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微专题 3 范围、最值问题
[考情分析] 圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，范围、最值问题是常见的热点题型，常以解答
题的形式压轴出现，难度较大.
考点一 与长度、周长、面积相关的范围(最值)问题
y2 x2 √2 1
例1 (2024·衢州模拟)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率为 ，斜率为 的直线l与y轴交于点
a2 b2 2 2
8
P，l与C交于A，B两点，T是A关于x轴的对称点.当P与坐标原点O重合时，△ABT的面积为 .
9
(1)求椭圆C的方程；
(2)当P异于O点时，记直线BT与x轴交于点Q，求△OPQ周长的最小值.
解 (1)当P与坐标原点O重合时，可设A(x ，y )(x >0)，
0 0 0
则有B(-x ，-y )，T(x ，-y )，
0 0 0 0
且x =2y ，AT⊥BT，
0 0
1 1 8
则S = |AT|·|BT|= ·2y ·2x = ，
△ABT 2 2 0 0 9
4
即2y2
= ，
0 9
2 8
∴y2
=
，则x2
= ，
0 9 0 9
2 8 √2
则有 + =1，由离心率为 ，
9a2 9b2 2
c √2
即 = ，
a 2
则a2=2c2=b2+c2，∴a2=2b2，
1 8
即有 + =1，
9b2 9b2
解得b2=1，∴a2=2，
y2
即椭圆C的方程为 +x2=1.
2
t t
(2)设直线l方程为x=2y+t(t≠0)，令x=0，有y=- ，即y =- ，
2 P 2设点A(x ，y )，B(x ，y )，则T(x ，-y )，
1 1 2 2 1 1
{x=2y+t,
联立直线l与椭圆方程 y2
+x2=1,
2
消去x得9y2+8ty+2t2-2=0，
8t 2t2-2
有y +y =- ，y y = ，
1 2 9 1 2 9
Δ=64t2-36(2t2-2)>0，得-30，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，|F F |=2√5，且E的渐近线
a2 b2 1 2 1 2
x
方程为y=± .
2
(1)求E的方程；
(2)过F 作两条相互垂直的直线l 和l ，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD
2 1 2
面积的最小值.
x2 y2 b
解 (1)由题意，得E： - =1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=± x，
a2 b2 a
x b 1
因为双曲线E的渐近线方程为y=± ，所以 = ，即a=2b，
2 a 2
又因为|F F |=2√a2+b2=2√5b2=2√5，所以b=1，则a=2，
1 2
x2
故E的方程为 -y2=1.
4
(2)根据题意，直线l ，l 的斜率都存在且不为0，
1 2
设直线l ：y=k(x-√5)，
1
1
l ：y=- (x-√5)，其中k≠0，
2 k
1 | 1| 1 1
因为l ，l 均与E的右支有两个交点，所以|k|> ，- > ，所以 0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，离心率
a2 b2 1 2
为2，P是E的右支上一点，且PF ⊥PF ，△PF F 的面积为3.
1 2 1 2
(1)求E的方程；
(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点F 的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率
2
2
分别为k 和k ，求k2 + k 的最小值.
AM BN AM 3 BN解 (1)设双曲线的半焦距为c(c>0)，
1
∵S = |PF ||PF |=3，
△PF 1 F 2 2 1 2
∴|PF ||PF |=6.
1 2
由题可知|PF |-|PF |=2a，|PF |2+|PF |2=4c2，
1 2 1 2
c
∴|PF |2+|PF |2-2|PF ||PF |=4a2，即4c2-12=4a2，∴b2=3.又 =2，∴a2=1.
1 2 1 2 a
y2
故E的方程为x2- =1.
3
(2)如图，由题可知F (2，0)，A(-1，0)，B(1，0)，且直线MN的斜率不为0，
2
( √3 √3)
设直线MN的方程为x=ty+2 - 0)，直线x-y+1=0与C交于A，B两点，且|AB|=8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点P为x2+(y+1)2=1上一点，过点P作抛物线C的两条切线PD，PE，设切点分别为D，E，试求
直线PD，PE斜率之积的最小值.
解 (1)设点A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
{ x2=2py,
由 可得x2-2px-2p=0，
x- y+1=0,
则x +x =2p，x x =-2p，
1 2 1 2
|AB|=√1+k2·√(x +x ) 2-4x x =√2×√4 p2+8p=8，解得p=2，
1 2 1 2
即抛物线C的方程为x2=4y.
(2)设点P(x ，y )，D(x ，y )，E(x ，y )，其中x ≠x ，x ≠x ，
0 0 3 3 4 4 3 0 4 0
x2 x
由C：x2=4y，即y= ，y'= ，
4 2
x2 x
则l ：y- 3= 3(x-x )，
PD 4 2 3
x2 x
l ：y- 4= 4(x-x )，
PE 4 2 4
{ x2 x
y - 3= 3 (x -x ),
0 4 2 0 3
则有
x2 x
y - 4= 4 (x -x ),
0 4 2 0 4
x2 x
即D(x ，y )，E(x ，y )都在直线y - = (x -x)上，
3 3 4 4 0 4 2 0
化简得l ：x x=2(y+ y )，
DE 0 0
将直线DE的方程代入C：x2=4y得x2-2x x+4y =0，
0 0
则x +x =2x ，x x =4y ，
3 4 0 3 4 0
y - y y - y (x2-4 y )·(x2-4 y )
3 0 4 0 3 0 4 0
则k ·k = · =
PD PE x -x x -x 16(x -x )·(x -x )
3 0 4 0 3 0 4 0(x x ) 2-4 y (x2+x2 )+16 y2
3 4 0 3 4 0
=
16(4 y -x2)
0 0
16 y2-4 y (4x2-8 y )+16 y2
0 0 0 0 0
=
16(4 y -x2)
0 0
2y (4 y -x2)
0 0 0
= =y ，
2(4 y -x2) 0
0 0
又P(x ，y )为x2+(y+1)2=1上的一点，则-2≤y ≤0，
0 0 0
故(k ·k ) =(y ) =-2.
PD PE min 0 min
考点三 与向量相关的范围(最值)问题
4√5 √5
例3 已知点F(0，√5)，直线l：y= ，动点P到F的距离与到直线l的距离之比为 .
5 2
(1)求动点P的轨迹Γ的方程；
(2)设点M是轨迹Γ上一点，在直线y=2x，y=-2x上分别取点A，B，当A，B分别位于第一、二象限时，
[1 ]
若⃗AM=λ⃗MB，λ∈ ，3 ，求△AOB面积的取值范围.
2
1
附：在△ABC中，若⃗AB=(x ，y )，⃗AC=(x ，y )，则△ABC的面积为 |x y -x y |.
1 1 2 2 2 1 2 2 1
解 (1)设P(x，y)，点P到直线l的距离为d.
|PF| √5
由已知可得 = ，
d 2
√x2+(y-√5) 2
√5
即 | 4√5| = ，
y- 2
5
2
5( 4√5)
两边平方得，x2+(y-√5) 2= y- ，
4 5
y2
整理得 -x2=1.
4
y2
故动点P的轨迹Γ的方程为 -x2=1.
4
(2)设M(x ，y )，A(x ，2x )，B(x ，-2x )，⃗AM=(x -x ，y -2x )，⃗MB=(x -x ，-2x -y )，
0 0 1 1 2 2 0 1 0 1 2 0 2 0
因为⃗AM=λ⃗MB，
{ x -x =λ(x -x ),
0 1 2 0
所以
y -2x =λ(-2x - y ),
0 1 2 0x +λx
{ x = 1 2,
0 1+λ
即
2(x -λx )
y = 1 2 .
0 1+λ
(x -λx ) 2 (x +λx ) 2
将点M(x ，y )代入双曲线方程，得 1 2 - 1 2 =1，
0 0 1+λ 1+λ
(1+λ) 2
化简得x x =- .
1 2
4λ
1
所以△AOB的面积为S= |x (-2x )-x ·2x |
2 1 2 2 1
(1+λ) 2 1( 1 )
=2|x x |= = λ+ +2 ，
1 2 2λ 2 λ
[1 ] 1 10
因为λ∈ ，3 ，所以2≤λ+ ≤ ，
2 λ 3
1( 1 ) [ 8]
S= λ+ +2 ∈ 2， .
2 λ 3
[ 8]
故△AOB面积的取值范围为 2， .
3
[规律方法] 圆锥曲线中的最值问题，常见的方法有
(1)函数法：一般需要找出所求几何量的函数解析式，要注意自变量的取值范围.求函数的最值时，一般会
用到配方法、基本不等式或者函数的单调性.
(2)方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标量
的最值.
(3)不变量法：在平面几何中有一些不变量的最值结果，在求最值时，可以考虑观察图形的几何特点，判断
某个特殊位置满足的最值条件，然后再证明.
2√5
跟踪演练3 已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率e= .
5
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A，B两点，设点M(m，0)是线段OF上的
一个动点，且(⃗MA+⃗MB)⊥⃗AB，求m的取值范围.
解 (1)由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为x2 y2
+ =1(a>b>0)，
a2 b2
由抛物线方程为x2=4y，可得其焦点为(0，1)，则椭圆的一个顶点为(0，1)，
即b=1.
c √ b2 2√5
由e= = 1- = ，解得a2=5，
a a2 5
x2
∴椭圆的标准方程为 +y2=1.
5
(2)由(1)得F(2，0)，则0≤m≤2，
设A(x ，y )，B(x ，y )，x ≠x ，
1 1 2 2 1 2
结合题意可设直线l的方程为y=k(x-2)(k≠0).
{
x2
+ y2=1,
由 5
y=k(x-2),
消去y得(5k2+1)x2-20k2x+20k2-5=0，
直线l过椭圆焦点，必有Δ>0，
20k2 20k2-5
∴x +x = ，x x = ，
1 2 5k2+1 1 2 5k2+1
则y +y =k(x +x -4)，
1 2 1 2
⃗MA+⃗MB=(x +x -2m，y + y )，⃗AB=(x -x ，y - y )，
1 2 1 2 2 1 2 1
∵(⃗MA+⃗MB)⊥⃗AB，∴(⃗MA+⃗MB)·⃗AB=0，
∴(x +x -2m)(x -x )+(y +y )(y -y )=0，
1 2 2 1 1 2 2 1
y - y
两边同除以x -x ，有(x +x -2m)+ 2 1 (y + y )=0 x +x -2m+k(y + y )=0，
2 1 1 2 x -x 1 2 1 2 1 2
2 1
⇒
∴2m=x +x +k(y + y )，
1 2 1 2
20k2
(
20k2
)
∴2m= +k2· -4
5k2+1 5k2+1
20k2-4k2 16k2
= = ，
5k2+1 5k2+1
8
8k2 ( 8)
则m= = 1 ∈ 0， ，
5k2+1 5+ 5
k2
( 8)
∴m的取值范围为 0， .
5专题强化练
(分值：50分)
x2
1.(16分)已知椭圆C： +y2=1.
4
(1)若椭圆C的左、右焦点分别为F ，F ，P为C的上顶点，求△PF F 的周长；(6分)
1 2 1 2
(2)设过定点M(0，2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直
线l的斜率k的取值范围.(10分)
解 (1)由题意得a2=4，b2=1，
所以a=2，b=1，c=√a2-b2=√3，
所以△PF F 的周长为|PF |+|PF |+|F F |=2a+2c=4+2√3.
1 2 1 2 1 2
(2)显然当直线l的斜率k不存在时，直线x=0不满足题意，设直线l的方程为y=kx+2(k≠0)，A(x ，y )，
1 1
B(x ，y )，
2 2
{y=kx+2,
由 x2 得(1+4k2)x2+16kx+12=0，
+ y2=1,
4
3
由Δ=(16k)2-4×12(1+4k2)>0，得k2> ，
4
16k 12
则x +x =- ，x x = ，
1 2 4k2+1 1 2 4k2+1
y y =(kx +2)(kx +2)=k2x x +2k(x +x )+4，
1 2 1 2 1 2 1 2
因为∠AOB为锐角，A，O，B不共线，
所以cos∠AOB>0，
所以⃗OA·⃗OB>0，所以x x +y y >0，
1 2 1 2
所以x x +y y =(1+k2)x x +2k(x +x )+4
1 2 1 2 1 2 1 2
12(k2+1) 16k·2k
= - +4
4k2+1 4k2+1
4(4-k2)
= >0，
4k2+1
解得0 ，
4
√3 √3
解得-21)的离心率为 ，椭圆C的动弦AB过椭圆C的右焦点
a2 5
F，当AB垂直x轴时，椭圆C在A，B处的两条切线的交点为M.
(1)求点M的坐标；(7分)
1 m
(2)若直线AB的斜率为 ，过点M作x轴的垂线l，点N为l上一点，且点N的纵坐标为- ，直线NF与椭
m 2
圆C交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最小值.(10分)
b=1,
{
c 2√5
解 (1)由题意知， = , 解得a=√5，b=1，c=2，
a 5
b2=a2-c2,
x2
所以椭圆C的方程为 +y2=1，F(2，0)，
5
√5
将x=2代入椭圆方程得y=± ，
5
( √5)
不妨取A 2， ，
5
√5
设椭圆C在点A处的切线方程为y=k(x-2)+ ，
5
{
x2
+ y2=1,
5
联立 得(5k2+1)x2+(2√5k-20k2)x+20k2-4√5k-4=0，
√5
y=k(x-2)+ ,
5
所以Δ=(2√5k-20k2)2-4(5k2+1)(20k2-4√5k-4)=0，
2√5
整理得4(√5k+2)2=0，解得k=- ，
5
2√5 √5 2√5
所以在点A处的切线方程为y=- (x-2)+ =- x+√5，
5 5 5
由椭圆的对称性知，点M在x轴上，
5
令y=0，则x= ，
2
(5 )
即点M的坐标为 ，0 .
2
1
(2)根据题意，可得直线AB的方程为y= (x-2)，
m即x=my+2(m≠0)，
设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
{x=my+2,
联立 x2 得(m2+5)y2+4my-1=0，
+ y2=1,
5
-4m -1
所以y +y = ，y y = ，Δ=20(m2+1)，
1 2 m2+5 1 2 m2+5
2√5·√m2+1 2√5(m2+1)
所以|AB|=√1+m2·√(y + y ) 2-4 y y =√1+m2· = ，
1 2 1 2 m2+5 m2+5
m
因为MN⊥x轴，且点N的纵坐标为- ，
2
(5 m)
所以N ，- ，
2 2
m
- -0
2
所以直线NF的斜率为 =-m，
5
-2
2
所以直线NF的方程为y=-m(x-2)，
1
即x=- y+2，
m
( 1 )
2√5· +1
m2 2√5(1+m2 )
同理可得，|PQ|= = ，
1 1+5m2
+5
m2
1 1 m2+5 1+5m2 6(m2+1) 3√5
所以 + = + = = ，
|AB| |PQ| 2√5(m2+1) 2√5(m2+1) 2√5(m2+1) 5
1 1 3√5
故 + 为定值 .
|AB| |PQ| 5
1 1 √ 1 1 20 2√5
故 + ≥2 |AB||PQ|≥ ，当且仅当|AB|=|PQ|= 时等号成立，
|AB| |PQ| |AB| |PQ| 9 3
⇒
1
由于k =-m，k = ，故NF⊥AB，即PQ⊥AB，
NF AB m
1 10 2√5 10
故S = |PQ||AB|≥ ，当且仅当|AB|=|PQ|= 时等号成立，故四边形APBQ面积的最小值为 .
四边形APBQ 2 9 3 9x2 y2 √6
3.(17分)(2024·聊城模拟)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为 .
a2 b2 3
(1)求C的方程；(4分)
(2)直线l：y=kx+m(k>0，m>0)与C交于M，N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B，且⃗AM=λ
⃗BM，⃗AN=μ⃗BN.
1
①当μ= =2时，求k的值；(5分)
λ
②当λ+μ=3时，求点(0，-√3)到l的距离的最大值.(8分)
2b=2,
{
解 (1)由题意得 c √a2-b2 √6
= = ,
a a2 3
{b=1,
解得
a=√3,
x2
所以C的方程为 +y2=1.
3
( m )
(2)①由题意得A(0，m)，B - ，0 ，
k
由⃗AM= 1 ⃗BM，得⃗OM=2⃗OA-⃗OB，即M (m ，2m ) ，
2 k
( 2m )
由⃗AN=2⃗BN，得⃗ON=2⃗OB-⃗OA，即N - ，-m ，
k
m2 4m2
将M，N的坐标分别代入C的方程，得 +4m2=1和 +m2=1，
3k2 3k2
1 √3
解得k2= ，又k>0，所以k= .
3 3
{y=kx+m,
②由 x2 消去y，
+ y2=1,
3
得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0，
其中Δ=36k2m2-12(3k2+1)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0，-6km 3m2-3
设M(x ，y )，N(x ，y )，则x +x = ，x x = ，
1 1 2 2 1 2 3k2+1 1 2 3k2+1
( m )
由⃗AM=λ⃗BM，⃗AN=μ⃗BN，A(0，m)，B - ，0 ，
k
( m) ( m)
得x =λ x + ，x =μ x + ，
1 1 k 2 2 k
x x
1 2
所以λ+μ= m+ m，
x + x +
1 k 2 k
由λ+μ=3，得k2x x +2mk(x +x )+3m2=0，
1 2 1 2
3m2k2-3k2 -12m2k2
即 + +3m2=0，
3k2+1 3k2+1
所以3m2k2-3k2-12m2k2+9m2k2+3m2=0，
因此k2=m2，又k>0，m>0，所以k=m.
所以l的方程为y=k(x+1)，即l过定点(-1，0)，
所以点(0，-√3)到l的最大距离为点(0，-√3)与点(-1，0)的距离d=√1+(√3) 2=2，
即点(0，-√3)到l的距离的最大值为2.
