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第 01 讲 认识无理数、算术平方根与平方根
课程标准 学习目标
1.能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和
无理数的理解.
①理解无理数
②理解算术平方根和平方 2.理解数的算术平方根和平方根的概念，以及开平方的概
根，并掌握平方根的性质 念，会用根号表示一个数的平方根.
3.掌握平方根的性质，并能应用平方根的性质解决问题.
知识点01 认识无理数无理数的定义：无限不循环小数。有限小数和无限循环小数都称为有理数.
无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
【即学即练1】
1．（2023春·湖南长沙·七年级长沙市南雅中学校联考阶段练习）在0、 、 、 、 、 、
（它的位数无限且相邻两个“1”之间“0”的个数依次加1个）这七个数中，无理数的个数
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据无理数的意义，即可解答．
【详解】解：在 、 、 、 、 、 、 它的位数无限且相邻两个“1”之间“0”
的个数依次加1个 这七个数中，
，
无理数有： 、 、 它的位数无限且相邻两个“1”之间“0”的个数依次加1个 ，
所以，无理数共有 个，
故选：B．
2．（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）在实数 ， ， ， ， ， ，
， 中，无理数有_______个．
【答案】
【分析】根据无理数的定义：无限不循环的小数，即可．
【详解】∵无限不循环的小数叫无理数，
∴无理数为： ， ， ， ，
∴无理数有 个．
故答案为： ．
知识点02 算术平方根的概念及性质
1.算术平方根的定义：如果一个正数 的平方等于 ，即 ,那么这个正数x叫做 的算术平方根
（规定0的算术平方根还是0）； 的算术平方根记作 ，读作“ 的算术平方根”， 叫做被开方
数.
【即学即练1】
1.（23-24七年级下·吉林·期中）4的算术平方根是 ．【答案】2
【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键；
根据算术平方根的概念即可求出结果．
【详解】解： ，
4的算术平方根是2，
故答案为：2．
2.（23-24七年级下·吉林松原·期中） 的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，两个非负实数a、b若满足 ，那么a就叫做b的算
术平方根，据此求解即可．
【详解】解： 的算术平方根是 ，
故答案为： ．
知识点03 平方根的概念与性质
1.平方根的定义：如果 ，那么 叫做 的平方根.求一个数 的平方根的运算，叫做开平方.平方
与开平方互为逆运算. ( ≥0)的平方根的符号表达为 ，其中 是 的算术平方根.
2.平方根和算术平方根的区别与联系
区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 和
联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为
0．
3.平方根的性质
【即学即练1】
1．（2023春·安徽马鞍山·七年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．2是4的平方根 B． 的平方根是
C．4的平方根是2 D． 的算术平方根是
【答案】A
【分析】根据算术平方根及平方根的定义逐项判断即可．
【详解】A．因为 ，所以2是4的平方根，故选项A符合题意；B．负数没有平方根，故选项B不符合题意；
C．4的平方根是 ，故选项C不符合题意；
D．算术平方根是正数，故选项D不符合题意．
【点睛】本题考查了平方根及算术平方根的定义，如果一个正数 的平方等于 ,即 ，那么这个正数
是 的算术平方根；如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根，理解算术平方根及平方根定
义是解题关键．
2.（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）144平方根是 ， 的算术平方根是 ， 的平
方根是 ， .
【答案】 7 /
【分析】根据平方根和算术平方根的定义及绝对值的性质求解即可．
【详解】解：144平方根是 ，
的算术平方根是7，
的平方根是 ，
，
故答案为： ， ， ．
【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义及绝对值的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的定义及绝
对值的性质是解题的关键．
题型01 无理数的识别
【典例1】（23-24七年级下·天津滨海新·期末）在 ， ， ， ， ，
这六个数中，无理数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：① 类，如
，等；②开方开不尽的数，如 ， 等；③具有特殊结构的数，如 （两个 之间依次
增加 个 ）， （两个 之间依次增加 个 ）．直接根据无理数的定义判断即可．【详解】解：在 ， ， ， ， ， 这六个数中，
无理数有： ， ，共 个，
故选：B．
【变式1】（23-24七年级下·四川南充·期中）在 ， ， ， ， ， ， ，
， （每两个 之间依次增加一个 ）中，无理数的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键．
【详解】解：在 ， ， ， ， ， ， ， ， （每两个
之间依次增加一个 ）中，无理数有 ， ， ， （每两个 之间依次增加一个 ），
共 个，
故选： ．
【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知实数 ，0.16，3， ， ， ，其中为无理数的有
个．
【答案】2
【分析】本题主要考查了无理数定义．初中范围内学习的无理数有三类：① 类，如 ， 等；②开方
开不尽的数，如 ， 等；③虽有规律但是无限不循环的数，如 ，等．注意解答此类问
题时，常常要结合有理数概念来求解．
【详解】解： ，0.16，3， 是有理数， ， 是无理数，共2个无理数，
故答案为：2．
【变式3】（23-24七年级下·上海黄浦·期中）下列实数中：3.1416， ， ， ， ， ，
……（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个），无理数有 个．
【答案】4
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如
2π， 等；②开方开不尽的数，如 ， 等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依
次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．
【详解】解：3.1416， ， 是有理数；， ， ， ……（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个）是无理
数．
故答案为：4．
题型02 算术平方根与平方根概念理解
【典例2】（23-24七年级下·陕西商洛·期末）下列说法正确的是（ ）
A．4是 的算术平方根 B． 的平方根是
C．9的平方根是 D．平方根等于它本身的数是0 和1
【答案】C
【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，解题的关键是掌握负数没有平方根．根据平方根与算术
平方根的定义对各选项分析判断即可．
【详解】解：A、2是 的算术平方根，故本选项错误，不符合题意；
B、负数没有平方根，故本选项错误，不符合题意；
C、9的平方根是 ，故本选项正确，符合题意；
D、平方根等于它本身的数只有0，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
【变式1】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．4是16的算术平方根 B．2是4的一个平方根
C． 的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0
【答案】C
【分析】
此题考查了算术平方根、平方根，根据算术平方根、平方根的定义解答即可．
【详解】
A、4是16的算术平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、2是4的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、 的平方根是 ，原说法错误，故此选项符合题意；
D、0的平方根与算术平方根都是0，原说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【变式2】（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）下列说法中正确的个数是（ ）
① 的平方根是 ；② 没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④负数没有平方根；⑤0和1
的平方根等于本身．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A【分析】此题考查了平方根的性质，解题的关键是熟练掌握平方根的性质．
根据平方根的性质求解即可．
【详解】解：① 的平方根是 ，原说法错误；
②当 时， 有平方根，原说法错误；
③非负数a的平方根可以是负数，原说法错误；
④负数没有平方根，说法正确；
⑤0的平方根等于本身，原说法错误；
正确的为④，
故选A．
【变式3】（23-24八年级上·安徽宿州·期中）下列语句：①任意一个数都有两个平方根；② 是1的平方
根；③带根号的数都是无理数；④ 的平方根是 ；⑤ 的算术平方根2．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查平方根及算术平方根，根据平方根及算术平方根的定义进行判断即可．
【详解】解：0的平方根为0，负数没有平方根，则①错误；
是1的一个平方根，则②正确；
，是有理数，则③错误；
，其平方根是 ，则④正确；
，其算术平方根是2，则⑤正确；
综上，正确的有3个，
故选：B．
题型03 求一个数的算术平方根
【典例3】（23-24七年级下·湖北宜昌·期末） 的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根，根据正的平方根是算术平方根，进行作答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 的算术平方根为 ．
故答案为： ．【变式1】（23-24七年级下·四川广安·期中） 的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟记概念是解题的关键，难点在于此类题目带分数要化为假分数．
把带分数化为假分数，然后根据算术平方根的定义解答．
【详解】解：由题意得： ，
的算术平方根是 ，
故答案为： ．
【变式2】（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）16的平方根是 ， ．
【答案】 9
【分析】本题考查平方根和算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根；一个正数的平方根的两个，其中正的那个叫算术平
方根．根据定义求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴16的平方根是 ；
∵
∴ ；
故答案为： ；9．
【变式3】（2024七年级下·全国·专题练习）（1） = ， = ， =
， = ， = ，对于任意实数0，猜想 = ．
（2） ， ， ， ，对于
任意非负数a，猜想 ．
【答案】 2 3 5 6 0 4 9 25 36
【分析】本题考查了算术平方根．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非
负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
（1）由 进行解答；
（2）由 进行计算．【详解】解：（1） ， ， ， ， ，对于任意
实数a，猜想 ．
（2） ，同理 ， ， ，对于任意非负数a，猜想 ．
故答案为：2，3，5，6，0， ；4，9，25，36．a．
题型04 利用算术平方根的非负性解题
【典例4】（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）若 ，则 ．
【答案】 / /
【分析】本题主要考查偶次方及算术平方根的非负性，代数式求值，根据偶次方及算术平方根的非负性求
出 的值，代入 即可．
【详解】解：
，
，
，
故答案为： ．
【变式1】（23-24七年级下·北京·期中）已知 ，则 的算术平方根为
．
【答案】3
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，绝对值的非负性以及算术平方根的非负性质，先利用非
负性质求出 的值，再根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解： ，
∴ ①， ②，
由①+②得：
整理得： ，
解得： ，
∴ 的算术平方根为3．
故答案为：3．【变式 2】（23-24七年级下·新疆喀什·期末）若实数 ， 满足 ，则 的值是
．
【答案】1
【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，根据非负数的性质可得
， ，据此代值计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式3】（23-24七年级下·四川广安·期中）已知，m、n是有理数，且 ，则
的算术平方根是 ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，根据几个非负数的和为0，那么这几个
数的值都为0得到 ，则 ，再求出 的值即可根据算术平方根的定义
求出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵0的算术平方根是0，
∴ 的算术平方根是0，
故答案为：0．
题型05 求算术平方根的整数部分和小数部分
【典例5】若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 ， ．
【答案】
【分析】根据 首先确定 的值，则小数部分即可确定．
【详解】解： ，，
则 ．
故答案是：3， ．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
【变式1】（20-21七年级上·山东泰安·阶段练习） 的整数部分是 ．小数部分是 ．
【答案】 3
【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为3，
∴ 的小数部分为 ；
故答案为3， ．
【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键．
【变式2】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知 的整数部分是 ，小数部分是 ，则
， ．
【答案】
【分析】根据 的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解，
本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义．
【详解】解：∵ 的整数部分是 ，小数部分是 ， ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
【变式3】已知a，b分别是 的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为 ．
【答案】 ．
【分析】先求出 介于哪两个整数之间，即可求出它的整数部分，再用 减去它的整数部分求出它的
小数部分，再代入即可.
【详解】∵9＜13＜16，
∴3＜ ＜4，
∴a=3，b= ﹣3，
∴2a﹣b=2×3﹣（ ﹣3）=6﹣ +3= ．
故答案为 ．
【点睛】此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此
题的关键.题型06 与算术平方根有关的规律探索题
【典例6】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）按要求填空：
（1）填表并观察规律：
0.0004 0.04 4 400
（2）根据你发现的规律填空：
已知： ，则 ______；
已知： ， ，则 ______．
【答案】（1）见解析；（2） ；
【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，根据解题过程找出一般规律是解题关键．
（1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可；
（2）根据计算找出规律即可得到答案．
【详解】解：（1） ， ， ， ，
填表如下：
a
（2）由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩
大或缩小10倍，
；
，
，
∵ ，
．
【变式1】（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）（1）填表并观察规律：
a 0.0064 0.64 64 6400
___________ ___________ ___________ ___________
（2）根据你发现的规律填空：
①已知 ，则 ___________；②已知 ，则 ___________．
（3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明．
【答案】（1）0.08，0.8，8，80；（2）①5800；②0.001225；（3）求一个数的算术平方根时，被开方数
扩大100倍或缩小为原来的 ，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的
【分析】本题考查算术平方根中的规律探究：
（1）根据算术平方根的定义，填表即可；
（2）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的 ，则它的算术平
方根扩大10倍或缩小为原来的 ，进行求解即可；
（3）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的 ，则它的算术平
方根扩大10倍或缩小为原来的 ，作答即可．
【详解】解：（1）填表如下：
a 0.0064 0.64 64 6400
0.08 0.8 8 80
（2）① ，则： ；
故答案为：5800；
②已知 ，则 ；
故答案为：0.001225；
（3）由表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的 ，则它的算术平方
根扩大10倍或缩小为原来的 ．
【变式2】（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题∶
a … 1 …
… x 1 y …
(1)表格中 ________， ________；
(2)从表格中探究a与 数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶
①已知 ，则 ________；
②已知 ，若 ，用含m的式子表示b，则 ________；(3)试比较 与a的大小．
【答案】(1) ， ；
(2)① ；② ；
(3)见解析
【分析】本题考查了求算术平方根及算术平方根的规律：
（1）根据算术平方根定义直接求解即可得到答案；
（2）①根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大 倍，算术平方根扩大 倍求解即可得到答案；②
根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大 倍，算术平方根扩大 倍求解即可得到答案；
（3）分 ， ， ， 四类讨论即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意得，
， ，
故答案为： ， ；
（2）解：由表格及（1）得，
被开方数扩大 倍，算术平方根扩大 倍，
①∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
②∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）解：当 时，
，
当 时，
，
当 ， 时，
．
【变式3】（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．
， ； ， ；
， ．(1)推算出 ______； ______．
(2)请用含 （ 是正整数）的式子填空：
______ ______
(3)求出 的值．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)
【分析】本题考查的是勾股定理、数字的变化规律；
（1）根据题意找出规律，根据规律解答即可；
（2）根据题意找出规律，根据规律解答即可；
（3）根据题意列出算式，根据乘方法则，加法法则计算即可．
【详解】（1）解：依题意， ， ，
故答案为： ， ．
（2）解：由题意得： ， ，
故答案为： ， ；
（3）
．题型07 求一个数的平方根
【典例7】（22-23七年级下·全国·课后作业）（1）9的平方根等于 ；（2） 的平方根是 ；
（3） 的平方根是 ．
【答案】
【分析】根据平方根的定义即可得出答案．
【详解】解： ， 的平方根等于 ；
， 的平方根等于 ；
， 的平方根等于 ．
故答案为： ； ； ．
【点睛】本题考查了平方根的定义．理解一个正数的平方根有两个，并且解题中不要漏解是本题的关键．
【变式1】（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）81的算术平方根是 ； 的平方根是
．
【答案】 9
【分析】根据求一个数的算术平方根及平方根的方法，即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴81的算术平方根是9；
∵ ， ，
∴ 的平方根是 ，
故答案为：9， ．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根及平方根，熟练掌握和运用求一个数的算术平方根及平方根的
方法是解决本题的关键．
【变式2】（22-23八年级上·河南驻马店·期中）25的算术平方根是 ， 的平方根是 ， 的平方
根是 ．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义以及平方根的定义进行计算即可．
【详解】解： ，
的算术平方根为： ；，
的平方根是 ；
,
的平方根是 ．
故答案为： ； ； ．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义与平方根的定义，理解定义是解题的关键．
【变式3】（23-24九年级下·山东淄博·阶段练习） 的算术平方根是 ； 的平方根是 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了平方根和算术平方根的定义， ，先计算出得数，再根据算术平方根的定义求解；先
计算 ，再根据平方根的定义可直接求解．
【详解】解：
3的算式平方根为 ；
， 的平方根为 ．
故答案为： ， ．
题型08 已知一个数的平方根，求这个数
【典例8】（23-24七年级下·吉林长春·期末）一个正数的两个平方根分别是 与 ，则 的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数
没有平方根．
一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，即两者相加等于零，由此可列方程，解方程即可得解．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是 和 ，
，
，
故答案为：1．
【变式1】（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果一个正数的平方根是 和 ，则这个正数是
．
【答案】49
【分析】本题考查了平方根的意义，根据正数有两个平方根，它们互为相反数，先求出a的值，再求出这个数的平方．
【详解】解：因为一个非负数的平方根互为相反数，
所以
解得
∴
．
即这个数是49．
故答案为：49．
【变式2】（23-24七年级下·陕西安康·期末）已知一个正数的两个不同的平方根是 和 ，则这个正
数是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值，从而得出这个
正数的两个平方根，即可得出这个正数，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．
【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根是 和
∴ ，
，
即这个正数的两个平方根是 ，
∴这个正数是 ，
故答案为：4．
【变式3】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如果一个数的平方根是 和 ，则 的值为 ，
这个数为 ．
【答案】 49
【分析】本题考查了平方根的定义，根据一个正数的平方根互为相反数，可得出 的值，再代入即可得出
这个数．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
【详解】解：∵一个数的平方根是 和 ，
∴ ，
解得 ，
把 代入 ，故这个数为49，
故答案为： ，49．
【变式4】（23-24七年级下·山东德州·期中）已知 的平方根是 ， 的算术平方根是 ，则
的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了根据平方根，算术平方根的知识进行计算求解等知识．先根据题意得到
，求出 ，即可求出 ．
【详解】解：∵ 的平方根是 ， 的算术平方根是 ，∴ ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：3
题型09 求代数式的平方根
【典例9】（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知 与 互为相反数，求 的平方根．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是
解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
则当 与 互为相反数时，
只能是 ，
解得： ，
∴ ，
∴其平方根为 ．
【变式1】（23-24七年级下·福建莆田·阶段练习）一个正数b的平方根是 与 ，
(1)求a和b的值．
(2)求 平方根．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题主要考查平方根：
（1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出a的值，再根据平方根求出b的值；
（2）将（1）中结果代入 ，再计算平方根即可．
【详解】（1）解：∵正数b的平方根是 与 ，
∴ ，
∴ ．
∴ ， ，
∵9的个平方根是 ，
∴ ；（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 平方根是 ．
【变式2】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知 的算术平方根是5， 的平方根是 ，c是
的整数部分，求 的平方根．
【答案】
【分析】根据算术平方根及平方根确定 ， ，再由估算算术平方根的整数部分确定 ，将其代
入代数式，然后计算平方根即可．
【详解】解： 的算术平方根是5，
，
解得： ．
∵ 的平方根是 ，
，
解得： ．
是 的整数部分，而 ，
，
，
的平方根为 ．
【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练
掌握这些基本运算是解题关键．
【变式3】（22-23七年级下·陕西安康·期中）一个正数 的两个不同的平方根分别是 和 ．
(1)求 和 的值．
(2)求 的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键．
（1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案；
（2）由（1）中 ，代入 ，利用平方根定义求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵一个正数 的两个不同的平方根分别是 和 ，
∴ ，解得 ，∴ ；
（2）解：将 代入 中，
得 ，
∵ 的平方根为 ，
∴ 的平方根为 ．
题型10 利用平方根的定义解方程
【典例10】 （23-24七年级下·全国·假期作业）求下列各式中 的值．
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
(4) 或
【分析】本题考查了平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先系数化1，再开平方根，即可作答．
（2）开平方根，然后再移项运算，即可作答．
（3）先系数化1，再开平方根，即可作答．
（4）先系数化1，再开平方根，移项运算，即可作答．
【详解】（1）解：
解得
（2）解：
解得 或 ；
（3）解：
解得（4）解：
解得 或 ．
【变式1】（23-24七年级下·河南安阳·期中）求下列各式中x的值．
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了利用平方根解方程，正确掌握平方根的定义是解题的关键．
（1）先方程两边同时除以2，再开平方，即可作答．
（2）先移项，再开平方，即可作答．
【详解】（1）解： ，
，
解得 ；
（2）解： ，
，
∴ ．
【变式2】（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知一个正数的两个平方根是 与 ．
(1)求a的值；
(2)求关于x的方程 的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了平方根的性质；
（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数列式求解即可；
（2）根据平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是 与 ，
∴ ，解得： ．
（2）解：当 时， ，即 ，
解得： ．
【变式3】（23-24七年级下·北京·期中）已知正实数 的两个平方根分别是 和 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个
平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（1）先根据平方根的定义，得 ，再化简即可；
（2）根据平方根的定义，得 ，代入 ，再利用平方根的定义解方程即
可．
【详解】（1）解：正实数 的两个平方根分别是 和 ，
，
，
若 ，则 ；
（2）解： 正实数 的两个平方根分别是 和 ，
，
，
，即 ，
，
是正实数，即 ，
．一、单选题
1．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）下列实数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据无理数的定义判断即可．本题考查了无理数即无限不循环小数，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】A. 是有理数，不符合题意；
B. 是有理数，不符合题意；
C. 是有理数，不符合题意；
D. 是无理数，符合题意；
故选D．
2．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义，即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
3．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）下列说法正确的是（ ）
A．7是49的算术平方根 B． 是16的算术平方根
C． 是 的算术平方根 D．0.01是0.1的平方根
【答案】A
【分析】本题考查平方根与算术平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题
根据算术平方根和平方根的意义，逐项判断即可．
【详解】解：A、7是49的算术平方根，正确，故此选项符合题意；
B、 是16的平方根，4是16的算术平方根，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、 是 的平方根，6是 的算术平方根，原说法错误，故此选项不符合题意；D、0.01是0.1的算术平方根，原说法错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
4．（23-24七年级下·广东广州·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为16时，输出的y
是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】把 代入数值转换器中计算确定出 即可．此题考查算术平方根、无理数，弄清数值转换器
中的运算是解本题的关键．
【详解】解：由题中所给的程序可知：把16取算术平方根，结果为4，
∵4是有理数，
∴把4取算术平方根，结果为2，
∵2是有理数，
∴把2取算术平方根，结果为 ，
∵结果 为无理数，
∴ ．
故选：D．
5．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）将一组数 …按以下方式进行排列：
第一行
第二行 2
第三行
… ……
则第八行左起第1个数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从
而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．
【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，
归纳类推得：第七行共有 个数，
则第八行左起第1个数是 ，
故选：C．二、填空题
6．（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）81的算术平方根是 ，81的平方根是 ，
的算术平方根是 ．
【答案】 9 3
【分析】根据算术平方根的定义，立方根的定义，开平方计算与平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：81的算术平方根是9，
81的平方根是 ，
，9的算术平方根是3．
故答案为：9， ，3．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，立方根的定义，开平方计算与平方根的定义，理解定义是解题的
关键．
7．（23-24九年级下·陕西商洛·阶段练习）在实数∶ 中，无理数有 个．
【答案】2
【分析】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案．
【详解】解：0， 是整数， 是分数，它们不是无理数； ， 是无限不循环小数，是无理数，
共2个．
故答案为：2．
8．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果一个正数的两个平方根分别是 和 ，则这个正
数为 ；
【答案】9
【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，根据正数有两个不同的平
方根是互为相反数列式求解即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是 和 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴这个正数为 ．
故答案为：9．
9．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）如果 ，则 的算术平方根为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，根据几个非负数的和为0，那么这几个
非负数的值都为0得到 ，进而得到 ，再根据算术平方根的定义求解即可．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的算术平方根是 ，
∴ 的算术平方根为 ，
故答案为： ．
10．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）观察下列各式：① ，② ，③
，……，根据以上规律，写出第10个等式： ．
【答案】
【分析】本题考查的是数字的变化规律和算术平方根，根据上述等式找出一般规律是解题的关键．
根据上述等式，得出一般规律：第 个等式为 ，即可得出第10个等式．
【详解】解：根据上述等式，得出一般规律：第 个等式为 ，
第10个等式： ，
故答案为： ．
三、解答题
11．（23-24七年级下·新疆喀什·阶段练习）分求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】本题考查了利用算术平方根和平方根的定义化简，熟练掌握概念是解决此题的关键．
根据算术平方根和平方根的定义进行化简即可．
（1）根据平方根的定义即可得；
（2）根据算术平方根的定义即可得；
（3）根据算术平方根的相反数定义即可得；
【详解】（1）∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ．
12．（23-24七年级下·福建厦门·阶段练习）求下列各式中x的值．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) ，
【分析】本题考查了利用平方根解方程：
（1）根据平方根定义即可求解；
（2）移项后，根据平方根定义即可求解；
（3）化系数为1后，根据平方根定义即可求解；
（4）移项后，根据平方根定义即可求解；
熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
．
（2）移项，得： ,．
（3）整理得： ，
．
（4）移项，得： ，
，
， ．
13．（23-24七年级下·甘肃庆阳·期中）已知正数x的平方根分别是 和 ，且 ．
(1)求x的值；
(2)求 的算术平方根．
【答案】(1)49
(2)3
【分析】本题主要考查了平方根与算术平方根，熟记定义与性质是解题的关键．
（1）根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，列出方程求得a的值，从而即可求得x的值；
（2）根据算术平方根的定义求得b，再根据算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：依题意得： ，
解得： ，
；
（2） ，
，
，
，
∴9的算术平方根为3．
14．（22-23七年级上·浙江·期中）①3.14159，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦ ，
⑧1.232232223…（每两个3之间依次多一个2）
(1)整数集合：{ …}；
(2)分数集合：{ …}；
(3)无理数集合：{ …}．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．【分析】（1）根据有理数的分类分析即可得解；
（2）根据有理数的分类分析即可得解；
（3）根据有理数和无理数的特征分析即可得解．
【详解】（1）解： ， ，
∴整数集合：{ ， ，…}；
（2）解：分数有：①3.14159，③ ，⑥ ，
分数集合：{3.14159， ， ，…}；
（3）解：无理数有：② ，⑦ ，⑧1.232232223…（每两个3之间依次多一个2），
∴无理数集合：{ ， ，1.232232223…（每两个3之间依次多一个2），…}．
【点睛】本题考查有理数的分类和无理数的定义，解题的关键是掌握有理数的分类．
15．（23-24七年级下·重庆梁平·期末）（1）观察发现：
1000
… 0.0001 0.01 1 100 …
0
… 0.01 x 1 y 100 …
表格中 ， ．
（2）归纳总结：
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位．
（3）规律运用：
①已知 ，则 ______；
②已知 ，则m＝______．
【答案】（1）0.1；10 （2）右；1 （3）① ②25
【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题：
（1）直接计算即可；
（2）观察（1）中表格数据，找出规律；
（3）利用（2）中找出的规律求解．
【详解】解：（1） ， ，
故答案为： ，10；
（2）由表格中的数据可知被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．
故答案为：右，1；
（3）①已知 ，则 ，②已知 ， ，则 ，
∴
故答案为：①22.4；②25．
16．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，这是一个无理数筛选器的工作流程图．
(1)当 时， ____；当 时， ____．
(2)当输入 的值小于100，且输出y的值是 时，输入 的值可以是______．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查流程图，涉及算术平方根定义与运算、无理数概念等知识，看懂流程图，熟练掌握算术
平方根运算是解决问题的关键．
（1）按照无理数筛选器的工作流程图，代值运算即可得到答案；
（2）按照无理数筛选器的工作流程图，逆运算即可得到答案．
【详解】（1）解：当 时，取算术平方根得 ，是有理数；当 时，取算术平方根得 ，
是无理数；则 ；
当 时，取算术平方根得 ，是有理数；当 时，取算术平方根得 ，是有理数；当
时，取算术平方根得 ，是无理数；则 ；
故答案为： ；
（2）解：根据无理数筛选器的工作流程图，逆运算如下：
当输出y的值是 时，则 ； ； ；
输入 的值可以是 ，
故答案为： ．
17．（23-24七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点
B，点A表示的数为 ，设点B表示的数为m．
(1)实数m的值是______；
(2)求 的值；
(3)在数轴上还有 两点分别表示实数c和d，且有 与 互为相反数，求 的平方根．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据数轴上两点之间距离求解即可．
（2）根据绝对值的意义化简绝对值，再进行减法运算即可．
（3）根据相反数的定义以及非负数的性质得到c，d的值，代入代数式求值，再求平方根即可得出答案．
【详解】（1）解：点B表示的数为m为： ，
故答案为： ．
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
（3）∵ 与 互为相反数，
∴ ，
又 ， 均为非负数，
∴ 且 ，
即 ， ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，实数的运算，相反数的定义，绝对值的
非负性，代数式求值，以及求一个数的平方根，掌握这些定义以及性质是解题的关键．
18．（23-24七年级下·江西宜春·期末）【课本再现】
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 ，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为 ；0的算
术平方根是0，即 ．所以被开方数a为非负数．
【探究新知】
（1）若 ，则a的取值范围是________．
【知识应用】
（2）若 ，求 的值．
【拓展应用】（3）若 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；
【分析】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用，二元一次方程组的解法；
（1）根据被开方数为非负数可得答案；
（2）根据非负数的性质可得 ，再解方程组，最后代入计算即可；
（3）由被开方数为非负数，可把原式化为 ，再结合算术平方根的含义可得答案．
【详解】解：（1） ，则a的取值范围是 ；
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
