文档内容
2022年湖北省宜昌市中考数学试卷
一、选择题（下列各题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符
合要求的选项前面的字母代号，每题3分，计33分．）
1．下列说法正确的个数是
① 的相反数是2022；② 的绝对值是2022；③ 的倒数是2022．
A．3 B．2 C．1 D．0
2．将四个数字看作一个图形，则下列四个图形中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
3．我市围绕创建全国文明典范城市、传承弘扬屈原文化，组织开展了“喜迎二十大、永远跟
党走、奋进新征程”等系列活动．在2022年“书香宜昌 全民读书月”暨“首届屈原文化
月”活动中，100多个社区图书室、山区学校、农家书屋、“护苗”工作站共获赠了价值100
万元的红色经典读物、屈原文化优秀读物和智能书柜．“100万”用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．下列运算错误的是
A． B． C． D．
5．已知经过闭合电路的电流 （单位： 与电路的电阻 （单位： 是反比例函数关系．根
据下表判断 和 的大小关系为
5 1
20 30 40 50 60 70 80 90 100
A． B． C． D．
6．如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点 ，
．作直线 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 ， ， ，则
的周长为
A．25 B．22 C．19 D．18
7．如图，四边形 内接于 ，连接 ， ， ，若 ，则
A． B． C． D．
8．五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小
第1页（共24页）船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与
1艘小船一次共可以满载游客的人数为
A．30 B．26 C．24 D．22
9．如图是小强散步过程中所走的路程 （单位： 与步行时间 （单位： 的函数图象．其
中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为
A． B． C． D．
10．如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为 ．若小丽的
座位为 ，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是
A． B． C． D．
11．某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三
个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．则小明
和小慧选择参加同一项目的概率是
A． B． C． D．
二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每题3分，计12分．）
12．中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使
用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法
运算法则，并给出名为“正负术”的算法，请计算以下涉及“负数”的式子的值：
．
13．如图，点 ， ， 都在方格纸的格点上， 绕点 顺时针方向旋转 后得到△
，则点 运动的路径 的长为 ．
第2页（共24页）14．如图， 岛在 岛的北偏东 方向， 岛在 岛的北偏西 方向，则 的大小是
．
15．如图，在矩形 中， 是边 上一点， ， 分别是 ， 的中点，连接 ，
， ，若 ， ， ，矩形 的面积为 ．
三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置．本大题共有9题，计75分．）
16．（6分）求代数式 的值，其中 ．
17．（6分）解不等式 ，并在数轴上表示解集．
18．（7分）某校为响应“传承屈原文化 弘扬屈原精神”主题阅读倡议，进一步深化全民阅
读和书香宜昌建设，随机抽取了八年级若干名学生，对“双减”后学生周末课外阅读时间进
行了调查．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
时间段
分钟
组中值 75 105 135
频数 人 6 20 4
数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数，叫做这个小组的组中值．
请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）扇形统计图中， 分钟时间段对应扇形的圆心角的度数是 ； ；样本
数据的中位数位于 分钟时间段；
（2）请将表格补充完整；
（3）请通过计算估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间．
第3页（共24页）19．（7分）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图 ，隋代建造的赵州桥距今约有
1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，
桥的主桥拱是圆弧形，表示为 ．桥的跨度（弧所对的弦长） ，设 所在圆的圆
心为 ，半径 ，垂足为 ．拱高（弧的中点到弦的距离） ．连接 ．
（1）直接判断 与 的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到 ．
20．（8分）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成
的角 一般要满足 ．（参考数据： ， ， ，
， ， ， ， ，
如图，现有一架长 的梯子 斜靠在一竖直的墙 上．
（1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端 与地面距离的最大值；
（2）当梯子底端 距离墙面 时，计算 等于多少度？并判断此时人是否能安全使
用这架梯子？
21．（8分）已知菱形 中， 是边 的中点， 是边 上一点．
（1）如图1，连接 ， ． ， ．
①求证： ；
②若 ，求 的长；
（2）如图2，连接 ， ．若 ， ，求 的长．
第4页（共24页）22．（10分）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项
目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月
份的2倍少100吨．
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加 ．5月份每吨再
生纸的利润比上月增加 ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求 的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月
份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了 ．求6
月份每吨再生纸的利润是多少元？
23．（11分）已知，在 中， ， ，以 为直径的 与 交于点 ，
将 沿射线 平移得到 ，连接 ．
（1）如图1， 与 相切于点 ．
①求证： ；
②求 的值；
（2）如图2，延长 与 交于点 ，将 沿 折叠，点 的对称点 恰好落在射线
上．
①求证： ；
②若 ，求 的长．
24．（12分）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
直线 由直线 平移得到，与 轴交于点 ．四边形 的四个顶点的坐标分别为
， ， ， ．
（1）填空： ， ；
（2）若点 在第二象限，直线 与经过点 的双曲线 有且只有一个交点，求 的最大
值；
（3）当直线 与四边形 、抛物线 都有交点时，存在直线 ，对于同一条直
线 上的交点，直线 与四边形 的交点的纵坐标都不大于它与抛物线
的交点的纵坐标．
①当 时，直接写出 的取值范围；
②求 的取值范围．
第5页（共24页）第6页（共24页）2022年湖北省宜昌市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符
合要求的选项前面的字母代号，每题3分，计33分．）
1．下列说法正确的个数是
① 的相反数是2022；② 的绝对值是2022；③ 的倒数是2022．
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】根据相反数的定义判断①；根据绝对值的性质判断②；根据倒数的定义判断③．
【解答】解：① 的相反数是2022，故①符合题意；
② 的绝对值是2022，故②符合题意；
③ 的倒数是2022，故③符合题意；
正确的个数是3个，
故选： ．
2．将四个数字看作一个图形，则下列四个图形中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称的概念和各图形的特点即可求解．把一个图形绕某一点旋转 ，如果
旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转 后能和原来的图形重合，所以
选项符合题意，
故选： ．
3．我市围绕创建全国文明典范城市、传承弘扬屈原文化，组织开展了“喜迎二十大、永远跟
党走、奋进新征程”等系列活动．在2022年“书香宜昌 全民读书月”暨“首届屈原文化
月”活动中，100多个社区图书室、山区学校、农家书屋、“护苗”工作站共获赠了价值100
万元的红色经典读物、屈原文化优秀读物和智能书柜．“100万”用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】将100写成 ，1万 ，根据同底数幂的乘法法则即可得出答案．
【解答】解：100万
，
故选： ．
4．下列运算错误的是
A． B． C． D．
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，进行
计算逐一判断即可解答．
【解答】解： 、 ，故 不符合题意；
、 ，故 不符合题意；
、 ，故 不符合题意；
、 ，故 符合题意；
故选： ．
5．已知经过闭合电路的电流 （单位： 与电路的电阻 （单位： 是反比例函数关系．根
据下表判断 和 的大小关系为
5 1
20 30 40 50 60 70 80 90 100
第7页（共24页）A． B． C． D．
【分析】根据等量关系“电流 ”，即可求解．
【解答】解： 闭合电路的电流 （单位： 与电路的电阻 （单位： 是反比例函数关系，
，
，
，
故选： ．
6．如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点 ，
．作直线 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 ， ， ，则
的周长为
A．25 B．22 C．19 D．18
【分析】根据题意可知 垂直平分 ，即可得到 ，然后即可得到
，从而可以求得 的周长．
【解答】解：由题意可得，
垂直平分 ，
，
的周长是 ，
，
， ，
，
的周长是19，
故选： ．
7．如图，四边形 内接于 ，连接 ， ， ，若 ，则
A． B． C． D．
【分析】根据圆内接四边形的性质，可以得到 的度数，再根据圆周角和圆心角的关系，可
以得到 的度数，然后根据 ，即可得到 的度数．
【解答】解： 四边形 是圆内接四边形， ，
，
，
，
，
，
第8页（共24页），
故选： ．
8．五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小
船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与
1艘小船一次共可以满载游客的人数为
A．30 B．26 C．24 D．22
【分析】设1艘大船可载 人，1艘小船可载 人，依题意：1艘大船与2艘小船一次共可以满
载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．列出二元一次方程组，求出
的值即可．
【解答】解：设1艘大船可载 人，1艘小船可载 人，
依题意得： ，
① ②得： ，
，
即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26，
故选： ．
9．如图是小强散步过程中所走的路程 （单位： 与步行时间 （单位： 的函数图象．其
中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为
A． B． C． D．
【分析】根据小强匀速步行时的函数图象为直线，根据图象得出结论即可．
【解答】解：由函数图象知，从 分钟时间段小强匀速步行，
这一时间段小强的步行速度为 ，
故选： ．
10．如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为 ．若小丽的
座位为 ，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是
第9页（共24页）A． B． C． D．
【分析】直接利用点的坐标特点得出与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位位置．
【解答】解：如图所示：与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是 ．
故选： ．
11．某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三
个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．则小明
和小慧选择参加同一项目的概率是
A． B． C． D．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
① ② ③
① ①，① ②，① ③，①
② ①，② ②，② ③，②
③ ①，③ ②，③ ③，③
由表知，共有9种等可能结果，其中小明和小慧选择参加同一项目的有3种结果，
所以小明和小慧选择参加同一项目的概率为 ，
故选： ．
二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每题3分，计12分．）
12．中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使
用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法
运算法则，并给出名为“正负术”的算法，请计算以下涉及“负数”的式子的值：
．
【分析】先算乘方，再算减法，即可解答．
第10页（共24页）【解答】解：
，
故答案为： ．
13．如图，点 ， ， 都在方格纸的格点上， 绕点 顺时针方向旋转 后得到△
，则点 运动的路径 的长为 ．
【分析】根据题意和图形，可以得到 ，然后根据勾股定理可以得到 的长，再根
据弧长公式计算即可得到 的长．
【解答】解：由已知可得，
， ，
的长为： ，
故答案为： ．
14．如图， 岛在 岛的北偏东 方向， 岛在 岛的北偏西 方向，则 的大小是
．
【分析】过点 作 ，根据平行线的性质，求得 与 ，再由角的和差可得答
案．
【解答】解：过点 作 ，如图，
，
，
， ，
，
由 岛在 岛的北偏东 方向， 岛在 岛的北偏西 方向，得
， ．
，
故答案为： ．
第11页（共24页）15．如图，在矩形 中， 是边 上一点， ， 分别是 ， 的中点，连接 ，
， ，若 ， ， ，矩形 的面积为 4 8 ．
【分析】由矩形的性质得出 ， ，由直角三角形斜边上中线的性
质及三角形中位线的性质求出 ， ， ，由勾股定理的逆定理得出
是直角三角形， ，进而求出 ，即可求出矩形 的面积．
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ，
， 分别是 ， 的中点， ， ， ，
， ， ，
，
是直角三角形， ，
，
，
，
故答案为：48．
三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置．本大题共有9题，计75分．）
16．（6分）求代数式 的值，其中 ．
【分析】根据分式的加法法则把原式化简，把 代入计算即可．
【解答】解：原式
，
当 时，原式 ．
17．（6分）解不等式 ，并在数轴上表示解集．
【分析】不等式去分母，去括号，移项，合并，把 系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ．
．
第12页（共24页）18．（7分）某校为响应“传承屈原文化 弘扬屈原精神”主题阅读倡议，进一步深化全民阅
读和书香宜昌建设，随机抽取了八年级若干名学生，对“双减”后学生周末课外阅读时间进
行了调查．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
时间段
分钟
组中值 4 5 75 105 135
频数 人 6 20 4
数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数，叫做这个小组的组中值．
请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）扇形统计图中， 分钟时间段对应扇形的圆心角的度数是 ； ；样本
数据的中位数位于 分钟时间段；
（2）请将表格补充完整；
（3）请通过计算估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间．
【分析】（1）根据表格中的数据和扇形统计图中的数据，可以计算出本次抽取的学生人数，然
后即可得到 分钟时间段对应扇形的圆心角的度数， 的值以及样本数据的中位数
位于哪一时间段；
（2）根据（1）中的结果和表格中的数据，可以将表格补充完整；
（3）根据表格中的数据，可以计算出该校八年级学生周末课外平均阅读时间．
【解答】解：（1） 分钟时间段对应扇形的圆心角的度数是： ，
本次调查的学生有： （人 ，
，
的值是25，
中位数位于 分钟时间段，
故答案为： ，25，60，90；
（2） 一个小组的两个端点的数的平均数，叫做这个小组的组中值
时间段的组中值为 ，
时间段的频数为： ，
故答案为：45，10；
（3） （分钟），
答：估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间为84分钟．
19．（7分）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图 ，隋代建造的赵州桥距今约有
1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，
桥的主桥拱是圆弧形，表示为 ．桥的跨度（弧所对的弦长） ，设 所在圆的圆
心为 ，半径 ，垂足为 ．拱高（弧的中点到弦的距离） ．连接 ．
（1）直接判断 与 的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到 ．
第13页（共24页）【分析】（1）根据垂径定理便可得出结论；
（2）设主桥拱半径为 ，在 中，根据勾股定理列出 的方程便可求得结果．
【解答】解：（1） ，
；
（2）设主桥拱半径为 ，由题意可知 ， ，
，
，
，
，
，
解得 ，
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为 ．
20．（8分）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成
的角 一般要满足 ．（参考数据： ， ， ，
， ， ， ， ，
如图，现有一架长 的梯子 斜靠在一竖直的墙 上．
（1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端 与地面距离的最大值；
（2）当梯子底端 距离墙面 时，计算 等于多少度？并判断此时人是否能安全使
用这架梯子？
【分析】（1）根据 的取值范围得出，当 时， 取得最大值，利用三角函数求出此时
的 值即可；
（2）根据 得出函数值，判断出 的度数，再根据角度得出结论即可．
【解答】解：（1） ，当 时， 取最大值，
在 中， ，
（米 ，
梯子顶端 与地面的距离的最大值为3.8米；
（2）在 中， ，
第14页（共24页），
，
，
人能安全使用这架梯子．
21．（8分）已知菱形 中， 是边 的中点， 是边 上一点．
（1）如图1，连接 ， ． ， ．
①求证： ；
②若 ，求 的长；
（2）如图2，连接 ， ．若 ， ，求 的长．
【分析】（1）①根据垂直的定义得到 ，根据菱形的性质得到 ，
，根据全等三角形的性质得到 ；
②连接 ，如图1，根据菱形的性质得到 ，推出 是等边三角形，得到
，根据三角函数的定义得到结论；
（2）方法一：如图2，延长 交 的延长线于 ，根据菱形的性质得到 ，
，得到 ， ，根据全等三角形的性质得到 ，
，根据相似三角形的性质得到结论；
方法二：延长 交 的延长线于 ，过点 作 于点 ，根据菱形的性质得到
， ，求得 ， ，根据全等三角形的性质得到
， ，根据勾股定理得到结论．
【解答】（1）①证明： ， ，
，
四边形 是菱形，
， ，
，
；
②解：连接 ，如图1，
是边 的中点， ，
，
四边形 是菱形，
，
是等边三角形， ，
在 中， ，
；
第15页（共24页）（2）解：方法一：如图2，
延长 交 的延长线于 ，
四边形 是菱形，
， ，
， ，
是边 的中点，
，
，
， ，
， ，
， ， ，
，
，
， ，
，
为公共角，
，
，
，
；
方法二：如图3，
延长 交 的延长线于 ，过点 作 于点 ，
四边形 是菱形，
， ，
， ，
是边 的中点，
，
，
， ，
， ，
， ， ，
，
第16页（共24页），
在 和 中， ， ，
，
，
解得： ，
，
，
在 中， ，
．
22．（10分）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项
目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月
份的2倍少100吨．
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加 ．5月份每吨再
生纸的利润比上月增加 ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求 的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月
份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了 ．求6
月份每吨再生纸的利润是多少元？
【分析】（1）设3月份再生纸的产量为 吨，则4月份再生纸的产量为 吨，根据该厂
3，4月份共生产再生纸800吨，即可得出关于 的一元一次方程，解之即可求出 的值，再将
其代入 中即可求出4月份再生纸的产量；
（2）利用月利润 每吨的利润 月产量，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其正值即
可得出结论；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为 ，5月份再生纸的产量为 吨，根据6月
份再生纸项目月利润比上月增加了 ，即可得出关于 的一元二次方程，化简后即可得出
6月份每吨再生纸的利润．
【解答】解：（1）设3月份再生纸的产量为 吨，则4月份再生纸的产量为 吨，
依题意得： ，
解得： ，
．
答：4月份再生纸的产量为500吨．
（2）依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答： 的值为20．
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为 ，5月份再生纸的产量为 吨，
依题意得： ，
．
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
23．（11分）已知，在 中， ， ，以 为直径的 与 交于点 ，
将 沿射线 平移得到 ，连接 ．
（1）如图1， 与 相切于点 ．
①求证： ；
②求 的值；
（2）如图2，延长 与 交于点 ，将 沿 折叠，点 的对称点 恰好落在射线
第17页（共24页）上．
①求证： ；
②若 ，求 的长．
【分析】（1）①由平移的性质证出 ，连接 ， ，证明
，由全等三角形的性质得出 ；
②过点 作 于 ，证出四边形 是矩形，由矩形的性质得出 ，
，由（1）可知 ，同理可证 ，设 ， ，由勾股定理得出
，则可得出答案；
（2）①延长 交 于点 ，设 ，由等腰三角形的性质证出 ，
由平移及折叠的性质证出 ，则可得出结论；
②连接 ，交 于点 ，证明 ，由全等三角形的性质得出 ，
证明 ，由相似三角形的性质得出 ，列出方程可求出 的长，根据
锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】（1）①证明： 将 沿射线 平移得到 ，
，
，
，
连接 ， ，
与 相切于点 ，
，
，
， ，
，
；
②解：过点 作 于 ，
第18页（共24页），
由（1）知 ，
四边形 是矩形，
， ，
由（1）可知 ，
同理可证 ，
设 ， ，
在 中， ，
，
，
即 ；
（2）①证明：延长 交 于点 ，
设 ，
，
，
，
，
沿射线 平移得到 ， 沿 折叠得到 ，
，
，
，
；
②解：连接 ，交 于点 ，
沿 折叠，点 的对称点为 ，
第19页（共24页）， ，
是 的直径 ，
，点 恰好落在射线 上，
，
沿射线 方向平移得到 ，
， ，
点 在 的延长线上，
是 的直径，
，
在 和 中，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，
又 ，
，
，
，
解得： ， （不合题意，舍去），
，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
即 的长为 ．
24．（12分）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
直线 由直线 平移得到，与 轴交于点 ．四边形 的四个顶点的坐标分别为
， ， ， ．
（1）填空： ， ；
（2）若点 在第二象限，直线 与经过点 的双曲线 有且只有一个交点，求 的最大
值；
（3）当直线 与四边形 、抛物线 都有交点时，存在直线 ，对于同一条直
线 上的交点，直线 与四边形 的交点的纵坐标都不大于它与抛物线
的交点的纵坐标．
①当 时，直接写出 的取值范围；
②求 的取值范围．
第20页（共24页）【分析】（1）将 ， 代入 ，即可求解；
（2）求出直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，再由双曲线 经
过点 ，可得 ，再联立方程组 ，整理得
，由题意可得△ ，整理得 ，根据点 的坐标
位置，求出 ，则当 时， 可以取得最大值2；
（3）联立方程组 ，由△ ，可得 ，当 时，直线 与抛
物线的交点为 ；①当 时，四边形 的顶点分别为 ， ，
， ，当直线 经过点 时，此时 点与 点重合， 时，符合题意；
当直线 经过点 时， ，当直线 经过点 时， ，可得 ，由此可求解；
②当 的值逐渐增大到使矩形 的顶点 在直线 上时，由
， 解 得 ； 当 的 值 逐 渐 增 大 到 使 矩 形 的 顶 点
在 这 条 开 口 向 上 的 抛 物 线 上 （ 对 称 轴 左 侧 ） 时 ， 由
，解得 （舍 或 ，即可求 的取值范围
为 ．
【解答】解：（1）将 ， 代入 ，
，
解得 ，
故答案为： ， ；
第21页（共24页）（2）设直线 的解析式为 ，
， ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
直线 平移得到直线 ，直线 与 轴交于点 ，
直线 的解析式为 ，
双曲线 经过点 ，
，
，
直线 与双曲线 有且只有一个交点，
联立方程组 ，
整理得 ，
△ ，即 ，
，
，
点在第二象限，
， ，
，
当 时， 可以取得最大值2；
（3）如图1，当直线 与抛物线有交点时，联立方程组 ，
整理得， ，
△ ，即 ，
，
当 时，直线 与抛物线的交点为 ；
①当 时，四边形 的顶点分别为 ， ， ， ，
如图2，当直线 经过点 时，此时 点与 点重合，
时，直线 与四边形 、抛物线都有交点，且满足直线 与矩形 的交点的
纵坐标都不大于与抛物线的交点的纵坐标；
如图3，当直线 经过点 时， ，
当直线 经过点 时，如图4， ，
第22页（共24页），
综上所述： 的取值范围为： 或 ；
②当 的值逐渐增大到使矩形 的顶点 在直线 上时，直线
与四边形 、抛物线同时有交点，且同一直线 与四边形 的交点的纵坐标都小于
它与抛物线的交点的纵坐标，
，
解得 ；
如图5，当 的值逐渐增大到使矩形 的顶点 在这条开口向上的抛物线
上（对称轴左侧）时，存在直线 （即经过此时点 的直线 与四边形 、平行同时有交
点，且同一直线 与四边形 的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标，
，
解得 （舍 或 ，
综上所述： 的取值范围为 ．
第23页（共24页）第24页（共24页）
