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二○二一年绥化市初中毕业学业考试数学试题
一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用 铅笔将你的
选项所对应的大写字母涂黑
1. 现实世界中，对称无处不在．在美术字中，有些汉字也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案．
【详解】解：A、“美”是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、“丽”不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、“绥”不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、“化”不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，属于基础题，熟练掌握对称图形的概念即可求解．
2. 据国家卫健委统计，截至6月2日，我国接种新冠疫苗已超过704000000剂次．把704000000这个数用
科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变
成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】704000000=7.04×108，
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图是由7个相同的小正方体组合而成的几何体．这个几何体的左视图是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【详解】从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：3，1，1．故选B．
【点睛】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确把握观察方向是解题关键．
4. 若式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. 且 D.
【答案】C
【解析】
【分析】要使式子 在实数范围内有意义，必须保证根号下为非负数，分母不能为零，零指数幂的底
数也不能为零，满足上述条件即可．
【详解】解：式子 在实数范围内有意义，
必须同时满足下列条件：
， ， ，
综上： 且 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，当上述式子
同时出现则必须同时满足．5. 定义一种新的运算：如果 ．则有 ，那么 的值是（ ）
A. B. 5 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列出算式，求解即可
【详解】
．
故选B．
【点睛】本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对值的计算，解决本题的关键是牢记公式与定义，
本题虽属于基础题，但其计算中容易出现符号错误，因此应加强符号运算意识，提高运算能力与技巧等．
6. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边
B. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
C. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形两边之差小于第三边、中位线定理、平行四边形的判定方法依次即可求解．
【详解】解：选项A：三角形 的两边之差小于第三边，故选项A正确，不符合题意；
选项B：三角形的中位线平行且等于第三边的一半，故选项B正确，不符合题意；
选项C：一个角的两边分别平行另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故选项C不正确，是假命题，
符合题意；
选项D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握
各个基本定理和性质是解决本类题的关键．
7. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法，算术平方根，以及实数的运算法则逐一判断．
【详解】A、(a5)2=a10 故A错，
，
B、x4⋅x4=x8 故B正确
， ，
C、 ，故C错，
D、 − =-3- ，故D错，
故选：B
【点睛】本题考查了算术平方根，实数的运算，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟悉并灵活运用以上性
质是解题的关键．
8. 已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ）
A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十二边形
【答案】C
【解析】
【分析】设这个多边形的边数为n，然后根据内角和与外角和公式列方程求解即可.
【详解】设这个多边形的边数为n，
则（n－2）×180°＝4×360°，
解得：n＝10，
故选C.
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本
题的关键.n变形的内角和为：(n-2) ×180°， n变形的外角和为：360°；然后根据等量关系列出方程求解．
9. 近些年来，移动支付已成为人们的主要支付方式之一．某企业为了解员工某月 两种移动支付方式
的使用情况，从企业2000名员工中随机抽取了200人，发现样本中 两种支付方式都不使用的有10人，
样本中仅使用 种支付方式和仅使用 种支付方式的员工支付金额 （元）分布情况如下表：
支付金额 （元）
仅使用 36人 18人 6人
仅使用 20人 28人 2人下面有四个推断：
①根据样本数据估计，企业2000名员工中，同时使用 两种支付方式的为800人；
②本次调查抽取的样本容量为200人；
③样本中仅使用 种支付方式的员工，该月支付金额的中位数一定不超过1000元；
④样本中仅使用 种支付方式的员工，该月支付金额的众数一定为1500元．
其中正确的是（ ）
A. ①③ B. ③④ C. ①② D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】①用样本估计总体的思想；
②根据表可以直接算出样本容量；
③利用中位数的定义可以直接判断；
④根据众数的定义可以直接判断．
【详解】解：根据题目中的条件知：
①从企业2000名员工中随机抽取了200人，同时使用 两种支付方式的人为：
（人），
样本中同时使用 两种支付方式的比例为： ，
企业2000名员工中，同时使用 两种支付方式的为： （人），
故①正确；
②本次调查抽取的样本容量为200；
故②错误；
③样本中仅使用 种支付方式的员工共有：60人，其中支付金额在 之间的有，36人，超过
了仅使用 种支付方式的员工数的一半，由中位数的定义知：中位数一定不超过1000元，
故③是正确；
④样本中仅使用 种支付方式的员工，从表中知月支付金额在 之间的最多，但不能判断
众数一定为1500元，故④错误；
综上：①③正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了概率公式、运用样本估计总体的思想、中位数和众数的定义，解题的关键是：熟练掌
握公式及相关的定义，根据图表信息解答．
10. 根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，
现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱
药品?设原计划平均每天可生产 箱药品，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设原计划平均每天可生产 箱药品，则实际每天生产 箱药品，再根据“生产6000箱药
品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同”建立方程求解即可．
【详解】解：设原计划平均每天可生产 箱药品，则实际每天生产 箱药品，
原计划生产4500箱所需要的时间为： ，
现在生产6000箱所需要的时间为： ，
由题意得： ；
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的
等量关系，列方程．
11. 已知在 中， ， ．点 为边 上的动点，点 为边 上
的动点，则线段 的最小值是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作点F关于直线AB的对称点F’，如下图所示，此时EF+EB= EF’+EB，再由点到直线的距离垂线
段长度最短求解即可．
【详解】解：作点F关于直线AB的对称点F’，连接AF’，如下图所示：
由对称性可知，EF=EF’，
此时EF+EB= EF’+EB，
由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，
当BF’⊥AF’时，EF+EB有最小值BF，此时E位于上图中的E 位置，
0 0
由对称性知，∠CAF=∠BAC=90°-75°=15°，
0
∴∠BAF=30°，
0
由直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半可知，
BF= AB= ，
0
故选：B．【点睛】本题考查了30°角所对直角边等于斜边的一半，垂线段最短求线段最值等，本题的核心思路是作
点F关于AC的对称点，将EF线段转移，再由点到直线的距离最短求解．
12. 如图所示，在矩形纸片 中， ，点 分别是矩形的边 上的动点，
将该纸片沿直线 折叠．使点 落在矩形边 上，对应点记为点 ，点 落在 处，连接
与 交于点 ．则下列结论成立的是（ ）
① ；
②当点 与点 重合时 ；
③ 的面积 的取值范围是 ；
④当 时， ．
A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】①根据题意可知四边形BFGE为菱形，所以EF⊥BG且BN=GN，若BN=AB，则BG=2AB=6，又
因为点E是AD边上的动点，所以30，
∴W随m的减小而减小，
∴当m=6时，W有最小值，
∴W=5×6+300=330元
则在购买方案中最少费用是330元．
故答案为：330．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式与一次函数．
18. 已知 是一元二次方程 的两个根，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】运用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解： ∵ 是一元二次方程 的两个根，
根据根与系数的关系得： ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知 是解题关键．
19. 边长为 的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是_______．
【答案】
【解析】【分析】依题意作出图形，找出直角三角形，它的外接圆与内切圆半径为直角三角形 的两条边，根
据三角函数值即可求出．
【详解】如图：正六边形中，过 作
中， ,
它的外接圆与内切圆半径的比值是
．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了正多边形的外接圆和内切圆的相关知识，对称性，特殊角的锐角三角函数，依题意作
出图形是解决本题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 垂直于 轴，以 为对称轴作 的轴对称
图形，对称轴 与线段 相交于点 ，点 的对应点 恰好落在 的双曲线上．
点 的对应点分别是点 ．若点 为 的中点，且 ，则 的值为____．【答案】
【解析】
【分析】先利用轴对称和中点的定义，确定EG和EO之间的关系，再利用平行线分线段成比例定理及推
论，得到FG和OD之间的关系，设EG=x，FG=y，用它们表示出D点坐标，接着得到B点坐标，利用
，得到 ，再利用反比例函数的定义，计算出B点横纵坐标的积，即为所求k的值．
【详解】解：如图所示，由轴对称的性质可知：GE=GA，CG=OG，BC=OD，
∵点 为 的中点，
∴AE=OA，
∴ ,
∵MN∥y轴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，设EG=x，FG=y，则OG=3x，OD=4y，
∴ ，
因为D点和B点关于MN对称，
∴
∵ ，
∴
∴ ,
∵点 恰好落在 的双曲线上，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、中点的定义、平行线分线段成比例定理的推论、反比例函数的定义等
内容，解决本题的关键是牢记相关定义与性质，能根据题意在图形中找到对应关系，能挖掘图形中的隐含
信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
21. 在边长为4的正方形 中，连接对角线 ，点 是正方形边上或对角线上的一点，若
，则 ______．
【答案】1或 或【解析】
【分析】按P在正方形的边上和对角线上分别画出图形，再逐个求解即可．
【详解】解：∵PB=3PC，
∴P点不可能位于边AB上，接下来分类讨论：
情况一：当P点位于正方形边BC上时，如下图1所示：
∵PB=3PC，
∴PC= BC=1；
情况二：当P位于正方形边CD上时，如下图2所示：
设PC=x，则BP=3PC=3x，在Rt△BPC中，由勾股定理可知：
4²+x²=(3x)²，解得x= (负值舍去)，
∴PC= ；
情况三：当P位于正方形边AD上时，如下图3所示：设AP=x，则DP=4-x，
Rt△ABP中，BP²=AP²+AB²=x²+16，
Rt△CPD中，CP²=PD²+CD²=(4-x)²+16=x²-8x+32，
∵BP=3PC，
∴x²+16=9(x²-8x+32)，
整理得到：x²-9x+34=0，此方程无解，
故P点不可能位于边AD上；
情况四：P点位于对角线BD上时，过P点作PH⊥BC于H点，如下图所示：
设PC=x，则BP=3PC=3x，
∵∠DBC=45°，∴△BPH为等腰直角三角形，其三边之比为 ，
∴BH=PH= ，CH=BC-BH= ，
在Rt△PHC中，由勾股定理可知：PC²=PH²+CH²，
∴ ，
整理得： ，此方程无解，
故P点不可能在对角线BD上；情况五：P点位于对角线AC上时，过P点作PH⊥BC于H点，如下图所示：
设PC= ，则BP=3PC= ，
∵∠PCB=45°，∴△PCH为等腰直角三角形，其三边之比为 ，
∴PH=CH= ，BH=BC-CH=4-x，
在Rt△PHB中，由勾股定理可知：PB²=PH²+BH²，
∴ ，
整理得： ，
解得： (负值舍去)，
∴ ；
综上所述， 或 或 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用及分类讨论的思想，本题中由于P点的位置未定，故
需要分多种情况讨论．
22. 下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中
有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第 个图形中三角形个数是_______．【答案】
【解析】
【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n2，结合两部分即
可得出答案．
【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，
则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，
下半部规律为：12、22、32、42……n2，
∴上下两部分统一规律 为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．
三、解答题（本题共7个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指
定区域内
23. （1）如图，已知 为边 上一点，请用尺规作图的方法在边 上求作一点 ．使
．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在上图中，如果 ，则 的周长是_______ ．
【答案】（1）见解析；（2）9．
【解析】
【分析】（1）直接根据垂直平分线-尺规作图方法作图即可；
（2）根据（1）中可知 ，即可求得 的周长．
【详解】（1）作法：如图所示，
①连接 （用虚线），②作 的垂直平分线交 于 ，
③标出点 即为所求，
（2）∵ ，
∴ ，
∴ 的周长＝ 9．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的做法－尺规作图，熟知垂直平分线的性质是解题的关键．
24. 如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点， 为平
面直角坐标系的原点，矩形 的4个顶点均在格点上，连接对角线 ．
（1）在平面直角坐标系内，以原点 为位似中心，把 缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与 的相似比等于 ；
（2）将 以 为旋转中心，逆时针旋转 ，得到 ，作出 ，并求出线段 旋转过
程中所形成扇形的周长．
【答案】（1）见详解；（2）见详解； 弧长是
【解析】
【分析】（1）根据位似图形的定义作图即可；（定义：如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线交于
一点，这两个图形叫做位似图形，交点叫做位似中心；）
（2）根据图形旋转的方法：将顶点与旋转中心的连线旋转 即可得旋转后的图形 ；OB旋转后
扇形的半径为OB长度，在坐标网格中，根据直角三角形勾股定理可得OB长度，然后代入扇形弧长公式,
同时加上扇形两半径即可求出答案．
【详解】（1）位似图形如图所示
（2）作出旋转后图形 ，
，
周长是 ．
【点睛】题目主要考察位似图形的画法、旋转图形画法、勾股定理及弧长公式的计算，难点是对定义的理解及对公式的运用．
25. 一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为 ，
点 在同一条直线上，测得 ， ，其中一段
支撑杆 ，另一段支撑杆 ，求支撑杆上的点 到水平地面的距离 是多少?（用
四舍五入法对结果取整数，参考数据 ）
【答案】点 到水平地面的距离 约为 ．
【解析】
【分析】过 作 交于 ，过 作 交 延长线于 ，证明四边形FMDN为矩形，
得到MF=DN，在Rt△BDN中求出DN的长，再在Rt△MED中求出EM的长，最后将EM与MF相加即得
到答案．
【详解】解：过 作 交于 ，过 作 交 延长线于 ，如下图所示：在 中， ，
由30°所对直角边等于斜边的一半可知， ，
，
，
，
，
，
在 中： ，代入数据：
，
∴四边形 是矩形，
，
，，
又已知 ，
在 中： ，
，
，
故点 到水平地面的距离 约为 ．
【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形等知识点，属于基础题，熟练掌握三角函数的定义是解决本题
的关键．
26. 小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发，沿着同一方向到达乙地，甲乙两地之间的距离是720米，
先到乙地的人原地休息，已知小刚先从甲地出发4秒后，小亮从甲地出发，两人均保持匀速前行．第一次
相遇后，保持原速跑一段时间，小刚突然加速，速度比原来增加了2米/秒，并保持这一速度跑到乙地（小
刚加速过程忽略不计）．小刚与小亮两人的距离 （米）与小亮出发时间 （秒）之间的函数图象，如图
所示．根据所给信息解决以下问题．
（1） _______， ______；
（2）求 和 所在直线的解析式；
（3）直接写出 为何值时，两人相距30米．
【答案】（1） ；（2） ； ；（3）t为
46 ，50，110，138时，两人相距30米．
【解析】【分析】（1）依次分析A、B、C、D、E、F各点坐标的实际意义：
A点是小刚先走了4秒，B点小亮追上小刚，相遇，C点是小刚开始加速，D点是小刚追上小亮，E点是小
刚到达乙地，F点是小亮到达乙地，则根据A点的意义，可以求出 的值，根据E点的意义可以求出n的
值；
（2）根据题意分别求得C、D、E、F各点坐标，代入直线解析式，用待定系数法求得解析式；
（3）根据题意分别求出写出 四 条直线的解析式，令S=30，即可求解．
【详解】（1）∵小刚原来的速度 米/秒，小亮的速度 米/秒
B点小亮追上小刚，相遇
E点是小刚到达乙地
．
（2）由题意可知点 横坐标为
∵小刚原来的速度 米/秒，小亮的速度 米/秒
∴纵坐标为
设
解得：的横坐标为
的纵坐标为
设 代入可得
解得：
．
（3） , ， ， ，
设
解得：
设解得：
当S=30时
，
，
，
t为46 ，50，110，138时，两人相距30米．
【点睛】本题考查了对一次函数的图像的理解和运用，对路程问题的分析，待定系数法求一次函数的解析
式，数形结合理解函数图像的意义，理解图像的各拐点的意义是解题的关键．
27. 如图，在 中， ，以 为直径的 与 相交于点 ，垂足为 ．（1）求证： 是 的切线；
（2）若弦 垂直于 ，垂足为 ，求 的半径；
（3）在（2）的条件下，当 时，求线段 的长．
【答案】（1）见解析；（2） 的半径为1；（3） ．
【解析】
【分析】（1）连接OD，由题意可得∠B=∠C，由半径OB和OD可得∠B=∠ODB，从而∠C=∠ODB，在
Rt△DEC 中可知∠C+∠CDE=90°，则∠OBD+∠CDE=90°，从而得出∠ODE=90°，即可得证 DE是
的切线；
（2）连接OD，过点D作DG⊥AB，垂足为G，设AC与 交于点H，连接OH，分别求解S ，S
△OAH 扇形
，S ，S ，然后根据S = S + S – S –S 求解即可得到阴影部分的面积．
OAH △OBD 扇形OOD 阴影 扇形OAH 扇形OBD △OAH △OBD
【详解】（1）证明：
方法一：
连接
为直径
，
为 中点
为 中点
是 的半径
是 的切线方法二：
连接
．
是 的半径
是 的切线
方法三：
连接是 的半径
是 的切线
（2）解：
方法一：
连接 ，
是直径
在中
即 的半径为1方法二：
连接
是 的直径为 中点
即 的半径为1
（3）作 的平分线 交 于 连接
平分
即设 则
解得：
是 的直径【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，以及与扇形面积相关的不规则阴影部分面积求解问题，灵活添
加辅助线将不规则图形转换为规则图形的面积表示是解题关键．
28. 如图所示，四边形 为正方形，在 中， 的延长线与 的
延长线交于点 ，点 在同一条直线上．
（1）求证： ；
（2）当 时，求 的值；
（3）当 时，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】（1）已知正方形和 ，用“边角边”证明两三角形全等即可；（2）方法一：过 作 交于 点，过 作 交于 点，则 ，从而求的
，
方法二：连接 交 于 ，交 于 ，构造相似三角形，从而求得 ；
（3） 不在直角三角形中，过点 作 交 于 点，过点 作 交 于点 ，
求得结果．
【详解】（1）∵四边形 为正方形
在 和 中
．
（2）方法一：
，
为正方形对角线设 ，则
在 三角形中
过 作 交于 点，过 作 交于 点
是等腰直角三角形
∴ ，．
方法二：
连接 交 于 ，交 于
∵正方形
， ，
，
∴ ，
， ，为 中点
，
设
（3）过点 作 交 于 点，过点 作 交 于点
，
，
为等腰直角三角形
，
，，
在 中
．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握
相似三角形的判定与性质，按要求作出辅助线是解决本题的关键．
29. 如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，点 ，（点 在点 的左边），
与 轴交于点 ，点 为抛物线的顶点，连接 ．直线 经过点 ，且与 轴交于点 ．（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是抛物线上的一点，当 是以 为腰的等腰三角形时，求点 的坐标；
（3）点 为线段 上的一点，点 为线段 上的一点，连接 ，并延长 与线段 交于点
（点 在第一象限）．当 且 时，求出点 的坐标．
【 答 案 】 （ 1 ） ； （ 2 ） ；
；（3）
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法求出a、b的值即可得出抛物线解析式；
（2）当 时，根据抛物线对称性可求得N的坐标；当 时， 在 的垂直平分线上，
与抛物线产生两个交点，将两点坐标求出即可；
（3）在 上取一点 ，作 的垂直平分线交 轴于点 ，连接 ，则 ，在 上 点
的右侧作 ，移动 点，当 时，点 为所求，过点 作 垂直于 轴于点 ，过点 作 垂直于 轴于点 ，则 ，设 ，根据相似三角形性质列比例求
解，解出点F的坐标即可．
【详解】（1）将 代入 得：
解得：
∴抛物线的解析式
（2）顶点
①当 时，根据抛物线对称性， 与 重合
②方法一：如图一
当 时， 在 的垂直平分线上
如图 的垂直平分线交 于 ，交 轴于 点， 与 轴交点为
，
在 中， ，
，
是 的中点， ，，
，
，
设 ，
代入得 ，
解得： ，
，
联立得，
，
解得 ，
，
，方法二：如图二，
过 作 轴垂线交 轴于 ，
过 作 交 于 ，
设 ，
，
，
，
，
，
解得： ，
把 代入， ，，
综上 ，
，
（3）如图一，在 上取一点 ，作 的垂直平分线交 轴于点 ，连接 ，则 ，在
上 点的右侧作 ，
，
，
移动 点，当 时，点 为所求．
过点 作 垂直于 轴于点 ，过点 作 垂直于 轴于点 ，
，
， ，设 ，
，
，
，
，
， ，
∴在 中，
，
，
，
，
，
，
，
，
代入 ，
解得 代入 得，，
．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何图形综合，二次函数与一次函数综
合，解直角三角形，相似三角形等知识点，题型难度大，属于中考压轴题．
