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2022年湖南省邵阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1． 的绝对值是
A． B． C．2022 D．
2．下列四种图形中，对称轴条数最多的是
A．等边三角形 B．圆 C．长方形 D．正方形
3．5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000
亿用科学记数法可表示为 ，则 的值是
A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000
4．下列四个图形中，圆柱体的俯视图是
A． B． C． D．
5．假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就
记为（正，反），如此类推，出现（正，正）的概率是
A．1 B． C． D．
6．下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
7．如图是反比例函数 的图象，点 是反比例函数图象上任意一点，过点 作
轴于点 ，连接 ，则 的面积是
A．1 B． C．2 D．
8．在直角坐标系中，已知点 ， ，点 ， 是直线 上的两点，则 ，
的大小关系是
A． B． C． D．
9．如图， 是等边 的外接圆，若 ，则 的半径是
第1页（共14页）A． B． C． D．
10．关于 的不等式组 有且只有三个整数解，则 的最大值是
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．因式分解： ．
12．若 有意义，则 的取值范围是 ．
13．某班50名同学的身高（单位： 如下表所示：
身高 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168
人数 3 5 1 2 2 10 4 3 1 2 6 8 1 2
则该班同学的身高的众数为 ．
14．分式方程 的解是 ．
15．已知矩形的一边长为 ，一条对角线的长为 ，则矩形的面积为 ．
16．已知 ，则 ．
17．如图，在等腰 中， ，顶点 在 的边 上，已知 ，则
．
18．如图，在 中，点 在 边上，点 在 边上，请添加一个条件 ，使
．
三、解答题（本大题有8个小题，第19～25题每题8分，第26题10分，共66分．解答应写出
必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
第2页（共14页）19．（8分）计算： ．
20．（8分）先化简，再从 ，0，1， 中选择一个合适的 值代入求值．
．
21．（8分）如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 ， 在对角线 上，且
， ．
求证：四边形 是正方形．
22．（8分）2021年秋季，全国义务教育学校实现课后服务全覆盖．为了促进学生课后服务多
样化，某校组织了第二课堂，分别设置了文艺类、体育类、阅读类、兴趣类四个社团（假设该校
要求人人参与社团，每人只能选择一个）．为了了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽
样调查，并绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答
以下问题．
（1）求抽取参加调查的学生人数．
（2）将以上两幅不完整的统计图补充完整．
（3）若该校有1600人参加社团活动，试估计该校报兴趣类社团的学生人数．
23．（8分）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰
墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元 个，“冰墩墩”
挂件的进价为50元 个．
（1）若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂
件的数量．
（2）该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元 个，“冰墩墩”挂件售价定为60元 个，
若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”
挂件不能超过多少个？
24．（8分）如图，已知 是 的直径，点 为 延长线上一点， 是 的切线，点
为切点，且 ．
（1）求 的度数；
（2）若 的半径为3，求圆弧 的长．
第3页（共14页）25．（8分）如图，一艘轮船从点 处以 的速度向正东方向航行，在 处测得灯塔 在
北偏东 方向上，继续航行 到达 处，这时测得灯塔 在北偏东 方向上，已知在灯塔
的四周 内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：
，
26．（10分）如图，已知直线 与抛物线 相交于 ， 两点，点 在
轴上，点 在 轴上，点 在抛物线上．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形 的顶点 为直角坐标系原点，顶点 在线段 上，顶点 在 轴正半轴
上，若 与 全等，求点 的坐标．
（3）在条件（2）下，点 是线段 上的动点（点 不与点 重合），将 沿 所在的直
线翻折得到 ，连接 ，求线段 长度的最小值．
第4页（共14页）2022年湖南省邵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1． 的绝对值是
A． B． C．2022 D．
【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．
【解答】解： 的绝对值是2022．
故选： ．
2．下列四种图形中，对称轴条数最多的是
A．等边三角形 B．圆 C．长方形 D．正方形
【分析】根据轴对称图形的意义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，
那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此分析各图形的对
称轴条数即可求解．
【解答】解： ．等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴；
．圆是轴对称图形，有无数条条对称轴；
．长方形是轴对称图形，有2条对称轴；
．正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
故对称轴条数最多的图形是圆．
故选： ．
3．5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000
亿用科学记数法可表示为 ，则 的值是
A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值 时， 是正整数；当原数的绝对值 时， 是负整数．
【解答】解：11000亿 ，
，
故选： ．
4．下列四个图形中，圆柱体的俯视图是
A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图是从物体的上面看得到的视图解答．
第5页（共14页）【解答】解：从圆柱体的上面看到是视图是圆，
则圆柱体的俯视图是圆，
故选： ．
5．假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就
记为（正，反），如此类推，出现（正，正）的概率是
A．1 B． C． D．
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中出现（正，正）的结果有1种，再由概率公式求
解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中出现（正，正）的结果有1种，
出现（正，正）的概率为 ，
故选： ．
6．下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：
、 ，不能构成三角形；
、 ，能构成三角形；
、 ，不能构成三角形；
、 ，不能构成三角形．
故选： ．
7．如图是反比例函数 的图象，点 是反比例函数图象上任意一点，过点 作
轴于点 ，连接 ，则 的面积是
A．1 B． C．2 D．
【分析】由反比例函数的几何意义可知， ，也就是 的面积的2倍是1，求出
的面积是 ．
【解答】解： ，
， ，
为反比例函数 图象上一点，
，
第6页（共14页），
故选： ．
8．在直角坐标系中，已知点 ， ，点 ， 是直线 上的两点，则 ，
的大小关系是
A． B． C． D．
【分析】根据 可知函数 随着 增大而减小，再根 即可比较 和 的大小．
【解答】解：点 ， ，点 ， 是直线 上的两点，且 ，
一次函数 随着 增大而减小，
，
，
故选： ．
9．如图， 是等边 的外接圆，若 ，则 的半径是
A． B． C． D．
【分析】连接 ，过点 作 ，结合三角形外心和垂径定理分析求解．
【解答】解：连接 ，过点 作 ，
是等边 的外接圆，
平分 ，
，
又 ，
，
在 中， ，
，
解得： ，
故选： ．
第7页（共14页）10．关于 的不等式组 有且只有三个整数解，则 的最大值是
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分表示出不等式组的解
集，根据解集有且只有三个整数解，确定出 的范围即可．
【解答】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
解得： ，
不等式组有且仅有三个整数解，即2，3，4，
，
的最大值是5，
故选： ．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．因式分解： ．
【分析】直接运用平方差公式进行因式分解．
【解答】解： ．
12．若 有意义，则 的取值范围是 ．
【分析】先根据二次根式及分式有意义的条件列出 的不等式组，求出 的取值范围即可．
【解答】解： 有意义，
，解得 ．
故答案为： ．
13．某班50名同学的身高（单位： 如下表所示：
身高 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168
人数 3 5 1 2 2 10 4 3 1 2 6 8 1 2
则该班同学的身高的众数为 ．
【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合表格信息即可得出答案．
【解答】解：身高160的人数最多，
故该班同学的身高的众数为 ．
故答案为： ．
14．分式方程 的解是 ．
【分析】依据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
【解答】解：去分母，得： ，
整理，得： ，
解得： ，
经检验： 是原分式方程的解，
故答案为： ．
15．已知矩形的一边长为 ，一条对角线的长为 ，则矩形的面积为 4 8 ．
【分析】利用勾股定理列式求出另一边长，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．
【解答】解： 长方形的一条对角线的长为 ，一边长为 ，
另一边长 ，
第8页（共14页）它的面积为 ．
故答案为：48．
16．已知 ，则 2 ．
【分析】原式前两项提取3变形后，把已知等式变形代入计算即可求出值．
【解答】解： ，
，
则原式
．
故答案为：2．
17．如图，在等腰 中， ，顶点 在 的边 上，已知 ，则
．
【分析】根据等腰三角形的性质和平行四边形的性质解答即可．
【解答】解： 等腰 中， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
故答案为： ．
18．如图，在 中，点 在 边上，点 在 边上，请添加一个条件 或
或 （答案不唯一） ，使 ．
【分析】要使两三角形相似，已知一组角相等，则再添加一组角或公共角的两边对应成比例即
可．
【解答】解： ，
当 或 或 时， ，
故答案为： 或 或 （答案不唯一）．
三、解答题（本大题有8个小题，第19～25题每题8分，第26题10分，共66分．解答应写出
必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（8分）计算： ．
第9页（共14页）【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，
进而得出答案．
【解答】解：原式
．
20．（8分）先化简，再从 ，0，1， 中选择一个合适的 值代入求值．
．
【分析】先计算分式的混合运算进行化简，先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后根据
分式成立的条件确定 的取值，代入求值即可．
【解答】解：原式
，
又 ，0，1，
可以取 ，此时原式 ．
21．（8分）如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 ， 在对角线 上，且
， ．
求证：四边形 是正方形．
【分析】证明 与 互相垂直平分便可根据菱形的判定定理得出结论
【解答】证明： 四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
四边形 是菱形；
， ，
，
，即 ，
菱形 是正方形．
22．（8分）2021年秋季，全国义务教育学校实现课后服务全覆盖．为了促进学生课后服务多
样化，某校组织了第二课堂，分别设置了文艺类、体育类、阅读类、兴趣类四个社团（假设该校
要求人人参与社团，每人只能选择一个）．为了了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽
样调查，并绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答
以下问题．
（1）求抽取参加调查的学生人数．
（2）将以上两幅不完整的统计图补充完整．
（3）若该校有1600人参加社团活动，试估计该校报兴趣类社团的学生人数．
第10页（共14页）【分析】（1）根据兴趣类的人数和所占的百分比，可以求得此次调查的人数；
（2）根据（1）中的计算和扇形统计图中的数据，可以计算出体育类的人数，从而可以将条形统
计图补充完整；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出喜欢兴趣类社团的学生有多少人．
【解答】解：（1） （人 ，
答：此次共调查了40人；
（2）体育类有 （人 ，
文艺类社团的人数所占百分比： ，
阅读类社团的人数所占百分比： ，
将条形统计图补充完整如下：
（3） （人 ，
答：估计喜欢兴趣类社团的学生有200人．
23．（8分）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰
墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元 个，“冰墩墩”
挂件的进价为50元 个．
（1）若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂
件的数量．
（2）该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元 个，“冰墩墩”挂件售价定为60元 个，
若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”
挂件不能超过多少个？
【分析】（1）设购进“冰墩墩”摆件 个，“冰墩墩”挂件 个，利用进货总价 进货单价
进货数量，结合购进“冰墩墩”摆件和挂件共100个且共花费了11400元，即可得出关于 ，
的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进“冰墩墩”挂件 个，则购进“冰墩墩”摆件 个，利用总利润 每个的
销售利润 销售数量（购进数量），即可得出关于 的一元一次不等式，解之取其中的最大值
即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进“冰墩墩”摆件 个，“冰墩墩”挂件 个，
第11页（共14页）依题意得： ，
解得： ．
答：购进“冰墩墩”摆件80个，“冰墩墩”挂件100个．
（2）设购进“冰墩墩”挂件 个，则购进“冰墩墩”摆件 个，
依题意得： ，
解得： ．
答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
24．（8分）如图，已知 是 的直径，点 为 延长线上一点， 是 的切线，点
为切点，且 ．
（1）求 的度数；
（2）若 的半径为3，求圆弧 的长．
【分析】（1）连接 ，利用切线的性质可得 ，利用等腰三角形的性质可得
，根据三角形内角和定理列方程求解；
（2）先求得 的度数，然后根据弧长公式代入求解．
【解答】解：（1）连接 ，
是 的切线，点 为切点，
，
又 ， ，
，
设 ，则在 中，
，
解得： ，
的度数为 ；
（2） ，
，
．
25．（8分）如图，一艘轮船从点 处以 的速度向正东方向航行，在 处测得灯塔 在
北偏东 方向上，继续航行 到达 处，这时测得灯塔 在北偏东 方向上，已知在灯塔
的四周 内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：
，
第12页（共14页）【分析】过点 作 垂直 ，利用特殊角的三角函数值求得 的长度，从而根据无理数的
估算作出判断．
【解答】解：安全，理由如下：
过点 作 垂直 ，
由题意可得， ， ， ，
在 中，设 ，则 ，
在 中， ，
，
，
解得： ，
所以，这艘轮船继续向正东方向航行是安全的．
26．（10分）如图，已知直线 与抛物线 相交于 ， 两点，点 在
轴上，点 在 轴上，点 在抛物线上．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形 的顶点 为直角坐标系原点，顶点 在线段 上，顶点 在 轴正半轴
第13页（共14页）上，若 与 全等，求点 的坐标．
（3）在条件（2）下，点 是线段 上的动点（点 不与点 重合），将 沿 所在的直
线翻折得到 ，连接 ，求线段 长度的最小值．
【分析】（1）先分别求得点 ，点 的坐标，从而利用待定系数法求函数解析式；
（2）分 和 两种情况，结合全等三角形的性质分析求解；
（3）根据点 的运动轨迹，求得当点 ， ， 三点共线时求得 的最小值．
【解答】解：在直线 中，
当 时， ，
当 时， ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
把点 ，点 ，点 代入 ，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）①当 时， ，
又 四边形 为正方形，
，
此时点 的坐标为 ，
②当 时， ，
又 四边形 为正方形，
，
此时点 的坐标为 ，
综上，点 的坐标为 或 ；
（3）如图，
点 在以点 为圆心， 为半径的圆上运动，
当点 ，点 ，点 三点共线时， 有最小值，
由（2）可得点 的坐标为 或 ，且 点坐标为 ，
的最小值为1．
第14页（共14页）
