文档内容
2022年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷
一、选择题（本题12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．a•a2＝a3 C．（a2）4＝a6 D．a3÷a﹣1＝a2
3．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x≤2 D．x≥2
4．（3分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小
正方体的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（3分）在一个不透明的袋子中装有1个红色小球，1个绿色小球，除颜色外无其他差别，随
机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是
（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，BD是 O的直径，A，C在圆上，∠A＝50°，∠DBC的度数是（ ）
⊙
第1页（共32页）A．50° B．45° C．40° D．35°
7．（3分）如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB ＝4 ，若反比例函数y＝
（k≠0 ）图象的一支经过点A，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）若关于x的方程 ＝3无解，则m的值为（ ）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
9．（3分）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
10．（3分）观察下列数据： ，﹣ ， ，﹣ ， ，…，则第12个数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
11．（3分）下列图形是黄金矩形的折叠过程：
第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；
第2页（共32页）第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；
第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．
则下列线段的比中：① ，② ，③ ，④ ，比值为 的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，
若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任
意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题8小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）在2022年3月13日北京冬残奥会闭幕当天，奥林匹克官方旗舰店再次发售
1000000只“冰墩墩”，很快便售罄．数据1000000用科学记数法表示为 ．
14．（3分）如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件 ，使△ABC≌△DEC．
第3页（共32页）15．（3分）某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2元，则该商品的
标价为每件 元．
16．（3分）一列数据：1，2，3，x，5，5的平均数是4，则这组数据的中位数是 ．
17．（3分） O的直径CD＝10，AB是 O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC
的长为 ⊙ ． ⊙
18．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物
线的顶点坐标是 ．
19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋
转90°后，点B的对应点B'坐标是 ．
20．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，
点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：
①AC＝CD；② AD2＝BC•AF；③若AD＝3 ，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝
DH•AC，正确的是 ．
三、解答题（共60分）
21．（5分）先化简，再求值．（x﹣ ）÷ ，其中x＝cos30°．
22．（6分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，
顶点为D．
第4页（共32页）（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是 ．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣ ，顶点坐标是（﹣ ， ）．
23．（6分）在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别是6和8，以AD为直角边向菱形外作
等腰直角三角形ADE，连接CE．请用尺规或三角板作出图形，并直接写出线段CE的长．
24．（7分）为推进“冰雪进校园”活动，我市某初级中学开展：A．速度滑冰，B．冰尜，C．雪地
足球，D．冰壶，E．冰球等五种冰雪体育活动，并在全校范围内随机抽取了若干名学生，对
他们最喜爱的冰雪体育活动的人数进行统计（要求：每名被抽查的学生必选且只能选择一
种），绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．
请解答下列问题：
（1）这次被抽查的学生有多少人？
（2）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中B类活动扇形圆心角的度数是 ；
（3）若该校共有1500人，请你估计全校最喜爱雪地足球的学生有多少人？
第5页（共32页）25．（8分）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙
从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不
计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人
距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟；
（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出
自变量x的取值范围；
（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
26．（8分）如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如
图①，易证：BC+BE＝BF．请解答下列问题：
（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；
（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；
（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S△ABC ＝12 ，则BC＝ ，BF＝ ．
27．（10分）某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫
用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B
种防疫用品的箱数相等，请解答下列问题：
第6页（共32页）（1）求A，B两种防疫用品每箱的成本；
（2）该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用
品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？
（3）为扩大生产，厂家欲拿出与（2）中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备
（两种都买）．若甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案？最多
可购买甲，乙两种设备共多少台？（请直接写出答案即可）
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，
AD∥BC，BD平分∠ABC，交AO于点E，交AC于点F，∠CAO＝∠DBC．若OB，OC的长
分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，且OB＞OC．
请解答下列问题：
（1）求点B，C的坐标；
（2）若反比例函数y＝ （k≠0）图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；
（3）平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比
为2：3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由．
第7页（共32页）2022年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重
合．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．a•a2＝a3 C．（a2）4＝a6 D．a3÷a﹣1＝a2
【解答】解：A．因为a+a＝2a，所以A选项计算不正确，故A选项不符合题意；
B．因为a•a＝a3，所以B选项计算正确，故B选项符合题意；
C．因为（a2）4＝a8，所以C选项计算不正确，故C选项不符合题意；
D．因为a3÷a﹣1＝a3﹣（﹣1）＝a4，所以D选项计算不正确，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的
乘除法，合并同类项，幂的乘方运算法则进行求解即可得出答案．
3．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x≤2 D．x≥2
第8页（共32页）【解答】解：由题意得：
x﹣2≥0，
∴x≥2，
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式
（a≥0）是解题的关键．
4．（3分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小
正方体的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：由三视图画出小正方体搭成的几何体如下：
则搭成这个几何体的小正方体的个数是4，
故选：B．
【点评】本题主要考查三视图的知识，根据三视图画出小正方体搭成的几何体是解题的关
键．
5．（3分）在一个不透明的袋子中装有1个红色小球，1个绿色小球，除颜色外无其他差别，随
机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图得：
第9页（共32页）∵共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球的只有1种情况，
∴两次都摸到红球的概率是 ，
故选：D．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率的知识．树状图可以不重复不遗漏的列出所有可
能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试
验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（3分）如图，BD是 O的直径，A，C在圆上，∠A＝50°，∠DBC的度数是（ ）
⊙
A．50° B．45° C．40° D．35°
【解答】解：∵BD是 O的直径，
∴∠BCD＝90°， ⊙
∵∠D＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝90°﹣∠D＝40°．
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结
合思想的应用．
7．（3分）如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB ＝4 ，若反比例函数y＝
（k≠0）图象的一支经过点A，则k的值是（ ）
第10页（共32页）A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于点C，
∵△OAB是正三角形，
∴OC＝BC，
∴S△AOC ＝ S△AOB ＝2 ＝ |k|，
又∵k＞0，
∴k＝4 ，
故选：D．
【点评】本题考查等边三角形的性质，反比例函数系数k的几何意义，掌握等边三角形的性
质以及反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．
8．（3分）若关于x的方程 ＝3无解，则m的值为（ ）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
【解答】解：两边同乘以（x﹣1）得：mx﹣1＝3x﹣3，
∴（m﹣3）x＝﹣2．
当m﹣3＝0时，即m＝3时，原方程无解，符合题意．
第11页（共32页）当m﹣3≠0时，x＝ ，
∵方程无解，
∴x﹣1＝0，
∴x＝1，
∴m﹣3＝﹣2，
∴m＝1，
综上：当m＝1或3时，原方程无解．
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的解，理解分式方程无解的含义是求解本题的关键．
9．（3分）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2 ×1＝2 ，
设圆心角的度数是n度． π π
则 ＝2 ，
π
解得：n＝120．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间
的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的
弧长．
10．（3分）观察下列数据： ，﹣ ， ，﹣ ， ，…，则第12个数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【解答】解：根据给出的数据特点可知第n个数是 ×（﹣1）n+1，
∴第12个数就是 ×（﹣1）12+1＝﹣ ．
故选：D．
【点评】考查了找规律以及代数式求值问题，关键要读懂题意，能根据题意找到规律并利
用规律解决问题．
11．（3分）下列图形是黄金矩形的折叠过程：
第12页（共32页）第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；
第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．
则下列线段的比中：① ，② ，③ ，④ ，比值为 的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
【解答】解：①设MN＝2a，则BC＝DE＝2a，AC＝a，
在Rt△ABC中，AB＝ ＝ ＝ a，
如图（3），由折叠得：AD＝AB＝ a，
∴CD＝AD﹣AC＝AB﹣AC＝ a﹣a，
∴ ＝ ＝ ；
② ＝ ＝ ；
③∵四边形MNCB是正方形，
∴CN＝MN＝2a，
∴ND＝a+ a，
∴ ＝ ＝ ＝ ；
④ ＝ ＝ ；
第13页（共32页）综上，比值为 的是①③；
故选：B．
【点评】本题考查了黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换，分母有理化等知识，解题的关
键是掌握折叠的性质，利用参数表示相应线段的长是解本题的关键，属于中考创新题目．
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，
若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任
意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①观察图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵称轴为直线x＝﹣2，OA＝5OB，
可得OA＝5，OB＝1，
∴点A（﹣5，0），点B（1，0），
∴当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a+c﹣b）＝0，故②正确；
③抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，即﹣ ＝﹣2，
∴b＝4a，
∵a+b+c＝0，
∴5a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴9a+4c＝﹣11a，
∵a＞0，
∴9a+4c＜0，故③正确；
第14页（共32页）④当x＝﹣2时，函数有最小值y＝4a﹣2b+c，
由am2+bm+2b≥4a可得am2+bm+c≥4a﹣2b+c，
∴若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本
题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
二、填空题（本题8小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）在2022年3月13日北京冬残奥会闭幕当天，奥林匹克官方旗舰店再次发售
1000000只“冰墩墩”，很快便售罄．数据1000000用科学记数法表示为 1 0 6 ．
【解答】解：1000000＝106．
故答案为：106．
【点评】本题主要考查了科学记数法﹣表示较大的数，熟练掌握科学记数法﹣表示较大的
数的表示方法进行求解是解决本题的关键．
14．（3分）如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件 CB ＝ CE （ 答案不唯一） ，使
△ABC≌△DEC．
【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB，
∵CA＝CD，CB＝CE，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
故答案为：CB＝CE（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
15．（3分）某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2元，则该商品的
标价为每件 1 5 元．
【解答】解：设该商品的标价为每件x元，
由题意得：80%x﹣10＝2，
解得：x＝15．
第15页（共32页）答：该商品的标价为每件15元．
故答案为：15．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，关键是仔细审题，得出等量关系，列出方程，难
度一般．
16．（3分）一列数据：1，2，3，x，5，5的平均数是4，则这组数据的中位数是 4 ．
【解答】解：由题意知， ＝4，
解得x＝8，
∴这组数据为1，2，3，5，5，8，
∴这组数据的中位数是 ＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查平均数和中位数的知识，熟练掌握平均数和中位数的概念是解题的
关键．
17．（3分） O的直径CD＝10，AB是 O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC
的长为 ⊙ 4 或 2 ． ⊙
【解答】解：连接OA，
∵OM：OC＝3：5，
设OC＝5x，OM＝3x，则DM＝2x，
∵CD＝10，
∴OM＝3，OA＝OC＝5，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM＝ AB，
在Rt△OAM中，OA＝5，
AM＝ ，
第16页（共32页）当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，
在Rt△ACM中，AC＝ ；
当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，
在Rt△ACM中，AC＝ ．
综上所述，AC的长为4 或2 ．
故答案为：4 或2 ．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
18．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物
线的顶点坐标是 （ 3 ， 5 ） ．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2），
∵抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，5）．
故答案为：（3，5）．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加
下减．并用规律求函数解析式．
19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋
转90°后，点B的对应点B'坐标是 （﹣ 2 ， 3 ）或（ 2 ，﹣ 3 ） ．
【解答】解：∵A（﹣1，2），OC＝4，
∴C（4，0），B（3，2），M（0，2），BM＝3，AB∥x轴，BM＝3，
第17页（共32页）将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后，
由旋转得：OM＝OM ＝OM ＝2，∠AOA ＝∠AOA ＝90°，BM＝B M ＝B M ＝3，
1 2 1 2 1 1 2 2
A B ⊥x轴，A B ⊥x轴，
1 1 2 2
∴B 和B 的坐标分别为：（﹣2，3）、（2，﹣3），
1 2
∴B'即是图中的B 和B ，坐标就是（﹣2，3）或（2，﹣3），
1 2
故答案为：（﹣2，3）或（2，﹣3））．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形
是解题的关键．
20．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，
点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：
①AC＝CD；② AD2＝BC•AF；③若AD＝3 ，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝
DH•AC，正确的是 ②③ ．
【解答】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
而∠BAD的度数不确定，
∴∠ADC与∠CAD不一定相等，
∴AC与CD不一定相等，
故①错误；
②∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
第18页（共32页）∵∠B＝∠AED＝45°，
∴△AEF∽△ABD，
∴ ＝ ，
∵AE＝AD，AB＝ BC，
∴AD2＝AF•AB＝AF• BC，
∴ AD2＝AF•BC，
故②正确；
④∵∠DAH＝∠B＝45°，∠AHD＝∠AHD，
∴△ADH∽△BAH，
∴ ＝ ，
∴AH2＝DH•BH，
而DH与AC不一定相等，
故④不一定正确；
③∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADG＝45°，
∵AH⊥DE，
∴∠AGD＝90°，
∵AD＝3 ，
∴AG＝DG＝ ，
∵DH＝5，
∴GH＝ ＝ ＝ ，
∴AH＝AG+GH＝2 ，
由④知：AH2＝DH•BH，
∴（2 ）2＝5BH，
∴BH＝8，
∴BD＝BH﹣DH＝8﹣5＝3，
故③正确；
第19页（共32页）本题正确的结论有：②③
故答案为：②③．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三
角形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定，计算线段的长或进行比例式的变形，
属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（共60分）
21．（5分）先化简，再求值．（x﹣ ）÷ ，其中x＝cos30°．
【解答】解：原式＝ •
＝ •
＝x﹣1，
∵x＝cos30°＝ ，
∴原式＝ ﹣1．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值、分式的混合运算，正确掌握分式的混合运
算法则是解题关键．
22．（6分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，
顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是 ．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣ ，顶点坐标是（﹣ ， ）．
第20页（共32页）【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝3，
∴C（0，3），
∵P为BD的中点，
∴P（2，2），
∴CP＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理的应用，熟练掌握待定系
数法是解题的关键．
23．（6分）在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别是6和8，以AD为直角边向菱形外作
等腰直角三角形ADE，连接CE．请用尺规或三角板作出图形，并直接写出线段CE的长．
【解答】解：利用三角板可作图1，图2；
（1）如图1，过点E作AC的垂线，交CA的延长线于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
第21页（共32页）∴AC⊥BD，OA＝OC＝ AC＝3，OB＝OD＝ BD＝4，
∴AB＝ ＝5＝BC＝CD＝AD，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝90°，AE＝AD，
∴∠OAD+∠FAE＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠FAE+∠FEA＝90°，
∴∠OAD＝∠FEA，
在△AOD和△EFA中，
，
∴△AOD≌△EFA（AAS），
∴AF＝DO＝4，EF＝AO＝3，
在Rt△CEF中，CF＝4+6＝10，EF＝3，
∴EC＝ ＝ ；
（2）如图2，过点E作BD的垂线，交BD的延长线于点F，过点C作EF的垂线交EF的延
长线于点G，
由（1）的方法可证，△AOD≌△DFE（AAS），
∴DF＝AO＝3，EF＝DO＝4，
∴OF＝OD+DF＝4+3＝7＝CG，
在Rt△ECG中，CG＝7，EG＝EF+FG＝4+3＝7，
∴EC＝ ＝ ＝7 ；
综上所述，EC＝ 或EC＝7 ．
第22页（共32页）【点评】本题考查菱形的性质，矩形的性质三角形全等以及直角三角形的勾股定理，掌握
菱形、矩形的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理是正确解答的前提．
24．（7分）为推进“冰雪进校园”活动，我市某初级中学开展：A．速度滑冰，B．冰尜，C．雪地
足球，D．冰壶，E．冰球等五种冰雪体育活动，并在全校范围内随机抽取了若干名学生，对
他们最喜爱的冰雪体育活动的人数进行统计（要求：每名被抽查的学生必选且只能选择一
种），绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．
请解答下列问题：
（1）这次被抽查的学生有多少人？
（2）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中B类活动扇形圆心角的度数是 120 ° ；
（3）若该校共有1500人，请你估计全校最喜爱雪地足球的学生有多少人？
【解答】解：（1）12÷20%＝60（人），
答：这次被抽查的学生有60人；
（2）补全的条形统计图如图，
第23页（共32页）B类活动扇形圆心角的度数＝ ×360°＝120°，
故答案为：120°；
（3）1500× ＝200（人）．
答：全校最喜爱雪地足球的学生有200人．
【点评】本题考查扇形统计图、统计表的知识，用样本估计总体，关键在于计算的准确性．
25．（8分）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙
从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不
计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人
距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 30 0 米/分钟，乙的速度为 80 0 米/分钟；
（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出
自变量x的取值范围；
（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
第24页（共32页）【解答】解：（1）根据题意可知D（1，800），E（2，800），
∴乙的速度为：800÷1＝800（米/分钟），
∴乙从B地到C地用时：2400÷800＝3（分钟），
∴G（6，2400）．
∴H（8，2400）．
∴甲的速度为2400÷8＝300（米/分钟），
故答案为：300；800；
（2）设直线FG的解析式为：y＝kx+b（k≠0），且由图象可知F（3，0），
由（1）知G（6，2400）．
∴ ，
解得， ．
∴直线FG的解析式为Ly＝800x﹣2400（3≤x≤6）．
（3）由题意可知，AB相距800米，BC相距2400米．
∵O（0，0），H（8，2400），
∴直线OH的解析式为：y＝300x，
∵D（1，800），
∴直线OD的解析式为：y＝800x，
当0≤x≤1时，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，即甲乙朝相反
方向想走，
∴令800x+300x＝600，解得x＝ ．
第25页（共32页）∵当x＞2时，甲从B往乙地走，乙从A地往C地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600或800（x﹣2）﹣（300x+800）＝600，
解得x＝ 或x＝6．
综上，出发 分钟或 分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
【点评】本题考查一次函数的应用、路程＝速度×时间的关系等知识，解题的关键是读懂图
象信息，将图象中的信息转化为实际行程问题，属于中考常考题型．
26．（8分）如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如
图①，易证：BC+BE＝BF．请解答下列问题：
（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；
（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；
（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S△ABC ＝12 ，则BC＝ 8 ，BF＝ 1 4 或 1 8 ．
【解答】解：（1）图②：BC+BE＝BF，
图③：BE﹣BC＝BF；
（2）图②：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，
∴△ABC≌△DFE（ASA），
∴BC＝EF，
∵BE＝BC+CE，
∴BC+BE＝EF+BC+CE＝BF；
图③：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，
∴△ABC≌△DFE（ASA），
∴BC＝EF，
∵BE＝BF+EF，
∴BE﹣BC＝BF+EF﹣BC＝BF+BC﹣BC＝BF；
（3）当点E在BC上时，如图，作AH⊥BC于H，
第26页（共32页）∵∠B＝60°，
∴∠BAH＝30°，
∴BH＝3，
∴AH＝3 ，
∵S△ABC ＝12 ，
∴ ＝12 ，
∴BC＝8，
∵CE＝2，
∴BF＝BE+EF＝8﹣2+8＝14；
同理，当点E在BC延长线上时，如图②，BF＝BC+BE＝8+10＝18，
故答案为：8，14或18．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，
运用分类讨论思想是解题的关键．
27．（10分）某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫
用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B
种防疫用品的箱数相等，请解答下列问题：
（1）求A，B两种防疫用品每箱的成本；
（2）该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用
品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？
（3）为扩大生产，厂家欲拿出与（2）中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备
（两种都买）．若甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案？最多
可购买甲，乙两种设备共多少台？（请直接写出答案即可）
【解答】解：（1）设B种防疫用品的成本为x元/箱，则A种防疫用品的成本为（x+500）元/箱，
依题意得： ＝ ，
解得：x＝1500，
经检验，x＝1500是原方程的解，且符合题意，
第27页（共32页）∴x+500＝1500+500＝2000．
答：A种防疫用品的成本为2000元/箱，B种防疫用品的成本为1500元/箱．
（2）设生产m箱B种防疫用品，则生产（50﹣m）箱A种防疫用品，
依题意得： ，
解得：20≤m≤25．
又∵m为整数，
∴m可以为20，21，22，23，24，25，
∴该工厂共有6种生产方案．
（3）设（2）中的生产成本为w元，则w＝2000（50﹣m）+1500m＝﹣500m+100000，
∵﹣500＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝25时，w取得最小值，最小值＝﹣500×25+100000＝87500．
设购买a台甲种设备，b台乙种设备，
依题意得：2500a+3500b＝87500，
∴a＝35﹣ b．
又∵a，b均为正整数，
∴ 或 或 或 ，
∴a+b＝33或31或29或27．
∵33＞31＞29＞27，
∴共有4种购买方案，最多可购买甲，乙两种设备共33台．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用以及二元
一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量
之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，
AD∥BC，BD平分∠ABC，交AO于点E，交AC于点F，∠CAO＝∠DBC．若OB，OC的长
分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，且OB＞OC．
请解答下列问题：
（1）求点B，C的坐标；
第28页（共32页）（2）若反比例函数y＝ （k≠0）图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；
（3）平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比
为2：3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由x2﹣5x+6＝0，解得x ＝2，x ＝3，
1 2
∵OB，OC的长分别是方程的两个根，且OB＞OC，
∴OB＝3，OC＝2．
∴B（﹣3，0），C （2，0）；
（2）∵AO⊥BC，
∴∠AOB＝90°，
∵∠CAO＝∠DBC，∠CAO+∠AFB＝∠DBC+∠AOB，
∴∠AFB＝∠AOB＝90°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠AFB＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC＝5，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD＝5，
∵在Rt△ABO中，AO＝ ＝ ＝4，
第29页（共32页）∴D（5，4），
∴反比例函数解析式为：y＝ ；
（3）存在，N （3，﹣12），N （ ，﹣ ），N （ ，﹣ ），
4 5 6
理由：过点D作DG⊥x轴于点G，
∵B（﹣3，0），D（5，4），
∴BG＝8，DG＝4，BD＝ ＝4 ，
∵使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2：3的矩形，
①当BD是矩形一边，且是短边时，即图中矩形BDM N 和矩形BDM N ，
1 1 4 4
由BD：N B＝2：3，得N B＝6 ，
1 1
过点N 作N H⊥x轴于点H，由一线三等角易得△BDG∽△N BH，
1 1 1
∴根据相似三角形三边对应成比例得：BH＝6，N H＝12，
1
∴OH＝OB+BH＝3+6＝9，
∴N （﹣9，12），
1
同理得点N （3，﹣12），
4
当BD是矩形一边，且是长边时，即图中矩形BDM N 和矩形BDM N ，
2 2 3 3
方法同上，得点N （﹣ ， ），N （﹣ ，﹣ ）；
2 3
②当BD是对角线时，如下图：以BD为半径作圆，矩形BN DM ，BN DM 即为符合题意
5 5 6 6
第30页（共32页）矩形，
当BN ：N D＝2：3时，过点N 作KL∥x轴，过点B作BK⊥KL于点K，过点D作DL⊥KL
5 5 5
于点L，
由一线三等角易得△BKN ∽△DLN ，
5 5
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴BK＝ N L，KN ＝ LD，
5 5
设N L＝x，LD＝y，
5
∴BK＝ x，KN ＝ y，
5
∵N L+KN ＝8，DL﹣BK＝4，
5 5
第31页（共32页）∴ ，
解得： ，
∴KN ＝ y＝ ＝ ，N 的横坐标＝ ﹣3＝ ，
5 5
同理得N 的纵坐标＝﹣ ；
5
再同理得：当BN ：N D＝3：2时，N （ ，﹣ ）．
5 5 6
综上所述：在第四象限内点N的坐标为N（3，﹣12），N（ ，﹣ ），N （ ，﹣ ）．
4 5 6
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了解一元二次方程、矩形性质、三角形相似的判定
和性质、直径所对的圆周角是直角、分类讨论思想和一线三等角模型，解题关键是恰当作
出辅助线，计算难度较大，属于中考常考类型，易出错．
第32页（共32页）
