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2015 年黑龙江省绥化市中考数学试题
一、选择题
1.下列图案中 ，既是中心对称又是轴对称图形的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 左下图是一些完全相同的小正方体搭成的几何体的三视图 。这个几何体只能
是（ ）
A. B. C. D.
3. 从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边 ，能构成三角形的概率
为（ ）
A. B. C. D.
4. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料 ，其理论厚度仅是0.00000000034m ,这
个数用科学记 数法表示正确的是（ ）
A. 3.4×10 B. 0.34×10 C. 3.4×10 D. 3.4×10
5. 将一副三角尺按如图方式进行摆放 ，∠1、∠2不一定互补的是（ ）
A. B. C. D.
6. 在实数0 、π 、 、 、 中 ，无理数的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 如图，反比例函数y= (x＜0)的图象经过点P ，则k的值为（ ）A. －6 B. －5 C. 6 D. 5
8. 关于x的不等式组 的解集为x＞1 ，则a的取值范围是（ ）
A. a＞1 B. a＜1 C. a≥1 D. a≤1
9. 如图 ，在矩形ABCD中 ，AB=10 , BC=5 . 若点M、N分别是线段ACAB上的
两个动点，则BM+MN的最小值为（ ）
A. 10 B. 8 C. 5 D. 6
10. 如图□ABCD 的对角线 ACBD 交于点 O ,平分∠BAD 交 BC 于点 E ,且
∠ADC=600，AB= BC ,连接OE .下列 结论：①∠CAD=300 ② S□ABCD=AB•AC
③ OB=AB ④ OE= BC 成立的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（每题3分 ，满分33分）
11.计算： _________.
12. 在函数y= 中 ，自变量x的取值范围是____________.13. 点A（－3 ，2）关于x轴的对称点 的坐标为__________.
14. 若代数式 的值等于0 ，则x=_________.
15. 若关于 x 的一元二次方程 ax +2x-1=0 无解 ，则 a 的取值范围是
____________.
16. 把二次函数y=2x 的图象向左平移1个单位长度 ，再向下平移2个单位长度
，平移后抛物线的解析式为 _____________.
17.在2015年的体育考试中某校6名学生的体育成绩统计如图所示 ，这组数据
的中位数是________.
18. 如图正方形 ABCD 的对角线相交于点 O ，△CEF 是正三角形，则
∠CEF=__________.
19. 如图 ，将一块含300角的直角三角版和半圆量角器按如图的方式摆放 ，使
斜边与半圆相切。若半径OA=2 ,则图中阴影部分的面积为____________.(结果保
留π)
20.填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律 ，按此规律得出
a+b+c=__________.21.在矩形ABCD中 ，AB=4 , BC=3 , 点P在AB上。若将△DAP沿DP折叠 ，使
点A落在矩形对角线上的 处 ，则AP的长为__________.
三．解答题（满分57分）
22.先化简，再求值。 ，其中x=tan600+2 .（6分）
23. 在平面直角坐标系xoy中 ,直线y=-x+3 与x轴、y轴分别教育A、B ，在△AOB
内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴
正半轴的顶点坐标。(6分)
24.如图 ，以线段AB为直径作⊙O ，CD与⊙O相切于点E ，交AB的延长线于点
D , 连接BE ,过点O作 OC∥BE交切线DE于点C ,连接AC .
(1)求证：AC是⊙O的切线 ；
（2）若BD=OB=4 ,求弦AE的长。25.现有甲、乙两个容器，分别装有进水管和出水管 ，两容器的进出水速度不变，
先打开乙容器的进水管，2分钟时再打开甲容器的进水管 ，又过2分钟关闭甲容
器的进水管，再过4分钟同时打开甲容器的进、出水管。直到12分钟时，同时关
闭两容器的进出水管。打开和关闭水管的时间忽略不计。容器中的水量 y(升)与
乙容器注水时间x(分)之间的关系如图所示。
（1）求甲容器的进、出水速度。
（2）甲容器进、出水管都关闭后，是否存在两容器的水量相等。若存在，求出
此时的时间。
（3）若使两容器第12分钟时水量相等，则乙容器6分钟后进水速度应变为多
少？
26.自学下面材料后，解答问题。
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式。如： 等 。
那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负。其字
母表达式为：
（1）若a＞0 ，b＞0 ，则 ＞0；若a＜0 ，b＜0，则 ＞0；
（2）若a＞0 ，b＜0 ，则 ＜0 ；若a＜0，b＞0 ，则 ＜0。
反之：（1）若 ＞0则
（2）若 ＜0 ，则__________或_____________.
根据上述规律，求不等式 的解集。27.某苹果生产基地，用30名工人进行采摘或加工苹果 ，每名工人只能做其中一
项工作。苹果的销售方式有两种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的
苹果加工成罐头出售。直接出售每吨获利 4000元；加工成罐头出售每吨获利
10000元。采摘的工人每人可以采摘苹果0.4吨 ；加工罐头的工人每人可加工
0.3吨。设有x名工人进行苹果采摘 ，全部售出后 ，总利润为y元 。
（1）求y与x的函数关系式。
（2）如何分配工人才能活力最大
28.如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M ,使BM=DN ,连接MN交BD延长线
于点E.
(1)求证：BD+2DE= BM .
(2)如图2 ，连接BN交AD于点F ，连接MF交BD于点G.若AF:FD=1:2 ,且
CM=2，则线段DG=_______.29. 如图 ，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B ，与直线AC:y=－x－6交y
轴于点C、D，点D是抛物线的顶点 ，且横坐标为－2.
（1）求出抛物线的解析式。
（2）判断△ACD的形状，并说明理由。
（3）直线AD交y轴于点F ,在线段AD上是否存在一点P ,使∠ADC=∠PCF .若
存在 ，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由。2015 年黑龙江省绥化市中考数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题
1.下列图案中 ，既是中心对称又是轴对称图形的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【考点】中心对称图形；轴对称图形．.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法
求解．
【解答】解：第一个图形是轴对称图形，又是中心对称图形，
第二个图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，
第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
第四个图形是轴对称图形，又是中心对称图形，
综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形的是第二个图形共2个．
故选B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图
形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 左下图是一些完全相同的小正方体搭成的几何体的三视图 。这个几何体只能
是（ ）
A. B. C. D.
【考点】由三视图判断几何体．.【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图
和左视图可得第二层正方体的个数，相加即可．
【解答】解：由俯视图易得最底层有4个正方体，第二层有1个正方体，那么共有
4+1=5个正方体组成，
由主视图可知，一共有前后2排，第一排有3个正方体，第二排有2层位于第一
排中间的后面；
故选A．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象
能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违
章”就更容易得到答案．
3. 从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边 ，能构成三角形的概率
为（ ）
A. B. C. D.
【考点】列表法与树状图法；三角形三边关系．.
【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况
数，即可求出所求的概率．
【解答】解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：1，3，5；1，3，7；1，5，7；
3，5，7共4种，
其中构成三角形的有3，5，7共1种，
则P（构成三角形）= ．
故选C．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
4. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料 ，其理论厚度仅是0.00000000034m ,这
个数用科学记 数法表示正确的是（ ）
A. 3.4×10 B. 0.34×10 C. 3.4×10 D. 3.4×10
【考点】科学记数法—表示较小的数．.【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与
较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一
个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000000034=3.4×10﹣10，
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜
10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5. 将一副三角尺按如图方式进行摆放 ，∠1、∠2不一定互补的是（ ）
A. B. C. D.
【考点】余角和补角．.
【分析】如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个
角是另一个角的补角，据此分别判断出每个选项中∠1+∠2 的度数和是不是
180°，即可判断出它们是否一定互补．
【解答】解：如图1，，
∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠4，
∵∠1+∠4=180°，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠1、∠2互补．
如图2，，
∠2=∠3，∵∠1+∠3=180°，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠1、∠2互补．
如图3，，
∵∠2=60°，∠1=30°+90°=120°，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠1、∠2互补．
如图4，，
∵∠1=90°，∠2=60°，
∴∠1+∠2=90°+60°=150°，
∴∠1、∠2不互补．
故选：D．
【点评】此题主要考查了余角和补角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键
是要明确：等角的补角相等．等角的余角相等；并能分别判断出每个选项中的
∠1+∠2的度数和是不是180°．
6. 在实数0 、π 、 、 、 中 ，无理数的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【考点】无理数．.
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：π， 是无理数，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数．
7. 如图，反比例函数y= (x＜0)的图象经过点P ，则k的值为（ ）
A. －6 B. －5 C. 6 D. 5【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．.
【分析】根据待定系数法，可得答案．
【解答】解：函数图象经过点P，
k=xy=﹣3×2=﹣6，
故选：A．【点评】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数解析式是
解题关键．
8. 关于x的不等式组 的解集为x＞1 ，则a的取值范围是（ ）
A. a＞1 B. a＜1 C. a≥1 D. a≤1
【考点】不等式的解集．.
【分析】解两个不等式后，根据其解集得出关于a的不等式，解答即可．
【解答】解：因为不等式组 的解集为x＞1，
所以可得a≤1，
故选D
【点评】此题主要考查了不等式组的解集，关键是根据其解集得出关于a的不等
式．
9. 如图 ，在矩形ABCD中 ，AB=10 , BC=5 . 若点M、N分别是线段ACAB上的
两个动点，则BM+MN的最小值为（ ）A. 10 B. 8 C. 5 D. 6
【考点】轴对称-最短路线问题．.
【分析】根据轴对称求最短路线的方法得出M点位置，进而利用勾股定理及面积
法求出 CC′的值，然后再证明△BCD∽△C′NC 进而求出 C′N 的值，从而求出
MC+NM的值．
【解答】解：如图所示：由题意可得出：作C点关于BD对称点C′，交BD于点E，
连接BC′，
过点C′作C′N⊥BC于点N，交BD于点M，连接MC，此时CM+NM=C′N最小，
∵AB=10，BC=5，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD= =5 ，
∵S = •BC•CD= BD•CE，
△BCD
∴CE= = =2 ，
∵CC′=2CE，
∴CC′=4 ，
∵NC′⊥BC，DC⊥BC，CE⊥BD，
∴∠BNC′=∠BCD=∠BEC=∠BEC′=90°，
∴∠CC′N+∠NCC′=∠CBD+∠NCC′=90°，
∴∠CC′N=∠CBD，
∴△BCD∽△C′NC，
∴ ，即 ，
∴NC′=8，
即BM+MN的最小值为8．
故选B．
【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及勾股定理的应用和相似三角
形的应用，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键．
10. 如图□ABCD 的对角线 ACBD 交于点 O ,平分∠BAD 交 BC 于点 E ,且
∠ADC=600，AB= BC ,连接OE .下列 结论：①∠CAD=300 ② S□ABCD=AB•AC
③ OB=AB ④ OE= BC 成立的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；
含30度角的直角三角形．.
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于
AB= BC，得到AE= BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故
①正确；由于AC⊥AB，得到S =AB•AC，故②正确，根据AB= BC，OB=
▱ABCD
BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=
AB，于是得到OE= BC，故④正确．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB= BC，
∴AE= BC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S =AB•AC，故②正确，
▱ABCD
∵AB= BC，OB= BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③错误；
∵CE=BE，CO=OA，
∴OE= AB，
∴OE= BC，故④正确．
故选C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的
性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
三、填空题（每题3分 ，满分33分）
11.计算： _________.
【考点】实数的运算；负整数指数幂．.【分析】分别根据负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质分别计算出各数，再根
据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式=4﹣ ﹣4
=﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟记负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质
是解答此题的关键．
12. 在函数y= 中 ，自变量x的取值范围是____________.
【考点】函数自变量的取值范围．.
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，
零指数幂的底数不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+2＞0且x﹣2≠0，
解得x＞﹣2且x≠2．
故答案为：x＞﹣2且x≠2．
【点评】
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
13. 点A（－3 ，2）关于x轴的对称点 的坐标为__________.
【考点】
关于x轴、y轴对称的点的坐标．.
【分析】
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】
解：点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣2）．
故答案为：（﹣3，﹣2）．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对
称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14. 若代数式 的值等于0 ，则x=_________.
【考点】分式的值为零的条件．.
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：由分式的值为零的条件得x2﹣5x+6=0，2x﹣6≠0，
由x2﹣5x+6=0，得x=2或x=3，
由2x﹣6≠0，得x≠3，
∴x=2，
故答案为2．
【点评】本题考查了分式值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：
（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
15. 若关于 x 的一元二次方程 ax +2x-1=0 无解 ，则 a 的取值范围是
____________.
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．.
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且△=22﹣4×a×
（﹣1）＜0，然后求出a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0无解，
∴a≠0且△=22﹣4×a×（﹣1）＜0，
解得a＜﹣1，
∴a的取值范围是a＜﹣1．
故答案为：a＜﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当
△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜
0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
16. 把二次函数y=2x 的图象向左平移1个单位长度 ，再向下平移2个单位长度
，平移后抛物线的解析式为 _____________.
【考点】二次函数图象与几何变换．.
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个
单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的
原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：
y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．
故答案为：y=2（x+1）2﹣2．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是
解答此题的关键．
17.在2015年的体育考试中某校6名学生的体育成绩统计如图所示 ，这组数据
的中位数是________.
【考点】中位数；折线统计图．.
【分析】根据中位数的定义，即可解答．
【解答】解：把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是（26+26）÷2=26，
则中位数是26．
故答案为：26．
【点评】
本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．
18. 如图正方形 ABCD 的对角线相交于点 O ，△CEF 是正三角形，则
∠CEF=__________.
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．.
【分析】根据正方形、等边三角形的性质，可得AO=BO，OE=OF，根据SSS可得
△AOE≌△BOF，根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据角的和差，可得
答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°．
∵△OEF是正三角形，
∴OE=OF，∠EOF=60°．
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（SSS），
∴∠AOE=∠BOF，
∴∠AOE=（∠AOB﹣∠EOF）÷2
=（90°﹣60°）÷2
=15°，
故答案为15°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形、等边三角形的性质，利用
SSS证明三角形全等得出∠AOE=∠BOF是解题的关键．
19. 如图 ，将一块含300角的直角三角版和半圆量角器按如图的方式摆放 ，使斜边与半圆相切。若半径OA=2 ,则图中阴影部分的面积为____________.(结果保
留π)
【考点】切线的性质；扇形面积的计算．.
【分析】图中阴影部分的面积=扇形BOD的面积+△BOC的面积．
【解答】解：∵斜边与半圆相切，点B是切点，
∴∠EBO=90°．
又∵∠E=30°，
∴∠ECB=60°．
∴∠BOD=120°，
∵OA=OB=2，
∴OC= OB=1，BC= ．
∴S =S +S = + ×1× = + ．
阴影 扇形BOD △BOC
故答案是： + ．
【点评】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算．此题利用了“分割法”求得阴
影部分的面积．
20.填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律 ，按此规律得出
a+b+c=__________.【考点】规律型：数字的变化类．.
【分析】观察不难发现，左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下
角与右上角两个数的乘积减去1的差，根据此规律列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右
上角两个数的乘积减去1的差，
可得6+4=a，6+3=c，ac+1=b，
可得：a=10，c=9，b=91，
所以a+b+c=10+9+91=110，
故答案为：110
【点评】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察前三个图形，找出四个数之间的
变化规律是解题的关键．
21.在矩形ABCD中 ，AB=4 , BC=3 , 点P在AB上。若将△DAP沿DP折叠 ，使
点A落在矩形对角线上的 处 ，则AP的长为__________.
【考点】翻折变换（折叠问题）．.
专题：分类讨论．
【分析】分两种情况探讨：点A落在矩形对角线BD上，点A落在矩形对角线AC
上，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．
【解答】
解：①点A落在矩形对角线BD上，如图1，
∵AB=4，BC=3，
∴BD=5，
根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，
∴BA′=2，
设AP=x，则BP=4﹣x，
∵BP2=BA′2+PA′2，
∴（4﹣x）2=x2+22，
解得：x= ，
∴AP= ；②点A落在矩形对角线AC上，如图2，
根据折叠的性质可知DP⊥AC，
∴△DAP∽△ABC，
∴ ，
∴AP= = = ．
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及三角形相似的判定与性
质；解题中，找准相等的量是正确解答题目的关键．
四．解答题（满分57分）
22.先化简 ，再求值。 ， 其中 x=tan600+2 .（6分）
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．.
专题：计算题．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法
法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】
解：原式=[ ﹣ ]•= •
= • = ，
当x=tan60°+2= +2时，原式= ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23. 在平面直角坐标系xoy中 ,直线y=-x+3 与x轴、y轴分别教育A、B ，在△AOB
内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴
正半轴的顶点坐标。(6分)
【考点】正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．.
【分析】分两种情况：①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，得到OA=OB=3，
∠BAO=45°，根据DE⊥OA，推出DE=AE，由于四边形COED是正方形，得到
OE=DE，等量代换得到OE=AE，即可得到结论；②如图2，由（1）知△OFC，
△EFA是等腰直角三角形，由四边形CDEF是正方形，得到EF=CF，于是得到
AF= OF=2OF，求出OA=OF+2OF=3，即可得到结论．
【解答】
解：分两种情况；
①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，
∴OA=OB=3，
∴∠BAO=45°，
∵DE⊥OA，
∴DE=AE，
∵四边形COED是正方形，
∴OE=DE，
∴OE=AE，
∴OE= OA= ，∴E（ ，0）；
②如图2，由①知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，
∴CF= OF，AF= EF，
∵四边形CDEF是正方形，
∴EF=CF，
∴AF= OF=2OF，
∴OA=OF+2OF=3，
∴OF=1，
∴F（1，0）．
【点评】本题考查了正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角
形的性质，正确的画出图形是解题的关键．
24.如图 ，以线段AB为直径作⊙O ，CD与⊙O相切于点E ，交AB的延长线于点
D , 连接BE ,过点O作OC∥BE交切线DE于点C ,连接AC .
(1)求证：AC是⊙O的切线 ； （2）若BD=OB=4 ,求弦AE的长。【考点】切线的判定与性质．.
专题：计算题．
【分析】（1）连接OE，根据CD与圆O相切，利用切线的性质得到OE垂直于CD，
再由OC与BE平行，得到同位角相等与内错角相等，根据OB=OE，利用等边对
等角得到一对角相等，等量代换得到夹角相等，再由OA=OE，OC=OC，利用SAS
得到三角形 AOC 与三角形 EOC 全等，利用全等三角形对应角相等得到
∠OAC=∠OEC=90°，即可得证；
（2）根据题意得到 EB 为直角三角形斜边上的中线，求出 EB 的长，再由
OE=OB=EB得到三角形OEB为等边三角形，求出∠ABE=60°，根据AB为圆O
直径，利用直径所对的圆周角为直角得到三角形AEB为直角三角形，利用锐角
三角函数定义求出AE的长即可．
【解答】
（1）证明：连接OE，
∵CD与圆O相切，
∴OE⊥CD，
∴∠CEO=90°，
∵BE∥OC，
∴∠AOC=∠OBE，∠COE=∠OEB，∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠AOC=∠COE，
在△AOC和△EOC中，
，
∴△AOC≌△EOC（SAS），
∴∠CAO=∠CEO=90°，
则AC与圆O相切；
（2）在Rt△DEO中，BD=OB，
∴BE= OD=OB=4，
∵OB=OE，
∴△BOE为等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∵AB为圆O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE=BE•tan60°=4 ．
【点评】此题考查了切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及全等三角
形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
25.现有甲、乙两个容器，分别装有进水管和出水管 ，两容器的进出水速度不变，
先打开乙容器的进水管，2分钟时再打开甲容器的进水管 ，又过2分钟关闭甲容
器的进水管，再过4分钟同时打开甲容器的进、出水管。直到12分钟时，同时关闭两容器的进出水管。打开和关闭水管的时间忽略不计。容器中的水量 y(升)与
乙容器注水时间x(分)之间的关系如图所示。
（1）求甲容器的进、出水速度。
（2）甲容器进、出水管都关闭后，是否存在两容器的水量相等。若存在，求出
此时的时间。
（3）若使两容器第12分钟时水量相等，则乙容器6分钟后进水速度应变为多
少？
【考点】一次函数的应用．.
【分析】（1）根据图示知，甲容器是在2分钟内进水量为10升．
（2）由图可知，甲容器在第3分钟时水量为：5×（3﹣2）=5（升），则A（3，5）．设y
=kx+b（k≠0），利用待定系数法求得该函数解析式，把y=10代入求值即可；
乙
（3）使两容器第12分钟时水量相等时，即x=6时，y =8．故（18﹣8）÷（12﹣6）=
乙
（升/分）．
【解答】解：（1）甲的进水速度： =5（升/分），
甲的出水速度：5﹣ =3（升/分）；（2）存在．
由图可知，甲容器在第3分钟时水量为：5×（3﹣2）=5（升），则A（3，5）．
设y =kx+b（k≠0），依题意得：
乙
，
解得： ，
所以y =x+2．
乙
当y =10时，x=8．
乙
所以乙容器进水管打开8分钟时两容器的水量相等；
（3）当x=6时，y =8．
乙
所以（18﹣8）÷（12﹣6）= （升/分），
所以乙容器6分钟后进水的速度应变为 升/分．
【点评】本题考查了一次函数的应用．简单的一次函数问题：①建立函数模型的方
法；②分段函数思想的应用．
26.自学下面材料后，解答问题。
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式。如： 等 。
那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负。其字
母表达式为：
（1）若a＞0 ，b＞0 ，则 ＞0；若a＜0 ，b＜0，则 ＞0；
（2）若a＞0 ，b＜0 ，则 ＜0 ；若a＜0，b＞0 ，则 ＜0。
反之：（1）若 ＞0则（2）若 ＜0 ，则__________或_____________.
根据上述规律，求不等式 的解集。
【考点】一元一次不等式组的应用．.
专题：阅读型．
【分析】根据两数相除，异号得负解答；
先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法
求解即可．
【解答】解：（2）若 ＜0，则 或 ；
故答案为： 或 ；
由上述规律可知，不等式转化为 或 ，
所以，x＞2或x＜﹣1．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解不等式转化为
不等式组的方法是解题的关键．
27.某苹果生产基地，用30名工人进行采摘或加工苹果 ，每名工人只能做其中一
项工作。苹果的销售方式有两
种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的苹果加工成罐头出售。直接
出售每吨获利4000元；加工成
罐头出售每吨获利10000元。采摘的工人每人可以采摘苹果0.4吨 ；加工罐头
的工人每人可加工0.3吨。设
有x名工人进行苹果采摘 ，全部售出后 ，总利润为y元 。
（1）求y与x的函数关系式。
（2）如何分配工人才能活力最大
【考点】一次函数的应用．.【分析】（1）根据题意可知进行加工的人数为（30﹣x）人，采摘的数量为0.4x吨，
加工的数量（9﹣0.3x）吨，直接出售的数量为0.4x﹣（9﹣0.3x）=（0.7x﹣9）吨，由
此可得出y与x的关系式；
（2）先求出x的取值范围，再由x为整数即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得，进行加工的人数为（30﹣x）人，采摘的数量为0.4x
吨，加工的数量为（9﹣0.3x）吨，直接出售的数量为0.4x﹣（9﹣0.3x）=（0.7x﹣9）
吨，
y=4000×（0.7x﹣9）+10000×（9﹣0.3x）=﹣200x+54000；
（2）根据题意得，0.4x≥9﹣0.3x，解得x≥12 ，
∴x的取值是12 ≤x≤30的整数．
∵k=﹣200＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=13时利润最大，即13名工人进行苹果采摘，17名工人进行加工，获利最
大．
【点评】本题考查的是一次函数的应用，根据题意列出关于x、y的关系式是解答
此题的关键．
28.如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M ,使BM=DN ,连接MN交BD延长线
于点E.
(1)求证：BD+2DE= BM .
(2)如图2 ，连接BN交AD于点F ，连接MF交BD于点G.若AF:FD=1:2 ,且
CM=2，则线段DG=_______.【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．.
【分析】（1）过点M作MP⊥BC交BD的延长线于点P，首先证明△DEN≌△PEM，
得到DE=PE，由△BMP是等腰直角三角形可知BP= BM，即可得到结论；
（2）由AF：FD=1：2，可知DF：BC=2：3，由△BCN∽△FDN，可求出BC=2，再由
△DFG∽△BMG即可求出DG的长．
【解答】（1）证明：过点M作MP⊥BC交BD的延长线于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠DBC=∠BDC=45°，
∴PM∥CN，
∴∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45°，
∴BM=PM，
∵BM=DN，
∴DN=MP，
在△DEN和△PEM中
，
∴△DEN≌△PEM，
∴DE=EP，
∵△BMP是等腰直角三角形
∴BP= BM，
∴BD+2DE= BM．（2）解：∵AF：FD=1：2，
∴DF：BC=2：3，
∵△BCN∽△FDN，
∴
设正方形边长为a，又知CM=2，
∴BM=DN=a+2，CN=2a+2
∴ ，
解得：a=2，
∴DF= ，BM=4，BD=2 ，
又∵△DFG∽△BMG，
∴ ，
∴ ，
∴DG= ．
故答案为： ．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角
形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，运用三角形相似
求出正方形的边长是解决第2小题的关键．
29.如图 ，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B ，与直线AC:y=－x－6交y
轴于点C、D，点D是抛物线
的顶点 ，且横坐标为－2.
（1）求出抛物线的解析式。
（2）判断△ACD的形状，并说明理由。
（3）直线AD交y轴于点F ,在线段AD上是否存在一点P ,使∠ADC=∠PCF .若
存在 ，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由。
【考点】二次函数综合题．.
【分析】（1）先由直线AC的解析式为y=﹣x﹣6，可得A（﹣6，0），C（0，﹣6），再
根据抛物线的对称性求出 B（2，0）．然后把 A、B、C 三点坐标分别代入
y=ax2+bx+c，利用待定系数法即可求解；
（2）先求出抛物线顶点 D 的坐标，再根据两点间的距离公式计算得出
AC2=62+62=72，CD2=22+（﹣8+6）2=8，AD2=（﹣2+6）2+82=80，那么
AC2+CD2=AD2，利用勾股定理的逆定理即可得到△ACD是直角三角形；
（3）先利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=﹣2x﹣12，得到F（0，﹣12），
设 点 P 的 坐 标 为 （ x ， ﹣ 2x﹣12 ） ． 由 ∠ ADC=∠DCF+∠DFC ，
∠PCF=∠DCF+∠PCD，∠ADC=∠PCF，可得∠DFC=∠PCD．根据两角对应相等的 两 三 角 形 相 似 证 明 △ CPD∽△FPC ， 那 么 = ， 依 此 列 出 比 例 式
= ，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标．
【解答】解：（1）由直线AC：y=﹣x﹣6，可得A（﹣6，0），C（0，﹣6），
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B，抛物线的顶点D的横坐标为﹣2，
∴B（2，0）．
把A、B、C三点坐标分别代入y=ax2+bx+c，得
，解得 ，
∴抛物线的解析式为y= x2+2x﹣6；
（2）△ACD是直角三角形，理由如下：
∵y= x2+2x﹣6= （x+2）2﹣8，
∴顶点D的坐标是（﹣2，﹣8）．
∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），
∴AC2=62+62=72，CD2=22+（﹣8+6）2=8，AD2=（﹣2+6）2+82=80，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°；
（3）假设在线段AD上存在一点P，使∠ADC=∠PCF．
设直线AD的解析式为y=mx+n，
∵A（﹣6，0），D（﹣2，﹣8），
∴ ，解得 ，
∴直线AD的解析式为y=﹣2x﹣12，
∴F点坐标为（0，﹣12），设点P的坐标为（x，﹣2x﹣12）．∵∠ADC=∠DCF+∠DFC，∠PCF=∠DCF+∠PCD，∠ADC=∠PCF，
∴∠DFC=∠PCD．
在△CPD与△FPC中，
，
∴△CPD∽△FPC，
∴ = ，
∴ = ，
整理得，35x2+216x+324=0，
解得x =﹣ ，x =﹣ （舍去），
1 2
当x=﹣ 时，﹣2x﹣12=﹣2×（﹣ ）﹣12=﹣ ，
故所求点P的坐标为（﹣ ，﹣ ）．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到利用待定系数法求二次函数、一
次函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性
质等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合、方程思想是解题的关键．
