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专题 32 求曲线的轨迹方程（提升专题）
（核心考点精讲精练）
类型一、判断轨迹形状
类型二、代入法求轨迹方程
类型三、直接法求轨迹方程
类型四、定义法求轨迹方程
类型五、轨迹方程的综合应用
高考中对轨迹方程的考查方向可能包括以下几种：
1、直接求轨迹方程：给出已知动点的坐标满足的关系，要求考生求出轨迹方程，这通常涉及
到曲线的基本方程或参数法求解。
2、利用轨迹方程进行推理证明：有时会给出一些已知曲线或曲线的某些性质，要求考生利用
这些信息证明某些结论或计算某个数值。
3、求动点轨迹方程的参数：在某些情况下，已知动点坐标与某一参数的关系，要求考生求出
这个参数与动点坐标之间的关系，进而求出动点的轨迹方程。
4、交轨法求轨迹方程：有时会给出两个或多个动曲线方程，要求考生求出这些曲线的交点轨
迹方程，这通常涉及到消去参数法求解。
综上所述，高考中对轨迹方程的考查方向主要在于轨迹方程的直接求解和利用轨迹方程进行
推理证明，同时也会考查参数法求解和交轨法求解等技巧。
类型一、判断轨迹形状
1．已知 是椭圆 的长轴上的两个顶点，点 是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点 与
点 关于 轴对称，则直线 与直线 的交点 所形成的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．抛物线
C．椭圆 D．两条互相垂直的直线
2．（2023年上海市模拟数学试题）已知空间直线 、 和平面 满足： ， ， .若点 ，
且点 到直线 、 的距离相等，则点 的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
3．（2018年北京大学自主招生数学试题）在正方体 中，动点M在底面 内运动且满足 ，则动点M在底面 内的轨迹为（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线一支的一部分 D．前三个答案都不对
4．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 =2，则点C的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．射线 C．圆 D．直线
5．（2023届北京名校一轮总复习数学试题）如图，定点A和B都在平面 内，定点 ，C是
内异于A和B的动点，且 ．那么，动点C在平面 内的轨迹是（ ）
A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点
C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点
6．若动点 到定点 和直线 ： 的距离相等，则动点 的轨迹是（ ）
A．线段 B．直线 C．椭圆 D．抛物线
7．（2024届辽宁省调研考试数学试题）正四面体 中，在 内有一个动点 ，满足 到底面
的距离等于 的 倍，则动点 的轨迹形状为（ ）.
A．一段圆弧 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
8．以 为圆心的两圆均过 ，与 轴正半轴分别交于 ，且满足 ，则
点 的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
9．（2023届广东省联考数学试题）已知点 为定圆 上的动点，点A为圆 所在平面上的定点，线段
的中垂线交直线 于点 ，则点 的轨迹可能是； 、 .
类型二、代入法求轨迹方程使用代入法求轨迹方程的步骤如下：
1、判断动点：根据题目所给的条件，判断已知曲线上的一个动点如何运动。
2、求出关系式：找到与动点有关的关系式。
3、将点的坐标表达式代入已知曲线方程：将上述关系式中的点的坐标表达式代入已知曲线方
程，得到新的方程式。
1．（2023年上海市模拟数学试题）动点 在曲线 上移动，则点 和定点 连线的中点的
轨迹方程是 .
2．求连接定点 和曲线 上动点 的线段 的中点 的轨迹方程．
3．（2023年四川省模拟考试数学（理科）试题）已知面积为16的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴
和y轴上滑动，O为坐标原点， ，则动点P的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
4．已知曲线 和定点 ，点 为曲线 上任意一点，若 ，当点 在曲线 上运动
时，求点 的轨迹方程．
5．在边长为 的正 内有一动点P，已知 ，求点P的轨迹方程.6．如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，
使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.
7．（3.3抛物线）求解下列问题：(1)如图，动圆 ： ， 与椭圆 ： 相交于A，B，C，D四点，点 ， 分别为
的左、右顶点．求直线 与直线 的交点M的轨迹方程．
(2)已知 ， 分别为椭圆C： 的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，求 的重心G的
轨迹方程．
8．椭圆 上有动点P，点 ， 分别是椭圆的左、右焦点，求 的重心M的轨迹方程.
9．已知点P为椭圆 上的任意一点，O为原点，M满足 ，则点M的轨迹方程为
．
类型三、直接法求轨迹方程直接法：根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜
率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
直接法求轨迹方程的步骤如下：
1、建系：建立适当的平面直角坐标系。
2、设点：用（x，y）表示轨迹（曲线）上任一点M的坐标。
3、列式：列出关于x，y的方程。
4、化简：把方程化简为最简形式。
5、求轨迹：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
1．（2023届湖北省省考模拟测试数学试题）如图，已知圆 ，圆 ，已
知 为两圆外的动点，过点 分别作两圆的割线 和 ，总有 ，则点 的轨迹方程是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023年广东省模拟数学试题）已知 ，若动点P满足直线 与直线 的斜率之积为
，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023届广西高考数学模拟试题）若圆 与圆 关于直线 对称，过点 的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023年甘肃省模拟数学试题）在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离比它到 轴的距离
多1，记点 的轨迹为 .
(1)求轨迹为 的方程
(2)设斜率为 的直线 过定点 ，求直线 与轨迹 恰好有一个公共点时 的相应取值范围.
5．已知椭圆 ，点A，B分别是它的左､右顶点，一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P，Q
两点，当直线l与椭圆相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，求直线 与直线 的交
点M的轨迹方程.
6．已知 的两个顶点 、 的坐标分别是 、 ，且 、 边所在直线的斜率之积等于 ，讨论顶点 的轨迹方程．
7．给定 、 两点，求证：与这两点距离相等的点 的轨迹方程是 ．
8．若点 与点 的距离比它到直线 的距离小2，求点 的轨迹方程．
9．（2023年湖南省入学考试数学试题）已知椭圆C： 的长轴长为 ，离心率为
.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P为椭圆C外一点，且过点P的椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
10．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数 的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到 的距离是
点P到 的距离的2倍．求点P的轨迹方程；
11．（2023届湖南省一模数学试题）已知椭圆C： ，直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)点 为椭圆C上的动点（与点A，B不重合），若直线PA，直线PB的斜率存在且斜率之积为 ，
试探究直线l是否过定点，并说明理由；
(2)若 ．过点O作 ，垂足为点Q，求点Q的轨迹方程．
12．已知点A ，B ，P是平面内的一个动点，直线PA与PB的斜率之积是 ，则动点P的
轨迹C的方程为 .
13．（2023年四川省月考数学试题）自 引圆 的割线ABC，则弦 中点P的轨迹方程
.
14．已知 是椭圆 中垂直于长轴的动弦， 是椭圆长轴的两个端点，则直线
和 的交点 的轨迹方程为 ．
类型四、定义法求轨迹方程定义法：通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程。这种方法叫做
定义法，运用定义法求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线、圆、
椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
定义法求轨迹方程的步骤如下：
1、根据已知条件判断动点轨迹的条件符合哪个基本轨迹（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）。
2、直接根据定义写出动点的轨迹方程。
定义法求轨迹方程的关键是识别出轨迹的形状，然后利用该形状的定义来写出方程。
1．（2023年安徽省模拟数学试题）已知直线 交抛物线 ： 于 轴异侧两点 ， ，且 ，
过 向 作垂线，垂足为 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ）
2．（2023年全国高中数学联合竞赛一试及加试试题（A卷））平面直角坐标系 中，抛物线 ，
为 的焦点， ， 为 上的两个不重合的动点，使得线段 的一个三等分点 位于线段 上（含端
点），记 为线段 的另一个三等分点.求点 的轨迹方程.
3．已知 的三边a，b，c成等差数列，且 ，A、C两点的坐标分别为 ，则顶点B的
轨迹方程为 ．
4．已知过抛物线 焦点 的直线交抛物线于 、 两点，过原点 作 ，使 ，垂足为点
，求点 的轨迹方程．5．已知圆 ： ，圆 ： ，圆 与圆 、圆 外切，求圆心 的轨迹方程
类型五、轨迹方程的综合应用
1．（2023届山东省联合考试数学试题）古希腊亚历山大时期一位重要的几何学家帕普斯（Pappus，公元3
世纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条
直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线．今有平面内三条给定的直线 ，且 ，均与垂直．若动点M到 的距离的乘积是M到 的距离的平方的4倍，则动点M在直线 之间（含边界）
的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
2．（2023年浙江省模拟数学试题）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并
给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希
腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进
行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当 时，
轨迹为椭圆；当 时，轨迹为抛物线；当 时，轨迹为双曲线．现有方程
表示的曲线是椭圆，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023届宁夏联合考试一模数学（理）试题）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双
纽线.在平面直角坐标系 中，把到定点 ， 距离之积等于 的点的轨迹称为双纽线.
已知点 是双纽线 上一点，有如下说法：
①双纽线 关于原点 中心对称；
② ；
③双纽线 上满足 的点 有两个；
④ 的最大值为 .
其中所有正确的说法为（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
4．（2023年内蒙古模拟数学文科试题）发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有
兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵
形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数．已知：
曲线 是平面内与两个定点 和 的距离的积等于常数 的点的轨迹，则下列命题中错误的是（ ）
A．曲线 过坐标原点
B．曲线 关于坐标原点对称
C．曲线 关于坐标轴对称
D．若点 在曲线 上，则 的面积不大于
5．（2023年江苏省模拟数学试题）若曲线 上存在点 ，使 到平面内两点 ， 距离之差
的绝对值为8，则称曲线 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（ ）
A． B． C． D．
6．一种作图工具如图1所示． 是滑槽 的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON
连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且 ， ．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，
带动N绕 转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以 为原点， 所在的直
线为 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．求曲线C的轨迹方程；
