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2019年湖南省娄底市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的）
1．（3分）（2019•娄底）2019的相反数是
A． B．2019 C． D．
2．（3分）（2019•娄底）下列计算正确的是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•娄底）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
4．（3分）（2019•娄底）一组数据 、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是
A． 、0 B．1、0 C．1、1 D．2、1
5．（3分）（2019•娄底）2018年8月31日，华为正式发布了全新一代自研手机 麒麟980，
这款号称六项全球第一的芯片，随着华为 系列、荣耀 相继搭载上市，它的强
劲性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智
慧的使用体用，再次被市场和消费者所认可．麒麟980是全球首颗 手机芯
片． 用科学记数法表示为
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•娄底）下列命题是假命题的是
A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C． 边形 的内角和是
D．旋转不改变图形的形状和大小
7．（3分）（2019•娄底）如图， 的半径为2，双曲线的解析式分别为 ，则阴
影部分的面积是
第1页（共26页）A． B． C． D．
8．（3分）（2019•娄底）如图，边长为 的等边 的内切圆的半径为
A．1 B． C．2 D．
9．（3分）（2019•娄底）将 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所
得图象如图，则所得图象的解析式为
A． B． C． D．
10．（3分）（2019•娄底）如图，直线 和 与 轴分别交于点 ，点
，则 解集为
第2页（共26页）A． B． C． 或 D．
11．（3分）（2019•娄底）二次函数 的图象如图所示，下列结论中正确的
是
①
②
③
④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）（2019•娄底）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，
圆心角为 的 多次复制并首尾连接而成．现有一点 从 为坐标原点）出发，以每
秒 米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点 的纵坐标为
A． B． C．0 D．1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
第3页（共26页）13．（3分）（2019•娄底）函数 的自变量 的取值范围是 ．
14．（3分）（2019•娄底）如图，随机闭合开关 ， ， 中的两个，能让灯泡发光的概率是
．
15．（3分）（2019•娄底）如图， ， ， ，则 的度数为 ．
16．（3分）（2019•娄底）如图， 、 两点在以 为直径的圆上， ， ，则
．
17．（3分）（2019•娄底）已知方程 的一根为 ，则方程的另一根为 ．
18．（3分）（2019•娄底）已知点 ， 到直线 的距离可表示为 ，
例如：点 到直线 的距离 ．据此进一步可得两条平行线
和 之间的距离为 ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）（2019•娄底）计算：
第4页（共26页）20．（6分）（2019•娄底）先化简，再求值： ．其中 ， ．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）（2019•娄底）湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋
季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美
好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关
注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制做了如统计图表：
关注程度 频数 频率
．高度关注 0.4
．一般关注 100 0.5
．没有关注 20
（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为 ， ， ．
（2）根据以上信息补全图中的条形统计图．
（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？
22．（8分）（2019•娄底）如图，某建筑物 高96米，它的前面有一座小山，其斜坡 的坡
度为 ．为了测量山顶 的高度，在建筑物顶端 处测得山顶 和坡底 的俯角分别为
、 ．已知 ， ，求山顶 的高度 、 、 在同一水平面上）．
第5页（共26页）五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）（2019•娄底）某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价
与销售价如表（二 所示：
类别 成本价（元 箱） 销售价（元 箱）
甲 25 35
乙 35 48
求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？
24．（9分）（2019•娄底）如图，点 在以 为直径的 上， 平分 ， ，过
点 作 的切线交 的延长线于点 ．
（1）求证：直线 是 的切线．
（2）求证： ．
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）（2019•娄底）如图，点 、 、 、 分别在矩形 的边 、 、 、
（不包括端点）上运动，且满足 ， ．
第6页（共26页）（1）求证： ；
（2）试判断四边形 的形状，并说明理由．
（3）请探究四边形 的周长一半与矩形 一条对角线长的大小关系，并说明理由．
26．（10分）（2019•娄底）如图，抛物线 与 轴交于点 ，点 ，与
轴交于点 ，且过点 ．点 、 是抛物线 上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点 在直线 下方时，求 面积的最大值．
（3）直线 与线段 相交于点 ，当 与 相似时，求点 的坐标．
第7页（共26页）2019 年湖南省娄底市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的）
1．（3分）2019的相反数是
A． B．2019 C． D．
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：2019的相反数是： ．
故选： ．
2．（3分）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】分别根据幂的定义、幂的乘方、同底数幂的乘法法则以及合并同类项的法则逐一判断
即可．
【解答】解： ． ，故选项 不合题意；
． ，故选项 符合题意；
． ，故选项 不合题意；
与 不是同类项，故不能合并，所以选项 不合题意．
故选： ．
3．（3分）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半判定出四边形
是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得 ，然后根据有一个角是
直角的平行四边形是矩形判断．
【解答】解：如图， 、 分别是 、 的中点，
且 ，
第8页（共26页）同理， 且 ，
且 ，
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形，
，
又根据三角形的中位线定理， ， ，
，
平行四边形 是矩形．
故选： ．
4．（3分）一组数据 、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是
A． 、0 B．1、0 C．1、1 D．2、1
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到
小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数进行
分析即可．
【解答】解：这组数据的众数为1，
从小到大排列： ，0，1，1，1，2，中位数是1，
故选： ．
5．（3分）2018年8月31日，华为正式发布了全新一代自研手机 麒麟980，这款号称六项
全球第一的芯片，随着华为 系列、荣耀 相继搭载上市，它的强劲性能、出色能
效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智慧的使用体用，
再次被市场和消费者所认可．麒麟980是全球首颗 手机芯片． 用科学
记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的
科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面
第9页（共26页）的0的个数所决定．
【解答】解： 用科学记数法表示为 ．
故选： ．
6．（3分）下列命题是假命题的是
A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C． 边形 的内角和是
D．旋转不改变图形的形状和大小
【分析】利用垂直平分线的判定、等边三角形的性质、多边形的内角和及旋转的性质分别判断
后即可确定正确的选项．
【解答】解： 、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；
、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；
、 边形 的内角和是 ，正确，是真命题；
、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，
故选： ．
7．（3分）如图， 的半径为2，双曲线的解析式分别为 ，则阴影部分的面积
是
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可．
【解答】解：双曲线 的图象关于 轴对称，
根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴
影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，
并且扇形的圆心角为 ，半径为2，
第10页（共26页）所以： ．
故选： ．
8．（3分）如图，边长为 的等边 的内切圆的半径为
A．1 B． C．2 D．
【分析】连接 、 ， 的延长线交 于 ，如图，利用内心的性质得 平分 ，
平分 ，再根据等边三角形的性质得 ， ，则 ，
，然后利用正切的定义计算出 即可．
【解答】解：设 的内心为 ，连接 、 ， 的延长线交 于 ，如图，
为等边三角形，
平分 ， 平分 ， 为等边三角形，
， ，
， ，
在 中， ，
，
即 内切圆的半径为1．
故选： ．
第11页（共26页）9．（3分）将 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则
所得图象的解析式为
A． B． C． D．
【分析】直接根据函数图象的变换规律进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，
的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是： ；
由“上加下减”的原则可知，
函数 的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是： ．
故选： ．
10．（3分）如图，直线 和 与 轴分别交于点 ，点 ，则
解集为
A． B． C． 或 D．
【分析】根据两条直线与 轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集即可．
第12页（共26页）【解答】解： 直线 和 与 轴分别交于点 ，点 ，
解集为 ，
故选： ．
11．（3分）二次函数 的图象如图所示，下列结论中正确的是
①
②
③
④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由函数图象可知 ，对称轴 ，图象与 轴的交点 ，函数与 轴有两
个不同的交点；即可得出 ， ；△ ；再由图象可知当 时， ，
即 ；当 时， ，即 ；即可求解．
【解答】解：由函数图象可知 ，对称轴 ，图象与 轴的交点 ，函数与 轴有
两个不同的交点，
， ；
△ ；
；
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
，即 ；
只有④是正确的；
故选： ．
第13页（共26页）12．（3分）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为
的 多次复制并首尾连接而成．现有一点 从 为坐标原点）出发，以每秒 米
的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点 的纵坐标为
A． B． C．0 D．1
【分析】先计算点 走一个 的时间，得到点 纵坐标的规律：以1，0， ，0四个数为一个
周期依次循环，再用 ，得出在第2019秒时点 的纵坐标为是 ．
【解答】解：点运动一个 用时为 秒．
如图，作 于 ，与 交于点 ．
在 中， ， ，
，
，
，
第1秒时点 运动到点 ，纵坐标为1；
第2秒时点 运动到点 ，纵坐标为0；
第3秒时点 运动到点 ，纵坐标为 ；
第4秒时点 运动到点 ，纵坐标为0；
第5秒时点 运动到点 ，纵坐标为1；
，
点 的纵坐标以1，0， ，0四个数为一个周期依次循环，
，
第2019秒时点 的纵坐标为是 ．
故选： ．
第14页（共26页）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）函数 的自变量 的取值范围是 ．
【分析】根据被开方数非负列式求解即可．
【解答】解：根据题意得， ，
解得 ．
故答案为： ．
14．（3分）如图，随机闭合开关 ， ， 中的两个，能让灯泡发光的概率是 ．
【分析】利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出
概率．
【解答】解：用树状图表示所有可能出现的结果有：
能让灯泡发光的概率： ，
故答案为： ．
15．（3分）如图， ， ， ，则 的度数为 ．
第15页（共26页）【分析】由平行线的性质得出 ，再由平行线的性质得出 ，即可得出结果．
【解答】解： ，
，
，
，
，
故答案为： ．
16．（3分）如图， 、 两点在以 为直径的圆上， ， ，则 2 ．
【分析】利用圆周角定理得到 ， ，然后根据含30度的直角三角
形三边的关系求求 的长．
【解答】解： 为直径，
，
，
．
故答案为2．
17．（3分）已知方程 的一根为 ，则方程的另一根为 ．
【分析】设方程的另一个根为 ，再根据根与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一个根为 ，
，
．
第16页（共26页）故答案为： ．
18．（3分）已知点 ， 到直线 的距离可表示为 ，例如：点
到直线 的距离 ．据此进一步可得两条平行线 和
之间的距离为 ．
【分析】利用两平行线间的距离定义，在直线 上任意取一点，然后计算这个点到直线
的距离即可．
【解答】解：当 时， ，即点 在直线 上，
因为点 到直线 的距离为： ，
因为直线 和 平行，
所以这两条平行线之间的距离为 ．
故答案为 ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：
【分析】直接利用负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分
别化简得出答案．
【解答】解：原式
．
20．（6分）先化简，再求值： ．其中 ， ．
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将 、 的值代入化简后的式子
即可解答本题．
【解答】解：
第17页（共26页），
当 ， 时，原式 ．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中
一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事关
千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关注程度，某数
学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制做了如统计图表：
关注程度 频数 频率
．高度关注 0.4
．一般关注 100 0.5
．没有关注 20
（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为 20 0 ， ， ．
（2）根据以上信息补全图中的条形统计图．
（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？
【分析】（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为 （人 ，
（人 ， ；
（2）据上信息补全图中的条形统计图；
（3）高度关注新高考政策的人数： （人 ．
【解答】解：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为 （人 ，
（人 ， ；
第18页（共26页）故答案为200，80，0.4；
（2）补全图中的条形统计图
（3）高度关注新高考政策的人数： （人 ，
答：高度关注新高考政策的约有600人．
22．（8分）如图，某建筑物 高96米，它的前面有一座小山，其斜坡 的坡度为 ．为
了测量山顶 的高度，在建筑物顶端 处测得山顶 和坡底 的俯角分别为 、 ．已知
， ，求山顶 的高度 、 、 在同一水平面上）．
【分析】作 于 ．设 米．由斜坡 的坡度为 ，得出 米．解
， 求 得 米 ， 则 米 ． 解 ， 得 出
米 ， 又 米 ， 列 出 方 程
，求出 即可．
【解答】解：如图，作 于 ．设 米．
斜坡 的坡度为 ，
米．
第19页（共26页）在 中， ， 米， ，
（米 ，
米，
米．
在 中， ， ，
米，
米，
，解得 ．
故山顶 的高度 为16米．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表
（二 所示：
类别 成本价（元 箱） 销售价（元 箱）
甲 25 35
乙 35 48
求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？
【分析】（1）设购进甲矿泉水 箱，购进乙矿泉水 箱，根据该商场用14500元购进甲、乙两
种矿泉水共500箱，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润 单箱利润 销售数量，即可求出结论．
【解答】解：（1）设购进甲矿泉水 箱，购进乙矿泉水 箱，
第20页（共26页）依题意，得： ，
解得： ．
答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．
（2） （元 ．
答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．
24．（9分）如图，点 在以 为直径的 上， 平分 ， ，过点 作
的切线交 的延长线于点 ．
（1）求证：直线 是 的切线．
（2）求证： ．
【分析】（1）连接 ，由角平分线的定义得到 ，根据等腰三角形的性质得到
，求得 ，根据平行线的性质得到 ，于是得到结论；
（2）连接 ，根据切线的性质得到 ，根据相似三角形的性质即可得到
结论．
【解答】证明：（1）连接 ，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
第21页（共26页）直线 是 的切线；
（2）连接 ，
是 的切线， 为 的直径，
，
，
，
，
，
，
．
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，点 、 、 、 分别在矩形 的边 、 、 、 （不包括端
点）上运动，且满足 ， ．
（1）求证： ；
（2）试判断四边形 的形状，并说明理由．
（3）请探究四边形 的周长一半与矩形 一条对角线长的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理 证得结论；
（2）由（1）中全等三角形的性质得到： ，同理可得 ，即可得四边形
是平行四边形；
（3）由三角形中位线定理得到：四边形 的周长一半等于矩形 一条对角线长度．
第22页（共26页）【解答】证明：（1） 四边形 是矩形，
．
在 与 中， ，
；
（2） 由（1）知， ，则 ，同理证得 ，则 ，
四边形 是平行四边形；
（3）四边形 的周长一半等于矩形 一条对角线长度．理由如下：
如图，连接 ， ．
四边形 是矩形，
．
、 分别是边 ， 的中点，
是 的中位线，
．
同理， ， ．
．
四边形 的周长一半等于矩形 一条对角线长度．
26．（10分）如图，抛物线 与 轴交于点 ，点 ，与 轴交于点 ，
且过点 ．点 、 是抛物线 上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点 在直线 下方时，求 面积的最大值．
第23页（共26页）（3）直线 与线段 相交于点 ，当 与 相似时，求点 的坐标．
【分析】（1）函数的表达式为： ，将点 坐标代入上式，即可求解；
（2） ，即可求解；
（3）分 、 ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线 倾
斜角，进而求解．
【解答】解：（1）函数的表达式为： ，将点 坐标代入上式并解得： ，
故抛物线的表达式为： ①；
（2）设直线 与 轴交于点 ，设点 ，
将点 、 的坐标代入一次函数表达式： 并解得：
直线 的表达式为： ，则 ，
，
第24页（共26页），故 有最大值，当 时，其最大值为 ；
（3） ， ，
，故 与 相似时，分为两种情况：
①当 时，
， ， ，
过点 作 与点 ，
，解得： ，
则 ，则 ，
则直线 的表达式为： ②，
联立①②并解得： （舍去负值），
故点 ，
② 时，
，
则直线 的表达式为： ③，
联立①③并解得： ，
故点 ， ；
第25页（共26页）综上，点 ， 或 ， ．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/12 8:58:34；用户：数学；邮箱：85886818-2@xyh.com；学号：27755521
第26页（共26页）
