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2019年湖北省黄冈市中考数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的4个选项中，有且只有一个
答案是正确的）
1．（3分）（2019•黄冈）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．±3
2．（3分）（2019•黄冈）为纪念中华人民共和国成立70周年，我市各中小学积极开展了以
“祖国在我心中”为主题的各类教育活动，全市约有550000名中小学生参加，其中数据
550000用科学记数法表示为（ ）
A．5.5×106 B．5.5×105 C．55×104 D．0.55×106
3．（3分）（2019•黄冈）下列运算正确的是（ ）
A．a•a2＝a2 B．5a•5b＝5ab C．a5÷a3＝a2 D．2a+3b＝5ab
4．（3分）（2019•黄冈）若x ，x 是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，则x •x 的值为（ ）
1 2 1 2
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
5．（3分）（2019•黄冈）已知点A的坐标为（2，1），将点A向下平移4个单位长度，得到的点
A′的坐标是（ ）
A．（6，1） B．（﹣2，1） C．（2，5） D．（2，﹣3）
6．（3分）（2019•黄冈）如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何体的左
视图是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ），点O是这段弧所在圆的圆
心，AB＝40m，点C是 的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
第1页（共22页）8．（3分）（2019•黄冈）已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程
是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．
图中x表示时间，y表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（ ）
A．体育场离林茂家2.5km
B．体育场离文具店1km
C．林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50m/min
D．林茂从文具店回家的平均速度是60m/min
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2019•黄冈）计算（ ）2+1的结果是 ．
10．（3分）（2019•黄冈）﹣ x2y是 次单项式．
11．（3分）（2019•黄冈）分解因式3x2﹣27y2＝ ．
12．（3分）（2019•黄冈）一组数据1，7，8，5，4的中位数是a，则a的值是 ．
13．（3分）（2019•黄冈）如图，直线AB∥CD，直线EC分别与AB，CD相交于点A、点C，AD
平分∠BAC，已知∠ACD＝80°，则∠DAC的度数为 ．
14．（3分）（2019•黄冈）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆
锥的底面圆的面积为 ．
15．（3分）（2019•黄冈）如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝ （k＞0）相交于点A、
点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k＝ ．
第2页（共22页）16．（3分）（2019•黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中
点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是 ．
三、解答题（本题共9题，满分72分）
17．（6分）（2019•黄冈）先化简，再求值．
（ + ）÷ ，其中a＝ ，b＝1．
18．（6分）（2019•黄冈）解不等式组 ．
19．（6分）（2019•黄冈）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，
DG⊥AE，垂足分别为F，G．求证：BF﹣DG＝FG．
20．（7分）（2019•黄冈）为了对学生进行革命传统教育，红旗中学开展了“清明节祭扫”活
动．全校学生从学校同时出发，步行4000米到达烈士纪念馆．学校要求九（1）班提前到达
目的地，做好活动的准备工作．行走过程中，九（1）班步行的平均速度是其他班的1.25倍，
结果比其他班提前10分钟到达．分别求九（1）班、其他班步行的平均速度．
21．（8分）（2019•黄冈）某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校
第3页（共22页）学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类）
先 将 调 查 结 果 绘 制 成 如 下 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 ：
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列
表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字幕
A，B，C，D表示）
22．（7分）（2019•黄冈）如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角
为45°，测得C点的俯角 为60°．求这两座建筑物AB，CD的高度．（结果保留小数点后一α
位， ≈1.414， ≈1β.732．）
23．（8分）（2019•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的 O交AB于点
D，过点D作 O的切线交BC于点E，连接OE． ⊙
（1）求证：△⊙DBE是等腰三角形；
（2）求证：△COE∽△CAB．
第4页（共22页）24．（10分）（2019•黄冈）某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销
合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调
研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0≤x≤100）．已知草
莓的产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p＝x+1．
（1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；
（2）求该合作社所获利润w（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；
（3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，
为确保合作社所获利润w′（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？
25．（14分）（2019•黄冈）如图 ，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C
（0，2），D（2，0）四点，动点①M以每秒 个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点
B、点D重合），设运动时间为t（秒）．
（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；
（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标；
（3）当M在CD上运动时，如图 ．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设
矩形MEBF与△BCD重叠部分的②面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使
得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说
明理由．
第5页（共22页）第6页（共22页）2019 年湖北省黄冈市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的4个选项中，有且只有一个
答案是正确的）
1．（3分）（2019•黄冈）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．±3
【考点】绝对值．
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【分析】利用绝对值的定义求解即可．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：C．
2．（3分）（2019•黄冈）为纪念中华人民共和国成立70周年，我市各中小学积极开展了以
“祖国在我心中”为主题的各类教育活动，全市约有550000名中小学生参加，其中数据
550000用科学记数法表示为（ ）
A．5.5×106 B．5.5×105 C．55×104 D．0.55×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【分析】根据有效数字表示方法，以及科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与
小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将550000用科学记数法表示为：5.5×105．
故选：B．
3．（3分）（2019•黄冈）下列运算正确的是（ ）
A．a•a2＝a2 B．5a•5b＝5ab C．a5÷a3＝a2 D．2a+3b＝5ab
【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；单项式乘单项式．
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【分析】直接利用单项式乘以单项式以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别
化简得出答案．
【解答】解：A、a•a2＝a3，故此选项错误；
B、5a•5b＝25ab，故此选项错误；
C、a5÷a3＝a2，正确；
第7页（共22页）D、2a+3b，无法计算，故此选项错误．
故选：C．
4．（3分）（2019•黄冈）若x ，x 是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，则x •x 的值为（ ）
1 2 1 2
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
【考点】根与系数的关系．
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【分析】利用根与系数的关系可得出x •x ＝﹣5，此题得解．
1 2
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，
1 2
∴x •x ＝ ＝﹣5．
1 2
故选：A．
5．（3分）（2019•黄冈）已知点A的坐标为（2，1），将点A向下平移4个单位长度，得到的点
A′的坐标是（ ）
A．（6，1） B．（﹣2，1） C．（2，5） D．（2，﹣3）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
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【分析】将点A的横坐标不变，纵坐标减去4即可得到点A′的坐标．
【解答】解：∵点A的坐标为（2，1），
∴将点A向下平移4个单位长度，得到的点A′的坐标是（2，﹣3），
故选：D．
6．（3分）（2019•黄冈）如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何体的左
视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【分析】左视图有1列，含有2个正方形．
【解答】解：该几何体的左视图只有一列，含有两个正方形．
故选：B．
7．（3分）（2019•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ），点O是这段弧所在圆的圆
心，AB＝40m，点C是 的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
第8页（共22页）A．25m B．24m C．30m D．60m
【考点】垂径定理的应用．
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【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾
股定理可推出半径r的值．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25m，
∴这段弯路的半径为25m
故选：A．
8．（3分）（2019•黄冈）已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程
是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．
图中x表示时间，y表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（ ）
A．体育场离林茂家2.5km
B．体育场离文具店1km
C．林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50m/min
D．林茂从文具店回家的平均速度是60m/min
【考点】函数的图象．
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【分析】从图中可得信息：体育场离文具店1000m，所用时间是（45﹣30）分钟，可算出速度．
【解答】解：从图中可知：体育场离文具店的距离是：2.5﹣1.5＝1km＝1000m，
所用时间是（45﹣30）＝15分钟，
第9页（共22页）∴体育场出发到文具店的平均速度＝ ＝ m/min
故选：C．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2019•黄冈）计算（ ）2+1的结果是 4 ．
【考点】二次根式的性质与化简．
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【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+1＝4．
故答案为：4．
10．（3分）（2019•黄冈）﹣ x2y是 3 次单项式．
【考点】单项式．
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【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵单项式﹣ x2y中所有字母指数的和＝2+1＝3，
∴此单项式的次数是3．
故答案为：3．
11．（3分）（2019•黄冈）分解因式3x2﹣27y2＝ 3 （ x + 3 y ）（ x ﹣ 3 y ） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
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【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2﹣9y2）＝3（x+3y）（x﹣3y），
故答案为：3（x+3y）（x﹣3y）
12．（3分）（2019•黄冈）一组数据1，7，8，5，4的中位数是a，则a的值是 5 ．
【考点】中位数．
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【分析】先把原数据按从小到大排列，然后根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：先把原数据按从小到大排列：1，4，5，7，8，正中间的数5，
所以这组数据的中位数a的值是5．
故答案为：5．
13．（3分）（2019•黄冈）如图，直线AB∥CD，直线EC分别与AB，CD相交于点A、点C，AD
平分∠BAC，已知∠ACD＝80°，则∠DAC的度数为 50 ° ．
第10页（共22页）【考点】平行线的性质．
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【分析】依据平行线的性质，即可得到∠BAC的度数，再根据角平分线的定义，即可得到
∠DAC的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠ACD＝80°，
∴∠BAC＝100°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝ ∠BAC＝50°，
故答案为：50°．
14．（3分）（2019•黄冈）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆
锥的底面圆的面积为 4 ．
【考点】圆锥的计算． π
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【分析】易得扇形的弧长，除以2 即为圆锥的底面半径，从而可以计算面积．
π
【解答】解：扇形的弧长＝ ＝4 ，
π
∴圆锥的底面半径为4 ÷2 ＝2．
∴面积为：4 ， π π
故答案为：4π．
15．（3分）（2019 π•黄冈）如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝ （k＞0）相交于点A、
点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k＝ 8 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
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第11页（共22页）【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则
O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于4，然后由反比例函数y
＝ 的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于 |k|，从而求出k的值．
【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝8÷2＝4，
又∵A是反比例函数y＝ 图象上的点，且AC⊥y轴于点C，
∴△AOC的面积＝ |k|，
∴ |k|＝4，
∵k＞0，
∴k＝8．
故答案为8．
16．（3分）（2019•黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中
点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是 1 4 ．
【考点】线段的性质：两点之间线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与
性质；轴对称的性质．
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【分析】如图，作点 A关于 CM 的对称点 A′，点 B关于 DM 的对称点 B′，证明
△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．
【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
第12页（共22页）∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，
∴CD的最大值为14，
故答案为14．
三、解答题（本题共9题，满分72分）
17．（6分）（2019•黄冈）先化简，再求值．
（ + ）÷ ，其中a＝ ，b＝1．
【考点】分式的化简求值．
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【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝ ÷
＝ •ab（a+b）
＝5ab，
当a＝ ，b＝1时，
原式＝5 ．
18．（6分）（2019•黄冈）解不等式组 ．
【考点】解一元一次不等式组．
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【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的
解集．
【解答】解： ，
第13页（共22页）解 得：x＞﹣1，
解①得：x≤2，
则②不等式组的解集是：﹣1＜x≤2．
19．（6分）（2019•黄冈）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，
DG⊥AE，垂足分别为F，G．求证：BF﹣DG＝FG．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
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【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD，再利用同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADG，再
利用“角角边”证明△BAF和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝AG，根
据线段的和与差可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，
∵∠DAG+∠BAF＝90°，
∴∠ADG＝∠BAF，
在△BAF和△ADG中，
∵ ，
∴△BAF≌△ADG（AAS），
∴BF＝AG，AF＝DG，
∵AG＝AF+FG，
∴BF＝AG＝DG+FG，
∴BF﹣DG＝FG．
20．（7分）（2019•黄冈）为了对学生进行革命传统教育，红旗中学开展了“清明节祭扫”活
动．全校学生从学校同时出发，步行4000米到达烈士纪念馆．学校要求九（1）班提前到达
第14页（共22页）目的地，做好活动的准备工作．行走过程中，九（1）班步行的平均速度是其他班的1.25倍，
结果比其他班提前10分钟到达．分别求九（1）班、其他班步行的平均速度．
【考点】分式方程的应用．
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【分析】设其他班步行的平均速度为x米/分，则九（1）班步行的平均速度为1.25x米/分，根
据时间＝路程÷速度结合九（1）班比其他班提前10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，
解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设其他班步行的平均速度为x米/分，则九（1）班步行的平均速度为1.25x米/分，
依题意，得： ﹣ ＝10，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
∴1.25x＝100．
答：九（1）班步行的平均速度为100米/分，其他班步行的平均速度为80米/分．
21．（8分）（2019•黄冈）某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校
学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类）
先 将 调 查 结 果 绘 制 成 如 下 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 ：
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列
表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字幕
A，B，C，D表示）
【考点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．
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第15页（共22页）【分析】（1）由器乐的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以书画对应百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得戏曲
人数，从而补全图形；
（3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次随机调查的学生人数为30÷15%＝200（人）；
（2）书画的人数为200×25%＝50（人），戏曲的人数为200﹣（50+80+30）＝40（人），
补全图形如下：
（3）估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为1200× ＝240（人）；
（4）列表得：
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的有2种结果，
∴恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率为 ＝ ．
22．（7分）（2019•黄冈）如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角
为45°，测得C点的俯角 为60°．求这两座建筑物AB，CD的高度．（结果保留小数点后一α
位， ≈1.414， ≈1β.732．）
第16页（共22页）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】延长CD，交过A点的水平线AE于点E，可得DE⊥AE，在直角三角形ABC中，由
题意确定出AB的长，进而确定出EC的长，在直角三角形AED中，由题意求出ED的长，
由EC﹣ED求出DC的长即可
【解答】解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，
在Rt△AED中，AE＝BC＝40m，∠EAD＝45°，
∴ED＝AEtan45°＝20 m，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝40m，
∴AB＝40 ≈69.3m，
则CD＝EC﹣ED＝AB﹣ED＝40 ﹣20 ≈29.3m．
答：这两座建筑物AB，CD的高度分别为69.3m和29.3m．
23．（8分）（2019•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的 O交AB于点
D，过点D作 O的切线交BC于点E，连接OE． ⊙
（1）求证：△⊙DBE是等腰三角形；
（2）求证：△COE∽△CAB．
第17页（共22页）【考点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定．
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【分析】（1）连接OD，由DE是 O的切线，得出∠ODE＝90°，∠ADO+∠BDE＝90°，由
∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA⊙＝90°，证出∠CAB＝∠ADO，得出∠BDE＝∠CBA，即可
得出结论；
（2）证出CB是 O的切线，得出DE＝EC，推出EC＝EB，再由OA＝OC，得出OE∥AB，
即可得出结论．⊙
【解答】证明：（1）连接OD，如图所示：
∵DE是 O的切线，
∴∠ODE⊙＝90°，
∴∠ADO+∠BDE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠CAB＝∠ADO，
∴∠BDE＝∠CBA，
∴EB＝ED，
∴△DBE是等腰三角形；
（2）∵∠ACB＝90°，AC是 O的直径，
∴CB是 O的切线， ⊙
∵DE是⊙O的切线，
∴DE＝E⊙C，
∵EB＝ED，
∴EC＝EB，
∵OA＝OC，
∴OE∥AB，
∴△COE∽△CAB．
第18页（共22页）24．（10分）（2019•黄冈）某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销
合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调
研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0≤x≤100）．已知草
莓的产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p＝x+1．
（1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；
（2）求该合作社所获利润w（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；
（3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，
为确保合作社所获利润w′（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？
【考点】一次函数的应用．
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【分析】（1）分0≤x≤30；30≤x≤70；70≤x≤100三段求函数关系式，确定第2段利用待
定系数法求解析式；
（2）利用w＝yx﹣p和（1）中y与x的关系式得到w与x的关系式；
（3）把（2）中各段中的w分别减去0.3x得到w′与x的关系式，然后根据一次函数的性质
和二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）当0≤x≤30时，y＝2.4；
当30≤x≤70时，设y＝kx+b，
把（30，2.4），（70，2）代入得 ，解得 ，
∴y＝﹣0.01x+2.7；
当70≤x≤100时，y＝2；
（2）当0≤x≤30时，w＝2.4x﹣（x+1）＝1.4x﹣1；
当30≤x≤70时，w＝（﹣0.01x+2.7）x﹣（x+1）＝﹣0.01x2+1.7x﹣1；
当70≤x≤100时，w＝2x﹣（x+1）＝x﹣1；
（3）当0≤x＜30时，w′＝1.4x﹣1﹣0.3x＝1.1x﹣1，当x＝30时，w′的最大值为32，不合
题意；
第19页（共22页）当30≤x≤70时，w′＝﹣0.01x2+1.7x﹣1﹣0.3x＝﹣0.01x2+1.4x﹣1＝﹣0.01（x﹣70）2+48，
当x＝70时，w′的最大值为48，不合题意；
当70≤x≤100时，w′＝x﹣1﹣0.3x＝0.7x﹣1，当x＝100时，w′的最大值为69，此时
0.7x﹣1≥55，解得x≥80，
所以产量至少要达到80吨．
25．（14分）（2019•黄冈）如图 ，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C
（0，2），D（2，0）四点，动点①M以每秒 个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点
B、点D重合），设运动时间为t（秒）．
（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；
（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标；
（3）当M在CD上运动时，如图 ．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设
矩形MEBF与△BCD重叠部分的②面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使
得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说
明理由．
【考点】二次函数综合题．
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【分析】（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c，将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式
即可；
（2）由已知易得点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，点P的纵坐标是1，则有1＝﹣
﹣ x+2，即可求P；
（3）S＝ （GM+BF）×MF＝ （2t﹣4+t）×（4﹣t）＝﹣ +8t﹣8＝﹣ （t﹣ ）2+
；
（4）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝﹣x+2，直线AQ的解析式y＝﹣ （x+2）+2，
第20页（共22页）求出点K（0， ），H（ ， ），由勾股定理可得OK2＝ ，OH2＝ +
，HK2＝ + ，分三种情况讨论△HOK为等腰三角形即可；
【解答】解：（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c，
将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式可得
，
∴ ，
∴y＝﹣ ﹣ x+2；
（2）∵△PAM≌△PBM，
∴PA＝PB，MA＝MB，
∴点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，
∵AB＝2，
∴点P的纵坐标是1，
∴1＝﹣ ﹣ x+2，
∴x＝﹣1+ 或x＝﹣1﹣ ，
∴P（﹣1﹣ ，1）或P（﹣1+ ，1）；
（3）CM＝ t﹣2 ，MG＝ CM＝2t﹣4，
MD＝4 ﹣（BC+CM）＝4 ﹣（2 + t﹣2 ）＝4 ﹣ t，
MF＝ MD＝4﹣t，
∴BF＝4﹣4+t＝t，
∴S＝ （GM+BF）×MF＝ （2t﹣4+t）×（4﹣t）＝﹣ +8t﹣8＝﹣ （t﹣ ）2+ ；
当t＝ 时，S最大值为 ；
（4）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝﹣x+2，
第21页（共22页）直线AQ的解析式y＝﹣ （x+2）+2，
∴K（0， ），H（ ， ），
∴OK2＝ ，OH2＝ + ，HK2＝ + ，
当OK＝OH时， ＝ + ，
①
∴m2﹣4m﹣8＝0，
∴m＝2+2 或m＝2﹣2 ；
当OH＝HK时， + ＝ + ，
②
∴m2﹣8＝0，
∴m＝2 或m＝﹣2 ；
当OK＝HK时， ＝ + ，不成立；
③
综上所述：Q（2+2 ，0）或Q（2﹣2 ，0）或Q（2 ，0）或Q（﹣2 ，0）；
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