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第 02 讲 一元一次不等式及与一次函数(9 类热点题型讲练)
1.经历一元一次不等式概念的形成过程.
2.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集.
3.初步认识一元一次不等式的应用价值，发展学生分析问题、解决问题的能力；初步感知实际问题对不等
式解集的影响，积累利用一元一次不等式解决简单实际问题的经验.
4.应用一元一次不等式解决实际问题.
知识点01 一元一次不等式的定义
（1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不
等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也
有联系，即一元一次不等是属于不等式．
知识点02 解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类
项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等
号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
知识点03 一元一次不等式的整数解解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的
条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非
常容易的解决问题．
知识点04 由实际问题抽象出一元一次不等式
用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负
数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
知识点05 一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题
的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等
关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
知识点06 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集
(1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合.
(2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合.
(3)一元一次不等式kx+b>kx+b 的解集，一次函数y=kx+b 图象在一次函数y=kx+b 图象上方的点的横
1 1 2 2 1 1 2 2
坐标所组成的集合.
(4)一元一次不等式kx+b<kx+b 的解集，一次函数y=kx+b 图象在一次函数y=kx+b 图象下方的点的横
1 1 2 2 1 1 2 2
坐标所组成的集合.
题型01 一元一次不等式的识别
【例题】（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）下列各式：① ；② ；③ ；④
；⑤ ．其中是一元一次不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练】
1．（2023上·江苏苏州·七年级苏州草桥中学校考阶段练习）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．2．（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ．其中是一元一次不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型02 利用一元一次不等式的定义
【例题】（2023·全国·九年级专题练习）已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝
．
【变式训练】
1．（2023下·广西河池·七年级统考期末）如果 是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解
集是 ．
2．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）若 是关于 的一元一次不等式，则
的值为 ．
题型03 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集
【例题】（2023下·七年级课时练习）解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1) ； (2) ．
【变式训练】
1．（2024下·全国·七年级假期作业）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1) ； (2) ．
2．（2023下·七年级课时练习）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来：
(1) ； (2) ； (3) ．
题型04 求一元一次不等式的整数解
【例题】（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）解不等式 ，并写出其非负整数解．【变式训练】
1．（2023上·江苏苏州·七年级校考阶段练习）解不等式： ，并求出最小整数解．
2．（2023上·浙江·八年级专题练习）求不等式 的非负整数解．
题型05 解|x|≥a型的不等式
【例题】（2023下·河南鹤壁·七年级统考期中）先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题．
例：解绝对值方程： ．
解：分情况讨论：①当 时，原方程可化为 ，解得 ；
②当 时，原方程可化为 ，解得 ．
所以原方程的解为 或 ．
根据材料，解下列绝对值方程：
(1)理解应用： ；
(2)拓展应用：不等式 的解集为______．
【变式训练】
1．（2021下·七年级课时练习）解下列不等式：
（1）
（2）
2．（2020上·重庆·七年级重庆市渝北中学校校考阶段练习）阅读：我们知道， 于是要解不
等式 ，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以
下解法：
解：（1）当 ，即 时：
解这个不等式，得：由条件 ，有：
（2）当 ，即 时，
解这个不等式，得：
由条件 ，有：
∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为
根据以上思想，请探究完成下列2个小题：
（1） ；
（2） ．
题型06 列一元一次不等式
【例题】（2023上·浙江衢州·八年级衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）校考期末）
根据数量关系列不等式： 与 的 倍的和是负数 ．
【变式训练】
1．（2023上·黑龙江大庆·八年级校联考阶段练习）一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4
分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），设小明答对了n道
题，则根据题意可列不等式： ．
2．（2023下·四川成都·八年级校考期末）今年植树节时，小川同学在学校花园栽种了一棵树，此树的树围
（树干的周长）为 ，已知以后此树树围每年增长 ，若生长x年后此树树围超过 ，则x满足的
不等式为 ．
题型07 用一元一次不等式的解决实际问题
【例题】（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习） 中计划购买排球、篮球，
已知购买1个排球与1个篮球的总费用为 元；3个排球与2个篮球的总费用为 元．
(1)求购买1个排球、1个篮球的费用分别是多少元？
(2)若该学校计划购买此类排球和篮球共 个，且该学校购买排球和篮球的总费用不超过 元，求至少
需要购买多少个排球？
【变式训练】
1．（2023下·七年级课时练习）甲、乙两厂家生产的课桌和座椅的质量、价格一致，每张课桌200元，每
把椅子50元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲：买一张课桌送1把椅子；乙：课桌和椅子全部按原价的9折优惠．现某学校要购买60张课桌和 把椅子，则什么情况下该学校到甲工厂购买更
合算？
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）某中学计划为生物兴趣小组购买大、小两种显微镜，若
购买1个大显微镜和3个小显微镜需用 元；若购买2个大显微镜和1个小显微镜需用 元．
(1)求每个大显微镜和每个小显微镜各多少元；
(2)学校决定购买以上两种显微镜共30个，总费用不超过 元，那么该中学最少可以购买多少个小显微
镜？
题型08 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【例题】（2023上·江苏徐州·八年级校考阶段练习）已知一次函数 的图象（如图），当 时，y
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023下·吉林长春·八年级期中）在平面直角坐标系中，若一次函数 的图像如图所示，
则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·上海杨浦·八年级统考期末）如图，一次函数 的图象经过 、 ．则当时， 的取值范围是 ．
题型09 根据两条直线的交点求不等式的解集
【例题】（2023下·湖北十堰·八年级统考期末）如图，已知直线 与直线 相交于点
，则关于 的不等式 的解集为 ．
【变式训练】
1．（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，直线 ： 与直线 ： 交于
点 ，则不等式 的解集为 ．
2．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，经过点 ， ，则不
等式 的解集为 ．
3．（2023下·安徽宿州·八年级校考期中）如图，根据图中信息解答下列问题：(1)求关于 的不等式 的解集；
(2)当 时，求 的取值范围；
(3)当 时，求 的取值范围．
一、单选题
1．（2023上·浙江·八年级校联考期末）一个不等式的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是（
）
A． B． C． D．
2．（2023下·全国·七年级专题练习）下列式子：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ，其中一元一次不等式有（ ）
个．
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·四川眉山·七年级校考期中）如果关于 的不等式 的解集为 ，那么
的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件的为（
）
A． B．
C． D．
6．（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级兵团二中校考期末）如图，在平面直角坐标系中，若直线 与
直线 相交于点P，则下列结论错误的是（ ）
A．方程 的解是
B．不等式 和不等式 的解集相同
C．不等式组 的解集是
D．方程组 ，的解是
二、填空题
7．（2023上·浙江衢州·八年级统考期中）用不等式表示：x与2的和大于6，则这个不等式是 ．
8．（2023上·江苏·八年级校考周测）一次函数 中，y随x的增大而减小，则m的取值范围为
．
9．（2023上·浙江宁波·八年级校考阶段练习）关于x的不等式 的解集如图所示，则a的值是
．
10．（2023下·重庆江津·七年级统考期末）已知 是关于x的一元一次不等式，则 ．
11．（2023上·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）一次函数 与 的图
象如图所示，则关于x的不等式 的解集为 ．
12．（2023上·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考期中）若三角形的三边长分别是 ，且 是不等式 的正偶数解，则该三角形的周长为 ．
三、解答题
13．（2023下·陕西榆林·八年级校考期中）解不等式 ，并写出它的所有非负整数解．
14．（2023下·河南漯河·七年级统考期末）解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来．
15．（2023下·浙江·九年级校联考阶段练习）小英解不等式 的过程如下，其中有一个步骤
出现错误，并写出正确的解答过程．
解：去分母得： ；①，
去括号得： ；②，
移项得： ；③，
合并同类项得： ；④，
两边都除以 得： ；⑤．
16．（2023上·安徽合肥·八年级合肥市五十中学西校校考期中）画出函数 的图象，结合图象：（1）求方程 的解；
（2）求不等式 的解集；
（3）若 ，直接写出 的取值范围．
17．（2023上·甘肃兰州·八年级校考期中）已知函数 ，
(1)当m为何值时，该函数图象经过原点；
(2)若该函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围；
(3)若该函数图象经过一、二、四象限，求m的取值范围．
18．（2023下·辽宁营口·七年级统考期末）某学校准备购买若干台 型电脑和 型打印机．如果购买一台
型电脑， 台 型打印机，一共需要花费 元；如果购买 台 型电脑， 台 型打印机，一共需要花
费 元．
(1)求每台 型电脑和每台 型打印机的价格分别是多少元？
(2)如果学校购买 型电脑和 型打印机的预算费用不超过 元，并且购买 型打印机的台数要比购买
型电脑的台数多 台，那么该学校至多能购买多少台 型打印机？
19．（2023下·上海·六年级上海市进才实验中学校考期中）阅读理解： 表示5与 之差的绝对值，实际上也可理解为5与 两数在数轴上所对的两点之间的距离．
例1. 解方程 ，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为 ，所以方程 的解为 ；
例2. 解不等式 ，在数轴上找出 的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2
的点对应的数为 或3，所以方程 的解为 或 ，因此不等式 的解集为 或
．
参考阅读材料，解答下列问题：
(1) 的解为____________；
(2)找出所有符合条件的整数 ，使得 ，这样的整数是____________；
(3)不等式 的解集为____________．
