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专题六 微专题 3 范围、最值问题
(分值：50分)
x2
1.(16分)已知椭圆C： +y2=1.
4
(1)若椭圆C的左、右焦点分别为F ，F ，P为C的上顶点，求△PF F 的周长；(6分)
1 2 1 2
(2)设过定点M(0，2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直
线l的斜率k的取值范围.(10分)
x2 2√5
2.(17分)(2024·安康模拟)已知椭圆C： +y2=1(a>1)的离心率为 ，椭圆C的动弦AB过椭圆C的右焦点
a2 5
F，当AB垂直x轴时，椭圆C在A，B处的两条切线的交点为M.
(1)求点M的坐标；(7分)
1 m
(2)若直线AB的斜率为 ，过点M作x轴的垂线l，点N为l上一点，且点N的纵坐标为- ，直线NF与椭
m 2
圆C交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最小值.(10分)
x2 y2 √6
3.(17分)(2024·聊城模拟)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为 .
a2 b2 3
(1)求C的方程；(4分)
(2)直线l：y=kx+m(k>0，m>0)与C交于M，N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B，且⃗AM=λ
⃗BM，⃗AN=μ⃗BN.
1
①当μ= =2时，求k的值；(5分)
λ
②当λ+μ=3时，求点(0，-√3)到l的距离的最大值.(8分)答案精析
1.解 (1)由题意得a2=4，b2=1，
所以a=2，b=1，c=√a2-b2=√3，
所以△PF F 的周长为|PF |+|PF |+|F F |=2a+2c=4+2√3.
1 2 1 2 1 2
(2)显然当直线l的斜率k不存在时，直线x=0不满足题意，设直线l的方程为y=kx+2(k≠0)，
A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
{y=kx+2,
由
x2
+ y2=1,
4
得(1+4k2)x2+16kx+12=0，
3
由Δ=(16k)2-4×12(1+4k2)>0，得k2> ，
4
16k 12
则x +x =- ，x x = ，
1 2 4k2+1 1 2 4k2+1
y y =(kx +2)(kx +2)=k2x x +2k(x +x )+4，
1 2 1 2 1 2 1 2
因为∠AOB为锐角，A，O，B不共线，
所以cos∠AOB>0，
所以⃗OA·⃗OB>0，
所以x x +y y >0，
1 2 1 2
所以x x +y y =(1+k2)x x +2k(x +x )+4
1 2 1 2 1 2 1 2
12(k2+1) 16k·2k
= - +4
4k2+1 4k2+1
4(4-k2)
= >0，
4k2+1
3
解得0 ，
4
√3 √3
解得-20，所以k= .
3 3
{y=kx+m,
②由 x2 消去y，
+ y2=1,
3
得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0，
其中Δ=36k2m2-12(3k2+1)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0，
-6km 3m2-3
设M(x ，y )，N(x ，y )，则x +x = ，x x = ，
1 1 2 2 1 2 3k2+1 1 2 3k2+1
由⃗AM=λ⃗BM，⃗AN=μ⃗BN，
( m )
A(0，m)，B - ，0 ，
k
( m)
得x =λ x + ，
1 1 k
( m)
x =μ x + ，
2 2 k
x x
1 2
所以λ+μ= m+ m，
x + x +
1 k 2 k
由λ+μ=3，得k2x x +2mk(x +x )+3m2=0，
1 2 1 2
3m2k2-3k2 -12m2k2
即 + +3m2=0，
3k2+1 3k2+1
所以3m2k2-3k2-12m2k2+9m2k2+3m2=0，
因此k2=m2，又k>0，m>0，
所以k=m.
所以l的方程为y=k(x+1)，即l过定点(-1，0)，所以点(0，-√3)到l的最大距离为点(0，-√3)与点(-1，0)的距离d=√1+(√3) 2=2，
即点(0，-√3)到l的距离的最大值为2.
