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第二章核心考点突破训练（93 题 150 页）
考点1：函数图象与式子符号、数值的判定
典例：（2022·山东滨州·九年级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，它与x轴的两交点的横坐标分别
是－1，5．对于下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的根是x＝－1，x＝5；③9a－3b＋c＜0；④
1 2
当x＜2时，y随着x的增大而增大．
其中正确的结论是_________（填写结论的序号）．
解：∵抛物线开口向下、顶点在y轴右侧、抛物线与y轴交于正半轴，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两交点的横坐标分别是-1，5．
∴方程ax2+bx+c=0的根是x=-1，x=5，故②正确；
1 2
∵当x=-3时，y＜0，
∴9a-3b+c＜0，故③正确；∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两交点的横坐标分别是-1，5，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵抛物线开口向下，
∴当x＜2时，y随着x的增大而增大，故④正确；
故答案为：②③④．
巩固练习
1．（2022·河北保定·九年级期末）二次函数 的图象如图所示， ，则下列判断正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线开口方向、对称轴和与y轴交点位置确定a、b、c的取值范围，结合函数图象，当x=1时，函
数值为负，求得a+b+c<0，从而求解．
【详解】
解：观察图象得：抛物线开口向下，
∴ ，故A选项错误，不符合题意；
抛物线的对称轴 ，
∴ ，故B选项错误，不符合题意；
抛物线与y轴交于正半轴，
∴ ，故C选项错误，不符合题意；∵ ，
∴当 时， ，故D选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
2．（2022·重庆巴蜀中学八年级期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)、B(3，0)两点，与
y轴交于点C，下列结论不正确的是（ ）
A．abc＞0 B．2a+b＝0 C．3a+c＞0 D．4a+2b+c＜0
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线
与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：由图像可得，a＞0，c＜0， ，
，
∴abc＞0，故选项A正确，不合题意；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴﹣ ＝ ＝1，得b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故选项B正确，不合题意；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a+2a+c＝3a+c＝0，故选项C不正确，符合题意；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故选项D正确，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图像与二次函数系数之间的关系，解题的关键是熟知二次函数的图像及其性质．
3．（2021·四川绵阳·二模）一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐
标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜m
B．当x≥0时，ax2+2ax+c≤c
C．若（﹣ ，y）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y＜c
1 1
D．﹣ac+bk＞0
【答案】C
【解析】
【分析】
A选项将ax2＋2ax−b＞kx−c，移项可得，ax2＋2ax＋c＞kx＋b，根据图象求解判断为对；
B选项当x≥0时，抛物线最高点（即ax2＋2ax−b的最大值）为抛物线与y的交点，此点为（0，c），即可
求解判断为对；
C选项抛物线的对称轴是直线x＝ ＝−1，所以在抛物线上与点（0，c）关于对称轴x＝−1对称的点是
（−2，c），但是 ，所以，y＞c，可判断为错；
1
D选项因为抛物线开口向下，且与y轴交点在正半轴，所以，a＜0，c＞0，因为直线经过二、四象限，且
与y轴交于负半轴，所以k＜0，b＜0，即可判断为对．
【详解】
解：A.对于ax2+2ax﹣b＞kx﹣c，移项可得，ax2+2ax+c＞kx+b，对应于图中即是抛物线在直线上方的部分，
有图可知，两个曲线交点的x坐标为x＝n和x＝m，所以，n＜x＜m，故A正确；
B.当x≥0时，抛物线最高点（即ax2+2ax﹣b的最大值）为抛物线与y的交点，此点为（0，c），
∴当x≥0时，ax2+2ax+c≤c，故B正确；C.在抛物线中，由对称轴公式可知，抛物线的对称轴是x＝ ＝﹣1，
∴在抛物线上与点（0，c）关于对称轴x＝﹣1对称的点是（﹣2，c），
∵﹣2＜﹣ ＜﹣1，
∴y＞c，故C错误；
1
D.∵抛物线开口向下，且与y轴交点在正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵直线经过二、四象限，且与y轴交于负半轴，
∴k＜0，b＜0，
∴﹣ac+bk＞0，故D正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与不等式，二次函数图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数图象与系数
关系以及结合不等式运算是解决问题的关键．
4．（2022·河南平顶山·九年级期末）二次函数 （a，b，c是常数， ）的自变量x与函
数值y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 …
… t m n …
且当 时，其对应的函数值 ．有下列结论：
① ；② 和3是关于x的方程 的两个根；③对称轴为 ；④ ；其
中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用待定系数法将点 ， 代入解析式求出 ， ，再结合二次函数图象与已知信息当
时， 得出 ，进而判断①结论；根据二次函数对称轴 进而判断③结论；由二次函数的轴对称性进而判断②结论；利用待定系数法将点 ， 代入解析式得出 ，再由
判断④结论．
【详解】
二次函数 （a，b，c是常数， ），
当 时， ，
当 时， ，
．
当 时，其对应的函数值 ，
二次函数开口向下， ．
， ， ，
．（①结论符合题意）
时， ，
是关于x的方程 的根．
对称轴 ， ，（③结论不符合题意）
和3是关于x的方程 的两个根．（②结论符合题意）
时， ，
时， ，
．
．（④结论不符合题意）
正确的结论有2个．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质与图象的理解与综合运用能力．二次函数 的图象是抛物线，抛物
线是轴对称图形．对称轴 ．二次项系数 决定抛物线的开口方向与大小．如果 ，当
时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大．如果 ，当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小．灵活运用二次函数的性质与图象对每个结论依次分析是解
本题的关键．
5．（2022·湖北荆门·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣
2）和点（x，y），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞
0 0
4b；④若 ＞﹣4，则 ＞c．其中正确结论的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）且c＞0，即可判断开口向
下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物线的对称
性以及二次函数的性质即可判断④．
【详解】
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c＞0，
∴抛物线开口向下，则a＜0，故①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，
∴函数的最大值为4a﹣2b+c，
∴对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②错误；
∵对称轴为x＝﹣2，c＞0．
∴当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0，
∴16a+c＞4b，故③正确；
∵对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），
∵抛物线开口向下，
∴若-4< <0，则 ＞c．若 ≥0，则 ≤c，故④错误；
故选：B
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的
性质．6．（2022·云南红河·九年级期末）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结
论：①abc＞0；②2a＋b＜0；③a﹣b＋c＞0；④9a＋3b＋c＜0，其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．②③
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线开口向上，得到a＞0，再由对称轴在y轴右侧，得到a，b异号，得到b＜0，由抛物线与y轴交
于负半轴，得到c＜0，据此判断①正确；由对称轴为直线x＝1，利用对称轴公式得到b＝﹣2a，可判断②
错误；根据图象可知，当x＝﹣1时，y＞0，，代入解析式解答，可判断③正确；由抛物线对称轴x＝1，且
x＝3与x＝﹣1时函数值相等，求出当x＝﹣1时，对应的函数值小于0，可判断④错误．
【详解】
解：由抛物线的开口向上，得到a＞0，
∵﹣ ＞0，
∴b＜0，
由抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，
∴abc＞0，选项①正确；
∵对称轴为直线x＝1，
∴﹣ ＝1，即b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，选项②错误；
根据图象知，当x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0．选项③正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴x＝3与x＝﹣1时函数值相等，又∵x＝﹣1时，y＞0，
∴x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，选项④错误；
则其中正确的选项有①③．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
7．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，二次函数 的图象关于直线 对称，与x轴交于
， 两点，若 ，则下列四个结论：① ，② ，③ ，
④ ．
正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点已经
x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a－b＋c＜0，即
可判断④．
【详解】
∵对称轴为直线x=1，-2 0，根据题意可知x=-1时，y<0，
∴a－b＋c<0，
∴a＋c a+ c，
∴b2＞a＋c＋4ac，③正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴a＞0，c<0，
∴a>c，
∵a-b＋c<0，b=-2a，
∴3a+c<0，
∴c<-3a，
∴b=–2a，
∴b＞c，以④错误；
故选B
【点睛】
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函
数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．
8．（2022·云南红河·九年级期末）如图，已知抛物线 的对称轴为 ，且其与x轴的一
个交点坐标为 ，其部分图象如图所示，下列结论：① ；② ；③方程
的两个根是 ， ；④ ；⑤当 时，y随x的增大而增大；⑥抛物线上有三点 ，， ，则 ．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对称性求得抛物线与 轴的另一个交点为 ，可得 ，即可判断①③，根据抛物线与 轴有2
个不同交点可得 ；根据 时，可得 ，根据对称轴为直线 ，则 时，
y随x的增大而增大；根据离对称轴越远函数值越大，比较三点 ， ， 与 的距离即
可求解．
【详解】
解： 已知抛物线 的对称轴为直线 ，且其与x轴的一个交点坐标为 ，则抛物线
与 轴的另一个交点为 ，
即
，故①不正确，③正确；
∵抛物线与 轴有2个不同交点；
∴ ，故②正确；
∵ 时，可得 ，故④不正确
∵抛物线对称轴为直线 ，开口向上，
∴ 时，y随x的增大而增大；故⑤不正确
抛物线上有三点 ， ， ，对称轴为 ，
又．
故⑥正确，
故正确的有②③⑥．
故选B．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛
物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
9．（2022·重庆铜梁·一模）如图，抛物线 的对称轴是直线 ，且抛物线经过点 ．
下面给出了四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中结论正确的是
（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与 轴交点位置可判断①，由图像可得 ，再由
， 可得 ，从而判断②，由抛物线经过 可得 ，从而可得
与 的关系，进而判断③④．
【详解】
抛物线开口向下，
，抛物线对称轴为直线 ，
，
抛物线与 轴交点在 轴上方，
，
，①正确．
时 ，抛物线对称轴为直线 ，
时， ，
， ，
，②正确．
抛物线经过 ，
，
，
，
，③错误．
，
，
，④正确．
故选： ．
【点睛】
本题考查二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系是解题
的关键．
10．（2022·河南南阳·九年级期末）如图，抛物线 与 轴交于点C，其中点B的坐标为
，抛物线的对称轴交 轴于点D， ，并与抛物线的对称轴交于点E．下列结论：① ；
② ；③ ；④ ．其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
①根据抛物线开口方向即可判断；②根据对称轴在y轴右侧即可判断b的取值范围；③根据抛物线与x轴
的交点坐标与对称轴即可判断；④根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴可得AD=BD，再根据CE∥AB，
即可得结论．
【详解】
解：①观察图象开口向下，
∴a＜0，故①错误；
②对称轴在y轴右侧，则
∵
∴b＞0，故②正确；
③因为抛物线与x轴的一个交点B的坐标为（4，0），对称轴在y轴右侧，
∴当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故③错误；
④∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，
∴AD=BD，
∵CE∥AB，
∴四边形ODEC为矩形，
∴CE=OD，
∴AD+CE=BD+OD=OB=4，
所以④正确．
综上：②④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是综合运用二次函数图象上点的坐标特征、抛物
线与x轴的交点进行计算．
11．（2022·河北唐山·九年级期末）如图，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，得出了下面四条信
息：
①c＞0；
②b2﹣4ac＞0；
③a＋b＋c＜0；
④对于图象上的两点（﹣5，m）、（1，n），有m＜n．
其中正确信息的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线与y轴交点在x轴上方可判断①，由抛物线与x轴交点个数可判断②，由图象可得x=1时y＞0可
判断③，根据（-5，m）、（1，n）与对称轴的距离可判断④．
【详解】
解：∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，①正确．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2-4ac＞0，②正确．
由图象可得x=1时y＞0，
∴a+b+c＞0，③错误．
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=-3，且1-（-3）＞-3-（-5），
∴n＞m，④正确．故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的
关系．
12．（2021·广东梅州·九年级期末）如图，二次函数 的图象开口向上，图象经过点（－1，
2）和（1，0）且与y轴交于负半轴，下列四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋b＋c＝0；④a＞1．
其中正确的有________．（填序号）
【答案】②③④
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物
线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：观察图象得：抛物线开口向上，对称轴 ，且与y轴交于负半轴，
∴ ，
∴ ，
∴abc＞0，故①错误；
观察图象得： ， ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
观察图象得：当时x=1时，y=0，
∴a＋b＋c＝0，故③正确；
∵图象经过点（－1，2）和（1，0），
∴a＋b＋c＝0，a-b＋c＝2，∴2a+2c=2，即a=-c+1，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴a＞1，故④正确；
∴正确的有②③④．
故答案为：②③④
【点睛】
本题考查二次函数的图象与系数的关系，综合应用相关知识分析问题、解决问题的能力是关键．
13．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，二次函数 的图象经过点 、点 、点
，若点 是抛物线上任意一点，有下列结论：① ；② ；③二次函数
的最小值为 ；④若 ，则 ；⑤一元二次方程 的两个根为 和
．其中正确结论的是______ 填序号 ．
【答案】①③⑤
【解析】
【分析】
由抛物线的对称轴的位置判断 的符号，由抛物线与 轴的交点判断 的符号即可对 进行判断；利用
图象即可判断 ；利用交点式写出抛物线解析式为 ，配成顶点式得 ，则
可对 进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对 进行判断；由于 ， ，则方程
化为 ，然后解方程可对 进行判断．
【详解】
解：①：由图象可得， ， ， ，，所以 正确；
②：当 时， ，所以 错误；
③ 二次函数 的图象经过点 、点 ，
抛物线解析式为 ，即 ，
，
当 时，二次函数有最小值 ，所以 正确；
④ 点 关于直线 的对称点为 ，
当 ，则 或 ，所以 错误；
⑤ ， ，
方程 化为 ，
整理得 ，解得 ， ，所以 正确．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练地掌握二次函数的增减性和对称性，会结合图像以及运用交
点式和顶点式分析二次函数的性质是解题的关键．
考点2：二次函数的图像平移问题
典例：（2022·云南红河·九年级期末）已知二次函数图象的顶点坐标为 ，且经过点 ．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)直接写出将该函数图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得抛物线的解析式．
解：（1）由题意，设二次函数的解析式为y=a（x－1）2+9，将（－1，5）代入，得：5=a（－1－1）2+9，
解得：a=－1，∴此二次函数的解析式为y=－（x－1）2+9或y=－x2+2x+8；
（2）解：将该函数图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为y=－
（x－1－1）2+9+2=－（x－2）2+11或y=－x2+4x+7．
巩固练习
1．（2022·河北邯郸·九年级期末）抛物线的函数表达式为 时，若将y轴向上平移2个单位长度，将x轴向右平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将y轴和x轴进行平移，则相对于坐标轴抛物线相当于在向相反方向平移，再根据二次函数图象的平移规
律“上加下减，左加右减”即可得出答案．
【详解】
解：∵将y轴向上平移2个单位长度，x轴向右平移3个单位长度，
∴抛物线向下平移2个单位长度，向左平移3个单位长度，
∴该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为 ；
整理得： ，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象得平移规律，熟练地掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键；注意题目
中是将y轴和x轴进行的平移，则函数图象相对于坐标轴是在向相反方向平移．
2．（2022·河北邢台·九年级期末）怎么样才能由 的图像经过平移得到函数 的图像呢？
小亮说：先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度；
小丽说：先向上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度．
对于上述两种说法，正确的是（ ）
A．小亮对 B．小丽对
C．小亮、小丽都对 D．小亮、小丽都不对
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：小亮：由y=2x2的图象先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度后得到抛物线解析式为：
y=2（x+6）2+7，则小亮说法错误；
小丽：由y=2x2的图象先向上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到抛物线解析式为：y=2
（x-6）2+7，则小丽说法正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
3．（2022·江西赣州·九年级期末）将抛物线y＝x2向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，
得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x＋3）2＋1 B．y＝（x﹣3）2＋1 C．y＝（x＋3）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可解题．
【详解】
解：按照“左加右减，上加下减”的规律，
将抛物线y=x2向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，
得到的抛物线的解析式为y=（x+3）2+1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
4．（2022·福建·福州三牧中学八年级期末）将抛物线y＝（x+2）2﹣3先向右平移1个单位长度，再向下平
移2个单位长度后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2﹣5 B．y＝（x+3）2﹣1 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣5
【答案】D
【解析】
【分析】
先得到抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），再利用点的平移规律得到点（-2，-3）平移后
对应点的坐标为（-1，-5），然后根据顶点式写出平移的抛物线解析式．
【详解】
解：抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），把（﹣2，﹣3）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到对应点的坐标为（﹣1，﹣5），所以平移后抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣5．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题
关键．
5．（2021·海南省直辖县级单位·九年级期中）将抛物线 向左平移1个单位，所得新抛物线的表达
式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次函数平移时“左加右减”即可得到答案．
【详解】
解： 将抛物线 向左平移1个单位，
抛物线的解析式为 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象的平移，熟练掌握二次函数的平移规则是解题的关键，二次函数平移规则：左
加右减，上加下减．
6．（2022·河南驻马店·九年级期末）要由抛物线y＝2x2得到抛物线y＝2（x﹣1）2+3，则抛物线y＝2x2必
须( )
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
【答案】B
【解析】
【分析】
由x到x-1是函数图像向右平移1个单位，在函数末尾+3是函数图像向上平移3个单位
【详解】解：函数中的由x到x-1是函数图像向右平移1个单位，
在函数末尾+3是函数图像向上平移3个单位
故选B
【点睛】
本题考查二次函数的平移问题，记住左加右减，上加下减是本题关键．
7．（2022·浙江·九年级专题练习）将二次函数y＝ 的图象先向下平移2个单位，再把所得图象以原点
为中心，旋转180°，所得图象的表达式正确的是（ ）
A．y＝﹣3x2﹣2 B．y＝3x2＋2 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数平移的规律，得到平移后的解析式，然后根据中心对称的性质，以及二次函数图象的性质，
即可求解．
【详解】
解：把二次函数y＝ 图象先向下平移2个单位后得到的函数的解析式为：y＝ ﹣2．
因为图象绕它的顶点旋转180°后，其对称轴不变，顶点关于原点成中心对称，只是图象开口向下，
所以所得图象的函数解析式为 ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的平移，中心对称的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．（2021·湖南·长沙县安沙镇杨梓中学九年级期中）将抛物线 向上平移1个单位后，得到的抛物线
的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得抛物线 的顶点坐标为（0，0），从而得到平移后抛物线的顶点坐标为（0，1），即可
求解．
【详解】
解：根据题意得：抛物线 的顶点坐标为（0，0），
∴抛物线 向上平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标为（0，1），
∴得到的抛物线的解析式是 ．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握抛物线平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
9．（2022·河北秦皇岛·九年级期末）将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛
物线的解析式为_______．
【答案】y=2（x+1）2－3或y=2x2﹢4x﹣1
【解析】
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．
【详解】
解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y将抛物线y=2x2-1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，
所得抛物线的解析式为y=2（x+1）2-1-2，即y=2（x+1）2-3，
故答案为：y=2（x+1）2－3或y=2x2﹢4x﹣1．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
10．（2021·河南洛阳·九年级期末）如图为函数 和 的图象，则图中阴影部分的面积为
___________．【答案】4
【解析】
【分析】
连接OA，BC，CD，OE，由二次函数图象的平行性质得到阴影部分的面积=2 ，再利用平行四边形的
面积公式解答．
【详解】
解：连接OA，BC，CD，OE，如图，
函数 的图象是由 的图象，通过往上平移1个单位得到
阴影部分的面积=2
故答案为：4．
【点睛】
本题考查二次函数图象的平移、平行四边形的面积等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
11．（2022·浙江·九年级专题练习）将抛物线y＝ax2＋bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，
5），则4a﹣2b﹣1的值是___．
【答案】2
【解析】【分析】
根据二次函数向上平移的规律得出平移后的函数解析式，再将点（-2，5）代入即可求出结果．
【详解】
解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，
表达式为：y＝ax2+bx+2，
∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，
则4a﹣2b﹣1＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查二次函数的平移、代数式的求值，掌握二次函数平移的规律是解题的关键．
12．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，抛物线y＝﹣x2＋2向右平移1个单位得到的抛物线y，回答下
1 2
列问题：
(1)抛物线y 的顶点坐标是什么？
2
(2)阴影部分的面积S＝ ．
(3)若再将抛物线y 沿x轴翻折得到抛物线y，求抛物线y 的解析式．
2 3 3
【答案】(1)(1，2)(2)2(3)y＝(x﹣1)2﹣2
【解析】
【分析】
（1）先确定二次函数y=-x2+2的顶点坐标为(0,2)，然后根据点平移的规律得到点(0，2)平移后所得对应点
的坐标为(1,2)；
（2）阴影部分的面积可转化为平行四边形的面积，然后根据平行四边形的面积公式求解；
（3）根据关于x轴对称的点的坐标特征得到点(1,2)关于x轴对称的点的坐标为(1，-2)，由于抛物线沿x轴
翻折时开口方向改变，所以可利用顶点式得到抛物线y 的解析式．
3
（1）解：抛物线y＝﹣x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y＝﹣(x﹣1)2+2，则抛物线y 的顶点坐标为
1 2 2
(1,2)；
（2）解：如图，根据平移的性质可得：阴影部分的面积等于平行四边形ABCD的面积，∴阴影部分的面积S＝1×2＝2；故答案为2；
（3）解：抛物线y＝﹣(x﹣1)2+2的顶点坐标为(1,2)，而点(1,2)关于x轴对称的点的坐标为(1,﹣2)，所以抛
2
物线y 的解析式为y＝(x﹣1)2﹣2．
3
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线
解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；
二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了关于x轴对称的点的坐标特征．
考点3：用待定系数法求二次函数解析式
典例： （2022·广西河池·九年级期末）已知抛物线 经过点 ， ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)将抛物线 经过某种平移后得到 ，请写出这种平移的方法．
解： (1)把 、 代入抛物线解析式得：
解得：
则抛物线解析式为： ．
(2) ，
将抛物线 向左平移一个单位，再向上平移2个单位后可得到 ．
巩固练习
1．（2022·浙江·九年级专题练习）一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2
时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（ ）A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5
【答案】A
【解析】
【分析】
设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣
2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．
【详解】
解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，
∴c＝﹣5①，
a﹣b+c＝﹣4②，
4a﹣2b+c＝5③，
解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，
所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．
故选：A．
【点睛】
本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方
程组确定a，b，c的值．
2．（2022·浙江·九年级专题练习）已知二次函数y＝ax2+bx+1，若当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝4，
则a、b的值分别为（ ）
A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】
把两组对应值分别代入y＝ax2+bx+1得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可得到a和b的值．
【详解】
解：根据题意得 ，
解得a＝1，b＝﹣2．
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据已知条件列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（2022·浙江·九年级专题练习）若二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二
次函数解析式是 __．
【答案】
【解析】
【分析】
设出二次函数的顶点式解析式 ，把（0，3）代入计算即可；
【详解】
解：设二次函数解析式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
则二次函数解析式为 ，
故答案为： ．
【点睛】
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌
握待定系数法是解本题的关键．
4．（2022·浙江·九年级专题练习）已知y＝y+y，y 与x成正比例，y 与x2成正比例，当x＝1时，y＝6，
1 2 1 2
当x＝3时，y＝8，求y关于x的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意设出函数关系式，把“x＝3时，y＝8；当x＝1时，y＝6”代入y与x间的函数关系式便可求出未
知数的值，从而求出其解析式．
【详解】
解：∵y 与x成正比例，
1
∴y＝kx（k≠0）；
1 1 1∵y 与x2成正比例，
2
∴y＝kx2（k≠0）；
2 2 2
∴y＝y+y＝kx+kx2，
1 2 1 2
∵当x＝1时，y＝6； x＝3时，y＝8，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
即y关于x的函数解析式是： ．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，设出解析式是解题的关键．
5．（2022·浙江·九年级专题练习）已知二次函数y＝ax2+（km+c），当x＝3时，y＝15；当x＝﹣2时，y
＝5，试求y与x之间的函数关系式．
【答案】y＝2x2﹣3
【解析】
【分析】
由题意把km+c看为一个整体，把x＝3时，y＝15和x＝﹣2时，y＝5，代入二次函数的解析式，得到两个
方程，解出x和km+c，从而求出y与x之间的函数关系式．
【详解】
解：把x＝3，y＝15，x＝﹣2，y＝5，别代入y＝ax2+（km+c），
得 ，
解得，a＝2， km+c＝﹣3，
∴y＝2x2﹣3
【点睛】
本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，整体法代入求解是本题解题的关键．6．（2022·湖北宜昌·九年级期末）已知二次函数 的图象与x轴交于两点（1，0）、（4，
0）．求这个二次函数的解析式和顶点坐标．
【答案】 ，
【解析】
【分析】
利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，再根据顶点坐标公式，求抛物线的顶点坐标．
【详解】
解：抛物线与 轴交于点 ， ．
所以 ，
解得 ．
所以 ，
因为 ，
，
所以二次函数 图象的顶点坐标为 ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式以及二次函数的顶点坐标，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，直线l过A(3，0)和 B(0，3)两点，它与二次函数 的图象在
第一象限内交于点P，若△AOP的面积为3，求该二次函数的解析式．【答案】
【解析】
【分析】
先利用待定系数法求出直线AB的解析式为 ，则可设P(t，—t+3)( )，再根据三角形面积
公式得到 ，解出t的值，确定点Р的坐标，最后把点Р的坐标代入 中求出a的值
即可．
【详解】
解：设直线AB对应的函数解析式为 ，
把A(3，0)，B(0，3)代入，得
解得
所以直线AB对应的函数解析式为 ．
设点P(t，—t＋3)(00时，
在自变量x的值满足 的情况下，与其对应的函数值y随x增大而增大，
∴当x=2m时， 为最小值， ，或 （舍）
二次函数的解析式为 ．
②若 即 ，当 时，代入 ，得y最小值为 ，
（舍）或 （舍）
③若 ，即 ，在自变量x的值满足 的情况下，与其对应的函数值y随x增大
而减小，
∴当 时，代入二次函数的解析式为 中，得y最小值为 ，
，
（舍）或 ，
∴二次函数的解析式为 ．
综上所述，二次函数的解析式为 或 ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，分类讨论思
想的运用是解题的关键．
考点4：二次函数字母系数的讨论问题
典例：（2022·吉林长春·九年级期末）已知二次函数y＝x2＋ax＋2a（a为常数）．
(1)若a＝1，
①求此二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
②当x≤n＋2时，函数值y随x的增大而减小时，直接写出n的取值范围；
③当－3≤x≤1时，设此二次函数的最大值为m与最小值为n，求m－n．
(2)若点A（－5，2）、点B（1，2），当此二次函数的图象与线段AB有两个交点时，直接写出a的取值范
围．
解： (1)①当 时， ，∴ ，
∴对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．
②∵ ，
∴该函数图像开口向上，对称轴为直线 ，
∴当 ， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大，
∵当 时，函数值 随 的增大而减小，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
③∵当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大， ，
∴当 时， 取得最小值 ，
∵当 时， ，
当 时， ，
∴最大值 ，
∴ ．
(2)∵点 ，点 ，
∴ ，
∵二次函数的图像与线段 有两个交点，
∴ 的最小值小于2， 与 的函数值均大于或等于2，∵ ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴ 的取值范围是 或 ．
【点睛】
此题考查了二次函数的图像的性质、二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是熟知数形结合以及利用
二次函数的增减性解决问题．
方法或规律点拨
本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法，并能灵活运用是解题关键．
巩固练习
1．（2022·浙江金华·九年级期末）已知二次函数 （h为常数），当 时，函数y的最大
值为 ，则h的值为（ ）
A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6
【答案】D
【解析】
【分析】
解答时，分h＞5和h＜2两种情形计算．
【详解】
当h＞5时，
∵ 二次函数 （h为常数），当 时，函数y的最大值为 ，
∴ ，
解得h=6或h=4(舍去)；
当h＜2时，∵ 二次函数 （h为常数），当 时，函数y的最大值为 ，
∴ ，
解得h=1或h=3(舍去)；
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值和增减性，熟练掌握二次函数的增减性，并正确确定取何值时，函数有最值是
解题的关键．
2．（2022·河北邢台·九年级期末）对于题目：“已知点A（﹣6，4），B（3，4），若抛物线
与线段AB恰有一个公共点，求a的取值范围”，嘉嘉的结果是 ，淇淇的结果是 ，
则（ ）
A．嘉嘉的结果正确 B．淇淇的结果正确
C．嘉嘉、淇淇的结果合在一起才正确 D．嘉嘉、淇淇的结果合在一起也不正确
【答案】D
【解析】
【分析】
分两种情况进行分析讨论：a>0与a<0，根据抛物线的顶点位置和开口方向，结合题意，列出不等式求解
即可．
【详解】
解：当a>0时，1-a<1，
∴抛物线的对称轴在y轴右边，顶点在y=4的下方，
若抛物线与线段AB恰有一个公共点，则
，
解得，a>1；
当a<0时，1-a>1，
若1<1-a<4，即-34，即a<-3时，抛物线的对称轴在直线x=-3的左边，顶点在直线y=4的上方，
若抛物线与线段AB恰有一个公共点，则
，
解得，a<一4，
综上，a<-4或a=-3或a>1.
故嘉嘉、淇淇的结果合在一起也不正确，
故选：D．
【点睛】
题目主要考查二次函数的基本性质及解不等式组，理解题意，根据题意列出不等式组是解题关键．
3．（2022·福建莆田·九年级期末）二次函数 图象 经过点 ， ， ，其
中 ．以下选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将（-2，4），（0，-2）代入解析式可得a与b的等量关系，将（2，m）代入解析式可得m与a的等量，
由b≤0，m≥-2可求a的取值范围，进而求解．
【详解】
解：将（-2，4），（0，-2）代入 得
，
解得 ，∴ ．
把（2，m）代入 得 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，故选项B正确；
∵ ，
∴ ，故选项A错误；
∵ ，
∴ ，故选项C正确；
∵ ，
∴ ，故选项D正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特点，掌握二次函数与方程的关系．
4．（2022·贵州安顺·九年级阶段练习）已知二次函数 （a是常数）的图象与x轴
没有公共点，且当 时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
令 时， ，由二次函数的图象与x轴没有公共点，得判别式 ，由 ，y随
x的增大而减小，得 ，即可求解；【详解】
解：令 时， ，即 ，
∵二次函数的图象与x轴没有公共点，
∴判别式 ，即 ，
解得： ，
∵当 时，y随x的增大而减小，
∴ ，
解得： ，
综上，实数a的取值范围是 ；
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，正确得出不等式是解题的关键．
5．（2022·湖南湘西·中考真题）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上
方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b
与新图象有4个交点时，b的取值范围是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为
，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时b的值和当
直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣x+b与新
图象有4个交点时，b的取值范围．【详解】
解：如图所示：
当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x＝﹣1，x＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），
1 2
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为 ，
即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），
当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；
当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程 ，即
有相等的实数解，即
解得 ，
所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为 ＜b＜﹣1，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问
题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
6．（2022·江苏盐城·中考真题）若点 在二次函数 的图象上，且点 到 轴的距离小
于2，则 的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
先判断 ，再根据二次函数的性质可得： ，再利用二次函数的性质求解n的范围即可．
【详解】
解： 点 到 轴的距离小于2，
，
点 在二次函数 的图象上，
，
当 时， 有最小值为1．
当 时， ，
的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．
7．（2020·吉林长春·二模）抛物线 （ ，n为常数）关于x轴对称的图象记为 ，抛物线
（ ，n为常数）向上平移1个单位得到的图象记为 ，图象 和 记为图象G．
(1)当n=1时，
①直接写出图象G的解析式．
②若点D（b，2）在图象G上，求b的值．
(2)当n=3时，求图象G对应函数y的最大值．
(3)当-3≤x≤3时，函数G的最低点的纵坐标为 ，若-5≤ ＜-1，求n的取值范围．
(4)点E坐标为（0，n），过点E作直线l垂直于y轴，若直线l与图象G有两个交点时，直接写出n的取值
范围．
【答案】(1)① ；②
(2)1
(3)−2≤n＜1− 或1＜n≤−1＋2 ；(4)n＜ ，n=1， ＜n＜
【解析】
【分析】
（1）①由轴对称的性质和函数图象的平移分别得出G 和G 的解析式，进而可得出图象G的解析式；
1 2
②需要分两种情况，当点D在G 上时，当点D在G 上时，分别令y＝2，求出b的值即可；
1 2
（2）当n＝3时，分别求出G 和G 的最值，进行比较即可；
1 2
（3）根据图象可知，当n＜0时，最低点在G 上，当n＞0时，最低点在G 上，由此分别求解即可得出n
1 2
的取值范围；
（4）分析可知，当图象G与（n，n）有交点时，属于临界情况，分别有3个交点或1个交点，作出图形，
即可直接得出结论．
(1)解：①当n＝1时，
由题知，当x≥1时，图象 的解析式为：y＝−x2＋2x＋3；
当x≤1时，图象 的解析式为： ，
∴图象G的解析式为： ；
②∵点D（b，2）在图象G上，
当 ，y＝2时，即 ，
解得： 或 （舍去）；
当 ，y＝2时，即 ，
∵ ，
∴此方程无解；
综上，b的值为： ；
(2)当n=3时，
∵x≤3时，y＝ ，∴此时x＝－1时取最大值1，
x≥3时，y＝ ，
∴此时x＝3时取最大值0，
∴图象G对应函数y的最大值为1；
(3)当x＝−3时，y＝ ，y＝−x2＋2x＋3＝−12；
当x＝3时，y＝ ，y＝−x2＋2x＋3＝0；
由此可知，−3≤n≤3，
当n≤0时，
令−n2＋2n＋3＝−1，
解得n＝1− 或n＝1＋ （舍去），
令−n2＋2n＋3＝−5，
解得n＝−2或n＝4（舍去），
∴−2≤n＜1− ；
当n＞0时，
令 ，
解得n＝1或n＝−3（舍），
令 ，
解得n＝−1＋2 或n＝−1−2 （舍去），
∴1＜n≤−1＋2 ；
综上，n的取值范围为：−2≤n＜1− 或1＜n≤−1＋2 ；(4)
直线x＝n与y＝n交于（n，n），
当y＝−x2＋2x＋3过点（n，n）时，即n＝−n2＋2n＋3，
解得：n＝ 或n＝ ，
当y＝ 过点（n，n）时，即 ，
解得：n＝−2− 或 −2．结合图象可知，n＜−2− ，n＝1， ＜n＜ −2．
【点睛】
此题重点考查二次函数的图象与性质、轴对称的性质、函数图象的平移、定义新函数问题的求解、列不等
式组求取值范围等知识与方法，解题过程中还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用．
8．（2022·福建·福州三牧中学八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）
x+a+2（a≠0）．
(1)当a＝﹣ 时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)请直接写出二次函数图象的对称轴是直线（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是
______．
(3)若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；
(4)已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线x=﹣7，顶点坐标为（﹣7，8）(2)对称轴为直线x＝1+ ，（1，0）
(3)y＝x2﹣4x+3
(4)a的取值范围是：a＝ 或0＜a＜ 或﹣5＜a＜0
【解析】
【分析】
（1）利用对称轴公式求得对称轴为直线x=-7，再代入解析式求得y的值，即可求得顶点坐标；
（2）利用对称轴公式求得对称轴，把解析式变形得到y=（x-1）[a（x-1）-2]，即可得到二次函数经过的定
点坐标为（1，0）；
（3）根据（2）可知：二次函数图象的对称轴为直线x=1+ ，分a＞0或a＜0两种情况，分对称轴在已知
范围的左边，中间，右边分类讨论最值即可解答；
（4）分类讨论顶点在线段AB上，a＞0，a＜0，由点A，B和抛物线的位置结合图象求解．
（1） 时， ∴对称轴为直线 ，把x＝﹣7代入 得，
y＝8，∴顶点坐标为（﹣7，8）；
（2）∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．∴对称轴为直线 ，∵y＝ax2﹣2（a+1）
x+a+2＝a（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]，∴二次函数经过的定点坐标为（1，0）；故答
案为：（1，0）；
（3）由（2）知：二次函数图象的对称轴为直线 ，分两种情况：①当a＜0时， ，在自变
量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，∴当x＝1时，y＝0，而当1≤x≤5时，函数值有最大
值为8，所以此种情况不成立；②当a＞0时， ，i）当 时，即 ，当x＝5时，二次
函数的最大值为y＝25a﹣10（a+1）+a+2＝8，∴a＝1，此时二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；ii）当
时，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，即x＝1有最大值，所以此种情况
不成立；综上所述：此时二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（4）分三种情况：①当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB只有一个公共点，即当y＝﹣3时，ax2﹣2（a+1）x+a+2＝﹣3，ax2﹣2（a+1）x+a+5＝0，Δ＝4（a+1）2﹣4a（a+5）＝0，∴ ，当
时， ，解得：x＝x＝4（符合题意，如图1），
1 2
②当a＞0时，如图2，
当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，∴ ，解得： ，∴ ；
③当a＜0时，如图3，当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，∴ ，解得： ，∴﹣5＜a＜
0；综上，a的取值范围是： 或 或﹣5＜a＜0．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数与方程及不等式的关系，熟练掌握二次函数
的性质，并运用分类讨论的思想是解题的关键．
考点5：二次函数图象与平行于x轴直线交点问题
典例：（2022·广西贺州·九年级期末）如图，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
C．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)点M为线段AB上一点（点M不与点A，B重合），过M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线
交于点P，过P作PQ AB交抛物线于点Q（点Q在点P的右侧），过Q作QN⊥x轴于N，当矩形PMNQ
的周长最大时，求△AEM的面积．
解：(1)当y＝0时，－x2－2x＋3＝0，
解得x＝1，x＝－3，则A（－3，0），B（1，0）．
1 2
当x＝0时，y＝－x2－2x＋3＝3，则C（0，3）．
(2)抛物线的对称轴为直线x＝－1，
设M（m，0），则PM=－m2－2m＋3
MN=（－m-1）×2=－2m－2
∴矩形PMNQ的周长＝2（－2－2m－m2－2m＋3）
＝－2m2－8m＋2＝－2（m＋2）2＋10，
当m＝－2时，矩形PMNQ的周长最大，此时M（－2，0）．
设直线AC的表达式为y＝kx＋b，把A（－3，0），C（0，3）
代入得
解得
∴直线AC的表达式为y＝x＋3．
当x＝－2时，y＝x＋3＝1，
∴E（－2，1），
∴△AEM的面积＝ ×（－2＋3）×1＝ ．
巩固练习
1．（2022·福建南平·九年级期末）某数学兴趣小组研究二次函数 的图象时，得出如下四个结
论：
甲：图象与x轴的一个交点为 ；
乙：图象与x轴的一个交点为 ；
丙：图象的对称轴为过点 ，且平行于y轴的直线；
丁：图象与x轴的交点在原点两侧；
若这四个命题中只有一个假命题，则该命题是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称轴、抛物线与x轴的交点判断即可；
【详解】
对于y= x2+ax +b，二次项系数为1 > 0
∴抛物线开口向上，
当图象的对称轴为过点(1，0)，且平行于y轴的直线，图象与x轴的一个交点为(3， 0)时，
图象与x轴的一个交点为(-1，0)，图象与x轴的交点在原点两侧，∴乙是假命题，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断、二次函数的性质，掌握抛物线的对称性、抛物线与x轴的交点情况是解题
的关键．
2．（2022·安徽合肥·九年级期末）若二次函数 的图象与坐标轴有三个交点，则m的取值范
围是（ ）
A． 且 B． 且 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
当抛物线与坐标轴由三个交点时，抛物线与x轴有两个交点且不经过原点．再利用根的判别式解答即可．
【详解】
解：∵抛物线y=x2+2x-m与坐标轴有三个交点，
∴Δ=4+4m＞0， 解得m＞-1，
∵抛物线不经过原点，
∴m≠0，
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数与x轴交点个数由Δ判断，与y轴交点由c判断．
3．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线 （m是常数）与x轴仅有一个交点，
且与y轴交于正半轴，则m的值为（ ）
A．－7或1 B．－1 C．－7 D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
二次函数与x轴仅有一个交点，则 ，与y轴交于正半轴，则 ，求解
满足条件的m即可．
【详解】二次函数与x轴仅有一个交点，则 ，
即 ，解得 ，
又因为二次函数图象与y轴交于正半轴，则 ，
将1和-7代入 分别得到0和16，则应把m=1舍去，故m=-7，
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与x轴、y轴交点问题，解决题目应熟练掌握判定二次函数与x轴交点个数的方法，
以及判断二次函数图象与y轴交点位置的方法．
4．（2022·全国·九年级课时练习）如图，抛物线 经过点 ，与y轴交于点 ，抛物线
的对称轴为直线 ．
关于此题，甲、乙、丙三人的说法如下：
甲： ；
乙：方程 的解为 和3；
丙： ．
下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲、乙、丙都对
【答案】D
【解析】
【分析】
甲：把 ， 代入函数关系式即可求得 ；根据对称轴为 ，即可求出 ；
乙：根据对称轴为 ，抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），可以得出抛物线与x轴的另外一个交
点坐标为（3，0），即可得出方程 的解为-1和3；丙：根据与y轴交于点(0，2)，得出 ，根据抛物线开口向下，可以得出 ，即可得出结果．
【详解】
解：∵函数图象与x轴交于点（-1，0），
，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为 ，
∴ ，
，故甲正确；
∵抛物线的对称轴为 ，与x轴的一个交点坐标为（-1，0），
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴方程 的解为-1和3，故乙正确；
∵抛物线与y轴交于点(0，2)，
∴ ，
∵抛物线开口向下，
∴ ，
∴ ，故丙正确；
综上分析可知，甲、乙、丙都对，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数图象和性质，对称轴公式 ，是解题的
关键．
5．（2022·浙江台州·九年级期末）把抛物线y=x2-2x-c（c>0）在直线y=c上方部分沿直线y=c对折，若对折
后的部分在x轴上截得的线段长是6个单位，则c=_______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】
根据题意对折后的部分在x轴上截得的线段长是6个单位，相当于抛物线y=x2-2x-c在直线y=2c上截得的线
段长度是6个单位，然后解方程x2-2x-c=2c，方程的解的差的绝对值=6求出c即可．【详解】
解：将抛物线y=x2-2x-c（c＞0）在直线y=c上方部分沿直线y=c对折，
而对折后的部分在x轴上截得的线段长是6个单位，
相当于抛物线y=x2-2x-c在直线y=2c上截得的线段长度是6个单位，
∴当y=2c时，x2-2x-c=2c， 则x2-2x-3c=0，
解得：
∴
∴1+3c=9，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点，关键是理解题意把对折部分在x轴上截得的线段长进行转化．
6．（2022·河北保定·九年级期末）已知二次函数 ．
(1)直接写出抛物线与x轴交点坐标_____、_____；与y轴交点坐标_____；顶点坐标为_____；
(2)在给出的平面直角坐标系 中，画出这个二次函数的图象；
(3)当 时，y的取值范围是_______．
【答案】(1)（1，0），（3，0），（0，3），（2，﹣1）(2)见解析(3)﹣1≤y＜3
【解析】【分析】
（1）令二次函数 =0，解方程即可求得与x轴的交点，令x=0，即可求得与y轴的交点，化为
顶点式即可求得顶点坐标；
（2）根据列表，描点连线的方法画出二次函数图象即可；
（3）观察函数图象即可求解．
（1）令y=0，即 解得 抛物线与x轴的交点为：（1，0），（3，0），令x=0，
解得y=3∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1；∴顶点坐标为（2，-1）故答案为：
（1，0），（3，0），（0，3），（2，﹣1）
（2）列表如下，
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 1 -1 0 3 …
函数图象如图
（3）观察函数图象知，当0＜x＜3时，y的取值范围是：-1≤y＜3．故答案是：-1≤y＜3．
【点睛】
本题考查l 抛物线与坐标轴的交点，顶点坐标画二次函数图象，二次函数的性质．
7．（2020·黑龙江·集贤县第七中学九年级期中）如图，二次函数 的图像与y轴交于点
A，与x轴的负半轴交于点B，且 的面积为6．(1)求A，B两点的坐标；
(2)求该二次函数的表达式；
(3)如果点p在坐标轴上，且 是等腰三角形，直接写出p点坐标．
【答案】(1) ， (2)
(3) ， ， ， ， ， ， ，
【解析】
【分析】
（1）由已知，令x=0，得y=4，即 ，根据 ， ，得 ，从而得
．
（2）根据二次函数 的图像与x轴的负半轴交于点B，将B点坐标代入解析式中，求得k
的值，将k值代入二次函数解析式中，整理即可得到二次函数解析式．
（3）根据等腰三角形的定义，分情况进行讨论即可．
(1)解：∵二次函数 的图像与y轴交与点A，
∴令x=0，得y=4，即 ， ．
∵ 的面积为6，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
(2)解：∵二次函数 的图像与x轴的负半轴交于点B，
又∵ ，
∴ ，
解得， ．
故二次函数解析式为： ．
(3)解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
①如图1，当 ，P在x轴上时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
②如图2，当 ，P在y轴负半轴上时，∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
③同理，，当 ，P在y轴正半轴上时，
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
④如图3，当 ，P在x轴负半轴上时，
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．⑤如图4，当 ，P在y轴负半轴上时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
⑥如图5，当 ，P在x轴正半轴上时，
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
⑦如图6，作AB的垂直平分线交y轴于点 ，交x轴于点 ，则有 ， ，连接 ， ．∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得， ，即 ， ．
∴ ，
同理，设 ，则 ， ，
在 中，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得， ，即 ，
∴ ，
综上，符合题意的P点坐标为， ， ， ， ， ， ， ， ．
【点睛】
本题考查了二次函数综合运用，熟练掌握二次函数相关性质，等腰三角形定义是解题的关键．
8．（2021·广西河池·九年级期中）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此抛物线 与直线 的一个交点在 轴上，求 的值．【答案】（1）见解析；（2） ，
【解析】
【分析】
（1）根据根的判别式即可证明；
（2）根据二次函数的性质列出关于m的方程，故可求解．
【详解】
解：（1） ，
∴不论 为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵抛物线 与直线 的一个交点在 轴上
当x=0时， = ； =
∴ ，
解得 ， ．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程与二次函数综合，解题的关键是熟知根的判别式与函数与y轴交点坐标的特点．
9．（2022·广东深圳·模拟预测）如图，抛物线 与 轴交于点A、点 ，与 轴交于点 ，
点 与点 关于 轴对称，点 是 轴上的一个动点．设点 的坐标为 ，过点 作 轴的垂线 交抛
物线于点 ．(1)求点A、点 、点 及抛物线的顶点坐标；
(2)当点 在线段 上运动时，直线 交 于点 ，试探究 为何值时，四边形 是平行四边形？
【答案】(1) ， ， ，顶点坐标为 (2)
【解析】
【分析】
（1）由 直接可得 ， ， ，配成顶点式，即可得抛物线的顶点坐标为
；
（2）根据点 与点 关于 轴对称可得 ，用待定系数法得直线 为 ，从而知
， ，由四边形 是平行四边形，可得 ，即可解得 的值．
(1)解：在 中，令 得 ，
令 得：
解得： 或 ，
， ， ，
，
抛物线的顶点坐标为 ；
(2)解： 点 与点 关于 轴对称，
，
设直线 为 ，将 ， 代入得：
，解得 ，
直线 为 ，点 的坐标为 ，
， ，
四边形 是平行四边形，
的中点即是 的中点，
而 的中点为 ， 的中点为 ，
，解得 （舍去）或 ，
的值为 ．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形性质等知识，解题的关键是根据四边形
是平行四边形得到对角线中点重合，从而列出方程解决问题．
10．（2022·北京四中九年级开学考试）已知，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的解析式为
．
(1)对于任意的常数a，二次函数是否经过定点，若经过，请求出此定点？若不经过，请说明理由；
(2)当x≥a时，二次函数的图象记为图象G．
①当图象G与坐标轴有两个不同交点时，求a的取值范围；
②当图象G上恰有3个点到x轴的距离为1时，请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)经过，
(2)① 或a＜0；② 或
【解析】
【分析】
（1）将函数解析式变形为y=－6a（x－1）＋x2，当x=1时y=1，即可判断函数图象经过定点（1，1）；
（2）①当a<0时，求出图象与y轴交点坐标及对称轴，顶点图象与坐标轴有两个交点（与x轴一个交点，
与y轴一个交点）；当 时，图象与y轴无交点，顶点坐标为（3a， ），当x=a时，0，且 <0时，此时图象G与x轴有两个交点，求出a的取值范围；
②当a<0时，此时图象G与坐标轴有两个交点；当 ，得 =-1时，图象G上恰有3个点到x
轴的距离为1，求出a的取值范围；当a>1时，得到 求出解集即可．
(1)解：∵ ＝－6a（x－1）＋x2，
∴当x=1时y=1，
∴函数图象经过定点（1，1）；
(2)解：①当a<0时， （x>a）与y轴交点坐标为（0，6a），对称轴为直线 ，
过点（1，1），
∴x>a>3a，此时图象G与坐标轴有两个交点（与x轴一个交点，与y轴一个交点）；
当 时， （x>a）与y轴无交点，顶点坐标为（3a， ），
当x=a时， 0，且 <0时，此时图象G与x轴有两个交点，
解得 ，
综上， 或a＜0；
②当a<0时，此时图象G与坐标轴有两个交点，故不符合题意；
当 ，且 =-1时，图象G上恰有3个点到x轴的距离为1，
解得 ；
当a>1时， （x>a）顶点坐标为（3a， ），
∴当 时，图象G上恰有3个点到x轴的距离为1，
∴ ；故答案为： 或 ．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，二次函数图象与坐标轴的交点坐标，对称轴的计算公式，顶点坐标的计算，
二次函数图象的对称性，熟记二次函数的各知识点是解题的关键．
11．（2022·天津·九年级期末）如图，已知抛物线y= - x2+mx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
点B的坐标为（3，0）．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
（2）求抛物线与坐标轴的交点所围成的三角形面积；
（3）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标，
【答案】（1）m＝2，（1，4）；（2）6；（3）（1，2）．
【解析】
【分析】
（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣9+3m+3，即可求解；
（2）求出点A、C的坐标，利用三角形面积公式计算即可；
（3）点A关于函数对称轴的对称点为B，连接BC交函数对称轴于点P，此时点P即为所求点，即可求解．
【详解】
解：（1）将点B的坐标（3，0）代入抛物线表达式得：0＝﹣9+3m+3，解得：m＝2，
则函数对称轴为：x＝﹣ ＝1，代入y= - x2+2x+3，y= 4，则顶点的坐标为（1，4）；
（2）函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝3，故点A、C的坐标分别
为（﹣1，0）、（0，3），
AB=4，OC=3，
ABC的面积为 ．
△（3）点A关于函数对称轴的对称点为B，连接BC交函数对称轴于点P，此时点P即为所求点，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得： ，解得： ，
故直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，故点P（1，2）．
【点睛】
本题考查了求函数解析式和图象与坐标轴交点坐标，最短路径问题，解题关键是熟练运用待定系数法求解
析式，利用对称性确定点P的位置．
12．（2021·北京师大附中九年级阶段练习）已知二次函数y＝x2+2x-3．（1）求抛物线的顶点坐标，并将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求图象与两坐标轴的交点坐标；
（3）利用五点描点法，画出函数图象；
（4）求顶点及图象与x轴两交点围成的三角形面积；
（5）结合图象，完成填空．
当y随x的增大而减小时，x的取值范围是 ；
若y＞0，则x的取值范围是 ；
若y≤0，则x的取值范围是 ；
当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是 ；
二次函数y＝x2+2x-3关于y轴对称的图象解析式为 ；
二次函数y＝x2+2x-3关于原点对称的图象解析式为 ．
【答案】（1）顶点坐标为（-1，-4），y=（x+1）2-4；（2）图象与x坐标轴的交点坐标为（-3，0），
（1，0），与y坐标轴的交点坐标为（0，-3）；（3）见解析；（4）8；（5）x<-1，x<-3或x>1，-
3≤x≤1，-4＜x＜21，y＝x2-2x-3，y=-x2+2x+3．
【解析】
【分析】
（1）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可求解；
（2）令y=0，可求出图象与x坐标轴的交点坐标，令x=0，图象与y坐标轴的交点坐标，即可求解；
（3）根据题意，可得图象过点（-2，-3）（0，-3）（1，0）（-3，0）（-1，-4），然后画出图象，即可求解；
（4）由（1）得：抛物线的顶点坐标为（-1，-4），与x坐标轴的交点坐标为（-3，0），（1，0），即可
求解；
（5）由（1）得：抛物线的对称轴为x=-1，开口向上，从而得到当x<-1时，y随x的增大而减小；当y＞0
时，图象位于x轴上方，此时x<-3或x>1；当y≤0时，图象位于x轴上或x轴下方，此时-3≤x≤1；当﹣1＜x
＜4时，当x=-1时，y的值，最小为-4，当x=4时，y的值，最大为21，从而得到当﹣1＜x＜4时，-4＜x＜
21；再由图象关于y轴对称，可得两图象各点关于y对称，可得到二次函数y＝x2+2x-3关于y轴对称的图象
解析式；再由图象关于原点对称，可得两图象各点关于原点对称，从而得到二次函数y＝x2+2x-3关于原点
对称的图象解析式．
【详解】
解：（1）y＝x2+2x-3=（x+1）2-4，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，-4）；
（2）令y=0，则x2+2x-3=0，
解得： ，
∴图象与x坐标轴的交点坐标为（-3，0），（1，0），
令x=0，则y=-3，
∴图象与y坐标轴的交点坐标为（0，-3），
（3）当x=-2时，y=-3，过点（-2，-3）（0，-3）（1，0）（-3，0）（-1，-4），画出图象，如下图：
（4）由（1）得：抛物线的顶点坐标为（-1，-4），与x坐标轴的交点坐标为（-3，0），（1，0），
∴顶点及图象与x轴两交点围成的三角形面积为
；（5）由（1）得：抛物线的对称轴为x=-1，开口向上，
由（3）中图象得：当x<-1时，y随x的增大而减小；
当y＞0时，图象位于x轴上方，此时x<-3或x>1；
当y≤0时，图象位于x轴上或x轴下方，此时-3≤x≤1；
当﹣1＜x＜4时，
当x=-1时，y的值，最小为-4，
当x=4时，y的值，最大为21，
∴当﹣1＜x＜4时，-4＜x＜21；
二次函数y＝x2+2x-3关于y轴对称的图象解析式为y＝（-x）2+2（-x）-3=x2-2x-3；
二次函数y＝x2+2x-3关于原点对称的图象解析式为-y＝（- x）2+2（-x）-3=x2-2x-3，
即y=-x2+2x+3．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的顶点式，增减性，对称性是解题的关键．
考点6：二次函数与一次函数的交点问题
典例：（2022·全国·九年级）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与两坐标轴分别
相交于A，B，C三点．
(1)求证：∠ACB=90°；
(2)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F，求DE+BF的
最大值．
解： (1)（1）令x=0，得
令 得即
(2)设直线BC的解析式为： ，代入 得
，
设
，
， 即DE+BF的最大值为9．
巩固练习
1．（2021·江苏·连云港外国语学校一模）在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝ 上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是
（ ）
A．a≤﹣2成a≥1 B． 或﹣2≤a≤1
C．1≤ 或a≤﹣2 D．﹣2≤
【答案】C
【解析】
【分析】
分a＞0，a＜0两种情况进行讨论，找临界点进行讨论即可．
【详解】
解：∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
∴令 x+ ＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0，
∴△＝9﹣8a＞0，
∴a＜ ．
①当a＜0时，
此时函数的对称轴在y轴左侧，
当抛物线过点A时，为两个函数有两个交点的临界点，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：a+1+1＝0，
解得a＝﹣2，
故a≤﹣2；
②当a＞0时，此时函数的对称轴在y轴右侧，
当抛物线过点B时，为两个函数有两个交点的临界点，
将点B的坐标代入抛物线表达式得：a﹣1+1＝1，
解得a＝1，
即：a≥1
∴1≤a＜ ．
综上所述：1≤a＜ 或a≤﹣2．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象和系数的关系，二次函数图象上点的特征，一次函数图象上点的特征，熟练
掌握分类讨论思想是解题的关键．
2．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）已知二次函数 的图象与直线 有且只
有一个公共点，且当 时，函数 的最小值为－3，最大值为1，则m的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由二次函数与直线只有一个交点，可以构成一元二次方程得到 ，求出c的值，然后画出
的图象进行增减性的讨论即可．【详解】
解：令 ，即 ，
由题意， ，即 ，
故函数 ，
如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，－3），
由对称性，该函数图象也经过点（4，－3）．
由于函数图象在对称轴 左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
又因为当 时，函数 的最小值为－3，最大值为1，
所以 ，
故选C．
【点睛】
本题考查了函数图象交点问题，综合了函数与方程的关系和二次函数图象增减性和最值问题．理解二次函
数与方程的联系，二次函数图象，数形结合的思想方法是解题的关键．
3．（2022·山东济南·二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的
函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正
比例函数 ，它的相关函数为 ．已知点M，N的坐标分别为 ， ，连接
MN，若线段MN与二次函数 的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】
【分析】
求出二次函数 的相关函数的解析式，结合图像分析选项中的几个关键点 ， ，
再解方程结合图象判断即可．
【详解】
二次函数 的相关函数为 ，
大致函数图像如下：
如图1所示，当线段MN与二次函数 的相关函数的图象有1个公共点时，∴当x=2时， ，则-4+8+n=1,解得n=-3，
如图2所示，当线段MN与二次函数 的相关函数的图象有3个公共点时，
∵抛物线y= 与y轴交点纵坐标为1，
∴-n=1，解得n=-1；
∴当 时，线段MN与二次函数 的相关函数的图象有2个公共点；
如图3所示：线段MN与二次函数 的相关函数的图象有3个公共点，∵二次函数 经过点（0，1），
∴n=1，
如图4所示：线段MN与二次函数 的相关函数的图象有2个公共点，
∵抛物线y= 经过点 ，
∴ +2-n=1，解得n= ，
∴ 时，线段MN与二次函数 的相关函数的图象有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是 或 ．
故选：B．【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，理解互为相关函数的定义是解题的关键，本
题是选择题使用排除法更简单．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线 与直线 的两个交点坐标分别为A(﹣3，
6)， ，则方程 的解是______．
【答案】 ，
【解析】
【分析】
利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
【详解】
解：由图象可知，关于x的方程 的解，就是抛物线 （a≠0）与直线 （b≠0）的
两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)的横坐标，
即 ， ．
故答案为： ， ．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，
学会利用图象法解决实际问题．
5．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学模拟预测）如图是抛物线 图象的一部分，抛物线的顶点坐标为 ，与x轴的一个交点为 ，点A和点B均在直线 上．
① ；② ：③抛物线与x轴的另一个交点时 ；
④方程 有两个不相等的实数根：⑤ ；⑥不等式 的解集
为 ．
上述六个结论中，其中正确的结论是________．（填写序号即可）
【答案】①②④⑥
【解析】
【分析】
根据抛物线的顶点坐标即可确定抛物线的对称轴即可得到 即可判断①；根据抛物线的开口方向以
及与y轴的交点情况即可判断②；根据抛物线的对称轴结合已知的与x轴的一个交点即可判断③；利用图
象法即可判断④；分别求出当x=-1时 ，当x=4时， ，即可判断⑤；利用图
象法即可判断⑥．
【详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为（1，-3），
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，故①正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵抛物线对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（4，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），故③错误；
∵抛物线顶点坐标为（1，-4），
∴由函数图象可知，抛物线与直线y=-3有两个不同的交点，
∴方程 有两个不相等的实数根，故④正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0）
∴当x=-1时， ，
∵点A和点B均在直线 上，
∴当x=4时， ，
∴ ，故⑤错误；
∵不等式 的解集即为一次函数图象在抛物线图象上方时x的取值范围，
∴不等式 的解集为 ，故⑥正确；
故答案为：①②④⑥．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数与一次函数图象综合等等，熟知二次函数图象的性质是解
题的关键．
6．（2021·河南周口·九年级期中）如图，点A，B在函数 的图象上（非原点），直线AB与y轴
交于点C，连接AO，BO， ．设直线OA的解析式为 （m＞0）．
(1)求直线AB的解析式 ；（k，b可用含有m的式子表示）
(2)求△ABO面积的最小值．
【答案】(1)
(2)16【解析】
【分析】
（1）设直线 上一点 ，将点 绕原点 逆时针旋转 得点 ，根据待定系数法求得
直线 的解析式，然后分别与抛物线的解析式联立成方程组，解方程组求得 、 的坐标，进一步利用
待定系数法即可求得直线 的解析式；
（2）求得 的坐标，然后利用 得到 ，根据二次函数的性
质即可求得 面积的最小值．
(1)解：设直线 上一点 ，将点 绕原点 逆时针旋转 得点 ．
，
点 在直线 上，
设直线 的方程为： ，
将 代入 得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
由 ，
得 ， （舍去），
由 ，
得 ， ， （舍去），
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ， ，；
(2)解：设直线 与 轴交于点 ，则 ，
，
，
当 时， 的面积最小，最小值是16．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系，待定系数法求
一次函数的解析式，三角形的面积，解题的关键是求得 、 、 的坐标．
7．（2022·湖南长沙·九年级期末）抛物线 与直线 交于A，B两点．
(1)求A，B两点坐标；
(2)求△AOB的面积；
(3)直接写出不等式 的解集．
【答案】(1)A（ ，4）；B（3，9）
(2)
(3) 或
【解析】
【分析】
(1)令x2=x+6,求出x的值，然后将x的值代入抛物线解析式求解．
(2)把x=0代入直线解析式求出点C的坐标，根据S AOB=S AOC+S BOC= 求解．
△ △ △
(3)把 变形得 ，由图像可知不等式 的解集就是抛物线在直线上方时对应的x的取值范围．
(1)令x2=x+6
解得x= -2，x=3
1 2
把x= -2代入y=x2中得y=4，
把x=3代入y=x2中得y=9
∴A(-2，4)，B(3，9)
(2)把x=0代入y=x+6中得y=6
∴点C坐标为（0，6）
∴S AOB=S AOC+S BOC
△ △ △
=
=15
(3)由 得
∵点A横坐标为-2，点B横坐标为3，
由图像知x<-2，或x>3时抛物线在直线上方．
∴不等式 的解集为x<-2或x>3．
∴不等式 的解集为x<-2或x>3．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握坐标系内三角形面
积的求法．
8．（2022·贵州贵阳·三模）如图，二次函数 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．已知，
点A的坐标为（–1，0）．(1)求这个二次函数图象的顶点坐标；
(2)已知第一象限内的点D（m，m＋1）在二次函数图象上，探究CD与x轴的位置关系；
(3)在（2）的条件下，求点D关于直线BC的对称点 的坐标．
【答案】(1)( ， )(2) 轴(3)（0，1）
【解析】
【分析】
（1）把二次函数的解析式化为顶点式即可求解；
（2）把点D（m，m＋1）的坐标代入 求得 的值，令 求得点C的坐标，由此可判断
CD与x轴的位置关系；
（3）先确定点D关于直线BC的对称点 的位置在 轴，然后利用对称性即可求解．
(1)∵ ,
∴二次函数图象的顶点坐标为( ， )；
(2)∵第一象限内的点D（m，m＋1）在二次函数图象上，
∴ ，
解得 ， （不合题意，舍去），
∴D（3，4）；
当 时，代入 得 ，
∴C（0，4），
∴ 轴；
(3)对于 ，
令 ，则 ，解得 ， ，
∴A（－1，0），B（－4，0）；
又∵C（0，4），
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ 轴，
∴ 轴，
∴ ，
∵点D关于直线BC的对称点为 ，
∴ 在 轴上，如图所示，则
∴ ，
∴ 的坐标为（0，1）．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质以及点关于直线的对称性，理解题意是解题的关键．
9．（2022·全国·九年级）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣
x2+bx+c经过点A，B．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若P为直线AB上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，求四边形BCAP的面积S关于点P横坐标
m的函数解析式，并求S的最大值．
【答案】(1)
(2)【解析】
【分析】
（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；
（2）过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，求得C的坐标和D的坐标，然后根据
得到S关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．
(1)∵直线y＝-x+n与x轴交于点A(3,0)，
∴0＝-3+n，
∴n＝3，
∴直线解析式为：y＝-x+3，当x＝0时，y＝3，
∴点B(0,3)，
∵抛物线y＝-x2+bx+c经过点A，B，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为： ；
(2)如图，过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为(m,-m2+2m+3)，
∵点D在直线AB上，
∴点D的坐标为（m,-m+3），
∴PD＝-m2+2m+3-(-m+3)＝-m2+3m，
在y＝-x2+2x+3中．令y＝0，则-x2+2x+3＝0，解得x＝-1，x＝3，
1 2
∴点C的坐标为(-1,0)，
∴S＝S ABC+S ABP ，
△ △
∴当m= 时，S最大，最大值为 ．
【点睛】
本题是一次函数和二次函数的综合，考查了二次函数在几何问题中的应用、待定系数法求解抛物线解析式、
二次函数的最值、抛物线与坐标轴交点的坐标等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
10．（2022·江苏·景山中学三模）阅读感悟：
“数形结合”是一种重要的数学思想方法，同一个问题有“数”、“形”两方面的特性，解决数学问题，
有的从“数”入手简单，有的从“形”入手简单，因此，可能“数”→“形”或“形”→“数”，有的问
题需要经过几次转化．这对于初、高中数学的解题都很有效，应用广泛．
解决问题：
已知，点 为二次函数 图象的顶点，直线 分别交 轴正半轴和 轴于
点 ， ．
(1)判断顶点 是否在直线 上，并说明理由；
(2)如图1，若二次函数图象也经过点 ， ，且 ，结合图象，求 的取值范围；
(3)如图2，点 坐标为 ，点 在 内，若点 ， 都在二次函数图象上，试比较与 的大小．
【答案】(1)点M在直线y＝4x+1上，理由见解析；
(2)x＜0或x＞5；
(3)①当0＜b＜ 时，y＞y；②当b＝ 时，y＝y；③当 ＜b＜ 时，y＜y．
1 2 1 2 1 2
【解析】
【分析】
（1）点M在直线y＝4x+1上，理由如下：配方y＝﹣x2+2bx﹣b2+4b+1＝﹣（x﹣b）2+4b+1，表示出顶点M
的坐标是（b，4b+1），把x＝b代入y＝4x+1，即可求解；
（2）由直线关系式可得B点坐标为（0，5），代入二次函数关系式得5＝﹣（0﹣b）2+4b+1，得b＝2，理
由函数关系式求出A（5，0），由图象，得当mx+5＞﹣x2+2bx﹣b2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞
5；
（3）如图2，直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，利用A（5，0），B（0，5）求出直线AB
的解析式为y＝﹣x+5，联立EF，AB得方程组 ，解得： ，得点E（ ， ），而F点
坐标为（0，1），由题意得1＜4b+1＜ ，求出0＜b＜ ，根据b的范围进行分类讨论．
(1)解：点M在直线y＝4x+1上，
理由如下：∵y＝﹣x2+2bx﹣b2+4b+1＝﹣（x﹣b）2+4b+1，
∴顶点M的坐标是（b，4b+1），
把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，
∴点M在直线y＝4x+1上；
(2)解：如图1，直线y＝mx+5交y轴于点B，
当x＝0时，y＝5，
∴B点坐标为（0，5），
又∵B在抛物线上，
∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1，
解得b＝2，∴二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，
当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，
解得x＝5，x＝﹣1，
1 2
∴A（5，0），
由图象，得当mx+5＞﹣x2+2bx﹣b2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；
(3)解：如图3，
∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，
设直线AB的函数关系式为：y＝px+q，
将A（5，0），B（0，5）代入得，
，
解方程组得， ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，
联立EF，AB得方程组 ，
解得： ，
∴点E（ ， ），而F点坐标为（0，1），
∵点M（b，4b+1）在△AOB内，
∴1＜4b+1＜ ，∴0＜b＜ ，
当b﹣ ＜ ﹣b时，即0＜b＜ 时，
∵二次函数图象开口向下，
∴y＞y；
1 2
当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣ ＝ ﹣b，
∴b＝ ，
此时y＝y；
1 2
当b﹣ ＞ ﹣b时，即 ＜b＜ 时，
∵二次函数图象开口向下，
∴ y＜y．
1 2
综上：①当0＜b＜ 时，y＞y；②当b＝ 时，y＝y；③当 ＜b＜ 时，y＜y．
1 2 1 2 1 2
【点睛】
本题考查了二次函数的图象性质，数形结合有利于对知识的理解，根据抛物线的增减性和点与对称轴的距
离确定纵坐标的大小关系是解题的关键．
考点7：二次函数与几何图形问题
典例：（2022·上海金山·二模）已知：在直角坐标系中直线 与 轴、 轴相交于点 、 ，抛物线
经过点 和点 ．
(1)求抛物线的解析式；(2)如果直线 与抛物线的对称轴相交于点 ，求 的长；
(3) 是线段 上一点，过点 作直线 的平行线，与 轴相交于点 ，把 沿直线 翻折，点
的对应点是点 ，如果点 在抛物线上，求点 的坐标．
解：(1)直线 与 轴、 轴相交于点 、 ，
当y=0，则-x+4=0，解得，x=4，
当x=0，则y=4，
∴ 、 .，
代入 得，
，
解得， ， ，
∴抛物线的解析式为 .
(2)∵
∴抛物线的对称轴为直线 ，
当x=1时，
∴ ，
∴ .
(3)如图，设点 的坐标为 ，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
∴点 是坐标是 ，
∴ ，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴点 是坐标是
巩固练习
1．（2022·青海西宁·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点 ，与y轴交于点B，点C
在直线AB上，过点C作 轴于点 ，将 沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上
的点E处．
(1)求抛物线解析式；(2)连接BE，求 的面积；
(3)拋物线上是否存在一点P，使 ？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)2(3)存在， 或
【解析】
【分析】
（1）先根据翻折得到E点坐标，然后结合 运用待定系数法求解即可；
（2）先确定点B的坐标，然后确定直线AB的解析式，进而确定 、 、 ，最后根据
结合三角形的面积公式即可解答；
（3）先说明 是等腰直角三角形，设点P的坐标为 ，然后分点P在x轴上方和下
方两种情况分别解答即可．
（1）解：∵ 沿CD所在直线翻折，点A落在点E处 ∴ 把A，E两点坐标代
入 得 ，解得 ∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：∵抛物线 与y轴交于点B∴令 时， ∴ 设直线AB的解析式为
把A，B两点坐标代入得 解得 ∴直线AB的解析式为 ；∴点C
在直线AB上 轴于点 当 时 ∴ ∴ ∴
， ， ∴ ∴ 的面积是2．
（3）解：存在，理由如下：∵ ， ∴ 在 中 ∴ 是等腰直角三角形∵点P在抛物线上∴设点P的坐标为 ①当点P在x
轴上方时记为 ，过 作 轴于点M在 中∵ ∴ 即
解得 （舍去）当 时 ∴ ②当点P在x轴下方
时记为 ，过 作 轴于点N在 中∴ ∴ ∴ 解
得 （舍去）当 时 ∴ 综上，符合条件的P点坐标是 或
．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，涉及求二次函数的性质、二次函数解析式、二次函数与几何图形综合等知识点，
灵活运用二次函数的性质以及其与几何知识的联系是解答本题的关键．
2．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图为函数F： 的图象，若F 和F 的图象关于坐标原
1 1 2
点O（0，0）对称，F 的顶点A关于点O的对称点为点B．
1(1)求F 的解析式；
2
(2)在F 的图象和直线AB围成的封闭图形上，求平行于y轴的线段的长度的最大值；
1
(3)若F＝ 在F的图象上是否存在点C，使∠ABC＝45°，若存在，求出点C的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)y x2﹣x (2)2(3)存在C点，符合条件的C点坐标为（ ， ）或（7，16）
【解析】
【分析】
（1）设F 与x轴的交点为C和D，求出C点和D点坐标，然后求出C点和D点关于原点的对称点C'和
1
D'，再求出B点的坐标，最后用待定系数法求出F 的解析式即可；
2
（2）设AB上一点M，过M作y轴的平行线MN，交F 于点N，求MN的最大值即可；
1
（3）分点C在F 图象段和在F 图象段两种情况分别求出C点的坐标即可．
1 2
(1)设F 与x轴的交点为C和D，
1
当 （x+1）2+2＝0时，
解得x＝1，x＝﹣3，
1 2
∴C（1，0），D（﹣3，0），
∴C点关于原点的对称点C'（﹣1，0），D点关于原点的对称点D'（3，0），
∵A（﹣1，2），
∴A点关于原点的对称点B（1，﹣2），
设抛物线F 的解析式为y＝ax2+bx+c，
2代入B点，C'点，D'点坐标得， ，
解得 ，
∴F 的解析式为y x2﹣x ；
2
(2)设AB上一点M，过M作y轴的平行线MN，交F 于点N，
1
设直线AB的解析式为y＝sx，
代入A点坐标得s＝﹣2
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x，
设M（m，﹣2m），则N（m， （m+1）2+2），
∴MN （m+1）2+2﹣（﹣2m） m2+m （m﹣1）2+2，
∴当m＝1时，MN有最大值为2，
即平行于y轴的线段的长度的最大值为2；
(3)存在C点，
分C点在F 图象段和在F 图象段两种情况：
1 2①当C点在F 图象段时，
1
作线段AB的垂直平分线PQ，且OP＝OB＝OQ，
∴Q（2，1），P（﹣2，﹣1），
连接PB并延长交F于点C，连接BQ并延长与F交于点C
1
设直线PB的解析式为y＝rx+t，
∴ ，
解得 ，
即直线PB的解析式为y x ，
∴ ，
解得 （舍去），
∴此时C（ ， ），
②当C点在F 图象段时，
2
同理可得直线BQ的解析式为y＝3x﹣5，
∴ ，解得 （舍去），
∴此时C（7，16），
综上，符合条件的C点坐标为（ ， ）或（7，16）．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式及二次函数的性质是解题的关键．
4．（2022·辽宁葫芦岛·一模）如图，抛物线 与x轴交于点A和点 ，与y轴于直
，连接 ，点E是对称轴上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 时，求点E的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点P，使 是以 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)E坐标为（3，－6）或 (3)存在， ， ， ，
【解析】
【分析】
（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设E（3，m），对称轴交BC于点F，运用待定系数法可得直线BC的解析式为 ，则F（3， ），进而可得EF=|m+ |，再运用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案；
（3）分四种情况：①点P对称轴右侧且在x轴上方；②点P对称轴右侧且在x轴下方；③点P对称轴左侧
且在x轴下方；④点P对称轴左侧且在x轴上方，进行解答即可．
(1)解：∵ 经过点B（5，0）和点C（0，－3）
∴ ，
解得： ，
∴
(2)解：方法一、∵B（5，0），C（0，－3）
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）
1
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
当y=0时， ，解得 ， ，
∴A（1，0）， B（5，0）
∴AB=4，抛物线的对称轴为x=3
在x轴上取点F，使FB=2AB，过点F作FE∥BC交抛物线的对称轴于点E∴FB=2AB=8，
∴点F（－3，0）或（13，0）
∵EF BC
∴设直线EF的解析式为
①当点F（－3，0）时，
∴ ，
∴
∴ ，
当x=3时， ，
∴E（3， ）；
②当点F（13，0）时，
∴ ，
∴ ，
∴直线EF的解析式为 ，
当x=3时，y=－6
∴E（3，－6），
综上所述，点E的坐标为（3， ）或（3，－6）；方法二：过点C作CN⊥EF，垂足为点N
∵B（5，0），C（0，－3）
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）
1
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
当y=0时， ，解得 ， ，
∴A（1，0）， B（5，0），
∴AB=4，抛物线的对称轴为x=3，
∴S ABC= ×4×3=6
△
∵S BCE=2S ABC
∴S△BCE=12△
△
当x=3时，
∴F（3， ）
设点E（3，m）
∴EF=－ －m或m－（－ ）∵S BCE=S BEF+S EFC= ×EF×BM+ ×EF×CN= EF×（BM+CN） = EF×BO
△ △ △
∴S BCE= = EF
△
∴ （－ －m）=12或 （m+ ）=12
解得：m=－6或m=
1 2
∴点E坐标为（3，－6）或（3， ）
(3)设E（3，m），P（n， ），
①当点P对称轴右侧且在x轴上方时，如图，过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作BG⊥PF于点
G，
∵△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形，
∴∠BPE=90°，PB=PE，
∴∠BPG+∠EPF=90°，
∵∠G=∠PFE=90°，
∴∠BPG+∠PBG=90°，
∴∠PBG=∠EPF，
∴△BPG≌△PEF（AAS），
∴BG=PF，PG=EF，
∴ ，解得 ， （舍去），
当 时， ，
∴ ，
②当点P对称轴右侧且在x轴下方时，如图，过点P作PG⊥AB于G，过点E作EF⊥PG于点F，
∵△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形，
∴∠BPE=90°，PB=PE，
∴∠BPG+∠EPF=90°，
∵∠BGP=∠PFE=90°，
∴∠BPG+∠PBG=90°，
∴∠PBG=∠EPF，
∴△BPG≌△PEF（AAS），
∴BG=PF，PG=EF，
∴ ，
解得 ， （舍去），
当 时， ，
∴ ，
③当点P对称轴左侧且在x轴下方时，如图，过点P作PG⊥AB于G，过点E作EF⊥PG于点F，∵△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形，
∴∠BPE=90°，PB=PE，
∴∠BPG+∠EPF=90°，
∵∠BGP=∠PFE=90°，
∴∠BPG+∠PBG=90°，
∴∠PBG=∠EPF，
∴△BPG≌△PEF（AAS），
∴BG=PF，PG=EF，
∴ ，
解得 ， （舍去），
当n=0时，
∴ ，
④当点P对称轴坐侧且在x轴上方时，如图，过点P作PG⊥OB于G，过点E作EF⊥PG于点F，∵△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形，
∴∠BPE=90°，PB=PE，
∴∠BPG+∠EPF=90°，
∵∠BGP=∠PFE=90°，
∴∠BPG+∠PBG=90°，
∴∠PBG=∠EPF，
∴△BPG≌△PEF（AAS），
∴BG=PF，PG=EF，
∴ ，
解得 （舍去）， ，
当 时， ，
∴ ，
综上所述，点P坐标为 ， ， ， ．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，全等三角形的判定和性质，等腰
直角三角形性质，添加辅助线构造全等三角形，分类讨论是解题关键．
5．（2022·全国·九年级课时练习）根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数：
(1)如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数；
(2)一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S（cm2）是方孔边长x（cm）的
函数；
(3)有一块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那
么郁金香的种植面积S（cm2）是草坪宽度a（m）的函数．
【答案】(1)p= m2﹣5m，是二次函数
(2) =100π﹣4x2，是二次函数
(3) =4a2﹣200a+2400；是二次函数
【解析】
【分析】
（1）较大的数是m，则较小的数是（m-5），这两个数的乘积为m（m﹣5），根据题意得出p与m的函数关系，由二次函数的定义得出此函数是二次函数；
（2）方孔边长x（cm），则方孔面积为x2cm2；4个大小相同的正方形孔的面积为4x2cm，半径为10cm的
圆的面积为100πcm2，则剩余部分的面积为(100π﹣4x2)cm2，根据题意得出列出函数关系式，根据函数定义
可知此函数是二次函数；
（3）草坪宽度a（m）则种植郁金香部分矩形的长和宽为（60﹣2a）米与（40﹣2a）米，根据矩形的面积
公式列出S与a的函数关系式，根据函数定义得出此函数是二次函数．
(1)解：这两个数的乘积p与较大的数m的函数关系为：p=m（m﹣5）=m2﹣5m，是二次函数；
(2)解：剩余的面积S（cm2）与方孔边长x（cm）的函数关系为：S=100π﹣4x2，是二次函数；
(3)解：郁金香的种植面积S（cm2）与草坪宽度a（m）的函数关系为：S=（60﹣2a）（40﹣2a）=4a2﹣
200a+2400，是二次函数；
【点睛】
本题主要考查了二次函数的定义，熟练的掌握二次函数的定义并根据题意找出等量关系列出函数表达式是
解题的关键．
6．（2022·山东枣庄·九年级期末）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔
离区，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．学校利用围墙作为一边，用总长为48m的塑料膜围成了
如图所示的两块矩形区域；已知围墙的可用长度不超过21m，设AB的长为xm，矩形区域ABCD的面积
ym2．
(1)求y与x之间的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当矩形ABCD的面积为84m2时，求AB的长度；
(3)当AB的长度是多少时，矩形区域ABCD的面积y取得最大值，最大值是多少？
【答案】(1)y＝﹣3x2+48x，9≤x＜16(2)14米(3)AB的长度是9m时，矩形区域ABCD的面积y取得最大值，
最大值是189m2
【解析】
【分析】
（1）设AB的长为xm，则BC的长为（48﹣3x）m，根据矩形的面积公式写出函数解析式，再根据围墙的可用长度不超过21m，以及48﹣3x＞0，求出x的取值范围；
（2）令y＝84，解一元二次方程，并根据x的取值范围求x的值；
（3）根据（1）的函数解析式，由函数的性质求函数的最大值即可．
(1)解：设AB的长为xm，则BC的长为（48﹣3x）m，
则y＝x（48﹣3x）＝﹣3x2+48x，
∵围墙的可用长度不超过21m，
∴48﹣3x≤21，
解答x≥9，
又∵48﹣3x＞0，
∴x＜16，
∴9≤x＜16，
即y与x之间的函数解析式是y＝﹣3x2+48x，
自变量x的取值范围是9≤x＜16；
(2)解：当y＝84时，
84＝﹣3x2+48x，
解得x＝2（舍去），x＝14，
1 2
答：当矩形ABCD的面积为84m2时，AB的长度是14m；
(3)解：∵y＝﹣3x2+48x＝﹣3（x﹣8）2+192，
∴当x＞8时，y随x的增大而减小，
∵9≤x＜16，
∴当x＝9时，y取得最大值，此时y＝189，
答：当AB的长度是9m时，矩形区域ABCD的面积y取得最大值，最大值是189 m2．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．（2021·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是
A（1，3），点B（3，﹣1）在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；
(2)P是线段AC上一动点，且不与点A、C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M，
N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到△A'MN，设点P的纵坐标为m．当△A'MN在△OAB内
部时，求m的取值范围；
(3)将（1）中的抛物线沿着x轴方向平移得到新的抛物线y＝﹣（x﹣h）2+3，当2h＜x＜2h+1时，y有最大
值为2，结合函数图象求h的值．
【答案】(1)y＝﹣x2+2x+2(2) m＜3(3)h的值为﹣2或1
【解析】
【分析】
（1）解：设y＝a（x﹣1）2+3，将点B（3，﹣1）代入y＝a（x﹣1）2+3，
即可求解析式；
（2）求出直线BO的解析式y x，则C（1， ），再由折叠的可得A'（1，2m﹣3），则 2m﹣3
＜3，即可求 m＜3；
（3）分三种情况讨论：①若2h+1＜h，即h＜﹣1时，当x＝2h+1时，y有最大值为2，求得h＝2；②若
2h≤h≤2h+1，即﹣1≤h≤0时，y有最大值为3，不符合题意舍去；③若h＜2h，即h＞0时，x＝2h时，y有最
大值为2，求得h＝1．
(1)解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），
设y＝a（x﹣1）2+3，
将点B（3，﹣1）代入y＝a（x﹣1）2+3，
∴﹣1＝4a+3，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+2；(2)解：由题意可知，抛物线的对称轴为直线x＝1，
设直线OB的解析式为y＝kx，
∴﹣1＝3k，
∴k ，
∴y x，
∴C（1， ），
∵点P的纵坐标为m，
∴P（1，m），
∵P点是AA'的中点，
∴A'（1，2m﹣3），
∵P是线段AC上一动点，
∴ m＜3，
∵△A'MN在△OAB内部，
∴ 2m﹣3＜3，
∴ m＜3；
(3)解：∵y＝﹣（x﹣h）2+3的对称轴为直线x＝h，
①若2h+1＜h，即h＜﹣1时，
∵当2h＜x＜2h+1时，y有最大值为2，
∴当x＝2h+1时，y有最大值为2，
∴﹣（2h+1﹣h）2+3＝2，
解得h＝0或h＝﹣2，
∵h＜﹣1，
∴h＝2；
②若2h≤h≤2h+1，即﹣1≤h≤0时，y有最大值为3，不符合题意舍去；
③若h＜2h，即h＞0时，
∴x＝2h时，y有最大值为2，
∴﹣（2h﹣h）2+3＝2，解得h＝1或h＝﹣1，
∵h＞0，
∴h＝1，
综上所述：h的值为﹣2或1．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，折叠的性质，分类讨论是解题的关键．
8．（2022·海南·中考真题）如图1，抛物线 经过点 ，并交x轴于另一点
B，点 在第一象限的抛物线上， 交直线 于点D．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为 时，求四边形 的面积；
(3)点Q在抛物线上，当 的值最大且 是直角三角形时，求点Q的横坐标；
(4)如图2，作 交x轴于点 ，点H在射线 上，且 ，过 的中点K作
轴，交抛物线于点I，连接 ，以 为边作出如图所示正方形 ，当顶点M恰好落在y轴上时，请
直接写出点G的坐标．
【答案】(1) (2) (3)点Q的横坐标为 ， ， ，1．(4)G(-4 + ，0)．
【解析】
【分析】
（1）将A、C两点坐标代入解析式求解即可；
（2）如图，连接 ，令 ，求得点B的坐标，再根据各点的坐标确定OC、OB的长，然后再根据 求解即可；
（3）如图，作 轴，交直线 于点F，可得 ，即 ，进一步说明当 最
大时， 最大．设 ，则 ，根据线段的核查运算求得PF
的最大值；设点 ，若 是直角三角形，则点Q不能与点P、A重合，
∴ ，再分 、 、 三种情况解答即可．
(4)作GL//y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌ CRH，
△ITM≌△HWI.根据∆GLC≌∆CRH可表示出H点坐标，从而表示出点K坐标，进而表示出I坐标，根据
MT= IW，构建方程求得n的值．
(1)解：∵抛物线 经过点 ，
∴ 解得
∴该抛物线的函数表达式为 ．
(2)解：如图，连接 ，令 ，
∴ ．
∴
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．(3)解：如图1所示，作 轴，交直线 于点F，
则 ．
∴ ．
∵ 是定值，
∴当 最大时， 最大．
设 ，
∵ ，
∴ ．
设 ，则 ．
∴ ．
∴当 时， 取得最大值 ，此时 ．
设点 ，若 是直角三角形，则点Q不能与点P、A重合，
3
∴t ,t 1，下面分三类情况讨论：
2
若APQ90，如图2所示，
PP x P QP PP PP P △PPQ∽△APP
过点P作 2 轴于点 2，作 1 2 交 2 的延长线于点 1，则 1 2 ．
QP PP
∴ 1 2 ．
PP AP
1 23 15
t
2 4
∴ 15 3 ．
t22t3 1
4 2
3
t
∵ ，
2
1 3
∴t 1 2．
2
7
t
∴ 6．
PAQ90 PA x A QA x A
若 ，如图3所示，过点P作直线 1 轴于点 1，过点Q作 2 轴于点 2，
△APA∽△QAA
1 2．
PA AA
∴ 1 2 ．
AA QA
1 2
15
4 t1
∴ 3 t22t3．
1
2
∵t1，
3 1
∴ ．
2 t3
11
t
∴ ．
3
AQP90 QQ x Q PQ QQ QQ Q
若 ，如图4所示，过点Q作 1 轴于点 1，作 2 1 交 1 的延长线于点 2，则
△PQQ ∽△QAQ
2 1．
PQ QQ
∴ 2 1 ．
QQ AQ
2 1
3
t
2
t22t3
∴15 t22t3 t1 ．
43
∵t ,t 1，
2
2
∴ 3t．
2t1
5
∴t 1,t ．
1 2 2
PD 7 11 5
综上所述，当 的值最大且 是直角三角形时，点Q的横坐标为 ， ， ，1．
AD APQ 6 3 2
图1 图2 图3 图4
(4)如图，作GL//y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌∆CRH，
△ITM≌△HWI.
RH = OG= -n，
CR= GL= OC= 3，
MT= IW，
G(n，0)，H(3，3+ n)，
n3 n3
K（ , )
2 2
n3 n3
I( ,（- ）
+n+3+3)
2 2
∵TM=IM
∴ (n+3)2+ 2(n+3)- 12= 0，
13
∴n = -4+ ，
1
13
n =-4- (舍去)
2
13
∴G(-4 + ， 0)．【点睛】
本题属于二次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何图形的综合、相似
三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论思想，灵活应用相关知识以及分类讨论思想成为解
答本题的关键．
9．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）如图，抛物线y＝ax2+bx-6与x轴交于A（-6，0），B（2，0）两点，与y
轴交于点 C，抛物线的对称轴与抛物线交于点D，与轴x交于点E，连接AC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接CE，在抛物线上存在点P，使得∠PEC+∠ACE=45，求出点P的坐标；
(3)连接BC，点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作BC的平行线l．在直线l上是否存在点H，使得以点
Q，C，B，H为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
1 104 10 1616 10
y x22x6 ( , )
【答案】(1) 2 (2)点P的坐标为 3 9 或(2,8)(3)存在，
H (6,8),H (2 52,2 5)
1 2
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）先证明∠OCE=∠PEC，然后分点P在y轴的左侧和右侧两种情况讨论；
（3）分以CQ为边和CQ为对角线两种情况讨论解答即可．
yax2bx6
(1)∵抛物线 经过A（-6，0），B（2，0）两点，
36a6b60
∴4a2b60 ，
1
a
解得 2，
b2
1
y x22x6
∴抛物线的解析式为 ；
2
(2)当x=0时，y=-6，∴C（0，-6），
又A（-6，0），
∴AO=CO=6，
又∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠ACE+∠OCE=45°，
又∠PEC+∠ACE=45，
∴∠OCE=∠PEC，
当点P在y轴的左侧时，此时PE∥OC，P和D重合，
1 1
y x22x6 (x2)28
2 2
∴点P坐标为（-2，-8）；
当点P在y轴的右侧时．设PE与y轴交于点M，
∵∠OCE=∠PEC，
∴MC=ME，
EM2 EO2MO2
在Rt EOM中，EO=2， ，
△
22OM2 (6OM)2
∴ ，
8
OM
∴ ，
3
8
∴M（0， ），
3
设直线EP解析式为ykxm，
2km0
则 8 ，
m
3
4
k
3
∴
8
m
3
4 8
y x
∴EP的解析式 ，
3 3
4 8
y x
3 3
联立方程组
1
y x22x6
2 10 4 10 4
x 10 x 10
1 3 3 2 3 3
解得 ， （舍去）
16 16 16 16
y 10 y 10
1 9 9 2 9 9
104 10 1616 10
∴P( , )
3 9
104 10 1616 10
( , )
综上所述，点P的坐标为 3 9 或(2,8)．
(3)存在．
如图，以CQ为边，
过H作HG⊥AB于G，
OB2OC2 22 62 2 10
在Rt BOC中，BC=
△
∵四边形BCQH为菱形，
2 10 BH∥AC
∴BH= ，
∴∠HBG=∠BAC=45°，
∴△BHG为等腰直角三角形，
2 5
∴BG=HG= ，
22 5,2 5
∴H（ ）；
如图，以CQ为对角线，设BH与AC相交于N，
∵A（-6，0），C（0，-6），
∴直线AC解析式为y=-x-6，
∵四边形BCHG为菱形，
∴BH⊥AC，BC=HC，
∴设BH解析式为y=x+n，
∴2+n=0，
∴n=-2，
∴直线BH解析式为y=x-2，
设H（x，x-2），
∵BC=HC，
(x0)2(x26)2 (2 10)2
∴ ，
x 2
∴x 1 6， 2 （舍去）
当x=-6，时，y-6-2=-8，
∴H（-6，-8），
22 5,2 5
综上所述，当H的坐标为（ ）或（-6，-8）时，点Q，C，B，H为顶点的四边形为菱形．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的性质，勾
股定理，菱形的性质等知识，同时也考查了分类讨论数学思想．能准确进行分类讨论是解题的关键．
考点8：与二次函数有关的动点问题3
y x3
典例：（2022·辽宁抚顺·三模）如图，直线 4 与 x 轴，y轴交于 A ， B 两点，抛物线 yx2bxc
经过A，B两点，M 是射线BA上一动点，MN∥y轴交抛物线于点N ．
(1)求抛物线的解析式；
AN BN M AB S △ABN S △ABO M
(2)连接 ， ，点 在线段 上，若 ，求此时点 的坐标；
(3)点M 从点B出发，沿射线BA方向以每秒5个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何
值时，MBMN，请直接写出所有符合条件的t值．
3
y x3
解： (1)∵直线 与 轴，y轴交于 ， 两点，
4 x A B
3
x30
∴当y0时，
4
，
∴x4，
A4,0
∴ ．
3
∴当 时，
y 033
，
x0 4
B0,3
∴ ．
yx2bxc
A B
∵抛物线 经过 ， 两点，
0424bc
∴ 30240c，
13
b
∴ 4 ，
c313
∴y x2 x3．
4
(2)如图1，延长MN交x轴于点C，
A4,0 B0,3
∵ ， ，
∴OA4，OB3，
1
S OAOB6
∴ △ABO 2 ．
3 13
设点Mm, m3，则Nm,m2 m3，
4 4
3 13
∴MN m3m2 m3m24m，
4 4
S
∴
ABN
S S
△AMN △BMN
1 1
MN OC MN AC
2 2
1
MN OA
2
2m28m
S S
△ABN △ABO
∵ ，
∴2m28m6，
m 1 m 3
1 2
∴ ， ，
3 9
的坐标为3, 或1, ．
M 4 4M N M MC y C MCB90
(3)如图2，当 在点 上方时，过点 作 轴，垂足为点 ，则有 ，
∵AOB90，
AB OA2OB2 4232 5
∴ ，
OA 4
sinABO
∴ ，
AB 5
在Rt△BCM 中，MB5t，
∴MC MB
sinABO4t，
x 4t x 4t
M N
∴ ， ，
3 13
∴ y 4t33t3 ， y 4t2 4t316t213t3 ，
M 4 N 4
MN 3t3 16t213t3 16t216t
∴ ．
当MBMN时，有5t 16t216t，
11
解得t
1
0舍去， t
2
16
，
11
t
∴ ；
16
M N M MC y C
如图3，当 在点 下方时，过点 作 轴，垂足为点 ，y 3t3 y 16t213t3
∴ M ， N ，
MN 16t213t3 3t316t216t
∴ ，
当MBMN时，5t16t216t，
21
∴t
3
0舍去， t
4
16
，
11 21
综上所述，符合条件的 值为 或 ．
t 16 16
巩固练习
1．（2021·辽宁·盘锦市双台子区第一中学九年级期中）如图，正方形ABCD的边长为2cm，点P，点Q同
时从点A出发，速度均为2cm/s，点P沿A－D－C向点C运动，点Q沿A－B－C向点C运动，则△APQ
的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间函数关系的大致图象是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
1
分两种情况讨论：当Q、P两点分别在AB、AD上时，可得 S t2 ， ；当Q、P两点分别在BC、
2 0t1
DC上时，连接AC，可得QC=4-t，PC=4-t，根据△APQ的面积为四边形AQCP的面积减去△CQP面积，
S S S S
△AQP △AQC △APC △PQC
以及四边形AQCP的面积等于△AQC与△APC的面积之和，则有 ，进而有
1
S t22t
， ，综上可以求出S与x的关系式，即可求解．
2 1t2
【详解】
当Q、P两点分别在AB、AD上时，即
可知AQ=t，AP=t，
1
AQP的面积为： S t2 ， ；
2 0t1
△
当Q、P两点分别在BC、DC上时，
连接AC，如图，
根据题意有：AB+BQ=t，则QC=AB+BC-(AB+BQ)，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AB=BC=CD=AD=2，
∴QC=4-t，
同理可得PC=4-t，∵△APQ的面积为四边形AQCP的面积减去△CQP面积，
又∵四边形AQCP的面积等于△AQC与△APC的面积之和，
S S S S
△AQP △AQC △APC △PQC
∴ ，
1 1 1 1
∵ S △AQC 2 QCAB4t 、 S APC 2 PCAD4t 、 S △PQC 2 QCPC 2 (4t)2 ，
1 1 1
S 4t4t (4t)2 S 4t4t (4t)2 t22t
∴ ，整理得： ，
2 2 2
1
S t22t
∴ ， ，
2 1t2
1
t2 0t1
2
则有
S
,
1
t22t 1＜t2
2
据此可知选C，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质的知识，掌握函数图象的性质以及分类讨论是解答本题的关键．
2．（2022·浙江·诸暨市大唐镇初级中学九年级开学考试）如图1，等边△ABC中，点P为BC边上的任意
一点（不与点B、C重合），且∠APD＝60°，PD交AB于点D．设BP＝x，BD＝y，如图2是y关于x的函
数图象，则等边△ABC的边长为（ ）
3 3
A．2 B．2 C．4 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数图象可得，当x=2时，y=1，利用含30度角的直角三角形的性质得出∠BPD=30°，再由等边三角形的性质即可得出结果．
【详解】
解：根据函数图象可得，
当x=2时，y=1，
∵PD⊥AB，
∴∠PDB=90°，
1
BD PB
∵ ，
2
∴∠BPD=30°，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BC，
∴BC=2PB=4，
∴等边三角形的边长为4，
故选：C．
【点睛】
题目主要考查等边三角形的性质及与二次函数图象的结合，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，
综合运用这些知识点是解题关键．
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图1，在Rt△ABC中，ABC 90，已知点P在直角边AB上，以
1cm/s的速度从点A向点B运动，点Q在直角边BC上，以2cm/s的速度从点B向点C运动．若点P，Q同
VBPQ y cm2 ts
时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是 的面积 与点P的运动时间 之
间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（ ）
3 5cm 4 5cm 5 5cm 6 5cm
A． B． C． D．【答案】B
【解析】
【分析】
PBatcm BQ2t cm RtPBQ VBPQ y cm2
根据题意，得出 ， ，在 中，根据面积公式得到 的面积 与点
a 2 a2 a
P的运动时间ts之间的函数关系yt2at，利用顶点式 y t 2 4 得出当 t 2 时，y有最大值
a2
为 4，从而求出 运动时间是 ，求出 ，根据勾股定理即可得出结论．
4 P、Q t 4s AB4cm,BC 8cm
【详解】
ts ABa cm APt cm BQ2t cm
解：设运动时间 ， ，则 ， ，
RtPBQ ABC 90
PBatcm
BQ2t cm
在 中， ， ， ，则
1 1 a 2 a2
y PBBQ 2tatt2at t
2 2 2 4 ，
a a2
当t 时，y有最大值为 4，
2 4
解得a4，即t 2，
VBPQ y cm2 ts
根据 的面积 与点P的运动时间 之间的函数关系可知，
x 0,0 4,0 P、Q t 4s
抛物线与 轴交于 和 两点，即 运动时间是 ，
AB4cm,BC 8cm，
在Rt△ABC中，ABC 90，AB4cm,BC 8cm，
AC AB2BC2 4282 4 5cm
根据勾股定理可得 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了几何图形中动点形成的图形面积的函数问题，涉及到三角形面积公式的运用、勾股定理、二次
函数的图像与性质等知识点，看懂题意，将几何图形中点的运动情况与函数图像对应起来得到方程是解决问题的关键．
4．（2022·河南·郑州外国语中学一模）如图，Rt
ABC中，BAC 90．AB AC 2，点D是射线AB
上的动点（点D不与点A、B重合），点E在线段AC的延长线上，且AD AE．连接DE、BE，在AB的
下方过点D作DF平行且等于BE．设AD x．四边形DEBF的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函
数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先证得四边形DEBF为平行四边形，可得S DEBF=2S BED，然后分两种情况讨论：当02时，点D在AB的延长线上，即可求解．
【详解】
解：DF∥BE，DF=BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴S DEBF=2S BED，
四边形
△
当02时，点D在AB的延长线上，此时 ，
1
∴ S x2,S x ，
ADE 2 ABE
1
∴S 2( x2x)x22x，
四边形DEBF 2
综上所述，y与x的函数关系为：
x22x(0x2)
y
x22x(x2) ，
∴在02上函数是一段递增的开口向上的抛物线．
故选：B
【点睛】
本题考查了动点问题函数的图象，体现了分类讨论的数学思想，求出函数的表达式是解题的关键．
yx22x3
5．（2022·广西·中考真题）已知抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
(1)求点A，点B的坐标；
l:yx1
(2)如图，过点A的直线 与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接
PA、PC，设点P的纵坐标为m，当PAPC时，求m的值；
(3)将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线
ya(x22x3)(a0)
与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．5 5
a x
【答案】(1)A（-1，0），B（3，0）(2)-3(3) 或 或
4 x1 3
【解析】
【分析】
y0 (x3)(x1)0
（1）令 ，由抛物线解析式可得 ，解方程即可确定点A，点B的坐标；
（2）由抛物线解析式确定其对称轴为x1，可知点P（1，m），再将直线l与抛物线解析式联立，解方程
组可确定点C坐标，由PAPB列方程求解即可；
5
（3）根据题意先确定点M（0，5）、N（4，5），令 ya(x22x3)5 ，整理可得
x22x(
a
3)0
，
20
16
根据一元二次方程的根的判别式为可知 ，然后分情况讨论 时以及 结合图像分析a的
a 0 0
取值范围．
yx22x3(x3)(x1) y0
(1)解：抛物线解析式 ，令 ，
可得(x3)(x1)0，
x 1 x 3
解得 1 ， 2 ，
故点A、B的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）；
2
(2)对于抛物线 ，其对称轴为
x 1
，
yx22x3 2(1)
∵点P为抛物线对称轴上的一点，且点P的纵坐标为m，
∴P（1，m），
将直线l与抛物线解析式联立，可得
yx22x3 x1 x4
yx1 ，可解得 y0 或 y5，
故点C坐标为（4，-5），
PA [1(1)]2m2 m24
∴ ，
PB (41)2(5m)2 m210m34
，
当PAPB时，可得m24m210m34，
解得m3；(3)将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，
结合（1），可知M（0，5）、N（4，5），
5
令 ya(x22x3)5 ，整理可得
x22x(
a
3)0
，
5 20
其判别式为(2)241( 3)16
，
a a
20 5
16 0 a
①当
a
时，解得
4
，此时抛物线 ya(x22x3)(a0) 与线段MN只有一个交点；
20 5
②当
16 0
即时，解方程
x22x( 3)0
，
a a
20
2 16
可得 a 5 ，
x 1 4
21 a
5 5
x 1 4 x 1 4
即 1 a ， 2 a ，
若a0时，如图1，
20 5
由16 0
，可解得
a
，
a 4
5 5
1 4 4 1 4 0
此时有 a ，且 a ，
5
x
解得 ；
3
②当a0时，如图2，
20
由16 0
，可解得 ，
a a05 5
1 4 4 1 4 0
此时有 a ，且 a ，
解得x1；
5
a
综上所述，当抛物线 ya(x22x3)(a0) 与线段MN只有一个交点时，a的取值范围为 4 或 x1
5
x
或 ．
3
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合应用，包括求二次函数与x轴的交点、利用二次函数解决图形问题等知识，
解题关键是熟练运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
6．（2021·吉林辽源·九年级期末）如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，线段AB上一动
点D，以1cm/s的速度从点A出发向终点B运动△．过点D作DE⊥AB，交折线AC－CB于点E，以DE为一
边，在DE右侧作正方形DEFC．设运动时间为x（s）（0＜x＜4）．正方形DEFG与△ABC重叠部分面积
为y（cm2）．
(1)当x＝ s时，点F在BC上；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．4 4 7 4 1
【答案】(1)
3
(2)
y
=x2（0x
3
）；y
2
x212x8（
3
x2）；y
2
x24x8（
2x4
）
【解析】
【分析】
4
（1）如图1，当F在BC上时，易证AD= DE= DG=FG=GB= ，由此求出AD的长即可解决问题．
3
4 4
0x x2
（2）分三种情况讨论：如图2中，当 时，重叠部分是正方形DEFG；如图3中，当 时，
3 3
重叠部分是五边形DEMNG；如图4中，当2x4时，重叠部分是 DEB，分别求解即可解决问题．
(1)解：如图1，
∵∠C=90，AC=BC
∴∠A=∠B=45
∵DEAB，AB=4cm，正方形DEFG
∴当F在BC上时，
4
∴AD= DE= DG=FG=GB=
3
AD 4
∴运动时间x= = s
1 3
4
∴当x＝ s时，点F在BC上．
3
(2)解：∵∠C=90，AC=BC
∴∠A=∠B=45
∵DEAB，正方形DEFG，动点D以1cm/s的速度从点A出发向终点B运动
∴AD=DE=DG=FG=x
4
0x
当 时，如图2，重叠部分是正方形DEFG
3
∴y=S DEFG= DG2=x2
正方形4
x2
当 时，如图3，
3
正方形DEFG与BC边相交于M，N，重叠部分是五边形DEMNG
S
∴y=S DEFG-
MFN
正方形
∠FMN=∠B=45
∴FN=FM
∵AB=4
∴NG=BG=AB-AG=4-2AD=4-2x
∴FN=FG-NG=x-（4-2x）=3x-4
1 1 1 9
S FNFM FN2 (3x4)2 x212x8
∴
MFN 2 2 2 2
9 7
∴
yx2( x212x8) x212x8
2 2
当2x4时，如图4
此时，点G与点B重合，重叠部分是 DEB
∴BD=DE
1 1 1 1
∴ yS BD2 (ABAD)2 (4x)2 x24x8
DEB 2 2 2 2
∴y关于x的函数解析式为：
4
0x
y
=x2（
3
）；
7 4
y x212x8
（
x2
）；
2 3
1
y x24x8（ ）．
2 2x4【点睛】
本题考查二次函数与几何的动态综合，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会
用分类讨论的思想思考问题，根据相关图形的面积公式等构造二次函数．
l :y2x6 y3x2
1
7．（2022·福建三明·模拟预测）已知直线 交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数
bxc的图像经过A、B两点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)设动点M的横坐标为m，当动点M在AB下方的抛物线上运动时，求△MAB的面积S关于m的函数表达
式．
l :xa l l
(3)有一条动直线 2 ，直线 2在AO之间移动（包括A，O两端点），直线 2交抛物线于点Q，当
△QAB的面积是△QAO面积的2倍时，求a的值．
y3x211x6
【答案】(1)
9 27
S m2 m
(2)
2 2
4 4
(3)
a
或
a
3 9
【解析】
【分析】y3x2bxc
（1）先根据一次函数解析式求出点A、点B坐标，将A，B点代入 中，求b，c，即可求出
抛物线解析式；
（2）过点M作MP//y轴交AB于点P，故P点坐标为（m，2m6），M点坐标为（m，3m211m6
），即可表示出MP的长，利用面积的和差即可得到答案，△MAB的面积＝△MPA的面积＋△MPB的面
积；
9 27
（3）根据题意可知Q点横坐标为a3a0，由（2）可知 S
ABQ
2
a2
2
a ，
1 9 33
S AO y a2 a9
AOQ 2 Q 2 2 ，再根据△QAB的面积是△QAO面积的2倍，
9 33 9 27
2 a2 a9 a2 a
得 2 2 2 2 ．即可求得a值．
l :y2x6
1
(1)解：∵直线 交x轴于点A，交y轴于点B，
y3x2bxc
∴点A为（－3，0），点B为（0，6）．将A，B点代入 中，得
c6 b11
273bc0，解得c6
y3x211x6
故抛物线表达式为 ．
(2)如图，过点M作MP//y轴交AB于点P，故P点坐标为（m，2m6），M点坐标为（m，3m211m6），
MP2m6 3m211m6 3m29m
∴ ．
∵△MAB的面积＝△MPA的面积＋△MPB的面积，
1 9 27
S 3m29m 3 m2 m
∴ ．
2 2 2
(3)根据题意可知Q点横坐标为a，
9 27 1 1 9 33
S a2 a S AO y 33a211a6 a2 a9
由（2）可知 ABQ 2 2 ， AOQ 2 Q 2 2 2
∵△QAB的面积是△QAO面积的2倍，
9 33 9 27
∴2 a2 a9 a2 a
2 2 2 2
4 4
解得 （舍）或
a
或
a
．
a3 3 9
【点睛】
本题主要考查的二次函数的综合应用、解答本题需要同学们熟练掌握二次函数的图象和性质、待定系数法求函数的解析式，用含m的式子表示出MP的长是解题的关键．
8．（2022·吉林吉林·一模）如图，Rt
ABC，C 90，A30，BC 2．P，Q两点分别从A，C
同时出发，点P沿折线ABC向终点C运动，在AB上的速度为每秒4个单位长度，在BC上的速度
Q 3 CA P PD AC
为每秒2个单位长度；点 以每秒 个单位长度的速度沿线段 向终点A运动．过点 作 于点
D，以PD，DQ为邻边作矩形PDQE．设运动时间为x秒，矩形PDQE和 ABC重叠部分的图形面积为
y
．
(1)当点Q和点D重合时，x______；
y
(2)求 关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)在运动过程中，连接PQ，取PQ中点O，连接OC，直接写出OC的最小值．
2
【答案】(1)3
2 2 3 3
0x x1 y x22 3x2 3
(2)当 3时，y6 3x24 3x；当3 时， 2 ；当1 x2时，
5 3
y x26 3x2 3
2
2 21
(3)
7
【解析】
【分析】
AD、CQ、AC ADCQ AC
（1）根据题意，求出 ，当 时即可得出结论；
2 2
0x x1
（2）根据题意，分三种情况：①当
3
时；②当
3
时；③当1 x2时，作图求解即可得到结论；
（3）在（2）的分类讨论基础上，利用勾股定理求解即可．
(1)解：在Rt
ABC中，C 90，A30，BC 2，
AC 2 3
，
P AB Q 3 CA
在 上的速度为每秒4个单位长度，点 以每秒 个单位长度的速度沿线段 向终点A运动，设
x AP4x,CQ 3x
运动时间为 秒，则 ，
Rt APD ADP90 A30 AP4x AD2 3x
在 中， ， ， ，则 ，
2
x
当点 和点 重合时， ，即 ，解得 ，
Q D ADCQ AC 2 3x 3x2 3 3
2
故答案为：3；
2
0x
(2)解：如图①，当 时，
3
在Rt
APD中，AP4x，A30，
PD2x AD2 3x
∴ ， ，
DQ AQAD2 33 3x
∴ ，
yPDDQ2x 2 33 3x 6 3x24 3x
∴ ；
2
x1
如图②，当 时，
3Rt△AFQ AQ2 3 3x A30
在 中， ， ，
∴FQ2x，
DQ ADAQ3 3x2 3
∵ ，
∴y 1 DQFQPD 1 3 3x2 3 2x2x 3 3 x22 3x2 3，
2 2 2
如图③，当1 x2时，
在Rt△BPG中，BP2x2，B60，
PG2 3x2 3
∴ ，
1 1 1
yS S S ACBC AQFQ BPPG
∴
△ABC △AFQ △BPG 2 2 2
1
22 3
1
2 3 3x
2x 1 2x2
2 3x2 3
5 3
x26 3x2 3；
2 2 2 2
2
0x
(3)解：如图①，当 时，
3PD2x DQ2 33 3x CQ 3x
由（1）（2）知 ， ， ，
取PQ中点O，连接OC，
1 1 3
CO PDx，CF CQ DQ 3 x，
2 2 2
6 2 48
2 7x
3 7x212x12 7 7
CO OF2CF2 x2 3 x ，
2 2 2
6 2
x
开口向上，对称轴为 ，
7 3
2 6 2 48
7
2 3 7 7 8
当x 时， 有最小值，为 ；
3 CO 2 3
2
x1
如图②，当 时，
3
PD2x DQ3 3x2 3 CQ 3x
由（1）（2）知 ， ， ，
取PQ中点O，连接OC，
1 1 3
CO PDx，CF CQ DQ 3 x，
2 2 2
6 2 48
2 7x
3 7x212x12 7 7
CO OF2CF2 x2 3 x ，
2 2 2
6 2 6
x 1
开口向上，对称轴为 ， ，
7 3 7
6 6 48
7
6 7 7 7 2 21
当x 时， 有最小值，为 ；
7 CO 2 7
如图③，当1 x2时，
PDPD42x CQ 3x
由（1）（2）知 ， ，
取PQ中点O，连接OC，
8 2 48
1 PC2CQ2 42x2 3x 2 7x216x16 7 x 7 7
CO PQ ，
2 2 2 2 2
8 8
开口向上，对称轴为x ， 1 2 ，
7 7
8 8 48
7
8 7 7 7 2 21
当x 时， 有最小值，为 ；
7 CO 2 7
8 2 21
，
3 7
2 21
最小值为 ．
OC 7
【点睛】
本题考查几何动点问题综合，涉及到特殊角直角三角形三边关系、勾股定理、矩形的性质，中点性质、二
次函数性质、分类讨论思想等，根据点的运动情况分类讨论是解决问题的关键．
9．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学二模）如图，在矩形ABCD中，BC＞CD，BC、CD分别是一元二次方
程x2－7x＋12＝0的两个根，连接BD，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，点P从B出发，以每秒1个单位
的速度沿BD方向匀速运动到D为止；点M沿线段DA以每秒1个单位的速度由点D向点A匀速运动，到
点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．
(1)求线段CN的长；
(2)在整个运动过程中，当t为何值时△PMN的面积取得最大值，最大值是多少？
12
【答案】(1)
5
24
S
(2)当 t 4 时， 最大 25
【解析】
【分析】
（1）首先解一元二次方程得到BC=4，CD=2，然后利用等积法求出CN；
16 16
（2）分0＜t≤ 和 ＜t≤4两种情况列出函数解析式，利用二次函数的性质求出最大值．
5 5
(1)解：x27x120
x 3 x 4
1 2
解得 ，
∵BC CD
∴BC 4，CD3
∵四边形ABCD是矩形，BC 4，CD3
∴BD51 1
∴ BDCN 34
2 2
12
CN
∴ ；
5
16
BN
(2)由题可知，
5
16
0t
①当 时，过点M作MH⊥BD，垂足为H
5
设△PMN的面积为S
1 116 3 3 16 3 8 2 96
S PNMH t t t2 t t
则 2 2 5 5 10 5 10 5 125
8 16
0
∵
5 5
8 96
∴当 t 时S
5 最大 125
16 1 1 16 3
②当 ＜t4时，S PNMH t t
5 2 2 5 5
此时，S随t的增大而增大
24
S
∴当 t 4 时， 最大 25
24
综合①②知，当t=4时，△PMN的面积取得最大值，最大值是 ．
25
【点睛】
本题考查利用二次函数解决面积最大问题，解决问题的关键是根据t值分情况列出函数解析式．
yax2bxc(a0) x
10．（2022·山东济宁·三模）如图，平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于
A1,0 B3,0 y C0,2
， 两点，与 轴交于点 ．(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是第一象限内抛物线上一动点，设点D的横坐标为m，连接CD，BD，BC，AC．当m
何值时，△BCD的面积最大？最大面积是多少？
(3)如图2，若点N 为抛物线对称轴上一点，探究抛物线上是否存在点M ，使得以B，C，M ，N 为顶点
的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
2 4
【答案】(1)y x2 x2
3 3
3 9
m
(2)当 时， 的面积最大为
2 △BCD 4
10 10
(3)存在，
2,
3
，
4,
3
或2,2
【解析】
【分析】
（1）根据题意，利用待定系数法确定二次函数解析式；
2 4
Dm, m2 m2
（2）设D点的横坐标为m，因D在这个二次函数的图象上，则有 3 3 ，进而利用
S S S S m S
△BCD △OCD △OBD △BOC △BCD
，用含 的代数式表示 ，最后利用二次函数的顶点式求出面积的最大值；
2 4
（3）设Mt, t2 t2，利用平行四边形的中心对称性分 、 和 分别是平行四边形的对角
3 3 MB MC MN
线三种情况，分别求解即可．
A1,0 B3,0 C0,2 yax2bxc
(1)把 ， ， 代入 得：abc0
9a3bc0
，
c2
2
a
3
4
b
解得： ，
3
c2
2 4
∴抛物线的解析式为：y x2 x2；
3 3
(2)
连接OD，
∵ 点D在第一象限的抛物线上，且横坐标为m，
2 4
∴Dm, m2 m2，且 ，
3 3 0m3
S S S S
△BCD △OCD △OBD △BOC
∴
1 1 1
OC x OB y OB OC
2 D 2 D 2
1 1 2 4 1
2m 3 m2 m2 23
2 2 3 3 2
m23m
3 2 9
m
2 4，
3 9
m
∴当 时， 的面积最大为 ．
2 △BCD 4
(3)存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形．2 4
设M（t， t2＋ t＋2），
3 3
∵ 抛物线上的对称轴是直线x＝1，且点N在对称轴上，
x 1
N
∴ ，
①当MB为对角线时，
x x x x
M B C N
∵ ，
∴t301，
解得：t2，
10
∴M2, ，
3
②当MC为对角线时，
x x x x
M C B N
∵ ，
∴t031，
解得：t 4，
10
∴M4, ，
3
③当MN为对角线时，
x x x x
M N B C
∵ ，
∴t130，
解得：t 2，
M2,2
∴ ，
10 10
综上所述，符合条件的点 的坐标为2, ，4, 或M2,2．
M 3 3
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合应用，涉及到平行四边形的性质、图形面积的计算，其中第（3）小问，要
注意分类求解，避免遗漏．灵活运用所学知识是解本题的关键．
考点9：二次函数营销问题
典例：（2022·河北石家庄·九年级期末）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y
（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的两组对应值如表：售价x（元/件） 40 50
周销售量y（件） 120 100
周销售利润w（元） 2400 3000
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
(1)每件商品的进价为 元/件，y与x的函数关系式为 （不要求写出自变量的取值范围）；
(2)当每件商品售价x为多少元时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；
(3)若该商品每件进价提高了4元，其每件售价不超过m元（m是大于50的常数，且是整数），该商店在
销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，直接写出周销售的最大利润．
解：（1）由表中数据知，每件商品进价为：40﹣2400÷120＝20（元），∴每件进价 20元；设一次函数解
40kb120
析式为y＝kx+b，根据题意，得50kb100，解得：k＝﹣2，b＝200，所以y与x的函数表达式为y＝﹣
2x+200；故答案为：20，y＝﹣2x+200；
（2）由题意，得w＝（﹣2x+200）（x﹣20）＝﹣2x2+240x﹣4000＝﹣2（x﹣60）2+3200，∵﹣2＜0，∴当
x＝60时，w有最大值，最大值为3200，∴当每件售价为60元时，周销售利润w最大，最大利润为3200
元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣20﹣4）（﹣2x+200）＝﹣2x2+248x﹣4800＝﹣2（x﹣62）2+2888，∵﹣2＜
0，对称轴为x＝62，24≤x≤m，∴当50＜m＜62时，周销售最大利润为﹣2m2+248m﹣4800，当m≥62时，
周销售最大利润为2888元．
巩固练习
1．（2022·浙江金华·九年级期末）种植户王大伯的大棚种植了许多优质草莓．因受疫情影响，多地封村村
路，无法正常销售，于是就进行了网上预订送货销售活动．在销售的30天中，第一天卖出20kg，为了扩
大销售，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4kg．第x天的售价为y元/kg，y关于x的解析式为
kx76k(1x＜20，且x是正整数)
y
b(20x30，且x是正整数，b是常数)．第12天的售价为32元/kg，第26天的售价为25元/kg．已知
种植销售草莓的成本是18元/kg，设第x天的销售量为p kg，利润为W元（利润＝销售收入－成本）．
(1)k＝______，b＝______；
(2)请写出p关于x的函数关系式： ______；
(3)求销售草莓第几天，当天销售利润最大？最大利润是多少元？1
【答案】(1) ，25(2)p=4x+16(3)第18天利润最大，最大利润为968元
2
【解析】
【分析】
（1）根据题意，得12k-76k=32，计算即可，根据b是常数，b就是第26天的售价．
（2）根据以后每天比前一天多4kg，第x天的销售量就是20+（x-1）×4，整理得4x+16，这就是所求．
（3）分两个时间段，分别求出最值，比较两个最值的大小，下结论即可．
1
（1）根据题意，得12k-76k=32，解得k= ；∵ b是常数，b就是第26天的售价，∴b=25，故答案为：
2
1
，25．
2
（2）∵ 以后每天比前一天多4kg，∴第x天的销售量就是20+（x-1）×4，整理得4x+16，∴p=4x+16，故
答案为：p=4x+16．
1
x38
（3）当1≤x＜20时，W= (4x+16)(
2
)-(4x+16)×18= 2(x18)2968，故当x=18时，W有最大值，
且最大值为968，即第18天的利润最大，最大利润为968元；当20≤x≤30时，W= (4x+16)×25-
(4x+16)×18=28x+112，根据一次函数的性质，y随x的增大而增大，故当x=30时，W有最大值，且最大值
为840+112=952，即第30天的利润最大，最大利润为952元；∵968＞952，∴第18天的利润最大，最大
利润为968元．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质和抛物线的性质是解题的关键．
2．（2022·河南周口·九年级期末）某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，
售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映；调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售
价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为60＋x（元/件）（x0即售
价上涨，x0即售价下降），每月商品销量为y（件），月利润为w（元）．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？
(3)为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？
10x300(0x30)
y
【答案】(1) 20x300(20x0)(2)售价为65元时，月利润最大，最大月利润为6250元
(3)将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元【解析】
【分析】
（1）直接根据题意，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，进而得出等量关
系，列出函数关系式；
（2）利用每件利润×销量=总利润列出w与x之间的函数关系式，进而利用配方法求出即可；
（3）利用函数图象结合一元二次方程的解法得出符合题意的答案．
10x300(0x30)
y
（1）解：由题意得涨价时：y30010x，降价时：y30020x，即 20x300(20x0)．
60x4010x300(0x30) 10x2100x6000
w w{
（2）解：由题意可得： 60x4020x300(20 x0)，化简得： 20x2100x6000 ，即
10x52
6250
w
5
2
，∵6125＜6250，∴当售价上涨5元，即售价为65元时，月利润最大，最大月利
20x 6125
2
润为6250元；
5 2
（3）解：令w=6000，即600010x526250， 600020
x
2
6125
，解得：x 1 =10，x 2 =0，
x=-5．∵-10<0，-20<0，∴当w≥6000时，-5≤x≤10,∴55≤60+x≤70，故将销售价格控制在55元到70元之间
3
（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值等知识，利用自变量x的取值范围分情况得出
函数解析式是解题的关键．
2．（2022·江西赣州·九年级期末）5G提速了，网络丰富了大家的生活！小石通过某平台进行带货直播销
售一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售
单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x
元时（x为正整数），月销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？
(3)每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【答案】(1)：y﹣10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；
(2)每件文具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元
(3)每件文具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
【解析】
【分析】
（1）根据题意知一件文具的利润为（30+x﹣20）元，月销售量为（230﹣10x），然后根据月销售利润＝
一件文具的利润×月销售量即可求出函数关系式．
（2）把y＝2520时代入y＝﹣10x2+130x+2300中，求出x的值即可．
（3）把y＝﹣10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x＝6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，
分别计算出当x＝6和x＝7时y的值即可．
（1）解：根据题意得：y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0＜
x≤10且x为正整数；
（2）解：当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，解得x＝2，x＝11（不合题意，舍去）当x＝2时，
1 2
30+x＝32（元）答：每件文具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．
（3）解：根据题意得：y＝﹣10x2+130x+2300＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝6.5时，
y有最大值为2722.5，∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），当x＝7时，
30+x＝37，y＝2720（元），答：每件文具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月
利润是2720元．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用
到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．
3．（2022·河南新乡·九年级期末）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“精准扶贫”优
惠政策，使贫困户收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，
市场调查发现，该产品每天的销售量 y （千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y2x80．设这
种产品每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克30元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销
售价应定为每千克多少元？
【答案】(1)w=-2x2+120x-1600(2)销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元(3)每千克25元
【解析】
【分析】
（1）根据销售额=销售量×销售单价，列出函数关系式；
（2）用配方法将（1）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；
（3）把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．
（1）解：由题意得出：w=（x-20）∙y=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600，∴w与x的函数关系式为：
w=-2x2+120x-1600；
（2）w=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200，∵-2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．答：该
产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．
（3）当w=150时，可得方程-2（x-30）2+200=150．解得 x=25，x=35． ∵35＞30，∴x=35
1 2 2
不符合题意，应舍去． 答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
【点睛】
本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题．
4．（2022·广东湛江·一模）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，吉祥物“冰墩
墩”备受人民的喜爱． 某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为每件40元，据市场分析，若按每件80元
销售，一个月能售出100件；销售单价每降1元，月销售量就增加5件，针对这种玩具的销售情况，请解
答以下问题：
(1)设每件玩具的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件．直接写出y与x的函数关系式；
(2)设该商店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
(3)该商店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低
于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定吉祥物玩具的销售单价？
y5x500
【答案】(1)
(2)当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元；
(3)吉祥物玩具的销售单价应定为66元一件．
【解析】
【分析】
（1）根据“若按每件80元销售，一个月能售出100件；销售单价每降1元，月销售量就增加5件”列式
即可；
（2）列出利润w关于售价x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求出最值，再求出此时降低的价格即可；
（3）根据题意列出不等式，利用二次函数的图象求出x的取值范围，然后根据要让消费者得到最大的实惠
确定销售单价．
y10080x55x500
（1）解：设每件玩具的售价为x元，每月的销售量为y件，由题意得： ，
y5x500
即y与x的函数关系式为： ；
（2）设该商店每月获得的利润为w元，由题意得：
w5x500x405x2700x200005x7024500
，∴当售价为70元时，每月获得的利润最
大，最大利润为4500元，80－70＝10（元），答：当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大
利润是4500元；
w5x2700x200002004220 5x2700x200002004220
（3）由题意得： ，当 时，解得：x＝
74或66，∵－5＜0，∴二次函数w5x2700x20200的图象开口向下，∴当66 x74时，
w5x2700x200002004220
，∵要让消费者得到最大的实惠，∴x＝66，答：吉祥物玩具的销售单
价应定为66元一件．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，涉及求二次函数的最值，根据二次函数的图象求不等式解集等知识，能
够根据题意正确列出函数解析式及不等式是解题的关键．
5．（2022·安徽滁州·九年级期末）某运动品牌销售商发现某种运动鞋市场需求量较大，经过市场调查发现
yx800
月销售量y（双）与销售单价x（元）之间的函数关系为 ，而该种运动鞋的进价z（元）与销售
1
z x240
单价x（元）之间的函数关系为 ，已知销售商每月支付员工工资和场地租金等费用总计20000
5
元（注：月获利=月销售总额-月进货总价-工资和租金费用）
(1)求月获利W（元）与x之间的函数关系式；
(2)当销售单价x为何值时，月获利最大，最大值为多少？
(3)若该销售商销售这种品牌运动鞋的月获利不低于2.2万元，请确定销售单价的范围，在此情况下，要使
销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？4
【答案】(1)W x2880x212000(2)当销售单价为550元时，月获利最大，最大值为30000元(3)450元
5
【解析】
【分析】
（1）根据w=（x-z）y-20000，整理可得w与x的关系式；
（2）把二次函数解析式化成顶点式可得最大值；
（3）根据题意列出一元二次方程，解方程，再根据二次函数的性质可得答案．
1 4
(1)解：根据题意得∶W (xz)y20000x x240(x800)20000 x2880x212000；
5 5
4 4
(2)解：W x2880x212000 (x550)230000，
5 5
4
0
∵ ，
5
∴当销售单价为550元时，月获利最大，最大值为30000元；
4
(3)解：当月获利为2.2万元时，即 (x550)23000022000，解得x 450，x 650．
5
1 2
画出W关于x的函数图象的草图，如图，
利用图象可知要使月获利不低于2.2万元，销售单价应在450元到650元之间．
∵销售单价越低，销售量越大，又要使月获利不低于2.2万元，
∴销售单价应定为450元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，
求出相应的函数解析式．
6．（2022·江苏淮安·九年级期末）某电脑科技公司开发出一种半导体软件，从研发到年初上市后，经历了
从亏损到盈利的过程，如图所示的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累计利润y（万元）与销
售时间x（月）之间的函数关系，根据图象提供的信息解答下列问题：(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)截止到几月末公司累计利润达到30万元？
1 3
【答案】(1)
y x2x
(2)9月末
2 2
【解析】
【分析】
（1）设y=a（x-1）2-2，把图中坐标代入求解；
（2）令y=30，代入解析式求出x即可．
(1)解：设y=a（x-1）2-2，
把（4，2.5）代入得：
2.5=a（4-1）2-2，
1
解得a=2，
1 1 3
y x122 x2x
∴函数表达式为： ；
2 2 2
1 3
x2x 30
(2)由题意得： ，
2 2
解得：x=9，x=-7（舍），
1 2
∴截止到9月末公司累计利润达到30万元．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，解题时要从图像中寻找关键信息，获取点的坐标．
7．（2022·江苏淮安·九年级期末）某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天
销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：
售价x（元/件） 55 65销售量y（件/天） 90 70
(1)直接写出y关于售价x的函数关系式： ；
(2)若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？
(3)设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多
少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？
【答案】(1)y＝－2x＋200(2)60元或者90元(3)w＝－2x2＋300x－10000，75元
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数过（55，90）（65，70）可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进
而确定函数关系式，
（2）根据利润为800元列方程解答即可，
（3）先求出总利润W与x的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利
润．
(1)解：设y关于售价x的函数关系式为y=kx+b，把（55，90）（65，70）代入得：
55kb90
65kb70，
k 2
∴b200，
∴y与x的之间的函数关系式为y＝－2x＋200，
故答案为：y＝－2x＋200；
(2)若某天销售利润为800元，
则（x－50）（－2x＋200）＝800，
解得：x＝60，x＝90，
1 2
答：该天的售价为60元或者90元；（题意没有其它说明，无需取舍）
(3)设总利润为w，根据题意得，
w＝（x－50）（－2x＋200）＝－2x2＋300x－10000＝－2（x－75）2＋1250
∵a＝－2＜0，
∴当x＝75时，w有最大值，
答：当销售单价定为75元时利润最大．
【点睛】本题考查一次函数、一元二次方程，二次函数的应用，求出相应的函数关系式和方程以及自变量的取值范
围是解决问题的关键．
8．（2022·黑龙江大庆·九年级期末）某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品
每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．
(1)请求出y与x的函数关系式；
(2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐赠给武汉，
为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？
y10x400
【答案】(1) (2)30元，1000元(3)该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元，且不高于35元
【解析】
【分析】
（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y＝kx+b，将（30，100），（35，50）代入求解即可确定函数解析式；
（2）设该款电动牙刷每天的销售利润为w元，根据题意确定函数解析式，依据二次函数的性质即可得出
结果；
（3）设捐款后每天剩余利润为 z 元，确定函数解析式，然后根据题意求解，画出函数图象，即可得出结
果．
(1)解：设 y 与 x 的函数关系式为 y＝kx+b，
将（30，100），（35，50）代入 y＝kx+b，
30kb100
得35kb50 ，
k 10
解得：b400，
∴y与x的函数关系式为 y＝﹣10x+400；(2)设该款电动牙刷每天的销售利润为w元，
由题意得 w＝（x﹣20）•y
＝（x﹣20）（﹣10x+400）
＝﹣10x2+600x﹣8000
＝﹣10（x﹣30）2+1000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，w最大值为1000．
答：该款电动牙刷销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000 元；
(3)设捐款后每天剩余利润为 z 元，
由题意可得 z＝﹣10x2+600x﹣8000﹣200
＝﹣10x2+600x﹣8200，
令z＝550，即﹣10x2+600x﹣8200＝550，
﹣10（x2﹣60x+900）＝﹣250，
x2﹣60x+900＝25，
解得x＝25，x＝35，
1 2
画出每天剩余利润z关于销售单价x的函数关系图象如解图，
由图象可得：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元，且不高于35元时，可保证捐款后每天剩余利
润不低于550 元．
【点睛】
题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，确定相应的函数解析式是解题关键．
9．（2022·河北唐山·九年级期末）一家门店经销各种打印耗材，其中某一品牌硒鼓进价为a元/个，售价为
x元/个（a≤x＜48）．
下面是门店在销售一段时间后销售情况的反馈．
①若每个硒鼓按定价30元的8折出售，可获20%的利润；②如果硒鼓按30元/个的价格出售，每月可售出500个，在此基础上，售价每增加5元，月销售量就减少
50个．
(1)求a的值，并写出该品牌硒鼓每月的销售量y（个）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并注明自变
量x的取值范围；
(2)求该门店销售这种硒鼓每月获得的利润W（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并求每月获得的
最大利润；
(3)由于特殊情况，这种硒鼓的进价降低为n元/个，售价为x元/个（n≤x≤48）．门店在2月份仍然按照销售
量与售价关系不变的方式销售，并决定将当月销售这种硒鼓获得的利润全部捐赠给医院，若要使这个月销
售这种硒鼓获得的利润G（元）随售价x（元/个）的增大而增大，请直接写出n的取值范围．
【答案】(1)a=20，y=-10x+800（20≤x≤48）(2)W=-10（x-50）2+9000，最大利润为8960元(3)16≤n＜20
【解析】
【分析】
（1）根据实际售价-进价=进价×利润率建立关于a的方程，解之可得a的值；用原销售量-因价格上涨而减
少的销售量可得答案．
（2）根据“总利润=每个硒鼓利润×销售量”列出关于x的函数，配方成顶点式，再利用二次函数的性质
求解可得；
（3）根据以上相等关系，并结合新进价列出关于x的二次函数，找到其对称轴，利用二次函数的增减性求
解可得．
(1)解：30×0.8-a=20%a，
解得a=20．
y=500-10（x-30），即y=-10x+800（20≤x≤48）．
(2)根据题意，得W=（x-20）（-10x+800）=-10（x-50）2+9000．
∵-10＜0，销售单价不能超过48元/个，
即当20≤x≤48时，W随x的增大而增大，
∴当x=48时，W有最大值，最大值为8960．
答：当售价为48元/个时，每月获得的利润最大，最大利润为8960元．
80n
(3)根据题意，得G=（x-n）（-10x+800）=-10x2+（800+10n）x-800n，对称轴x＝ ，
2
∵a=-10＜0，
∵当n≤x≤48时，该商品利润G随x的增大而增大，80n
∴ ≥48，
2
解得n≥16．
∵进价是降低的，
∴n的取值范围是16≤n＜20．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析
式及二次函数的性质．
