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专题2.22 实数知识点分类训练专题（提高篇）（专项练习）
一、单选题
知识点一、无理数
1．下列说法正确的是（ ）
A．带根号的数都是无理数 B．绝对值最小的实数是0
C．数轴上的每一个点都表示一个有理数 D．两个无理数的和还是无理数
2．下列各数：3.1415926，﹣ ，0.16， ， ， ， ，π﹣2，0.010010001…
（相邻两个1之间增加1个0），其中是无理数的有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．在数组 ， ， ，…， 中，有理数的个数是（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
知识点二、平方根
4．下列说法中错误的是（ ）
A． 是0.25的一个平方根 B．正数a的两个平方根的和为0
C． 的平方根是 D．当 时， 没有平方根
5．若 与 的和是单项式，则 的平方根为（ ）
A．4 B．8 C．±4 D．±8
6．下列各式中,正确的是( )
A．± =± B．± = C．± =± D． =±
知识点三、算术平方根
7． 的算术平方根为（ ）
A． B． C． D．
8．若实数m、n满足 ，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则
△ABC的周长是（ ）A．12 B．10 C．8或10 D．6
9．如果y＝ + +3，那么yx的算术平方根是（ ）
A．2 B．3 C．9 D．±3
知识点四、立方根
10．8的相反数的立方根是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
11．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③负数
没有立方根；④16的平方根是±4，用式子表示是 =±4；⑤某数的绝对值，相反数，算
术平方根都是它本身，则这个数是0，其中错误的是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．下列各组数中,两个数相等的是 ( )
A．-2与 B．-2与- C．-2与 D．|-2|与-2
知识点五、实数的概念及分类
13．下列语句正确是（ ）
A．无限小数是无理数 B．无理数是无限小数
C．实数分为正实数和负实数 D．两个无理数的和还是无理数
14．下列四个命题，正确的有（ ）个．
①有理数与无理数之和是有理数
②有理数与无理数之和是无理数
③无理数与无理数之和是无理数
④无理数与无理数之积是无理数
A．1 B．2 C．3 D．4
15．实数 ， ， ， ， ， 中，无理数的个数是（ ）个．
A． B． C． D．
知识点六、实数的性质
16．|1﹣ |=（ ）A．1﹣ B． ﹣1 C．1+ D．﹣1﹣
17．实数 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
18．若a为实数，则下列说法正确的是（ ）
A．|﹣a|是正数 B．﹣|a|是负数 C． 是非负数 D．|﹣a|永远大于﹣|a|
知识点七、实数与数轴
19．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 的结果为（ ）
A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b
20．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是 和
﹣1，则点C所对应的实数是( )
A．1+ B．2+ C．2 ﹣1 D．2 +1
21．如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO=1，以点A为圆心，
AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（ ）
A．﹣0.4 B．﹣ C．1﹣ D． ﹣1
知识点八、实数的大小比较
22． 、 、 的大小关系是( )A． ＜ ＜ B． ＜ ＜
C． ＜ ＜ D． ＜ ＜
23．比较两个实数 与 的大小，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的大小不确定
24．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
知识点九、无理数的估算
25．估计 +1的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
26．黄金分割数 是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请
你估算 ﹣1的值（ ）
A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间
C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间
27．估计 的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
知识点十、实数的混合运算28．计算 的结果是( )
A． B． C． D．
29．计算：－ ＋ － 的结果是( )
A．1 B．－1 C．5 D．－3
30．计算 的值是（ ）
A．－1 B．1 C． D．
知识点十一、程序设计与实数运算
31．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则
b等于（ ）
A．9 B．7 C．﹣9 D．﹣7
32．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为 ，则最后输出的结果是（ ）
A．14 B．16 C．8+5 D．14+
33．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x为64时，输出y的值是( )A．4 B． C． D．
知识点十二、新定义下的实数运算
34．对于任意的正数m、n定义运算※为：m⊗n= ，计算(3⊗2)＋(8⊗12)的
结果为( )
A． + B．2 C． D． -
35．对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如
,按这个规定，方程 的解为 ( )
A． B． C． D． 或-1
36．定义运算：若am＝b，则log b＝m（a＞0），例如23＝8，则log 8＝3．运用以上定义，
a 2
计算：log 125﹣log 81＝（ ）
5 3
A．﹣1 B．2 C．1 D．44
知识点十三、实数运算的实际运用
37．有下列说法：①在1和2之间的无理数有且只有 这两个；②实数与数轴上的点
一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④ 是分数．其中正确的为（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．②
38．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
39．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（
）A． B． C．2 D．
知识点十四、实数运算的相关规律题
40．请你观察、思考下列计算过程：因为112=121，所以 =11：，因为1112=12321所
以 =111…，由此猜想 =（ ）
A．111111 B．1111111 C．11111111 D．111111111
41．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第
5个数是( )
A．2 B． C．5 D．
42．观察下列等式：① ；② ；
③ .根据上面三个等式提供的信息，请猜想 的结
果为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
知识点一、无理数
43． ， ， ， ，3，1416， 无理数的个数是__________个．
44．请写出一个比2大且比4小的无理数：________.45．设a、b均为有理数，且满足等式4﹣ a＝2b+2 ﹣a，则ab＝_____．
知识点二、平方根
46．若一个正数的两个平方根分别是a+3和2﹣2a，则这个正数的立方根是_____．
47．一个正数的平方根分别是 和 ，则 __．
48． 的平方根是____.
知识点三、算术平方根
49．若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足 ，则第三边c的取值范
围是_____________．
50．若单项式 与 是同类项，则 的值是_______________．
51．观察分析下列数据，并寻找规律： ， ， ， ， ， ，…，根据规律
可知第n个数据应是__________．
知识点四、立方根
52．已知(x﹣1)3=64，则x的值为__．
53．已知一个数的平方根是3a+1和a+11，求这个数的立方根是______．
54．若 ，则 ______．
知识点五、实数的概念及分类
55．将下列各数填在相应的集合里.
，π，3.141 592 6，-0.456，3.030 030 003…(每两个3之间依次多1个0)，0， ，
， ，
有理数集合：{_____________…};
无理数集合：{ …};
正实数集合：{ …};
整数集合：{ …}.
56．下列说法：①无理数就是开方开不尽的数；②满足﹣ ＜x＜ 的x的整数有4个；③﹣3是 的一个平方根；④不带根号的数都是有理数；⑤不是有限小数的不是有理数；
⑥对于任意实数a，都有 ＝a．其中正确的序号是_____．
57．在实数 ， ，0，－π， ， ，0.101 001 000 1…(相邻两个1之间依次多一个
0)中，有理数的个数为B，无理数的个数为A，则A－B＝_____．
知识点六、实数的性质
58． － 的相反数为______，|1－ |＝_______，绝对值为 的数为________．
59．已知实数 ，则a的倒数为________．
60．化简: =________
知识点七、实数与数轴
61．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接
OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为__________ ．
62．若正方形的边长为a，面积为10，下列关于a的四种说法：①a是10的算术平方根；
②a是有理数；③a可以用数轴上的一个点来表示；④3＜a＜4.其中正确的有________(填
序号)．
63．如图所示，已知四边形ABCD是等边长为2的正方形，AP=AC，则数轴上点P所表示
的数是________．
知识点八、实数的大小比较
64．比较大小： ________ .3 39
y=− x−
65．对于实数p，q，我们用符号 表示p，q两数中较小的数，如 8 8 ，因
此 _________；若 ，则x=_________．
66．估算比较大小： ______1．（填“＜“或“＞“或“＝“）
知识点九、无理数的估算
67．与 最接近的自然数是 ________．
68．若 ， ，其中 、 为整数，则 _________．
69．对于实数p，我们规定：用＜P＞表示不小于p的最小整数，例如：＜4＞＝4，＜
＞＝2．现对72进行如下操作：
即对72只需进行3次操作后变为2，类似地：对36只需进行_____次操作后变为2．
知识点十、实数的混合运算
70．计算： ______．
71．化简( -1)0+( )-2- + =________________________.
72．计算： _________．
知识点十一、程序设计与实数运算
73．有一个数值转换器，流程如图：
当输入x的值为64时，输出y的值是_____．
74．如图是一个数值转换器．输入一个两位数x，恰好经过三次取算术平方根才能输出无理数y，则x＝_______．
75．根据如图所示的计算程序，笑笑输入的x的值为 ，则输出的y的值为_____．
知识点十二、新定义下的实数运算
76．任何实数a，可用 表示不超过a的最大整数，如 ，现对72进行如下
操作： ，这样对72只需进行3次操作后变为1，
类似地，①对81只需进行_______ 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有
正整数中，最大的是_______ .
77．用“ ”表示一种新运算：对于任意正实数a、b，都有 ．例如
，那么15﹡196____,当 _____
78．规定运算： ，其中 为实数，则 ____
知识点十三、实数运算的实际运用
79．设x，y是有理数，且x，y满足等式 ，则 的平方根是
___________.
80．设 a、b是有理数，且满足等式 ,则a+b=___________．
81．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为
．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此
时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______．知识点十四、实数运算的相关规律题
82．观察下列各式：
，
，
，
……
请利用你所发现的规律，
计算 + + +…+ ，其结果为_______．
83．将1， ， ， 按如图方式排列．若规定 ， 表示第 排从左向右第 个数，
则 所表示的数是___________．
84．计算：① ② ③ ④ ，观察你计算的结果，用你
发现的规律直接写出下面式子的值 =__________参考答案
1．B
【分析】直接利用无理数的定义分析得出答案．
解：A、带根号的数不一定是无理数，如 ，故此选项错误；
B、绝对值最小的实数是0，故此选项正确；
C、数轴上的每一个点都表示一个实数，故此选项错误；
D、两个无理数的和不一定是无理数，如 ，故此选项错误．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了实数，正确掌握实数的相关性质是解题关键．
2．C
【分析】无限不循环小数是无理数，根据定义解答．
解：3.1415926，0.16，是有限小数，属于有理数；
， 是分数，属于有理数；
是循环小数，属于有理数；
无理数有﹣ ， ，π﹣2，0.010010001…（相邻两个1之间增加1个0），共4个，
故选：C．
【点拨】此题考查无理数的定义，熟记定义是解题的关键．
3．B【分析】将算术平方根转化为平方进行判断即可．
解： ， ， ， ， ， ，
、 、 、 、 中，有理数为1，2， ，44，
故选：B．
【点拨】本题考查了算术平方根和实数的概念，熟悉算术平方根的定义是解题的关键．
4．C
解：A选项中，因为“ ”，所以A中说法正确；
B选项中，因为“正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两数和为0”，所以B中
说法正确；
C选项中，因为“ 的平方根是 ”，所以C中说法错误；
D选项中，因为“当 时， 的值是负数，而负数没有平方根”，所以D中说法正确；
故选C.
5．D
【分析】根据单项式的定义可得 和 是同类项，因此可得参数m、n,代入计算即
可.
解：由 与 的和是单项式，得
．
，64的平方根为 ．
故选D．
【点拨】本题主要考查单项式的定义，关键在于识别同类项，根据同类项计算参数.
6．A
解：± =± ，所以可知A选项正确；故选A.
7．B
分析：先求得 的值，再继续求所求数的算术平方根即可．解：∵ =2，
而2的算术平方根是 ，
∴ 的算术平方根是 ，
故选B．
点拨：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否
则容易出现选A的错误．
8．B
【分析】根据绝对值和二次根式的非负性得m、n的值，再分情况讨论：①若腰为2，底为
4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；②若腰为4，底为2，再由三角形周长公式计算
即可.
解：由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，
又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，
①若腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去，
②若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10，
故选B.
【点拨】本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质，根据非负数的性质求出m、n
的值是解题的关键.
9．B
解：由题意得：x﹣2≥0，2﹣x≥0，解得：x=2，∴y=3，则yx=9，9的算术平方根是3．故选
B．
10．C
解：【分析】根据相反数的定义、立方根的概念计算即可．
解：8的相反数是﹣8，
﹣8的立方根是﹣2，
则8的相反数的立方根是﹣2，
故选C．
【点拨】本题考查了实数的性质，掌握相反数的定义、立方根的概念是解题的关键．
11．D
解：①实数和数轴上的点是一一对应的，正确；②无理数是开方开不尽的数，错误；
③负数没有立方根，错误；
④16的平方根是±4，用式子表示是± =±4，错误；
⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，正确．
错误的一共有3个，故选D．
12．C
【分析】根据算术平方根的定义，立方根的定义以及绝对值的性质对各选项分析后利用排
除法求解．
解：A、∵ =2，∴-2与 不相等，故本选项错误；
B、-2与- 不相等，故本选项错误；
C、∵ =-2，∴-2与 相等，故本选项正确；
D、∵|-2|=2，∴|-2|与-2不相等，故本选项错误．
故选C．
【点拨】本题主要考查了算术平方根，立方根的定义，对各选项正确化简是解题的关键．
13．B
解：A．无限不循环小数是无理数，故A错误；
B．无理数是无限小数，正确；
C．实数分为正实数、负实数和0，故C错误；
D．互为相反数的两个无理数的和是0，不是无理数，故D错误．
故选B．
14．A
解：①有理数与无理数的和一定是有理数，故本小题错误；
②有理数与无理数的和一定是无理数，故本小题正确；
③例如 =0，0是有理数，故本小题错误；
④例如（﹣ ）× =﹣2，﹣2是有理数，故本小题错误．
故选A．
点拨：本题考查的是实数的运算及无理数、有理数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．
15．B
【分析】根据实数分类、无理数的性质，对各个实数逐个分析，即可得到答案．
解：实数 ， ， ， ， ， 中，无理数为： 、 、 ，共3
个；
故答案为：B．
【点拨】本题考查了实数分类的知识；解题的关键是熟练掌握实数分类、无理数的性质，
从而完成求解．
16．B
解：【分析】直接利用绝对值的性质化简得出答案．
解：|1﹣ |
= ﹣1，
故选B．
【点拨】本题主要考查了实数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
17．D
【解析】
【分析】根据相反数的定义求解即可．
解： 的相反数是- ，
故选D．
【点拨】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
18．C
【解析】
A.a=0时，|−a|是非负数，故A错误；
B.−|a|是非正数，故B错误；
C. 是非负数，故C正确；
D.a=0时|−a|=−|a|，故D错误；
故选：C.
19．C解：试题分析：利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：
∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，
∴ .
故选C．
考点：1.绝对值；2.二次根式的性质与化简；3.实数与数轴．
20．D
解：设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则
有
，解得 .
故选D.
21．C
【分析】利用勾股定理求出AB的长，可得AB=AC= ，推出OC= ﹣1即可解决问题.
解：在Rt△AOB中，AB= ，
∴AB=AC= ，
∴OC=AC﹣OA= ﹣1，
∴点C表示的数为1﹣ ．
故选C．
【点拨】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学
知识解决问题．
22．C
【分析】先分母有理化再比较大小.
解：
故选C．【点拨】考核知识点：无理数大小比较.
23．A
【分析】先判断 的取值范围， 即 ，再进行变形，得到 的
取值范围，即可判断与 的大小关系.
解：∵
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ，故选A.
【点拨】本题考查实数比较大小，掌握求无理数 取值范围的方法是关键.
24．B
【分析】由 ，得 ，故 ，将 平方展开计算，后开平方即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ =- 或 = ，
∵ ，∴ ＜0，
∴ = - ， = 不符合题意，舍去，
故选B．
【点拨】本题考查了实数的大小比较，完全平方公式，倒数的意义，平方根，熟练进行大
小比较，灵活运用公式计算是解题的关键．
25．B
分析：直接利用2＜ ＜3，进而得出答案．
解：∵2＜ ＜3，
∴3＜ +1＜4，
故选B．
点拨：此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出 的取值范围是解题关键．
26．B
【分析】根据4.84<5<5.29，可得答案．
解：∵4.84<5<5.29，
∴2.2< <2.3，
∴1.2< -1<1.3，
故选B．
【点拨】本题考查了估算无理数的大小，利用 ≈2.236是解题关键．
27．B
【分析】先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的范围.
解：
= ，= ，
而 ，
4< <5，
所以2< <3，
所以估计 的值应在2和3之间，
故选B.
【点拨】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算
法则以及“夹逼法”是解题的关键.
28．D
【分析】分别根据零次幂、二次根式的性质以及负指数幂化简即可求解．
解：原式 .
故选D．
【点拨】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目
的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
29．D
【分析】首先求出各个根式的值，进而即可求解．
解：－ ＋ － ，
=-3+2-2，
=-3.
故选D.
【点拨】此题主要考查了实数的运算，解题关键是能够求解一些简单的二次根式的加减问
题．
30．B
【分析】根据正数的绝对值是它本身和负数的绝对值是它的相反数，化简合并即可得到答
案．解： = ，
故选B．
【点拨】本题主要考查了去绝对值的知识点，掌握正数的绝对值是它本身和负数的绝对值
是它的相反数是解题的关键．
31．C
【分析】先求出x=7时y的值，再将x=4、y=-1代入y=2x+b可得答案．
解：∵当x=7时，y=6-7=-1，
∴当x=4时，y=2×4+b=-1，
解得：b=-9，
故选C．
【点拨】本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．
32．C
解：试题分析：当n= 时，n（n+1）= （ +1）=2+ ＜15；
当n=2+ 时，n（n+1）=（2+ ）（3+ ）=6+5 +2=8+5 ＞15，
则输出结果为8+5 ．
故选C．
考点：实数的运算．
33．B
【分析】由图中的程序知：输入x的值后，当 是无理数时，y= ;若 的值是有理数，
将 再取立方根，直至输出的结果为无理数，也就求出了y的值．
解：由题意，得：x=64时, =4, 4是有理数，将4的值代入x中；当x=4时， 是无
理数.
故选:B.
【点拨】本题考查实数的运算，弄清程序的计算方法是解题关键．
34．C【分析】先利用新定义得到原式= ，然后把各二次根式化为最简二次根
式后合并即可．
解：（3⊗2）+（8⊗12）=
=
= ．
故选C．
【点拨】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根
式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
35．D
【分析】分 和 两种情况将所求方程变形，求出解即可．
解：当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： ，即 ,
解得：
经检验 是分式方程的解；
当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： 代入公式得： ，
解得： （舍去），
经检验 是分式方程的解，
综上，所求方程的解为 或-1．故选D.
【点拨】本题考查的知识点是分式方程的解，解题关键是弄清题中的新定义．
36．A
【分析】先根据乘方确定53=125，34=81，根据新定义求出log 125=3，log 81=4，再计算出
5 3
所求式子的值即可．
解：∵53=125，34=81，
∴log 125=3，log 81=4，
5 3
∴log 125﹣log 81，
5 3
＝3﹣4，
＝﹣1，
故选：A．
【点拨】本题考查新定义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，
掌握新定义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，解题关键理
解新定义就是乘方的逆运算．
37．D
【分析】根据无理数的定义与运算、实数与数轴逐个判断即可得．
解：①在1和2之间的无理数有无限个，此说法错误；
②实数与数轴上的点一一对应，此说法正确；
③两个无理数的积不一定是无理数，如 ，此说法错误；
④ 是无理数，不是分数，此说法错误；
综上，说法正确的为②，
故选：D．
【点拨】本题考查了无理数的定义与运算、实数与数轴，熟练掌握运算法则和定义是解题
关键．
38．D
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进
行逐一分析即可．
解：根据三角形的三边关系，
A、5+5＜11，不能组成三角形，不符合题意；B、1+ ＜3，不能组成三角形，不符合题意；
C、b+a-b=a，不能组成三角形，不符合题意；
D、a+1+a+2=2a+3＞2a+2，能组成三角形，符合题意．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的
两边的和是否大于第三边．
39．A
【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是 ，2，再根据阴影部分的
面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算．
解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2，
∴两个正方形的边长分别是 ，2，
∴阴影部分的面积
故选A．
【点拨】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关
键在于能够准确根据正方形的面积求出边长.
40．D
分析：被开方数是从1到n再到1（n≥1的连续自然数），算术平方根就等于几个1．
解：∵ =11， =111…，…，
∴ ═111 111 111．
故选D．
点拨：本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
41．B
【分析】根据三角形数列的特点，归纳出每一行第一个数的通用公式，即可求出第9行从
左至右第5个数.解：根据三角形数列的特点，归纳出每n行第一个数的通用公式是 ，所以，第
9行从左至右第5个数是 = .
故选B
【点拨】本题主要考查归纳推理的应用，根据每一行第一个数的取值规律，利用累加法求
出第9行第五个数的数值是解决本题的关键，考查学生的推理能力．
42．D
解： = = = = ，
故选D.
点拨：本题属于探索规律型，主要考查学生的观察及学习能力，并根据观察总结规律的能
力.
43．3
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，
有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是
无理数．由此即可判定选择项．
解： ，
在 ， ， ， ，3，1416， 中，无理数有 ， ， 这3个数，
故答案为：3．
【点拨】本题考查无理数的定义，解题的关键是正确理解无理数的定义．
44． （ 或 ）
【分析】利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算，然后找出无理数即可
解：设无理数为 ， ，所以x的取值在4~16之间都可，故可填
【点拨】本题考查估算无理数的大小，能够判断出中间数的取值范围是解题关键
45．-2【分析】先将等式变形为 ，先根据有理数的定义求出a的值，再将a
的值代入等式可求出b的值，然后计算 即可．
解：
，即
均为有理数
均为有理数
为有理数
，解得
将 代入等式得 ，解得
故答案为： ．
【点拨】本题考查了有理数与无理数概念的应用，依据有理数的定义求出a、b的值是解题
关键．
46．4
【分析】根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数求出a的值，即可确定出正数的立
方根．
解：根据题意得：a+3+2-2a=0，
解得：a=5，
则这个正数为（5+3）2=64，
则这个正数的立方根是4．
故答案为4．
【点拨】本题考查了立方根以及平方根的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
47．2．
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可得关于x的方程，解方程即可得．
解：根据题意可得：x+1+x﹣5=0，
解得：x=2，
故答案为2．
【点拨】本题主要考查了平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．
48．±
【分析】首先计算 的值为 ，再计算 的平方根即可得解.
解：∵ = ， =± ，
∴ 的平方根是± .
故答案为± .
【点拨】本题考查了正数的算术平方根以及平方根的相关知识，在计算时不应忽略 =
.
49．1＜c＜5．
【解析】
试题分析：由题意得， ， ，解得a=3，b=2，∵3﹣2=1，3+2=5，∴1＜c
＜5．故答案为1＜c＜5．
考点：1．三角形三边关系；2．非负数的性质：偶次方；3．非负数的性质：算术平方根．
50．2
【分析】先根据同类项的定义求出m与n的值，再代入计算算术平方根即可得．
解：由同类项的定义得：
解得
则故答案为：2．
【点拨】本题考查了同类项的定义、算术平方根，熟记同类项的定义是解题关键．
51．
【分析】根据给定数中被开方数的变化找出变化规律“第n个数据中被开方数为：3n-1”，
依此即可得出结论．
解：∵被开方数为：2=3×1-1，5=3×2-1，8=3×3-1，11=3×4-1，14=3×5-1，17=3×6-1，…，
∴第n个数据中被开方数为：3n-1，
故答案为 ．
【点拨】本题考查了算术平方根以及规律型中数的变化类，根据被开方数的变化找出变化
规律是解题的关键．
52．5
解：由（x﹣1）3=64，
得：x﹣1=4,
解得：x=5.
故答案为5.
53．4
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，可知3a+1+a+11=0，a=-3，从而得出答
案．
解：由已知得，3a+1+a+11=0，解得a=-3，
所以3a+1=-8，a+11=8，
所以，这个数是64，
它的立方根是4．
故答案是：4.
【点拨】考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0
的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的
立方根是负数，0的立方根式0．
54．±2
【分析】根据平方根、立方根的定义解答.
解：∵ ，∴a=±8.∴ =±2故答案为±2
【点拨】本题考查平方根、立方根的定义，解题关键是一个正数的平方根有两个，他们互
为相反数..
55．详见解析.
【分析】根据实数的分类分别找出有理数，无理数，正实数和整数的数，注意根据定义正
确分类.
解：有理数集合：{ ，3.141 592 6，-0.456，0， ， …}.
无理数集合：{π， ，3.030 030 003…(每两个3之间依次多1个0)…}.
正实数集合：{ ，π，3.141 592 6，3.030 030 003…(每两个3之间依次多1个0)， ，
， …}.
整数集合：{ ，0， …}.
【点拨】此题重点考察学生对实数的认识，熟练掌握实数的分类是解题的关键.
56．②③
【分析】根据有理数、无理数、实数的意义逐项进行判断即可．
解：①开方开不尽的数是无理数，但是有的数不开方也是无理数，如：π， 等，因此①
不正确，不符合题意；
②满足﹣ ＜x＜ 的x的整数有﹣1，0，1，2共4个，因此②正确，符合题意；
③﹣3是9的一个平方根，而 ＝9，因此③正确，符合题意；
④π就是无理数，不带根号的数也不一定是有理数，因此④不正确，不符合题意；
⑤无限循环小数，是有理数，因此⑤不正确，不符合题意；
⑥若a＜0，则 ＝|a|＝﹣a，因此⑥不正确，不符合题意；
因此正确的结论只有②③，
故答案为：②③．
【点拨】本题考查无理数、有理数、实数的意义，理解和掌握实数的意义是正确判断的前
提．57．-1
【分析】根据无理数、有理数的定义即可得出A、B的值，进而得出结论．
解： ，﹣π，0.101 001 0001…（相邻两个1之间多一个0）是无理数，故A=3．
，0， 是有理数，故B=4，∴A－B=3－4=－1．
故答案为：－1．
【点拨】本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小
数为无理数．如π， ，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
58． － －1 ±3
【分析】直接利用相反数的定义得出答案;
结合绝对值的定义得出答案;
根据立方根的定义先求出 的值,再根据绝对值的性质即可求出.
解：(1) － 的相反数是： － ，
(2) |1－ |＝ －1;
(3) =3,
∴绝对值为3的数为±3.
故答案为 － ; －1; ±3.
【点拨】本题主要考查相反数，绝对值的定义以及立方根,关键在于熟练掌握运用相关的性
质定理，认真的进行计算．
59．
【分析】直接利用倒数的定义结合二次根式的性质化简得出答案．
解：∵实数 ，∴a的倒数为： ．
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
60．1
【分析】因为π≈3.142，所以π-4＜0，3-π＜0，然后根据绝对值定义即可化简|π-4|+|3-π|．
解：∵π≈3.142，
∴π-4＜0，3-π＜0，
∴|π-4|+|3-π|=4-π+π-3=1，
故答案为1．
【点拨】本题主要考查了实数的绝对值的化简，解题关键是掌握绝对值的规律，一个正数
的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
61．
解：试题分析：根据题意得，等腰△ABC中，OA=OB=3,由等腰三角形的性质可得
OC⊥AB，根据勾股定理可得OC= ，又因OM=OC= ，于是可确定点M对应的数为
．
考点：勾股定理；实数与数轴．
62．①③④
【分析】根据正方形的面积公式可得a= ，如何结合算术平方根、无理数的定义，以及
数轴和无理数大小比较的知识，逐一判断即可.
解：①a是10的算术平方根是正确的；
②a是有理数是错误的；
③a可以用数轴上的一个点来表示是正确的；
④3＜a＜4是正确的.
所以正确的答案为①③④.
【点拨】本题考查了算术平方根、数轴和无理数的相关知识，解题的关键是明确无理数的
意义与数轴上点的对应关系以及算术平方根的定义.63．1﹣2
【解析】根据勾股定理，可得AC= =2 ，根据数轴上两点间的距离AP=AC=2
，可得P点坐标1﹣2 ．
故答案为1﹣2 ．
64．＜
解：试题解析：∵
∴
∴
65． 2或-1
解：试题分析：因为 ，所以min{ ， }= .
当 时， ，解得 (舍)， ；
当 时， ，解得 ， (舍).
考点：新定义，实数大小的比较，解一元二次方程.
66． ．
【分析】首先估算2＜ ＜3，所以 -1＜2，因此 ＜1，由此得出答案即可．
解：∵2＜ ＜3，
∴ -1<2，
∴ ＜1.
故答案为<.
【点拨】本题考查了实数大小的比较，解决本题的关键是熟悉比较实数大小的法则.67．2
【分析】先根据 得到 ，进而得到 ，因为14更接近
16，所以 最接近的自然数是2．
解： ，可得 ，
∴ ，
∵14接近16，
∴ 更靠近4，
故 最接近的自然数是2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查无理数的估算，找到无理数相邻的两个整数是解题的关键．
68．0
【分析】根据平方根的定义估算出 和 在各自范围内的数，求出
m、n的值，即可解出本题答案.
解：由题意可知，求出 和 的整数部分，可得，
∵32＜10＜42，∴3＜ ＜4，即n＝3，
∵22＜8＜32，∴－3＜－ ＜－2，即m＝－3，
∴m＋n＝0，
故答案为0.
【点拨】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握该方法是本题解题的关键.
69．3
【分析】根据题目中的例子可以解答本题；
解：由题意可得，
36第一次＜ ＞＝6第二次＜ ＞＝3第三次＜ ＞＝2，故答案为3
【点拨】本题考查估计无理数的大小、实数大小的比较，解答本题的关键是明确题意，找
出所求问题需要的条件．
70． .
解：原式= = ，
故答案为 ．
71．-1
分析：直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、算术平方根的性质分别化简得出答
案．
解：原式=1+4-3-3
=-1．
故答案为-1．
点拨：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
72．
【分析】根据负整数指数幂定义，绝对值的性质，二次根式的除法计算法则依次计算，再
计算加减法即可.
解：原式= = ．
故答案为： .
【点拨】此题考查计算能力，正确掌握负整数指数幂定义，绝对值的性质，二次根式的除
法计算法则是解题的关键.
73．
【分析】直接将x=64代入流程图进行运算即可．
解：当输入x的值为64时， ＝8是有理数，则 ＝2是有理数；由2的算术平方根为
是无理数．故答案为 ．
【点拨】本题主要考查了有理数和无理数的分类、实数的运算以及流程图，掌握有理数和
无理数的分类以及读懂流程图是解答本题的关键．
74．16或81
【分析】写出一个无理数，平方是有理数，然后三次平方即可．
解：∵ ， ；
故答案为:16或81
【点拨】本题考查无理数，正确理解题目中规定的运算是关键．
75．-2
【分析】先根据算术平方根的定义求得x的值，再代入计算可得．
解：∵ ＝4，
∴输入的x的值为4，
则输出y的值为 ﹣3＝1﹣3＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点拨】本题考查了代数式求值和算术平方根，解答本题的关键就是弄清楚图中给出的计
算程序．
76．3 255
解：①∵根据定义， ，
∴对81只需进行3 次操作后变为1.
②设 ，x为正整数，则 ，∴ ，即最大正整数是3.
设 ， 为正整数，则 ，∴ ，即最大正整数是15.
设 ， 为正整数，则 ，∴ ，即最大正整数是255.
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255.
故答案为3，255.77．15;
【分析】根据题目中新定义的运算法则，代入数值计算即可求解．
解：15*196= +1=14+1=15；
m*（m*16）= = +1= ．
故答案为15， ．
【点拨】本题考查了实数的运算，弄清新定义的意义是解题的关键．
78．4
【分析】根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可．
解：
=
=
=4
故答案为4．
【点拨】本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的计算，熟练掌握绝对值的化简
规律是本题的关键．
79．±1
【分析】因为x、y为有理数，所以x+2y也是有理数，根据二次根式的性质，只有同类二
次根式才能合并，所以x、2y都不能与 进行合并，根据实数的性质列出关系式，分别求
出x、y的值再代入计算即可求解．
解：∵x、y为有理数，
∴x+2y为有理数，
∴解得
∴y=-4，x=25，
∴ =5-4=1，1的平方根是±1．
故答案为±1．
【点拨】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是明确题意，熟悉合并同类项的法则，
求出相应的x、y的值．
80．1或﹣11
【分析】
根据实数相等的条件可求出a、b的值，然后代入所求式子计算即可．
解：∵a、b是有理数，且满足等式 ，
∴ ，
解得： ，
当a=6，b=﹣5时，a+b=6－5=1；
当a=﹣6，b=﹣5时，a+b=﹣6－5=﹣11；
故答案为：1或﹣11．
【点拨】本题考查了实数的相关知识，正确理解题意、得到关于a、b的方程组是解题的关
键．
81．4+ 或6﹣ 或2﹣ ．
【分析】先求出第一次折叠与A重合的点表示的数，然后再求两点间的距离即可；同理再
求出第二次折叠与C点重合的点表示的数即可．
解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：3+（3+1）＝7．
与C重合的点表示的数：3+（3﹣ ）＝6﹣ ．
第二次折叠，折叠点表示的数为： （3+7）＝5或 （﹣1+3）＝1．
此时与数轴上的点C重合的点表示的数为：
5+（5﹣6+ ）＝4+ 或1﹣（ ﹣1）＝2﹣ ．故答案为：4+ 或6﹣ 或2﹣ ．
【点拨】本题主要考查了数轴上的点和折叠问题，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
82．
【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
解：由题意可得：
+ + +…+
= +1+ +1+ +…+1+
=9+（1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）
=9+
= ．
故答案为 ．
【点拨】：此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．
83．
【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排
4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个
数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪
个数后再计算．
解：（7，3）表示第7排从左向右第3个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，
1+2+3+4+5+6+3=24，
24÷4=6，
则（7，3）所表示的数是 ，
故答案为 ．
【点拨】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键．
84．406
解： =1；
② =3=1+2；
③ =6=1+2+3；
④ =10=1+2+3+4，
∴ =1+2+3+4+…+28=406.
故答案为406.
