课标全国Ⅱ)已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则
线段PP'的中点M的轨迹方程为( )
x2 y2 x2 y2
A. + =1(y>0) B. + =1(y>0)
16 4 16 8
y2 x2 y2 x2
C. + =1(y>0) D. + =1(y>0)
16 4 16 8
4.(2024·汕头模拟)如图，设F ，F 分别是椭圆的左、右焦点，点P是以F F 为直径的圆与椭圆在第一象限
1 2 1 2
内的一个交点，延长PF 与椭圆交于点Q，若|PF |=4|QF |，则直线PF 的斜率为( )
2 1 2 2
1
A.- B.-1
2
C.-2 D.-3
5.(2024·安庆模拟)已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点F到其准线的距离为2，点M(x ，y )，N(x ，y )是抛物
1 1 2 2
|NF|
线C上两个不同的点，且(x +√3x )(x -√3x )=8，则 等于( )
1 2 1 2 |MF|
1 √3
A. B.
3 3C.√3 D.3
6.[旁切圆]如图1，与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆
x2 y2
的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心.如图2，已知F ，F 是双曲线 - =1(a>0，b>0)的
1 2 a2 b2
|MQ|
左、右焦点，P是双曲线右支上一点，Q是△PF F 的一个旁心.直线PQ与x轴交于点M，若 =√3，
1 2 |QP|
则该双曲线的渐近线方程为( )
1
A.y=± x B.y=±2x
2
√2
C.y=± x D.y=±√2x
2
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
x2 y2
7.(2024·沈阳模拟)设椭圆C： + =1的左、右焦点分别为F ，F ，P是C上的动点，则下列说法正确的
25 16 1 2
是( )
A.|PF |的最大值为8
1
4
B.椭圆C的离心率e=
5
C.△PF F 面积的最大值为12
1 2
D.以线段F F 为直径的圆与圆(x-4)2+(y-3)2=4相切
1 2
8.(2024·新课标全国Ⅱ)抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作☉A：x2+(y-4)2=1的一条切线，
Q为切点.过P作l的垂线，垂足为B.则( )
A.l与☉A相切
B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=√15
C.当|PB|=2时，PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
三、填空题(每小题5分，共10分)
x2
9.(2024·北京)若直线y=k(x-3)与双曲线 -y2=1只有一个公共点，则k的一个取值为 .
4
x2 y2
10.(2024·沧州模拟)已知F ，F 为椭圆E： + =1(a>b>0)的左、右焦点，过F 的直线与E交于M，N两
1 2 a2 b2 1
点，若|M F |=3|M F |=4|N F |，则E的离心率为 .
1 2 1四、解答题(共27分)
x2 y2
11.(13分)已知双曲线C的方程为 - =1(a>0，b>0)，实轴长和离心率均为2.
a2 b2
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；(5分)
(2)过E(0，2)且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于M，N两点，求⃗OM·⃗ON的值(O为坐标原点).(8分)
( 3) x2 y2
12.(14分)(2024·新课标全国Ⅰ)已知A(0，3)和P 3， 为椭圆C： + =1(a>b>0)上两点.
2 a2 b2
(1)求C的离心率；(6分)
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程.(8分)
13题6分，14题5分，共11分
x2 y2 ( π)
13.(多选)(2024·南昌模拟)将椭圆C ： + =1(a>b>0)上所有的点绕原点旋转θ 0<θ< 角，得到椭圆C
1 a2 b2 2 2
的方程：x2+y2-xy=6，则下列说法中正确的是( )
A.a=2√3
√3
B.椭圆C 的离心率为
2 3
C.(2，2)是椭圆C 的一个焦点
2
π
D.θ=
4
x2 y2
14.(2024·晋城模拟)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线与C交于A，B
a2 b2 1 2 2
√3 |AB|
两点，且|AF |=|AB|，若△OAF 的面积为 b2，其中O为坐标原点，则 的值为 .
1 1 6 |F F |
1 2答案精析
1.D 2.C 3.A 4.C 5.A 6.D
7.ACD 8.ABD
1
9. (答案不唯一)
2
1
解析 由题意，知该双曲线的渐近线方程为y=± x，
2
直线y=k(x-3)过定点(3，0).
因为点(3，0)在双曲线内，
所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，
1
所以k=± .
2
√10
10.
5
解析 由|MF |=3|MF |=4|NF |及|MF |+|MF |=2a，
1 2 1 1 2
a
得|MF |= ，
2 2
3a
|MF |= ，
1 2
3a
|NF |= ，
1 8
又|NF |+|NF |=2a，
1 2
13a
则|NF |= .
2 8
设∠MF F =θ，|F F |=2c，
1 2 1 2
在△MF F 中，由余弦定理得，
1 2
|MF |2=|F F |2+|MF |2-2|F F |·|MF |cos θ，
2 1 2 1 1 2 1
在△NF F 中，由余弦定理得，
1 2
{ a2 =4c2+ 9a2 -2×2c× 3a cosθ,
4 4 2
|NF |2=|F F |2+|NF |2+2|F F |·|NF |cos θ，于是
2 1 2 1 1 2 1 169a2 9a2 3a
=4c2+ +2×2c× cosθ,
64 64 8{2c2+a2=3accosθ,
整理得
5a2-8c2=3accosθ,
c2 2 c √10
解得 = ， = ，
a2 5 a 5
√10
所以E的离心率为e= .
5
c
11.解 (1)由离心率e= =2，
a
又c2=a2+b2，
则b2=3a2，
又实轴长2a=2，
∴a2=1，∴b2=3，
y2
故双曲线C的标准方程为x2- =1，
3
其渐近线方程为y=±√3x.
(2)∵直线l的倾斜角为45°，故其斜率为1，又l过点E(0，2)，
∴l的方程为y=x+2.
设M(x ，y )，N(x ，y )，
1 1 2 2
{
y=x+2,
由 y2 得2x2-4x-7=0，
x2- =1,
3
7
∴x +x =2，x x =- ，
1 2 1 2 2
∴⃗OM·⃗ON=x x +y y =x x +(x +2)(x +2)=2x x +2(x +x )+4=1.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
{
b=3,
12.解 (1)由题意得 9 9
+ =1,
a2 4b2
{b2=9,
解得
a2=12,
所以C的离心率
√ b2 √ 9 1
e= 1- = 1- = .
a2 12 23
3- 1
(2)方法一 k = 2=- ，
AP 2
0-3
1
则直线AP的方程为y=- x+3，
2
即x+2y-6=0，
因为|AP|= √ (0-3) 2+ ( 3- 3
2
) 2 = 3
2
√5 ，S
△ABP
=9，
2×9
12√5
所以点B到直线AP的距离d=3√5= ，设B(x ，y )，
5 0 0
2
{ |x 0 +2y 0 -6| = 12√5 ,
√5 5
则
x2 y2
0 + 0=1,
12 9
{x =0,
{x
0
=-3,
解得 0 或 3
y =-3 y =- ,
0 0 2
( 3)
即B(0，-3)或 -3，- ，
2
3
当B(0，-3)时，k= ，
l 2
3
直线l的方程为y= x-3，
2
即3x-2y-6=0；
( 3) 1
当B -3，- 时，k= ，
2 l 2
1
直线l的方程为y= x，即x-2y=0.
2
综上，直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.
方法二 同方法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，
12√5
点B到直线AP的距离d= ，
5
设B(2√3cos θ，3sin θ)，
其中θ∈[0，2π)，|2√3cosθ+6sinθ-6| 12√5
则有 = ，
√5 5
联立cos2θ+sin2θ=1，
{ √3
cosθ=- ,
{cosθ=0, 2
解得 或
sinθ=-1 1
sinθ=- ,
2
( 3)
即B(0，-3)或 -3，- ，以下同方法一.
2
方法三 当直线AB的斜率不存在时，此时B(0，-3)，
1
S = ×6×3=9，符合题意，
△PAB 2
3
此时k= ，
l 2
3
直线l的方程为y= x-3，
2
即3x-2y-6=0；
当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为y=kx+3，k≠0，
{
y=kx+3,
联立椭圆方程有
x2 y2
+ =1,
12 9
则(4k2+3)x2+24kx=0，
1
其中k≠k ，即k≠- ，
AP 2
-24k 1
解得x=0(舍去)或x= ，k≠0，k≠- ，
4k2+3 2
-24k -12k2+9
当x= 时，y= ，
4k2+3 4k2+3
(-24k -12k2+9)
则B ， ，
4k2+3 4k2+3
同方法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，
12√5
点B到直线AP的距离d= ，
5
|-24k -12k2+9 |
+2× -6
则 4k2+3 4k2+3
√512√5
= ，
5
3
解得k= ，
2
( 3) 1
此时B -3，- ，则k= ，
2 l 2
1
直线l的方程为y= x，
2
即x-2y=0，
综上，直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.
方法四 当l的斜率不存在时，
( 3)
l：x=3，B 3，- ，
2
|PB|=3，点A到直线PB的距离d=3，
1 9
此时S = ×3×3= ≠9不满足条件；
△ABP 2 2
当直线l的斜率存在时，
3
设直线l：y=k(x-3)+ ，
2
设l与y轴的交点为Q，
令x=0，
( 3)
则Q 0，-3k+ ，
2
3
{y=kx-3k+ ,
2
联立
x2 y2
+ =1,
12 9
( 3)
则有(3+4k2)x2-8k 3k- x+36k2-36k-27=0，
2
( 3) 2
其中Δ=64k2 3k- -4(3+4k2)(36k2-36k-27)>0，
2
即4k2+12k+9>0，
1 3
且k≠k ，即k≠- ，k≠- ，
AP 2 2
36k2-36k-27
则3x = ，
B 3+4k212k2-12k-9
x = ，
B 3+4k2
1
则S = |AQ||x -x |
△ABP 2 P B
1| 3||12k+18|
=
3k+
=9，
2 2 3+4k2
1 3
解得k= 或k= ，均满足题意.
2 2
1 3
则直线l的方程为y= x或y= x-3，
2 2
即x-2y=0或3x-2y-6=0.
13.ACD [设点P(x，y)在椭圆C 上，则其关于直线y=x的对称点P (y，x)代入椭圆C 的方程，
2 1 2
有y2+x2-yx=6，即x2+y2-xy=6，则对称点P 位于椭圆C 上，
1 2
同理其关于直线y=-x的对称点P (-y，-x)代入椭圆C 的方程，有(-y)2+(-x)2-(-y)(-x)=6，即x2+y2-xy=6，则对
2 2
称点P 位于椭圆C 上，
2 2
所以椭圆C 关于直线y=±x对称，
2
π
所以θ= ，故D正确；
4
将y=x代入x2+y2-xy=6，可得x2=6，
可得椭圆C 长轴的顶点为(√6，√6)，(-√6，-√6)，
2
所以a=√6+6=2√3，故A正确；
将y=-x代入x2+y2-xy=6可得x2=2，可得椭圆C 短轴的顶点为(√2，-√2)，(-√2，√2)，
2
所以b=√2+2=2，
则c=√12-4=2√2，
c 2√2 √6
则e= = = ，故B错误；
a 2√3 3
所以焦点坐标为(2，2)，(-2，-2)，
故C正确.]
2√3
14.
3
解析 设|AF |=m，|AF |=n，
1 2
∠F AF =θ∈(0，π)，
1 2则m+n=2a.
在△F AF 中，
1 2
√3
可知S =2S = b2，
△AF 1 F 2 △OAF 1 3
1 √3
即 mnsin θ= b2，
2 3
2√3b2
可得mn= .由余弦定理可得
3sinθ
4c2=m2+n2-2mncos θ
=(m+n)2-2mn-2mncos θ，
4√3b2 4√3b2
即4c2=4a2- - cos θ，
3sinθ 3sinθ
可得√3sin θ-cos θ=1，
( π) 1
即sin θ- = ，
6 2
∵θ∈(0，π)，
π ( π 5π)
∴θ- ∈ - ， ，
6 6 6
π π π
∴θ- = ，即θ= .
6 6 3
又∵|AF |=|AB|，
1
可知△ABF 为等边三角形，
1
即|AF |=|BF |，
1 1
结合对称性可知AB⊥x轴，
则m=2n，2c=√3n，
|AB| 2n 2√3
∴ = = .
|F F | √3n 3
1 2
