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微专题 2 圆锥曲线的方程与性质
[考情分析] 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质是每年高考必考的内容，常以选择题、填空题以及解
答题第(1)问的形式出现，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等.
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF |+|PF |=2a(2a>|F F |).
1 2 1 2
(2)双曲线：||PF |-|PF ||=2a(0<2a<|F F |).
1 2 1 2
(3)抛物线：|PF|=|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴；
“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.
x2
例1 (1)(2024·东北三省三校联考)已知F 是椭圆C： +y2=1的左焦点，直线x=1与C交于A，B两点，
1 2
则△F AB周长为( )
1
A.√2 B.√3
C.2√2 D.4√2
答案 D
解析 由题意知，a=√2，b=1，则c=√a2-b2=√2-1=1，
故直线x=1经过椭圆的右焦点，
故△F AB的周长为4a=4×√2=4√2.
1
(2)(2024·常德沅澧共同体联考)已知抛物线方程为y2=16x，焦点为F.圆的方程为(x-5)2+(y-1)2=1，设P为
抛物线上的点，Q为圆上的一点，则|PF|+|PQ|的最小值为( )
A.6 B.7
C.8 D.9
答案 C
解析 由抛物线方程为y2=16x，得到焦点F(4，0)，准线方程为x=-4，过点P作准线的垂线，垂足为N，
因为点P在抛物线上，所以|PF|=|PN|，
所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|≥|QN|.当Q点固定不动时，P，Q，N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，
又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x-5)2+(y-1)2=1，得圆心M(5，1)，半径r=1，
所以|QN| =|MN|-r=8.
min
[易错提醒] 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
(1)双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；
(2)椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2=b2+c2，双曲线中的关系式为c2=a2+b2；
(3)确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置.
x2 y2
跟踪演练1 (1)(2024·安康模拟)已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，点M在椭圆上，
a2 b2 1 2
且满足∠F MF =90°，MF 延长线交椭圆于另一点C，|M F |=2|F C|=2，则椭圆的方程为( )
1 2 2 2 2
x2 x2
A. +y2=1 B. +y2=1
9 5
x2 y2 x2 y2
C. + =1 D. + =1
9 4 18 2
答案 C
解析 因为点M在椭圆上，MF 延长线交椭圆于另一点C，且|MF |=2|F C|=2，
2 2 2
所以|M F |=2a-2，|CF |=2a-1，|CM|=3.
1 1
由于∠F MF =90°，
1 2
所以|M F | 2 +|CM| 2 =|CF | 2 ，即(2a-2)2+9=(2a-1)2，解得a=3，
1 1
所以|M F |=2a-2=4，则|F F |=√|M F | 2+|M F | 2 =√16+4=2√5，
1 1 2 1 2
则c=√5，b2=a2-c2=4，
x2 y2
所以椭圆方程为 + =1.
9 4
x2 y2
(2)(2024·揭阳模拟)已知F ，F 分别是双曲线E： - =1的左、右焦点，M是E的左支上一点，过F
1 2 4 12 2
作∠F MF 平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则|ON|= .
1 2
答案 2
x2 y2
解析 双曲线 - =1的实半轴长为a=2，
4 12延长F N交直线MF 于点H，由题意有|MH|=|M F |，|NH|=|N F |，
2 1 2 2
1 1 1
又O是F F 的中点，所以|ON|= |F H|= (|MH|-|M F |)= (|M F |-|M F |)=a=2.
1 2 2 1 2 1 2 2 1
考点二 椭圆、双曲线的几何性质
1.求离心率通常有两种方法
c
(1)求出a，c，代入公式e= .
a
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取
值范围.
x2 y2 x2 y2
2.与双曲线 - =1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay=0的双曲线方程为 - =λ(λ≠0).
a2 b2 a2 b2
考向1 椭圆、双曲线的几何性质
x2 y2
例2 (1)(多选)已知椭圆C： + =1的左、右焦点分别为F ，F ，点P在椭圆上，则下列说法正确的
9 5 1 2
是( )
A.F ，F 的坐标分别为(-2，0)，(2，0)
1 2
B.椭圆的短轴长为10
C.|PF |的最小值为1
1
D.当P是椭圆的短轴端点时，∠F PF 取到最大值
1 2
答案 ACD
x2 y2
解析 椭圆 + =1，其中a2=9，b2=5，
9 5
∴c2=a2-b2=4.
对于A，c=2，F ，F 的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，故A正确；
1 2
对于B，椭圆的短轴长为2b=2√5，故B错误；
对于C，a-c≤|PF |≤a+c，
1
∴|PF |的最小值为1，故C正确；
1
对于D，当P是椭圆的长轴端点时，∠F PF =0；
1 2
当P不是长轴端点时，0<∠F PF <π，利用余弦定理可知cos∠F PF
1 2 1 2
|PF |2+|PF |2-|F F |2
= 1 2 1 2
2|PF ||PF |
1 24a2-4c2-2|PF ||PF |
= 1 2
2|PF ||PF |
1 2
2b2
2b2
= -1≥ (|PF |+|PF | ) 2 -1
|PF ||PF | 1 2
1 2
2
2b2
= -1，
a2
当|PF |=|PF |，即P是椭圆的短轴端点时，
1 2
cos∠F PF 最小，此时∠F PF 最大，故D正确.
1 2 1 2
(2)(多选)若P是双曲线C：x2-y2=2上一点，F ，F 分别为C的左、右焦点，则下列结论中正确的是(
1 2
)
A.双曲线C的虚轴长为√2
B.若PF ⊥PF ，则△PF F 的面积为2
1 2 1 2
C.|PF |的最小值是2-√2
1
D.双曲线C的焦点到其渐近线的距离是2
答案 BC
x2 y2
解析 由双曲线C：x2-y2=2，得双曲线C： - =1，
2 2
设双曲线C的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则a=√2，b=√2，c=2.
选项A，双曲线C的虚轴长为2√2，故A错误；
选项B，|F F |=4，又PF ⊥PF ，
1 2 1 2
{|PF | 2+|PF | 2=16,
1 2
则
||PF |-|PF ||=2√2,
1 2
得|PF ||PF |=4，
1 2
1
故△PF F 的面积为 |PF ||PF |=2，故B正确；
1 2 2 1 2
选项C，易知|PF | =c-a=2-√2，故C正确；
1min
选项D，易得双曲线C的焦点坐标为(±2，0)，渐近线方程为x±y=0，
2
所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为 =√2，故D错误.
√2
考向2 离心率
例3 (1)(2024·南京模拟)已知椭圆C的左、右焦点分别为F ，F ，下顶点为A，直线AF 交C于另一点
1 2 1
B，△ABF 的内切圆与BF 相切于点P.若|BP|=|F F |，则C的离心率为( )
2 2 1 2
1 1
A. B.
3 22 3
C. D.
3 4
答案 B
解析 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则|BP|=|F F |=2c，|AF |=a.
1 2 2
设△ABF 的内切圆与AF ，AF 相切于点M，N，如图所示，
2 1 2
则|AM|=|AN|，|PF |=|N F |，|BP|=|BM|=2c，
2 2
所以|AF |=|AN|+|N F |=|AM|+|PF |=a，
2 2 2
所以△ABF 的周长为|AB|+|AF |+|BF |=(|BM|+|AM|)+(|AN|+|N F |)+(|BP|+|PF |) =4c+2a，
2 2 2 2 2
由椭圆定义可得，|AB|+|AF |+|BF |=4a，
2 2
c 1
所以4c+2a=4a，则e= = .
a 2
x2 y2
(2)(2024·新课标全国Ⅰ)设双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 作平行于y
a2 b2 1 2 2
轴的直线交C于A，B两点，若|F A|=13，|AB|=10，则C的离心率为 .
1
3
答案
2
1
解析 |F A|=13，|AF |= |AB|=5，
1 2 2
且AF ⊥F F ，
2 1 2
|F F |=√|F A|2-|A F |2=12.
1 2 1 2
由双曲线定义可得2a=|F A|-|AF |=8，
1 2
2c=|F F |=12，
1 2
化简得a=4，c=6，
c 3
则C的离心率e= = .
a 2
[规律方法] (1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平
方的方法，建立与|PF |·|PF |的联系.
1 2
b a
(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求 或 的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后
a b
因式分解得到.x2 y2
跟踪演练2 (1)(多选)(2024·成都模拟)连接椭圆C： + =1(a>√3)的三个顶点所围成的三角形面积为
a2 3
2√3，记椭圆C的右焦点为F，则( )
A.a=4
1
B.椭圆C的离心率为
2
C.椭圆C的焦距为2√7
2 024
D.椭圆C上存在点P，使|PF|=2
2 025
答案 BD
x2 y2
解析 椭圆C： + =1(a>√3)的左顶点为(-a，0)，右顶点为(a，0)，上顶点为(0，√3)，下顶点为
a2 3
(0，-√3)，
因为连接椭圆的三个顶点所围成的三角形面积为2√3，
1
若为左、右顶点与上(下)顶点时，则 ×2a×√3=2√3，解得a=2，符合题意；
2
1
若为上、下顶点与左(右)顶点时，则 ×2√3×a=2√3，解得a=2，符合题意.
2
综上可得，a=2，故A错误；
x2 y2 c 1
则椭圆方程为 + =1，所以c=√a2-b2=1，则椭圆C的离心率e= = ，故B正确；
4 3 a 2
椭圆C的焦距为2c=2，故C错误，
因为椭圆C的右焦点为F(1，0)，所以a-c≤|PF|≤a+c，即1≤|PF|≤3，
2 024
所以在椭圆C上存在点P，使|PF|=2 ，故D正确.
2 025
y2 x2
(2) (2024·安徽A10联盟模拟)过双曲线C： - =1(a>b>0)的下顶点F作某一条渐近线的垂线，分别与
a2 b2
两条渐近线相交于M，N两点，若⃗NF=2⃗FM，则C的离心率为( )
2√3
A. B.√3
3
C.2√3 D.3
答案 A
解析 过点F作另一条渐近线的垂线FM'，垂足为M'，由对称性可得|FM|=|FM'|.π
由⃗NF=2⃗FM，则有|NF|=2|FM'|，则∠FNM'= ，
6
π π
故∠NOM= ，∠MOF= .
3 6
a
又双曲线C的渐近线方程为y=± x，
b
a (π π)
故 =tan -
b 2 6
π
=tan =√3，
3
c √ b2 √ (√3) 2 2√3
所以e= = 1+ = 1+ = .
a a2 3 3
考点三 抛物线的几何性质
抛物线的焦点弦的几个常见结论：
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x ，y )，B(x ，y )，α是直线AB的倾斜角，则
1 1 2 2
p2
(1)x x = ，y y =-p2.
1 2 1 2
4
2p
(2)|AB|=x +x +p= .
1 2 sin2α
1 1 2
(3) + = .
|FA| |FB| p
p
(4)以线段AB为直径的圆与准线x=- 相切.
2
例4 (多选)已知抛物线y2=2px(p>0)经过点M(1，2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于两个不
同的点A(x ，y )，B(x ，y )，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为k ，k ，则( )
1 1 2 2 1 2
A.p=2 B.|AB|≥4
C.⃗OA·⃗OB=-4 D.k k =-4
1 2
答案 ABD
解析 因为抛物线y2=2px(p>0)经过点M(1，2)，
所以22=2p，解得p=2，故A正确；
所以抛物线方程为y2=4x，则焦点F(1，0)，{ y2=4x,
设直线l：x=my+1，则
x=my+1,
消去x整理得y2-4my-4=0，
则Δ=16m2+16>0，
所以y +y =4m，y y =-4，
1 2 1 2
则x +x =m(y +y )+2=4m2+2，
1 2 1 2
x x =(my +1)(my +1)
1 2 1 2
=m2y y +m(y +y )+1=1，
1 2 1 2
所以|AB|=x +x +2=4m2+4≥4，故B正确；
1 2
因为⃗OA=(x ，y )，⃗OB=(x ，y )，
1 1 2 2
所以⃗OA·⃗OB=x x +y y =-3，故C错误；
1 2 1 2
y y
1 2
由题意知，x ≠0且x ≠0，所以k k = · =-4，故D正确.
1 2 1 2 x x
1 2
[规律方法] 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直
角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.
跟踪演练3 (多选)已知点A(x ，y )，B(x ，y )是抛物线y2=8x上过焦点的两个不同的点，焦点为F，则(
1 1 2 2
)
A.焦点F的坐标为(4，0)
B.|AB|=x +x +4
1 2
C.y y =-8
1 2
1 1 1
D. + =
|FA| |FB| 2
答案 BD
解析 由抛物线y2=8x，可得焦点为F(2，0)，故A错误；
由抛物线的性质可得|AB|=|AF|+|BF|=x +2+x +2=x +x +4，故B正确；
1 2 1 2
设直线AB的方程为x=my+2，与抛物线的方程联立，可得y2-8my-16=0，
则y +y =8m，y y =-16，故C错误；
1 2 1 2
1 1 1 1
+ = +
|FA| |FB| x +2 x +2
1 2
1 1
= y2 + y2
1+2 2+2
8 8
8 8
= +
y2+16 y2+16
1 2
8 y2+8×16+8 y2+8×16
1 2
=
y2y2+16 y2+16 y2+162
1 2 1 28(y + y ) 2-16 y y +162
1 2 1 2
=
(y y ) 2+16(y + y ) 2-32y y +162
1 2 1 2 1 2
8×(8m) 2+162+162
=
162+16×(8m) 2+32×16+162
1
= ，故D正确.
2
专题强化练
(分值：90分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2024·安阳模拟)已知抛物线y=2ax2(a>0)的焦点到准线的距离为1，则a等于( )
A.2 B.1
1 1
C. D.
2 4
答案 D
1
解析 由抛物线y=2ax2(a>0)，可化为x2= y，
2a
1 1
因为抛物线y=2ax2(a>0)的焦点到准线的距离为1，可得 =1，解得a= .
4a 4
x2
2.(2024·葫芦岛模拟)已知F ，F 分别是椭圆C： +y2=1的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，且|PF |+
1 2 m 1
|PF |=6，则椭圆C的离心率是( )
2
1 √3
A. B.
3 3
2√2 2√2
C. D.
3 9
答案 C
解析 因为P是椭圆C上的一点，且|PF |+|PF |=6，即2a=6，所以a=3，
1 2
x2
则m=a2=9，即椭圆C： +y2=1，则c=√a2-b2=2√2，
9
c 2√2
所以离心率e= = .
a 3
3.(2024·新课标全国Ⅱ)已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则
线段PP'的中点M的轨迹方程为( )x2 y2 x2 y2
A. + =1(y>0) B. + =1(y>0)
16 4 16 8
y2 x2 y2 x2
C. + =1(y>0) D. + =1(y>0)
16 4 16 8
答案 A
解析 设点M(x，y)，
则P(x，y )，P'(x，0)，
0
因为M为PP'的中点，
所以y =2y，即P(x，2y)，
0
又P在曲线x2+y2=16(y>0)上，
所以x2+4y2=16(y>0)，
x2 y2
即 + =1(y>0)，
16 4
x2 y2
即点M的轨迹方程为 + =1(y>0).
16 4
4.(2024·汕头模拟)如图，设F ，F 分别是椭圆的左、右焦点，点P是以F F 为直径的圆与椭圆在第一象限
1 2 1 2
内的一个交点，延长PF 与椭圆交于点Q，若|PF |=4|QF |，则直线PF 的斜率为( )
2 1 2 2
1
A.- B.-1
2
C.-2 D.-3
答案 C
解析 连接QF ，由P在以F F 为直径的圆上，故PF ⊥PF .
1 1 2 1 2
P，Q在椭圆上，故有|PF |+|PF |=2a，|QF |+|QF |=2a.
1 2 1 2
设|QF |=m，则|PF |=4|QF |=4m，
2 1 2
则有|PQ|=2a-4m+m=2a-3m，|F Q|=2a-m.
1
又|PF |2+|PQ|2=|F Q|2，
1 1
即(4m)2+(2a-3m)2=(2a-m)2，解得a=3m，
故|PF |=2a-4m=2m，
2|PF |
1
则tan∠PF F = =2，
2 1 |PF |
2
故k =tan(π-∠PF F )=-tan∠PF F =-2.
PF 2 1 2 1
2
5.(2024·安庆模拟)已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点F到其准线的距离为2，点M(x ，y )，N(x ，y )是抛物
1 1 2 2
|NF|
线C上两个不同的点，且(x +√3x )(x -√3x )=8，则 等于( )
1 2 1 2 |MF|
1 √3
A. B.
3 3
C.√3 D.3
答案 A
解析 因为抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点F到其准线的距离为2，所以p=2，
所以抛物线C的方程为x2=4y.
又点M，N在抛物线C上，所以x2
=4y
，x2
=4y ，
1 1 2 2
由(x +√3x )(x -√3x )=8得x2 -3x2 =8，即4y -12y =8，则y =3y +2，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
|NF| y +1 y +1 1
2 2
由焦半径公式可得 = = = .
|MF| y +1 3(y +1) 3
1 2
6.[旁切圆]如图1，与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆
x2 y2
的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心.如图2，已知F ，F 是双曲线 - =1(a>0，b>0)的
1 2 a2 b2
|MQ|
左、右焦点，P是双曲线右支上一点，Q是△PF F 的一个旁心.直线PQ与x轴交于点M，若 =√3，
1 2 |QP|
则该双曲线的渐近线方程为( )
1
A.y=± x B.y=±2x
2
√2
C.y=± x D.y=±√2x
2
答案 D
|F M| |MQ|
2
解析 因为Q是△PF F 的一个旁心，所以F Q平分∠PF M，所以 = =√3，
1 2 2 2 |F P| |QP|
2
又F Q平分∠PF F ，
1 1 2|F M| |MQ|
1
所以 = ，
|F P| |QP|
1
|PF | |F M|
1 1
所以 = ，
|PF | |M F |
2 2
|PF |-|PF | |F M|-|M F |
1 2 1 2
所以 = ，
|PF | |M F |
2 2
2a 2c
即 = ，
|PF | |M F |
2 2
c |M F |
2
所以 = =√3，
a |PF |
2
b √c2-a2
所以 = =√2，
a a2
所以该双曲线的渐近线方程为y=±√2x.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
x2 y2
7.(2024·沈阳模拟)设椭圆C： + =1的左、右焦点分别为F ，F ，P是C上的动点，则下列说法正确的
25 16 1 2
是( )
A.|PF |的最大值为8
1
4
B.椭圆C的离心率e=
5
C.△PF F 面积的最大值为12
1 2
D.以线段F F 为直径的圆与圆(x-4)2+(y-3)2=4相切
1 2
答案 ACD
x2 y2
解析 椭圆C： + =1的长半轴长a=5，短半轴长b=4，则半焦距c=√a2-b2=3.
25 16
对于A，|PF |的最大值为a+c=8，A正确；
1
c 3
对于B，椭圆C的离心率e= = ，B错误；
a 5
对于C，设点P(x ，y )，则|y | =4，而|F F |=2c=6，
0 0 0max 1 2
1
因此△PF F 面积的最大值为 ×6×4=12，C正确；
1 2 2
对于D，以线段F F 为直径的圆为x2+y2=9，圆心O(0，0)，半径r =3，
1 2 1
圆(x-4)2+(y-3)2=4的圆心C(4，3)，半径r =2，|OC|=5=r +r ，则圆O与圆C外切，D正确.
2 1 2
8.(2024·新课标全国Ⅱ)抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作☉A：x2+(y-4)2=1的一条切线，
Q为切点.过P作l的垂线，垂足为B.则( )
A.l与☉A相切B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=√15
C.当|PB|=2时，PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
答案 ABD
解析 A选项，抛物线y2=4x的准线为x=-1，
☉A的圆心(0，4)到直线x=-1的距离显然是1，
等于圆的半径，
故准线l和☉A相切，A选项正确；
B选项，当P，A，B三点共线时，
即PA⊥l，则P的纵坐标y =4，
P
由y2
=4x ，
P P
得到x =4，故P(4，4)，
P
此时切线长|PQ|=√|PA|2-r2=√42-12=√15，B选项正确；
C选项，当|PB|=2时，x =1，
P
此时y2
=4x =4，
P P
故P(1，2)或P(1，-2)，
当P(1，2)时，A(0，4)，B(-1，2)，
4-2
k = =-2，
PA 0-1
4-2
k = =2，
AB 0-(-1)
不满足k k =-1；
PA AB
当P(1，-2)时，A(0，4)，B(-1，-2)，
4-(-2)
k = =-6，
PA 0-1
4-(-2)
k = =6，
AB 0-(-1)
不满足k k =-1，
PA AB
于是PA⊥AB不成立，C选项错误；D选项，方法一 (利用抛物线定义转化)
设抛物线C的焦点为F，根据抛物线的定义，
|PB|=|PF|，这里F(1，0)，
于是|PA|=|PB|时P点的存在性问题转化成|PA|=|PF|时P点的存在性问题，
(1 )
A(0，4)，F(1，0)，AF的中点为 ，2 ，
2
1 1
AF中垂线的斜率为- = ，
k 4
AF
2x+15
于是AF的中垂线方程为y= ，
8
与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0，
Δ=(-16)2-4×1×30=136>0，
即AF的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个P点，使得|PA|=|PF|，D选项正确.
方法二 (设点直接求解)
(t2
)
设P ，t ，
4
由PB⊥l可得B(-1，t)，
又A(0，4)，|PA|=|PB|，
根据两点间的距离公式，
√ t4 t2
+(t-4) 2= +1，
16 4
整理得t2-16t+30=0，
Δ=(-16)2-4×1×30=136>0，
则关于t的方程有两个解，
即存在两个这样的P点，D选项正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
x2
9.(2024·北京)若直线y=k(x-3)与双曲线 -y2=1只有一个公共点，则k的一个取值为 .
4
1
答案 (答案不唯一)
2
1
解析 由题意，知该双曲线的渐近线方程为y=± x，
2
直线y=k(x-3)过定点(3，0).
因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，
1
所以k=± .
2
x2 y2
10.(2024·沧州模拟)已知F ，F 为椭圆E： + =1(a>b>0)的左、右焦点，过F 的直线与E交于M，N两
1 2 a2 b2 1
点，若|M F |=3|M F |=4|N F |，则E的离心率为 .
1 2 1
√10
答案
5
解析 由|MF |=3|MF |=4|NF |及|MF |+|MF |=2a，
1 2 1 1 2
a 3a
得|MF |= ，|MF |= ，
2 2 1 2
3a
|NF |= ，
1 8
13a
又|NF |+|NF |=2a，则|NF |= .
1 2 2 8
设∠MF F =θ，|F F |=2c，
1 2 1 2
在△MF F 中，由余弦定理得，|MF |2=|F F |2+|MF |2-2|F F |·|MF |cos θ，
1 2 2 1 2 1 1 2 1
在△NF F 中，由余弦定理得，|NF |2=|F F |2+|NF |2+2|F F |·|NF |cos θ，
1 2 2 1 2 1 1 2 1
{ a2 =4c2+ 9a2 -2×2c× 3a cosθ,
4 4 2
于是
169a2 9a2 3a
=4c2+ +2×2c× cosθ,
64 64 8
{2c2+a2=3accosθ,
整理得
5a2-8c2=3accosθ,
c2 2 c √10
解得 = ， = ，
a2 5 a 5
√10
所以E的离心率为e= .
5
四、解答题(共27分)
x2 y2
11.(13分)已知双曲线C的方程为 - =1(a>0，b>0)，实轴长和离心率均为2.
a2 b2
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；(5分)
(2)过E(0，2)且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于M，N两点，求⃗OM·⃗ON的值(O为坐标原点).(8分)c
解 (1)由离心率e= =2，
a
又c2=a2+b2，则b2=3a2，
又实轴长2a=2，∴a2=1，∴b2=3，
y2
故双曲线C的标准方程为x2- =1，
3
其渐近线方程为y=±√3x.
(2)∵直线l的倾斜角为45°，故其斜率为1，又l过点E(0，2)，
∴l的方程为y=x+2.
设M(x ，y )，N(x ，y )，
1 1 2 2
{
y=x+2,
由 y2 得2x2-4x-7=0，
x2- =1,
3
7
∴x +x =2，x x =- ，
1 2 1 2 2
∴⃗OM·⃗ON=x x +y y =x x +(x +2)(x +2)=2x x +2(x +x )+4=1.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( 3) x2 y2
12.(14分)(2024·新课标全国Ⅰ)已知A(0，3)和P 3， 为椭圆C： + =1(a>b>0)上两点.
2 a2 b2
(1)求C的离心率；(6分)
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程.(8分)
{
b=3,
解 (1)由题意得 9 9
+ =1,
a2 4b2
{b2=9,
解得
a2=12,
√ b2 √ 9 1
所以C的离心率e= 1- = 1- = .
a2 12 2
(2)方法一3
3- 1
k = 2=- ，
AP 2
0-3
则直线AP的方程为
1
y=- x+3，
2
即x+2y-6=0，
因为|AP|= √ (0-3) 2+ ( 3- 3) 2 = 3√5 ，
2 2
S =9，
△ABP
2×9
12√5
所以点B到直线AP的距离d=3√5= ，
5
2
{ |x 0 +2y 0 -6| = 12√5 ,
√5 5
设B(x ，y )，则
0 0 x2 y2
0 + 0=1,
12 9
{x =-3,
解得 {x 0 =0, 或 0 3 即B(0，-3)或 ( -3，- 3) ，
y =-3 y =- , 2
0 0 2
3
当B(0，-3)时，k= ，
l 2
3
直线l的方程为y= x-3，
2
即3x-2y-6=0；
( 3) 1
当B -3，- 时，k= ，
2 l 2
1
直线l的方程为y= x，即x-2y=0.
2
综上，直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.
方法二 同方法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，
12√5
点B到直线AP的距离d= ，
5
设B(2√3cos θ，3sin θ)，
其中θ∈[0，2π)，
|2√3cosθ+6sinθ-6| 12√5
则有 = ，
√5 5
联立cos2θ+sin2θ=1，{ √3
cosθ=- ,
{cosθ=0, 2
解得 或
sinθ=-1 1
sinθ=- ,
2
( 3)
即B(0，-3)或 -3，- ，以下同方法一.
2
方法三 当直线AB的斜率不存在时，此时B(0，-3)，
1
S = ×6×3=9，符合题意，
△PAB 2
3
此时k= ，
l 2
3
直线l的方程为y= x-3，
2
即3x-2y-6=0；
当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为y=kx+3，k≠0，
{
y=kx+3,
联立椭圆方程有
x2 y2
+ =1,
12 9
则(4k2+3)x2+24kx=0，
1
其中k≠k ，即k≠- ，
AP 2
-24k 1
解得x=0(舍去)或x= ，k≠0，k≠- ，
4k2+3 2
-24k -12k2+9
当x= 时，y= ，
4k2+3 4k2+3
(-24k -12k2+9)
则B ， ，
4k2+3 4k2+3
同方法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，
12√5
点B到直线AP的距离d= ，
5
|-24k -12k2+9 |
+2× -6 12√5
则 4k2+3 4k2+3 = ，
5
√5
3
解得k= ，
2
( 3)
此时B -3，- ，
21
则k= ，
l 2
1
直线l的方程为y= x，
2
即x-2y=0，
综上，直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.
方法四 当l的斜率不存在时，
( 3)
l：x=3，B 3，- ，
2
|PB|=3，点A到直线PB的距离d=3，
1 9
此时S = ×3×3= ≠9不满足条件；
△ABP 2 2
当直线l的斜率存在时，
3
设直线l：y=k(x-3)+ ，
2
设l与y轴的交点为Q，
( 3)
令x=0，则Q 0，-3k+ ，
2
3
{y=kx-3k+ ,
2
联立
x2 y2
+ =1,
12 9
( 3)
则有(3+4k2)x2-8k 3k- x+36k2-36k-27=0，
2
( 3) 2
其中Δ=64k2 3k- -4(3+4k2)(36k2-36k-27)>0，
2
即4k2+12k+9>0，
1 3
且k≠k ，即k≠- ，k≠- ，
AP 2 2
36k2-36k-27
则3x = ，
B 3+4k2
12k2-12k-9
x = ，
B 3+4k2
1
则S = |AQ||x -x |
△ABP 2 P B
1| 3||12k+18|
=
3k+
=9，
2 2 3+4k21 3
解得k= 或k= ，均满足题意.
2 2
1 3
则直线l的方程为y= x或y= x-3，
2 2
即x-2y=0或3x-2y-6=0.
13题6分，14题5分，共11分
x2 y2 ( π)
13.(多选)(2024·南昌模拟)将椭圆C ： + =1(a>b>0)上所有的点绕原点旋转θ 0<θ< 角，得到椭圆C
1 a2 b2 2 2
的方程：x2+y2-xy=6，则下列说法中正确的是( )
A.a=2√3
√3
B.椭圆C 的离心率为
2 3
C.(2，2)是椭圆C 的一个焦点
2
π
D.θ=
4
答案 ACD
解析 设点P(x，y)在椭圆C 上，则其关于直线y=x的对称点P (y，x)代入椭圆C 的方程，
2 1 2
有y2+x2-yx=6，即x2+y2-xy=6，则对称点P 位于椭圆C 上，
1 2
同理其关于直线y=-x的对称点P (-y，-x)代入椭圆C 的方程，有(-y)2+(-x)2-(-y)(-x)=6，即x2+y2-xy=6，则对
2 2
称点P 位于椭圆C 上，
2 2
所以椭圆C 关于直线y=±x对称，
2
π
所以θ= ，故D正确；
4
将y=x代入x2+y2-xy=6，可得x2=6，
可得椭圆C 长轴的顶点为(√6，√6)，(-√6，-√6)，所以a=√6+6=2√3，故A正确；
2
将y=-x代入x2+y2-xy=6可得x2=2，
可得椭圆C 短轴的顶点为(√2，-√2)，(-√2，√2)，
2
所以b=√2+2=2，
c 2√2 √6
则c=√12-4=2√2，则e= = = ，故B错误；
a 2√3 3所以焦点坐标为(2，2)，(-2，-2)，故C正确.
x2 y2
14.(2024·晋城模拟)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线与C交于A，B
a2 b2 1 2 2
√3 |AB|
两点，且|AF |=|AB|，若△OAF 的面积为 b2，其中O为坐标原点，则 的值为 .
1 1 6 |F F |
1 2
2√3
答案
3
解析 设|AF |=m，|AF |=n，∠F AF =θ∈(0，π)，
1 2 1 2
则m+n=2a.
√3
在△F AF 中，可知S =2S = b2，
1 2 △AF 1 F 2 △OAF 1 3
1 √3
即 mnsin θ= b2，
2 3
2√3b2
可得mn= .
3sinθ
由余弦定理可得4c2=m2+n2-2mncos θ=(m+n)2-2mn-2mncos θ，
4√3b2 4√3b2
即4c2=4a2- - cos θ，
3sinθ 3sinθ
可得√3sin θ-cos θ=1，
( π) 1
即sin θ- = ，
6 2
∵θ∈(0，π)，
π ( π 5π)
∴θ- ∈ - ， ，
6 6 6
π π π
∴θ- = ，即θ= .
6 6 3
又∵|AF |=|AB|，可知△ABF 为等边三角形，
1 1
即|AF |=|BF |，结合对称性可知AB⊥x轴，
1 1
则m=2n，2c=√3n，
|AB| 2n 2√3
∴ = = .
|F F | √3n 3
1 2
