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2014 年黑龙江省农垦牡丹江管理局中考数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)下列运算正确的是（ ）
A．2x+6x=8x2 B．a6÷a2=a3 C．（﹣4x3）2=16x6D．（x+3）2=x2+9
2．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)如图，由高和直径相同的5个圆柱搭成的几何体，
其左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)某公司去年的营业额为四亿零七百万元，这个数
据用科学记数法可表示为（ ）
A．4.07×107元 B．4.07×108元 C．4.07×109元 D．4.07×1010元
4．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)下列对称图形中，是轴对称图形，但不是中心对
称图形的有（ ）
A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个
5．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)为了解居民用水情况，小明在某小区随机抽查了
20户家庭的月用水量，结果如下表：
月用水量（m3） 4 5 6 8 9
户数 4 5 7 3 1
则关于这20户家庭的月用水量，下列说法错误的是（ ）
A．中位数是6m3B．平均数是5.8m3 C．众数是6m3 D．极差是6m3
6．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如
果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为
（ ）A．（﹣x，y﹣2）B．（﹣x，y+2） C．（﹣x+2，﹣y）D．（﹣x+2，y+2）
7．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜
∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如
果CD恰好与AB垂直，那么∠A的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且
∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是
等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
9．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)在同一直角坐标系中，函数y=kx+1与y=﹣
（k≠0）的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
10．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∠CDB=30°，CD=2 ，则S =（ ）
阴影
A．π B．2π C． D． π
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)计算|1﹣ |+（﹣1）0﹣（ ）﹣1= ．
12．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)在函数 中，自变量x的取值范围是
．
13．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)已知函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴交点的纵
坐标为﹣2，且当x=2时，y=1．那么此函数的解析式为 ．
14．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所
示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，
PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为 m．15．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在
BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则tan∠EAF的值= ．
16．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高
AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则△ABC的周长等于 cm．
17．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)如图，如果从半径为3cm的圆形纸片上剪去 圆
周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底
面半径是 cm．
18．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的
四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的
长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 ．
19．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)已知二次函数y=kx2+（2k﹣1）x﹣1与x轴交点
的横坐标为x ，x （x ＜x ），则对于下列结论：
1 2 1 2①当x=﹣2时，y=1；
②方程kx2+（2k﹣1）x﹣1=0有两个不相等的实数根x ，x ；
1 2
③x ﹣x = ．
2 1
其中正确的结论有 （只需填写序号即可）．
20．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示
的正方形（用阴影表示），点B 在y轴上且坐标是（0，2），点C 、E 、E 、C 、E 、E 、
1 1 1 2 2 3 4
C 在x轴上，C 的坐标是（1，0）．B C ∥B C ∥B C ，以此继续下去，则点A 到x
3 1 1 1 2 2 3 3 2014
轴的距离是 ．
三、解答题（本题共8道题，满分60分）
21．（5分）(2014年黑龙江牡丹江)化简求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x=﹣
．
22．（6分）(2014年黑龙江牡丹江)如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为
30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD=30cm．求：直径AB的长．23．（6分）(2014年黑龙江牡丹江)某市为调查学生的视力变化情况，从全市九年
级学生中抽取了部分学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，并将所得数
据处理后，制成折线统计图和扇形统计图如下：
解答下列问题：
（1）图②中“D：5.2以上”所在的扇形的圆心角度数为 ；
（2）该市共抽取了多少名九年级学生？
（3）若该市共有10万名九年级学生，请你估计该市九年级视力5.2以上的学生大
约有多少人？
24．（6分）(2014年黑龙江牡丹江)如图有A、B两个大小均匀的转盘，其中A转盘
被分成3等份，B转盘被分成4等份，并在每一份内标上数字．小明和小红同时各
转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线时视为无效，重转），若将A
转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的k，将B转盘指针指向的数字记作
一次函数表达式中的b．
（1）请用列表或画树状图的方法写出所有的可能；
（2）求一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限的概率．25．（7分）(2014年黑龙江牡丹江)学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书
节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种
图书比单独购买乙种图书要少10本．
（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
（2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购
买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？
26．（10分）(2014年黑龙江牡丹江)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的
直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为
F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形
请说明你的理由．27．（10分）(2014年黑龙江牡丹江)某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，
规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y
（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）试确定y与x之间的函数关系式；
（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与
销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大
利润？最大利润是多少元？
（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取
值范围．
28．（10分）(2014年黑龙江牡丹江)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，
BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出
发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P
运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否
存在某一时刻t，使得S ：S =9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明
△CPQ △ABC
理由．
（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？2014 年黑龙江省农垦牡丹江管理局中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)下列运算正确的是（ ）
A．2x+6x=8x2 B．a6÷a2=a3 C．（﹣4x3）2=16x6D．（x+3）2=x2+9
【分析】根据合并同类项，可判断A，根据同底数幂的除法，可判断B，根据积的乘
方，可判断C，根据完全平方公式，可判断D．
【解答】解：A、系数相加字母部分不变，故A错误；
B、底数不变指数相减，故B错误；
C、积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故C正确；
D、和的平方等于平和加积的2倍，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了幂的运算，根据法则计算是解题关键．
2．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)如图，由高和直径相同的5个圆柱搭成的几何体，
其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是两个正方形，第二层是左边一个正方形，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．3．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)某公司去年的营业额为四亿零七百万元，这个数
据用科学记数法可表示为（ ）
A．4.07×107元 B．4.07×108元 C．4.07×109元 D．4.07×1010元
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的
位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：四亿零七百万=4 0700 0000=4.07×108，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)下列对称图形中，是轴对称图形，但不是中心对
称图形的有（ ）
A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对
称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出
答案．
【解答】解：①此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；
②此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
③此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
④此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确．
故是轴对称图形，但不是中心对称图形的有2个．
故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称
中心与对称轴．
5．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)为了解居民用水情况，小明在某小区随机抽查了
20户家庭的月用水量，结果如下表：
月用水量（m3） 4 5 6 8 9
户数 4 5 7 3 1
则关于这20户家庭的月用水量，下列说法错误的是（ ）
A．中位数是6m3B．平均数是5.8m3 C．众数是6m3 D．极差是6m3
【考点】极差；加权平均数；中位数；众数．
分析： 根据极差、众数、平均数和中位数的定义和计算公式分别对每一项进行
分析即可．
【解答】解：A、把这20户的用水量从小到大排列，最中间的数是第10、11个数的
平均数，则中位数是：（6+6）÷2=6（m3），故本选项正确；
B、平均数是：（4×4+5×5+6×7+8×3+9×1）÷2=5.8m3，故本选项正确；
C、6出现了7次，出现的次数最多，则众数是6m3，故本选项正确；
D、极差是：9﹣4=5m3，故本选项错误；
故选D．
【点评】此题考查了极差、众数、加权平均数和中位数，掌握极差、众数、平均数和
中位数的定义和计算公式是本题的关键；求极差的方法是用一组数据中的最大值
减去最小值；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的
那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中
出现次数最多的数．
6．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如
果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为
（ ）A．（﹣x，y﹣2）B．（﹣x，y+2） C．（﹣x+2，﹣y）D．（﹣x+2，y+2）
【考点】坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移．
【专题】几何变换．
【分析】先观察△ABC和△A′B′C′得到把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴
对称可得到△A′B′C′，然后把点P（x，y）向上平移2个单位，再关于y轴对称得到
点的坐标为（﹣x，y+2），即为P′点的坐标．
【解答】解：∵把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，
∴点P（x，y）的对应点P′的坐标为（﹣x，y+2）．
故选B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角
度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，
45°，60°，90°，180°．
7．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜
∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如
果CD恰好与AB垂直，那么∠A的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则∠D=∠A，
∠MCD=∠MCA，从而求得答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，
∴AM=MC=BM，
∴∠A=∠MCA，
∵将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，
∴CM平分∠ACD，∠A=∠D，
∴∠ACM=∠MCD，
∵∠A+∠B=∠B+∠BCD=90°
∴∠A=∠BCD
∴∠BCD=∠DCM=∠MCA=30°
∴∠A=30°．
故选：A．
【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是
一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小
不变，只是位置变化．
8．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且
∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是
等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
考点： 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；等边三角形
的判定与性质．【分析】首先连接BD，易证得△ADE≌△△BDF，然后可证得DE=DF，即可得
△DEF是等边三角形，然后可证得∠ADE=∠BEF．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ADB= ∠ADC，AB∥CD，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，
同理：∠DBF=60°，
即∠A=∠DBF，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
∵∠ADE+∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
∵在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△△BDF（ASA），
∴DE=DF，
∵∠EDF=60°，
∴△EDF是等边三角形，
∴②正确；
∴∠DEF=60°，
∴∠AED+∠BEF=120°，
∵∠AED+∠ADE=180°﹣∠A=120°，
∴∠ADE=∠BEF；
故④正确．
∵∠ADE=∠BDF，
同理：∠BDE=∠CDF，
但∠ADE不一定等于∠BDE，∴AE不一定等于BE，
故①错误；
∵△ADE≌△△BDF，
∴AE=BF，
同理：BE=CF，
但BE不一定等于BF．
故③错误．
故选D．
【点评】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判
定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．
9．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)在同一直角坐标系中，函数y=kx+1与y=﹣
（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【专题】数形结合．
【分析】先根据一次函数图象与系数的关系得到k的范围，然后根据k的范围判断
反比例函数图象的位置．
【解答】解：A、对于y=kx+1经过第一、三象限，则k＞0，所以反比例函数图象应该
分布在第二、四象限，所以A选项错误；
B、一次函数y=kx+1与y轴的交点在x轴上方，所以B选项错误；
C、对于y=kx+1经过第二、四象限，则k＜0，所以反比例函数图象应该分布在第
一、三象限，所以C选项错误；
D、对于y=kx+1经过第二、四象限，则k＜0，所以反比例函数图象应该分布在第
一、三象限，所以D选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数图象：反比例函数y= （k≠0）为双曲线，当k＞0时，
图象分布在第一、三象限；当k＜0时，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函
数图象．
10．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∠CDB=30°，CD=2 ，则S =（ ）
阴影
A．π B．2π C． D． π
【考点】扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理．
【分析】求出CE=DE，OE=BE=1，得出S =S ，所以S =S ．
△BED △OEC 阴影 扇形BOC【解答】
解：如图，CD⊥AB，交AB于点E，
∵AB是直径，
∴CE=DE= CD= ，
又∵∠CDB=30°
∴∠COE=60°，
∴OE=1，OC=2，
∴BE=1，
∴S =S ，
△BED △OEC
∴S =S = = ．
阴影 扇形BOC
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，图形的转化是解答本题的关键．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)计算|1﹣ |+（﹣1）0﹣（ ）﹣1= 3 ．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值得性质四个考点．针对每个考
点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式= ﹣1+1﹣3= ﹣3，
故答案为： 3．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此
类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值等考点的运算．12．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)在函数 中，自变量x的取值范围是 x≥
﹣1 且 x≠0 ．
【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两
部分．根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0，根据分式有意义的条件，x≠0．就可
以求出自变量x的取值范围．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x≠0
解得：x≥﹣1且x≠0．
故答案为：x≥﹣1且x≠0
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
13．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)已知函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴交点的纵
坐标为﹣2，且当x=2时，y=1．那么此函数的解析式为 y= x﹣2 ．
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【专题】计算题．
【分析】根据题意找出函数图象上两点坐标，代入计算求出k与b的值，即可确定
出解析式．
【解答】解：将（0，﹣2）与（2，1）代入y=kx+b得： ，
解得：k= ，b=﹣2，
则函数解析式为y= x﹣2，
故答案为：y= x﹣2．【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本
题的关键．
14．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所
示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，
PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为 2. 3 m．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】应用题．
【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出MN的影长，再根据此影长列出
比例式即可．
【解答】解：解：过N点作ND⊥PQ于D，
∴ ，
又∵AB=2，BC=1.6，PM=1.2，NM=0.8，
∴QD= =1.5，
∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米）．
答：木竿PQ的长度为2.3米．
【点评】在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出
简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．15．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在
BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则tan∠EAF的值= ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】计算题．
【分析】先根据矩形的性质得CD=AB=8，AD=BC=10，再根据折叠的性质得
AF=AD=10，DE=EF，∠AFE=∠D=90°，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出
BF=6，则FC=BC﹣BF=4，设EF=x，则DE=x，CE=CD﹣DE=8﹣x，在Rt△CEF中，
根据勾股定理得到42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，即EF=5，然后在Rt△AEF中根据正
切的定义求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=8，AD=BC=10，
∵折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF=AD=10，DE=EF，∠AFE=∠D=90°，
在Rt△ABF中，BF= =6，
∴FC=BC﹣BF=4，
设EF=x，则DE=x，CE=CD﹣DE=8﹣x，
在Rt△CEF中，
∵CF2+CE2=EF2，
∴42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，
即EF=5，
在Rt△AEF中，tan∠EAF= = = ．
故答案为 ．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后
图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质
和勾股定理．
16．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高
AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则△ABC的周长等于 1 2 cm．
【考点】勾股定理；三角形的面积；等腰三角形的性质．
【分析】根据三角形的面积求得 = ，根据勾股定理求得AB2= BC2+36，依据这
两个式子求出AB、BC的值，即可求得周长．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，
∴ AB•CE= BC•AD，
∵AD=6，CE=8，
∴ = ，
∴ = ，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC= BC，
∵AB2﹣BD2=AD2，
∴AB2= BC2+36，
∴ = ，整理得；BC2= ，
解得：BC= ，
∴AB= ×BC= × = ，
∴△ABC的周长=2AB+BC=2× + =12 ．
故答案为12 ．
【点评】本题考查了三角形的面积以及勾股定理的应用，找出AB与BC的数量关
系是本题的关键．
17．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)如图，如果从半径为3cm的圆形纸片上剪去 圆
周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底
面半径是 2 cm．
【考点】圆锥的计算．
【分析】易求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】解：扇形的弧长为： =4πcm，
圆锥的底面半径为：4π÷2π=2cm，
故答案为：2．
【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；圆锥的体积公式，用到的知识点
为：圆锥的弧长等于底面周长．18．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的
四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的
长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 x 2 ﹣70x+825= 0 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】几何图形问题．
【分析】本题设小正方形边长为xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数
式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80﹣2x）cm，宽是（60﹣2x）cm，根据
矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，方程可列出．
【解答】解：由题意得：（80﹣2x）（60﹣2x）=1500
整理得：x2﹣70x+825=0，
故答案为：x2﹣70x+825=0．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，对于面积问题应熟
记各种图形的面积公式．另外，要学会通过图形求出面积．
19．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)已知二次函数y=kx2+（2k﹣1）x﹣1与x轴交点
的横坐标为x ，x （x ＜x ），则对于下列结论：
1 2 1 2
①当x=﹣2时，y=1；
②方程kx2+（2k﹣1）x﹣1=0有两个不相等的实数根x ，x ；
1 2
③x ﹣x = ．
2 1
其中正确的结论有 ①② （只需填写序号即可）．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】直接根据抛物线与x轴的交点问题、根与系数的关系对各小题进行逐一
分析即可．
【解答】解：①当x=﹣2时，y=4k﹣2×（2k﹣1）﹣1=4k﹣4k+2﹣1=1，故本小题正确；
②∵抛物线x轴交点的横坐标为x 、x （x ＜x ），
1 2 1 2
∴方程kx2+（2k﹣1）x﹣1=0有两个不相等的实数根x 、x ，故本小题正确；
1 2
③∵二次函数y=kx2+（2k﹣1）x﹣1与x轴交点的横坐标为x 、x （x ＜x ），
1 2 1 2∴x +x = ，x •x =﹣
1 2 1 2
∴x ﹣x = = = = ，故本
2 1
小题错误，
故答案为：①②．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，熟知二次函数与一元二次方程
的关系、一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键．
20．（3分）(2014年黑龙江牡丹江)已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示
的正方形（用阴影表示），点B 在y轴上且坐标是（0，2），点C 、E 、E 、C 、E 、E 、
1 1 1 2 2 3 4
C 在x轴上，C 的坐标是（1，0）．B C ∥B C ∥B C ，以此继续下去，则点A 到x
3 1 1 1 2 2 3 3 2014
轴的距离是 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；规律型：点的坐标；正方形的性质．
【分析】根据勾股定理可得正方形A B C D 的边长为 = ，根据相似三角
1 1 1 1
形的性质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的 ，依次得到第2014
个正方形和第2014个正方形的边长，进一步得到点A 到x轴的距离．
2014
【解答】解：如图，∵点C 、E 、E 、C 、E 、E 、C 在x轴上，B C ∥B C ∥B C ，
1 1 2 2 3 4 3 1 1 2 2 3 3
∴△B OC ∽△B E C ∽B E C …，△B OC ≌△ CE D ，…，
1 1 2 2 2 3 4 3 1 1 1 1 1
∴B E =1，B E = ，B E = ，B E = …，
2 2 3 4 4 6 5 8∴B E = ，
2014 4016
作A E⊥x轴，延长A D 交x轴于F，
1 1 1
则△C D F∽△C D E ，
1 1 1 1 1
∴ = ，
在Rt△OB C 中，OB =2，OC =1，
1 1 1 1
正方形A B C D 的边长为为 = ，
1 1 1 1
∴D F= ，
1
∴A F= ，
1
∵A E∥D E ，
1 1 1
∴ = ，
∴A E=3，∴ = ，
1
∴点A 到x轴的距离是 × =
2014
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及解直角三角形的知识，得出正方形各
边长是解题关键．
三、解答题（本题共8道题，满分60分）21．（5分）(2014年黑龙江牡丹江)化简求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x=﹣
．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解得到
原式= • ，然后约分后把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式= •
= •
= ，
当x=﹣ 时，原式= =﹣8．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通
分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应
的分式的值．
22．（6分）(2014年黑龙江牡丹江)如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为
30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD=30cm．求：直径AB的长．
【考点】切线的性质．【分析】先求出∠COD，根据切线的性质∠OCD，求出∠D，根据含30度角的直角
三角形性质求出OC，即可求出答案．
【解答】解：∵∠A=30°，OC=OA，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠COD=60°，
∵DC切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=30°，
∵OD=30cm，
∴OC= OD=15cm，
∴AB=2OC=30cm．
【点评】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形性质，
三角形外角性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力，题目比较好，难度适
中．
23．（6分）(2014年黑龙江牡丹江)某市为调查学生的视力变化情况，从全市九年
级学生中抽取了部分学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，并将所得数
据处理后，制成折线统计图和扇形统计图如下：
解答下列问题：
（1）图②中“D：5.2以上”所在的扇形的圆心角度数为 36 ° ；
（2）该市共抽取了多少名九年级学生？（3）若该市共有10万名九年级学生，请你估计该市九年级视力5.2以上的学生大
约有多少人？
【考点】折线统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】计算题．
【分析】（1）先计算出D类所占的百分比，然后用360°乘以这个百分比即可得到
“D：5.2以上”所在的扇形的圆心角度数；
（2）从折线统计图中得到2014年A类有800人，从扇形统计图中得到A类占
40%，然后用800除以40%得到所抽取的所有九年级的人数；
（3）用10万乘以10%得到该市九年级视力5.2以上的学生人数．
【解答】解：（1）图②中“D：5.2以上”所在的扇形的圆心角度数=360°×（1﹣40%
﹣30%﹣20%）=36°；
故答案为36°；
（2）800÷40%=2000（人），
所以该市共抽取了2000名九年级学生；
（3）100000×（1﹣40%﹣30%﹣20%）=10000（人），
所以估计该市九年级视力5.2以上的学生大约有10000人．
【点评】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量
的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示
统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出
数量的增减变化情况．也考查了样本估计整体和扇形统计图．
24．（6分）(2014年黑龙江牡丹江)如图有A、B两个大小均匀的转盘，其中A转盘
被分成3等份，B转盘被分成4等份，并在每一份内标上数字．小明和小红同时各
转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线时视为无效，重转），若将A
转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的k，将B转盘指针指向的数字记作
一次函数表达式中的b．
（1）请用列表或画树状图的方法写出所有的可能；
（2）求一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限的概率．【考点】列表法与树状图法；一次函数图象与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可；
（2）找出满足一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限的情况，即可求出所求
的概率．
【解答】解：（1）列表如下：
-1 -2 3
-1 （﹣1，﹣1） （﹣2，﹣1） （3，﹣1）
-2 （﹣1，﹣2） （﹣2，﹣2） （3，﹣2）
4 （﹣1，3） （﹣2，3） （3，3）
3 （﹣1，4） （﹣2，4） （3，4）
所有等可能的情况有12种；
（2）一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限时，k＜0，b＞0，情况有4种，
则P= = ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总
情况数之比．
25．（7分）(2014年黑龙江牡丹江)学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书
节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种
图书比单独购买乙种图书要少10本．
（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
（2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购
买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的
单价为1.5x元，根据两种图书数量之间的关系列方程；
（2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书（40﹣a）本，根据“投入的经费不超过
1050元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题．
【解答】解：（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元，由题意
得
﹣ =10
解得：x=20
则1.5x=30，
答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元；
（2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书（40﹣a）本，根据题意得
解得：20≤a≤25，
所以a=20、21、22、23、24、25，则40﹣a=20、19、18、17、16、15共5种方案．
【点评】此题考查分式方程的运用，一元一次不等式组的运用，理解题意，抓住题
目蕴含的数量关系解决问题．
26．（10分）(2014年黑龙江牡丹江)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的
直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为
F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形
请说明你的理由．【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱
形的判定．
【分析】（1）先求出四边形BECD是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即
可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A=45°时，四边形B°ECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形，
即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角
三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
27．（10分）(2014年黑龙江牡丹江)某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，
规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y
（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）试确定y与x之间的函数关系式；
（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与
销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大
利润？最大利润是多少元？
（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取
值范围．
【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．
【分析】（1）利用待定系数法将图中点的坐标求出一次函数解析式即可；
（2）根据利润=（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式；
（3）令函数关系式Q=600，解得x，然后得出销售单价x的范围．【解答】解：（1）设y=kx+b，根据题意得解得：
k=﹣1，b=120．
所求一次函数的表达式为y=﹣x+120．
（2）利润W与销售单价x之间的函数关系式为：Q=（x﹣50）（﹣x+120）=﹣
x2+170x﹣6000；
Q=﹣x2+170x﹣6000=﹣（x﹣85）2+1225；
所以当试销单价定为85元时，该商店可获最大利润，最大利润是1225元．
（3）当600=﹣x2+170x﹣6000，
解得：x =60，x =90，
1 2
∵获利不得高于40%，
∴最高价格为50（1+50%）=75，
故60≤x≤75的整数．
故答案为：60≤x≤75的整数．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据利润=（售价﹣成本）×销售量列出函
数关系式，运用二次函数解决实际问题，比较简单．
28．（10分）(2014年黑龙江牡丹江)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，
BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出
发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P
运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否
存在某一时刻t，使得S ：S =9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明
△CPQ △ABC
理由．
（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？【考点】相似形综合题；一元二次方程的应用；等腰三角形的性质；勾股定理；相似
三角形的判定与性质．
【专题】综合题．
【分析】（1）利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长．
（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示PH，从
而可以求出S与t之间的函数关系式；利用S ：S =9：100建立t的方程，解
△CPQ △ABC
方程即可解决问题．
（3）可分三种情况进行讨论：由CQ=CP可建立关于t的方程，从而求出t；由
PQ=PC或QC=QP不能直接得到关于t的方程，可借助于等腰三角形的三线合一
及三角形相似，即可建立关于t的方程，从而求出t．
【解答】解：（1）如图1，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵CD⊥AB，
∴S = BC•AC= AB•CD．
△ABC
∴CD= = =4.8．
∴线段CD的长为4.8．
（2）①过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示．
由题可知DP=t，CQ=t．
则CP=4.8﹣t．
∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B．∵PH⊥AC，
∴∠CHP=90°．
∴∠CHP=∠ACB．
∴△CHP∽△BCA．
∴ ．
∴ ．
∴PH= ﹣ t．
∴S = CQ•PH= t（ ﹣ t）=﹣ t2+ t．
△CPQ
②存在某一时刻t，使得S ：S =9：100．
△CPQ △ABC
∵S = ×6×8=24，
△ABC
且S ：S =9：100，
△CPQ △ABC
∴（﹣ t2+ t）：24=9：100．
整理得：5t2﹣24t+27=0．
即（5t﹣9）（t﹣3）=0．
解得：t= 或t=3．
∵0≤t≤4.8，
∴当t= 秒或t=3秒时，S ：S =9：100．
△CPQ △ABC
（3）①若CQ=CP，如图1，
则t=4.8﹣t．
解得：t=2.4．
②若PQ=PC，如图2所示．
∵PQ=PC，PH⊥QC，
∴QH=CH= QC= ．
∵△CHP∽△BCA．∴ ．
∴ ．
解得；t= ．
③若QC=QP，
过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示．
同理可得：t= ．
综上所述：当t为2.4秒或 秒或 秒时，△CPQ为等腰三角形．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、一元二次方程
的应用、勾股定理等知识，具有一定的综合性，而利用等腰三角形的三线合一巧
妙地将两腰相等转化为底边上的两条线段相等是解决第三小题的关键．
