文档文本内容
微专题 3 范围、最值问题
[考情分析] 圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，范围、最值问题是常见的热点题型，常以解答
题的形式压轴出现，难度较大.
考点一 与长度、周长、面积相关的范围(最值)问题
y2 x2 √2 1
例1 (2024·衢州模拟)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率为 ，斜率为 的直线l与y轴交于点
a2 b2 2 2
8
P，l与C交于A，B两点，T是A关于x轴的对称点.当P与坐标原点O重合时，△ABT的面积为 .
9
(1)求椭圆C的方程；
(2)当P异于O点时，记直线BT与x轴交于点Q，求△OPQ周长的最小值.
[规律方法] 利用根与系数的关系解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
(1)设直线方程，设交点坐标为(x ，y )，(x ，y )；
1 1 2 2
(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，注意Δ的判断；
(3)列出根与系数的关系；
(4)将所求问题或题中的关系转化为x +x ，x x (或y +y ，y y )的形式；
1 2 1 2 1 2 1 2
(5)代入根与系数的关系求解.
x2 y2
跟踪演练1 设双曲线E： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，|F F |=2√5，且E的渐近线
a2 b2 1 2 1 2
x
方程为y=± .
2
(1)求E的方程；
(2)过F 作两条相互垂直的直线l 和l ，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD
2 1 2
面积的最小值.
考点二 与角度、斜率相关的范围(最值)问题
x2 y2
例2 (2024·皖北协作区联考)已知双曲线E： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，离心率
a2 b2 1 2
为2，P是E的右支上一点，且PF ⊥PF ，△PF F 的面积为3.
1 2 1 2
(1)求E的方程；(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点F 的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率
2
2
分别为k 和k ，求k2 + k 的最小值.
AM BN AM 3 BN
[规律方法] 与斜率、角度有关的最值问题关键是建立关于斜率的目标函数，然后运用基本不等式或者函
数求解有关的问题.
跟踪演练2 设抛物线C：x2=2py(p>0)，直线x-y+1=0与C交于A，B两点，且|AB|=8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点P为x2+(y+1)2=1上一点，过点P作抛物线C的两条切线PD，PE，设切点分别为D，E，试求
直线PD，PE斜率之积的最小值.
考点三 与向量相关的范围(最值)问题
4√5 √5
例3 已知点F(0，√5)，直线l：y= ，动点P到F的距离与到直线l的距离之比为 .
5 2
(1)求动点P的轨迹Γ的方程；
(2)设点M是轨迹Γ上一点，在直线y=2x，y=-2x上分别取点A，B，当A，B分别位于第一、二象限时，
[1 ]
若⃗AM=λ⃗MB，λ∈ ，3 ，求△AOB面积的取值范围.
2
1
附：在△ABC中，若⃗AB=(x ，y )，⃗AC=(x ，y )，则△ABC的面积为 |x y -x y |.
1 1 2 2 2 1 2 2 1
[规律方法] 圆锥曲线中的最值问题，常见的方法有
(1)函数法：一般需要找出所求几何量的函数解析式，要注意自变量的取值范围.求函数的最值时，一般会
用到配方法、基本不等式或者函数的单调性.
(2)方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标量
的最值.
(3)不变量法：在平面几何中有一些不变量的最值结果，在求最值时，可以考虑观察图形的几何特点，判断
某个特殊位置满足的最值条件，然后再证明.
2√5
跟踪演练3 已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率e= .
5
(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A，B两点，设点M(m，0)是线段OF上的
一个动点，且(⃗MA+⃗MB)⊥⃗AB，求m的取值范围.答案精析
例1 解 (1)当P与坐标原点O重合时，可设A(x ，y )(x >0)，
0 0 0
则有
B(-x ，-y )，
0 0
T(x ，-y )，
0 0
且x =2y ，AT⊥BT，
0 0
1
则S = |AT|·|BT|
△ABT 2
1 8
= ·2y ·2x = ，
2 0 0 9
4
即2y2
= ，
0 9
2 8
∴y2
=
，则x2
= ，
0 9 0 9
2 8 √2
则有 + =1，由离心率为 ，
9a2 9b2 2
c √2
即 = ，
a 2
则a2=2c2=b2+c2，∴a2=2b2，
1 8
即有 + =1，
9b2 9b2
解得b2=1，∴a2=2，
y2
即椭圆C的方程为 +x2=1.
2
(2)设直线l方程为x=2y+t(t≠0)，
令x=0，
t
有y=- ，
2t
即y =- ，
P 2
设点A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则T(x ，-y )，
1 1
{x=2y+t,
联立直线l与椭圆方程 y2
+x2=1,
2
消去x得9y2+8ty+2t2-2=0，
8t 2t2-2
有y +y =- ，y y = ，
1 2 9 1 2 9
Δ=64t2-36(2t2-2)>0，
得-3<t<3，
直线BT的方程为
y + y
2 1
y= (x-x )+y ，
x -x 2 2
2 1
x y -x y
1 2 2 2
令y=0，x = +x
Q y + y 2
1 2
x y +x y
1 2 2 1
= ，
y + y
1 2
由x=2y+t，
x y +x y
1 2 2 1
得
y + y
1 2
(2y +t)y +(2y +t)y
1 2 2 1
=
y + y
1 2
2t2-2
4×
4 y y 9 1
1 2
= +t= +t= ，
y + y -8t t
1 2
9
1
即x = ，
Q t
则C =
△OPQ
|y |+|x |+√|y |2+|x |2
P Q P Q
|t| 1 √t2 1
= + + +
2 |t| 4 t2
√|t| 1 √ √t2 1
≥2 · + 2 ·
2 |t| 4 t2=√2+1，
当且仅当t=±√2时等号成立，
故△OPQ周长的最小值为√2+1.
x2 y2 b
跟踪演练1 解 (1)由题意，得E： - =1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=± x，
a2 b2 a
因为双曲线E的渐近线方程为
x b 1
y=± ，所以 = ，即a=2b，
2 a 2
又因为|F F |=2√a2+b2
1 2
=2√5b2=2√5，所以b=1，
x2
则a=2，故E的方程为 -y2=1.
4
(2)根据题意，直线l ，l 的斜率都存在且不为0，
1 2
设直线l ：y=k(x-√5)，
1
1
l ：y=- (x-√5)，
2 k
其中k≠0，
1 | 1| 1
因为l ，l 均与E的右支有两个交点，所以|k|> ， - > ，
1 2 2 k 2
1
所以 <k2<4，
4
x2
将l 的方程与 -y2=1联立，
1 4
可得(1-4k2)x2+8√5k2x-20k2-4=0，
设A(x ，y )，C(x ，y )，
1 1 2 2
-8√5k2
则x +x = ，
1 2 1-4k2
-20k2-4
x x = ，所以
1 2 1-4k2
|AC|=√(x -x ) 2+(y - y ) 2
1 2 1 2
=√1+k2|x -x |
1 2
=√1+k2√(x +x ) 2-4x x
1 2 1 2√ (-8√5k2
)
2 -20k2-4
=√1+k2 -4×
1-4k2 1-4k2
4√1+k2 4(1+k2)
=√1+k2· = ，
|1-4k2| 4k2-1
1
用- 替换k，
k
4(k2+1)
可得|BD|= ，
4-k2
1
所以S = |AC|·|BD|
四边形ABCD 2
1 4(1+k2 ) 4(k2+1)
= · ·
2 4k2-1 4-k2
(k2+1) 2
=8· .
(4k2-1)(4-k2
)
令t=k2+1，
(5 )
所以k2=t-1，t∈ ，5 ，
4
t2
则S =8·
四边形ABCD -4t2+25t-25
1
=8· 25 25
-4+ -
t t2
8
32
= (1 1) 2 9 ≥ ，
-25 - + 9
t 2 4
1 1
当 = ，即k=±1时，等号成立，
t 2
32
故四边形ABCD面积的最小值为 .
9
例2 解 (1)设双曲线的半焦距为c(c>0)，
1
∵S = |PF ||PF |=3，
△PF 1 F 2 2 1 2
∴|PF ||PF |=6.
1 2
由题可知|PF |-|PF |=2a，
1 2
|PF |2+|PF |2=4c2，
1 2
∴|PF |2+|PF |2-2|PF ||PF |=4a2，
1 2 1 2
即4c2-12=4a2，∴b2=3.c
又 =2，∴a2=1.
a
y2
故E的方程为x2- =1.
3
(2)如图，由题可知F (2，0)， A(-1，0)， B(1，0)，且直线MN的斜率不为0，
2
( √3 √3)
设直线MN的方程为x=ty+2 - <t< ，
3 3
M(x ，y )，N(x ，y )，
1 1 2 2
y2
将方程x=ty+2和x2- =1联立，得(3t2-1)y2+12ty+9=0，
3
12t 9
∴y +y =- ，y y = .
1 2 3t2-1 1 2 3t2-1
y y
∵k = 1 ，k = 2 ，
AM x +1 BN x -1
1 2
k y (x -1) y (t y +1)
AM 1 2 1 2
∴ = =
k y (x +1) y (t y +3)
BN 2 1 2 1
-3t
- y
t y y + y 3t2-1 2
1 2 1
= =
t y y +3 y 9t
1 2 2 +3 y
3t2-1 2
1
=- ，
3
∴k =-3k ，
BN AM
2
∴k2
+ k =(k -1)2-1，
AM 3 BN AM
∵直线AM与E的右支有交点，
∴-√3<k <√3，
AM
2
∴当k =1，k =-3时，k2 + k 取得最小值，且最小值为-1.
AM BN AM 3 BN
跟踪演练2 解 (1)设点A(x ，y )，
1 1
B(x ，y )，
2 2
{ x2=2py,
由
x- y+1=0,
可得x2-2px-2p=0，则x +x =2p，x x =-2p，
1 2 1 2
|AB|=√1+k2·√(x +x ) 2-4x x
1 2 1 2
=√2×√4 p2+8p=8，解得p=2，
即抛物线C的方程为x2=4y.
(2)设点P(x ，y )，D(x ，y )，
0 0 3 3
E(x ，y )，其中x ≠x ，x ≠x ，
4 4 3 0 4 0
x2 x
由C：x2=4y，即y= ，y'= ，
4 2
x2
则l ：y- 3
PD
4
x
= 3(x-x )，
3
2
x2
l ：y- 4
PE
4
x
= 4(x-x )，
4
2
{ x2 x
y - 3= 3 (x -x ),
0 4 2 0 3
则有
x2 x
y - 4= 4 (x -x ),
0 4 2 0 4
x2 x
即D(x ，y )，E(x ，y )都在直线y - = (x -x)上，
3 3 4 4 0 4 2 0
化简得l ：x x=2(y+ y )，
DE 0 0
将直线DE的方程代入C：x2=4y得x2-2x x+4y =0，
0 0
则x +x =2x ，x x =4y ，
3 4 0 3 4 0
y - y y - y
3 0 4 0
则k ·k = ·
PD PE x -x x -x
3 0 4 0
(x2-4 y )·(x2-4 y )
3 0 4 0
=
16(x -x )·(x -x )
3 0 4 0
(x x ) 2-4 y (x2+x2 )+16 y2
3 4 0 3 4 0
=
16(4 y -x2)
0 016 y2-4 y (4x2-8 y )+16 y2
0 0 0 0 0
=
16(4 y -x2)
0 0
2y (4 y -x2)
0 0 0
= =y ，
2(4 y -x2) 0
0 0
又P(x ，y )为x2+(y+1)2=1上的一点，则-2≤y ≤0，
0 0 0
故(k ·k ) =(y ) =-2.
PD PE min 0 min
例3 解 (1)设P(x，y)，点P到直线l的距离为d.
|PF| √5
由已知可得 = ，
d 2
√x2+(y-√5) 2
√5
即 | 4√5| = ，
y- 2
5
两边平方得，
2
5( 4√5)
x2+(y-√5) 2= y- ，
4 5
y2 y2
整理得 -x2=1.故动点P的轨迹Γ的方程为 -x2=1.
4 4
(2)设M(x ，y )，A(x ，2x )，
0 0 1 1
B(x ，-2x )，
2 2
⃗AM=(x -x ，y -2x )，
0 1 0 1
⃗MB=(x -x ，-2x -y )，
2 0 2 0
因为⃗AM=λ⃗MB，
{ x -x =λ(x -x ),
0 1 2 0
所以
y -2x =λ(-2x - y ),
0 1 2 0
x +λx
{ x = 1 2,
0 1+λ
即
2(x -λx )
y = 1 2 .
0 1+λ
(x -λx ) 2 (x +λx ) 2
将点M(x ，y )代入双曲线方程，得 1 2 - 1 2 =1，
0 0 1+λ 1+λ
(1+λ) 2
化简得x x =- .
1 2
4λ
所以△AOB的面积为
1
S= |x (-2x )-x ·2x |
2 1 2 2 1(1+λ) 2
=2|x x |=
1 2
2λ
1( 1 )
= λ+ +2 ，
2 λ
[1 ]
因为λ∈ ，3 ，
2
1 10
所以2≤λ+ ≤ ，
λ 3
1( 1 ) [ 8]
S= λ+ +2 ∈ 2， .
2 λ 3
[ 8]
故△AOB面积的取值范围为 2， .
3
跟踪演练3 解 (1)由椭圆的焦点在x轴上，
x2 y2
设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0)，
a2 b2
由抛物线方程为x2=4y，可得其焦点为(0，1)，则椭圆的一个顶点为(0，1)，即b=1.
c √ b2 2√5
由e= = 1- = ，
a a2 5
解得a2=5，
x2
∴椭圆的标准方程为 +y2=1.
5
(2)由(1)得F(2，0)，则0≤m≤2，
设A(x ，y )，B(x ，y )，x ≠x ，
1 1 2 2 1 2
结合题意可设直线l的方程为
y=k(x-2)(k≠0).
{
x2
+ y2=1,
由 5
y=k(x-2),
消去y得(5k2+1)x2-20k2x+20k2-5=0，
直线l过椭圆焦点，必有Δ>0，
20k2 20k2-5
∴x +x = ，x x = ，
1 2 5k2+1 1 2 5k2+1
则y +y =k(x +x -4)，
1 2 1 2⃗MA+⃗MB=(x +x -2m，y + y )，
1 2 1 2
⃗AB=(x -x ，y - y )，
2 1 2 1
∵(⃗MA+⃗MB)⊥⃗AB，
∴(⃗MA+⃗MB)·⃗AB=0，
∴(x +x -2m)(x -x )+(y +y )(y -y )=0，
1 2 2 1 1 2 2 1
两边同除以x -x ，
2 1
y - y
有(x +x -2m)+ 2 1(y + y )
1 2 x -x 1 2
2 1
=0 x +x -2m+k(y + y )=0，
1 2 1 2
∴2⇒m=x +x +k(y + y )，
1 2 1 2
20k2
(
20k2
)
∴2m= +k2· -4
5k2+1 5k2+1
20k2-4k2 16k2
= = ，
5k2+1 5k2+1
8
8k2 ( 8)
则m= = 1 ∈ 0， ，
5k2+1 5+ 5
k2
( 8)
∴m的取值范围为 0， .
5
