文档内容
2014 年黑龙江省大庆市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（3分）（2014•大庆）下列式子中成立的是（ ）
A．﹣|﹣5|＞4 B．﹣3＜|﹣3| C．﹣|﹣4|=4 D．|﹣5.5|＜5
2．（3分）（2014•大庆）大庆油田某一年的石油总产量为4 500万吨，若用科学记数法表示应
为（ ）吨．
A．4.5×10﹣6 B．4.5×106 C．4.5×107 D．4.5×108
3．（3分）（2014•大庆）已知a＞b且a+b=0，则（ ）
A．a＜0 B．b＞0 C．b≤0 D．a＞0
4．（3分）（2014•大庆）如图中几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2014•大庆）下列四个命题：
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
其中正确的命题个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（3分）（2014•大庆）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形
AB C D ，边B C 与CD交于点O，则四边形AB OD的面积是（ ）
1 1 1 1 1 1A． B． C． D．
7．（3分）（2014•大庆）某市出租车起步价是5元（3公里及3公里以内为起步价），以后每公
里收费是1.6元，不足1公里按1公里收费，小明乘出租车到达目的地时计价器显示为11.4
元，则此出租车行驶的路程可能为（ ）
A．5.5公里 B．6.9公里 C．7.5公里 D．8.1公里
8．（3分）（2014•大庆）已知反比例函数的图象 上有两点A（x ，y ）、B（x ，y ），若y ＞
1 1 2 2 1
y ，则x ﹣x 的值是（ ）
2 1 2
A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定
9．（3分）（2014•大庆）如图，一个质地均匀的正四面体的四个面上依次标有数字﹣2，0，1，2，
连续抛掷两次，朝下一面的数字分别是a，b，将其作为M点的横、纵坐标，则点M（a，b）落在
以A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2）为顶点的三角形内（包含边界）的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（2014•大庆）对坐标平面内不同两点A（x ，y ）、B（x ，y ），用|AB|表示A、B两点
1 1 2 2
间的距离（即线段AB的长度），用‖AB‖表示A、B两点间的格距，定义A、B两点间的格距
为‖AB‖=|x ﹣x |+|y ﹣y |，则|AB|与‖AB‖的大小关系为（ ）
1 2 1 2
A．|AB|≥‖AB‖ B．|AB|＞‖AB‖ C．|AB|≤‖AB‖ D．|AB|＜‖AB‖二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应位置上）
11．（3分）（2014•大庆）若 ，则xy﹣3的值为 ．
12．（3分）（2014•大庆）某记者抽样调查了某校一些学生假期用于读书的时间（单位：分钟）
后，绘制了频数分布直方图，从左到右的前5个长方形相对应的频率之和为0.9，最后一组的
频数是15，则此次抽样调查的人数为 人．（注：横轴上每组数据包含最小值不包含最
大值）
13．（3分）（2014•大庆）二元一次方程组 的解为 ．
14．（3分）（2014•大庆） = ．
15．（3分）（2014•大庆）图中直线是由直线l向上平移1个单位，向左平移2个单位得到的，
则直线l对应的一次函数关系式为 ．
16．（3分）（2014•大庆）在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC中点，过M点最长的弦为
BD，则四边形ABCD的面积为 ．
17．（3分）（2014•大庆）如图，矩形ABCD中，AD= ，F是DA延长线上一点，G是CF上一
点，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB= ．18．（3分）（2014•大庆）有一列数如下：1，0，1，0，0，1，0，0，0，1，0，0，0，0，1，…，则第9个1
在这列数中是第 个数．
三、解答题（本大题共10小题，共66分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明，证明过程或演算步骤）
19．（4分）（2014•大庆）计算： ．
科网]
20．（4分）（2014•大庆）求不等式组 的整数解．
21．（4分）（2014•大庆）已知非零实数a满足a2+1=3a，求 的值．
22．（7分）（2014•大庆）如图，点D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，
且DM=DN，∠BMD+∠BND=180°．
求证：BD平分∠ABC．23．（7分）（2014•大庆）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与x轴相
交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C，与反比例函数 在第一象限内的图象交于点B（m，
n），连结OB．若S =6，S =2．
△AOB △BOC
（1）求一次函数的表达式；
（2）求反比例函数的表达式．
24．（7分）（2014•大庆）甲、乙两名同学进入初四后，某科6次考试成绩如图：
（1）请根据下图填写如表：
平均数 方差 中位数 众数 极差
甲 75 75
乙 33.3 15
（2）请你分别从以下两个不同的方面对甲、乙两名同学6次考试成绩进行分析：
①从平均数和方差相结合看；②从折线图上两名同学分数的走势上看，你认为反映出什么问
题？25．（7分）（2014•大庆）关于x的函数y=（m2﹣1）x2﹣（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公
共点，求m的值．
26．（8分）（2014•大庆）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD
交于点F，∠PBC=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．
27．（9分）（2014•大庆）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上
且BD平分∠ABC，设CD=x．
（1）求证：△ABC∽△BCD；
（2）求x的值；
（3）求cos36°﹣cos72°的值．28．（9分）（2014•大庆）如图①，已知等腰梯形ABCD的周长为48，面积为S，AB∥CD，
∠ADC=60°，设AB=3x．
（1）用x表示AD和CD；
（2）用x表示S，并求S的最大值；
（3）如图②，当S取最大值时，等腰梯形ABCD的四个顶点都在⊙O上，点E和点F分别是
AB和CD的中点，求⊙O的半径R的值．2014 年黑龙江省大庆市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（3分）（2014•大庆）下列式子中成立的是（ ）
A．﹣|﹣5|＞4 B．﹣3＜|﹣3| C．﹣|﹣4|=4 D．|﹣5.5|＜5
分析：先对每一个选项化简，再进行比较即可．
解答：解：A．﹣|﹣5|=﹣5＜4，故A选项错误；
B．|﹣3|=3＞﹣3，故B选项正确；
C．﹣|﹣4|=﹣4≠4，故C选项错误；
D．|﹣5.5|=5.5＞5，故D选项错误；
故选B．
点评：本题考查了有理数的大小比较，化简是本题的关键．
2．（3分）（2014•大庆）大庆油田某一年的石油总产量为4 500万吨，若用科学记数法表示应
为（ ）吨．
A．4.5×10﹣6 B．4.5×106 C．4.5×107 D．4.5×108
考点：科学记数法—表示较大的数．
菁优网版权所有
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错
点，由于4 500万有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．
解答：解：4 500万=45 000 000=4.5×107．
故选C．
点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
3．（3分）（2014•大庆）已知a＞b且a+b=0，则（ ）
A．a＜0 B．b＞0 C．b≤0 D．a＞0
考点：有理数的加法．
菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：根据互为相反数两数之和为0，得到a与b互为相反数，即可做出判断．
解答：解：∵a＞b且a+b=0，
∴a＞0，b＜0，
故选D．
点评：此题考查了有理数的加法，熟练掌握互为相反数两数的性质是解本题的关键．
4．（3分）（2014•大庆）如图中几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图．
菁优网版权所有分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
解答：解：从上面看易得第一层最右边有1个正方形，第二层有3个正方形．
故选A．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5．（3分）（2014•大庆）下列四个命题：
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
其中正确的命题个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点：命题与定理；平行四边形的判定．
菁优网版权所有
分析：分别利用平行四边形的判定方法判断得出即可．
解答：解：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，此选项正确；
（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，此选项正确；
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形，此选项正确；
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，此选项正确．
故选：A．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．
6．（3分）（2014•大庆）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形
AB C D ，边B C 与CD交于点O，则四边形AB OD的面积是（ ）
1 1 1 1 1 1
A． B． C． D．
考点：旋转的性质；正方形的性质．
菁优网版权所有
分析：连接AC
1
，AO，根据四边形AB
1
C
1
D
1
是正方形，得出∠C
1
AB
1
=∠AC
1
B
1
=45°，求出
∠DAB
1
=45°，推出A、D、C
1
三点共线，在Rt△C
1
D
1
A中，由勾股定理求出AC
1
，进而求
出DC =OD，根据三角形的面积计算即可．
1
解答：解：连接AC ，
1
∵四边形AB C D 是正方形，
1 1 1
∴∠C
1
AB
1
= ×90°=45°=∠AC
1
B
1
，
∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB C D ，
1 1 1
∴∠B
1
AB=45°，
∴∠DAB
1
=90°﹣45°=45°，
∴AC 过D点，即A、D、C 三点共线，
1 1
∵正方形ABCD的边长是1，∴四边形AB C D 的边长是1，
1 1 1
在Rt△C
1
D
1
A中，由勾股定理得：AC
1
= = ，
则DC = ﹣1，
1
∵∠AC B =45°，∠C DO=90°，
1 1 1
∴∠C
1
OD=45°=∠DC
1
O，
∴DC =OD= ﹣1，
1
∴S△ADO= ×OD•AD= ，
∴四边形AB OD的面积是=2× = ﹣1，
1
故选C．
点评：本题考查了正方形性质，勾股定理等知识点，主要考查学生运用性质进行计算的能力，
题目比较好，但有一定的难度．
7．（3分）（2014•大庆）某市出租车起步价是5元（3公里及3公里以内为起步价），以后每公
里收费是1.6元，不足1公里按1公里收费，小明乘出租车到达目的地时计价器显示为11.4
元，则此出租车行驶的路程可能为（ ）
A．5.5公里 B．6.9公里 C．7.5公里 D．8.1公里
考点：一元一次方程的应用．
菁优网版权所有
分析：设人坐车可行驶的路程最远是xkm，根据起步价5元，到达目的地后共支付车费11元
得出等式求出即可．
解答：解：设人坐车可行驶的路程最远是xkm，根据题意得：
5+1.6（x﹣3）=11.4，
解得：x=7．
观察选项，只有B选项符合题意．
故选：B．
点评：此题主要考查了一元一次方程的应用，根据总费用得出等式是解题关键．
8．（3分）（2014•大庆）已知反比例函数的图象 上有两点A（x ，y ）、B（x ，y ），若y ＞
1 1 2 2 1
y ，则x ﹣x 的值是（ ）
2 1 2
A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
分析：由于点A、B所在象限不定，那么自变量的值大小也不定，则x ﹣x 的值不确定．
1 2
解答：
解：∵反比例函数的图象 的图象在二、四象限，
∴当点A（x ，y ）、B（x ，y ）都在第二象限时，由y ＞y ，则x ﹣x ＞0；
1 1 2 2 1 2 1 2
当点A（x ，y ）、B（x ，y ）都在第四象限时，由y ＞y ，则x ﹣x ＞0；
1 1 2 2 1 2 1 2
当点A（x ，y ）在第二象限、B（x ，y ）在第四象限时，即y ＞0＞y ，则x ﹣x ＞0；
1 1 2 2 1 2 1 2故选A．
点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数的图象的增减性只指
在同一象限内．
9．（3分）（2014•大庆）如图，一个质地均匀的正四面体的四个面上依次标有数字﹣2，0，1，2，
连续抛掷两次，朝下一面的数字分别是a，b，将其作为M点的横、纵坐标，则点M（a，b）落在
以A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2）为顶点的三角形内（包含边界）的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点：列表法与树状图法．
菁优网版权所有
分析：首先列举出所有可能的结果，再找出落在以A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2）为顶点的三
角形内（包含边界）的可能情况，根据古典概型概率公式得到结果即可．
解答：解：列举出事件：（﹣2，1），（﹣2，0），（﹣2，2），（0，﹣2），（0，1），（0，2），（1，2），（1，
0），（1，﹣2），（2，﹣2），（2，0），（2，1）共有12种结果，
而落在以A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2）为顶点的三角形内（包含边界）有：（﹣2，0），
（0，1），（0，2），（1，0），（2，0），（﹣1，0）共6中可能情况，
所以落在以A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2）为顶点的三角形内（包含边界）的概率是=
= ，
故选C．
点评：本题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，
是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于中档题．
10．（3分）（2014•大庆）对坐标平面内不同两点A（x ，y ）、B（x ，y ），用|AB|表示A、B两点
1 1 2 2
间的距离（即线段AB的长度），用‖AB‖表示A、B两点间的格距，定义A、B两点间的格距
为‖AB‖=|x ﹣x |+|y ﹣y |，则|AB|与‖AB‖的大小关系为（ ）
1 2 1 2
A．|AB|≥‖AB‖ B．|AB|＞‖AB‖ C．|AB|≤‖AB‖ D．|AB|＜‖AB‖
考点：线段的性质：两点之间线段最短；坐标与图形性质．
菁优网版权所有
专题：新定义．
分析：根据点的坐标的特征，|AB|、|x ﹣x |、|y ﹣y |三者正好构成直角三角形，然后利用两点
1 2 1 2
之间线段最短解答．
解答：解：∵|AB|、|x ﹣x |、|y ﹣y |的长度是以|AB|为斜边的直角三角形，
1 2 1 2 [来源:Zxxk.Com]
∴|AB|≤‖AB‖．
故选C．
点评：本题考查两点之间线段最短的性质，坐标与图形性质，理解平面直角坐标系的特征，判
断出三角形的三边关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应位置上）
11．（3分）（2014•大庆）若 ，则xy﹣3的值为 0. 5 ．考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；负整数指数幂．
菁优网版权所有
分析：根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
解答：解：∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴xy﹣3=22﹣3= ．
点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
12．（3分）（2014•大庆）某记者抽样调查了某校一些学生假期用于读书的时间（单位：分钟）
后，绘制了频数分布直方图，从左到右的前5个长方形相对应的频率之和为0.9，最后一组的
频数是15，则此次抽样调查的人数为 15 0 人．（注：横轴上每组数据包含最小值不包含最
大值）
考点：频数（率）分布直方图．
菁优网版权所有
分析：根据直方图中各组的频率之和等于1，结合题意可得最后一组的频率，再由频率的计
算公式可得总人数，即答案．
解答：解：由题意可知：最后一组的频率=1﹣0.9=0.1，
则由频率=频数÷总人数可得：总人数=15÷0.1=150人；
故答案为：150．
点评：本题考查了频数分布直方图的知识，解题的关键是牢记公式：频率=频数÷总人数．
13．（3分）（2014•大庆）二元一次方程组 的解为 ．
考点：解二元一次方程组．
菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：方程组利用加减消元法求出解即可．
解答：
解： ，
①×3﹣②×2得：11x=33，即x=3，
将x=3代入②得：y=2，
则方程组的解为 ．故答案为： ．
点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加
减消元法．
14．（3分）（2014•大庆） = ．
考点：整式的混合运算．
菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：
先把（x+ ）提 ，再把4x2﹣1分解，然后约分即可．
解答：
解：原式= （2x+1）（2x﹣1）÷[（2x﹣1）（2x+1）
= ． ]
故答案为 ．
点评：本题考查了整式的混合运算：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序
运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
15．（3分）（2014•大庆）图中直线是由直线l向上平移1个单位，向左平移2个单位得到的，
则直线l对应的一次函数关系式为 y=x﹣ 2 ．
考点：一次函数图象与几何变换．
菁优网版权所有
分析：先求得图中直线方程，然后利用平移的性质来求直线l的解析式．
解答：解：如图，设该直线的解析式为y=kx+1（k≠0），则
0=﹣k+1，
解得 k=1．
则该直线的解析式为y=x+1．
∵图中直线是由直线l向上平移1个单位，向左平移2个单位得到的，
∴由该直线向下平移1个单位，向右移2个单位得到的直线l，
∴直线l的解析式为：y=x+1﹣1﹣2=x﹣2，．
故答案是：y=x﹣2．点评：本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平
移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标
上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞
清楚平移前后的解析式有什么关系．
16．（3分）（2014•大庆）在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC中点，过M点最长的弦为
BD，则四边形ABCD的面积为 2 ．
考点：垂径定理；勾股定理．
菁优网版权所有
分析：先由直径是圆中最长的弦得出BD=4，再根据垂径定理的推论得出AC⊥BD，则四边形
ABCD的面积= AC•BD．
解答：解：如图．∵M为AC中点，过M点最长的弦为BD，
∴BD是直径，BD=4，且AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积= AC•BD= ×1×4=2．
故答案为2．
点评：本题考查了垂径定理，四边形的面积，难度适中．得出BD是直径是解题的关键．
17．（3分）（2014•大庆）如图，矩形ABCD中，AD= ，F是DA延长线上一点，G是CF上一
点，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB= ．
考点：矩形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上
的中线；勾股定理．
菁优网版权所有
分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得
∠AGC=∠GAF+∠F=40°，再根据等腰三角形的性质求出∠CAG，然后求出
∠CAF=120°，再根据∠BAC=∠CAF﹣∠BAF求出∠BAC=30°，再根据直角三角形30°
角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2BC=2AD，然后利用勾股定理列式计算即
可得解．解答：解：由三角形的外角性质得，∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°，
∵∠ACG=∠AGC，
∴∠CAG=180°﹣∠ACG﹣∠AGC=180°﹣2×40°=100°，
∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°，
∴∠BAC=∠CAF﹣∠BAF=30°，
在Rt△ABC中，AC=2BC=2AD=2 ，
由勾股定理，AB= = = ．
故答案为： ．
点评：本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边
的一半的性质，勾股定理，熟记各性质并求出AB是30°角直角三角形的直角边是解题
的关键．
18．（3分）（2014•大庆）有一列数如下：1，0，1，0，0，1，0，0，0，1，0，0，0，0，1，…，则第9个1
在这列数中是第 4 5 个数．
考点：规律型：数字的变化类．
菁优网版权所有
专题：规律型．
分析：根据两个1之间的0的个数分别为1、2、3…个，然后把0的个数相加再加上9，计算即
可得解．
解答：解：∵两个1之间的0的个数分别为1、2、3…，
∴到第9个1，0的个数为：1+2+3+4+5+6+7+8=36，
∴第9个1在这列数中是第36+9=45个数．
故答案为：45．
点评：本题是对数字变化规律的考查，观察出两个1之间的0的个数是从1开始的连续的自
然数是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共66分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明，证明过程或演算步骤）
19．（4分）（2014•大庆）计算： ．
考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用
特殊角的三角函数值计算，最后一项利用立方根定义化简计算即可得到结果．
解答：解：原式=1+1+ ﹣2= ．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
[来源:学科网]
20．（4分）（2014•大庆）求不等式组 的整数解．
考点：一元一次不等式组的整数解．
菁优网版权所有
分析：此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是整数解得出x的可能取值．
解答：
解： ，
解①得：x＜ ，
解②得：x≥﹣1，则不等式组的解集是：﹣1≤x＜ ．
则整数解是：﹣1，0，1．
点评：本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大
取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
21．（4分）（2014•大庆）已知非零实数a满足a2+1=3a，求 的值．
考点：分式的混合运算．
菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：
已知等式两边除以a变形后求出a+ 的值，两边平方，利用完全平方公式展开即可求
出所求式子的值．
解答：
解：∵a2+1=3a，即a+ =3，
∴两边平方得：（a+ ）2=a2+ +2=9，
则a2+ =7．
点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（7分）（2014•大庆）如图，点D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，
且DM=DN，∠BMD+∠BND=180°．
求证：BD平分∠ABC．
考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
菁优网版权所有
专题：证明题．
分析：在AB上截取ME=BN，证得△BND≌△EMD，进而证得∠DBN=∠MED，BD=DE，从而
证得BD平分∠ABC．
解答：解：如图所示：在AB上截取ME=BN，
∵∠BMD+∠DME=180°，∠BMD+∠BND=180°，
∴∠DME=∠BND，
在△BND与△EMD中，
，
∴△BND≌△EMD（SAS），
∴∠DBN=∠MED，BD=DE，
∴∠MBD=∠MED，
∴∠MBD=∠DBN，
∴BD平分∠ABC．点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．
23．（7分）（2014•大庆）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与x轴相
交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C，与反比例函数 在第一象限内的图象交于点B（m，
n），连结OB．若S =6，S =2．
△AOB △BOC
（1）求一次函数的表达式；
（2）求反比例函数的表达式．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：
（1）由S =6，S =2得S =4，根据三角形面积公式得 •2•OC=4，解得OC=4，
△AOB △BOC △AOC
则C点坐标为（0，4），然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）由S =2，根据三角形面积公式得到 ×4×m=2，解得m=1，则B点坐标为（1，
△BOC
6），然后利用待定系数法确定反比例函数解析式．
解答：解：（1）∵S =6，S =2，
△AOB △BOC
∴S =4，
△AOC
∴ •2•OC=4，解得OC=4，
∴C点坐标为（0，4），
设一次函数解析式为y=mx+n，
把A（﹣2，0），C（0，4）代入得 ，解得 ，
∴一次函数解析式为y=2x+4；
（2）∵S =2，
△BOC
∴ ×4×m=2，解得m=1，
∴B点坐标为（1，6），把B（1，6）代入y= 得k=1×6=6，
∴反比例函数解析式为y= ．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐
标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．
24．（7分）（2014•大庆）甲、乙两名同学进入初四后，某科6次考试成绩如图：
（1）请根据下图填写如表：
平均数 方差 中位数 众数 极差
甲 75 12 5 75 7 5 3 5
乙 7 5 33.3 72. 5 7 0 15
（2）请你分别从以下两个不同的方面对甲、乙两名同学6次考试成绩进行分析：
①从平均数和方差相结合看；②从折线图上两名同学分数的走势上看，你认为反映出什么问
题？
考点：折线统计图；算术平均数；中位数；极差；方差．
菁优网版权所有
分析：（1）分别根据平均数、方差的求解进行计算，中位数的定义，众数的定义以及极差的定
义解答；
（2）根据方差的意义以及折线统计图的意义解答．
解答：
解：（1）甲：方差= （[ 60﹣75）2+（65﹣75）2+（75﹣75）2+（75﹣75）2+（80﹣75）2+（95﹣
75）2
= （225+100+0+0+25+400）
=125，
众数：75，
极差：95﹣60=35；
乙：平均数= （85+70+70+75+70+80）=75，
中位数： （70+75）=72.5，
众数：70；
故答案为：125，75，35；75，72.5，70；
（2）①从平均数和方差相结合看，乙同学成绩更稳定；
②从折线图上两名同学分数的走势上看，甲同学进步较快，乙同学成绩稳定有小幅度下滑．
点评：本题考查折线统计图的运用，折线统计图表示的是事物的变化情况．
25．（7分）（2014•大庆）关于x的函数y=（m2﹣1）x2﹣（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公
共点，求m的值．
考点：抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
分析：需要分类讨论：该函数是一次函数和二次函数两种情况．
解答：解：①当m2﹣1=0，且2m+2≠0，即m=1时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一
个公共点；
②当m2﹣1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则
△=（2m+2）2﹣8（m2﹣1）=0，
解得 m=3，m=﹣1（舍去）．
综上所述，m的值是1或3．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．注意一定要分类讨论，以防漏解．
26．（8分）（2014•大庆）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD
交于点F，∠PBC=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．
考点：垂径定理；圆周角定理；弧长的计算．
菁优网版权所有
分析：（1）先根据同弧所对的圆周角相等得出∠PBC=∠D，再由等量代换得出∠C=∠D，然后
根据内错角相等两直线平行即可证明CB∥PD；
（2）先由垂径定理及圆周角定理得出∠BOC=2∠PBC=45°，再根据邻补角定义求出
∠AOC=135°，然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧AC的长度．
解答：解：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，
∴∠C=∠D，
∴CB∥PD；
（2）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴ = ，
∵∠PBC=∠C=22.5°，
∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°，
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=135°，
∴劣弧AC的长为： = ．
点评：本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，弧长的计算，难度适中．（2）中求出
∠AOC=135°是解题的关键．27．（9分）（2014•大庆）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上
且BD平分∠ABC，设CD=x．
（1）求证：△ABC∽△ BCD；
（2）求x的值；
（3）求cos36°﹣cos72°的值．
考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；黄金分割；解直角三角形．
菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出
∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似
得到三角形ABC与三角形BCD相似；
（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得
比例求出x的值即可；
（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，
利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．
解答：解：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD；
（2）∵∠A=∠ABD=36°，
[来源:学科网ZXXK]
∴AD=BD，
∵BD=BC，
∴AD=BD=CD=1，
设CD=x，则有AB=AC=x+1，
∵△ABC∽△BCD，
∴ = ，即 = ，
整理得：x2+x﹣1=0，
解得：x = ，x = （负值，舍去），
1 2
则x= ；
（3）过B作BE⊥AC，交AC于点E，
∵BD=CD，
∴E为CD中点，即DE=CE= ，在Rt△ABE中，cosA=cos36°= = = ，
在Rt△BCE中，cosC=cos72°= = = ，
则cos36°﹣cos72°= ﹣ = ．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及一元二次方程的解法，
熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
28．（9分）（2014•大庆）如图①，已知等腰梯形ABCD的周长为48，面积为S，AB∥CD，
∠ADC=60°，设AB=3x．
（1）用x表示AD和CD；
（2）用x表示S，并求S的最大值；
（3）如图②，当S取最大值时，等腰梯形ABCD的四个顶点都在⊙O上，点E和点F分别是
AB和CD的中点，求⊙O的半径R的值．
考点：圆的综合题．
菁优网版权所有
专题：综合题．
分析：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如图①，易得四边形AHGB为矩形，则
HG=AB=3x，再根据等腰梯形的性质得AD=BC，DH=CG，在Rt△ADH中，设DH=t，根
据含30度的直角三角形三边的关系得AD=2t，AH= t，然后根据等腰梯形ABCD的
周长为48得3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8﹣x，于是可得AD=18﹣2x，CD=16+x；
（2）根据梯形的面积公式计算可得到S=﹣2 x2+8 x+64 ，再进行配方得S=﹣2
（x﹣2）2+72 ，然后根据二次函数的最值问题求解；
（3）连结OA、OD，如图②，由（2）得到x=2时，则AB=6，CD=18，等腰梯形的高为6
，所以AE=3，DF=9，由于点E和点F分别是AB和CD的中点，根据等腰梯形的性质得直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴，所以EF垂直平分AB和CD，EF为等腰梯形
ABCD的高，即EF=6 ，根据垂径定理的推论得等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O
在EF上，设OE=a，则OF=6 ﹣a，在Rt△AOE中，利用勾股定理得a2+32=R2，在
Rt△ODF中，利用勾股定理得（6 ﹣a）2+92=R2，然后消去R得到a的方程a2+32=（6
﹣a）2+92，解得a=5 ，最后利用R2=（5 ）2+32求解．
解答：解：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如图①，
则四边形AHGB为矩形，
∴HG=AB=3x，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AD=BC，DH=CG，
在Rt△ADH中，设DH=t，
∵∠ADC=60°，
∴∠DAH=30°，
∴AD=2t，AH= t，
∴BC=2t，CG=t，
∵等腰梯形ABCD的周长为48，
∴3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8﹣x，
∴AD=2（8﹣x）=18﹣2x，
CD=8﹣x+3x+8﹣x=16+x；
（2）S= （AB+CD）•AH
= （3x+16+x）• （8﹣x）
=﹣2 x2+8 x+64 ，
∵S=﹣2 （x﹣2）2+72 ，
∴当x=2时，S有最大值72 ；
（3）连结OA、OD，如图②，
当x=2时，AB=6，CD=16+2=18，等腰梯形的高为 ×（8﹣2）=6 ，
则AE=3，DF=9，
∵点E和点F分别是AB和CD的中点，
∴直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴，
∴EF垂直平分AB和CD，EF为等腰梯形ABCD的高，即EF=6 ，
∴等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上，
设OE=a，则OF=6 ﹣a，
在Rt△AOE中，
∵OE2+AE2=OA2，
∴a2+32=R2，
在Rt△ODF中，
∵OF2+DF2=OD2，
∴（6 ﹣a）2+92=R2，
∴a2+32=（6 ﹣a）2+92，解得a=5 ，
∴R2=（5 ）2+32=84，
∴R=2 ．点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推论和等腰梯形的性质；会运用二次
函数的性质解决最值问题；熟练运用勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系进
行计算．
