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专题 32 导数几何意义问题必刷 100 题
类型一:求在曲线上一点的切线方程1-10题
1．已知 ，则在曲线 上一点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为点 在曲线上，所以 ，于是 ，
所以 ， ， ，
故切线方程为 ，即 .
故选：A
2．设函数 .若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据函数 的奇偶性，可得 ，然后分别求得 ，最后可得直线方程.
【详解】
由函数 为奇函数
所以
由
所以所以 ，则
所以
所以所求切线方程为 ，即
故选：B
3．曲线 在点 处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为点 在曲线 上，解得 ， ，
所以 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 .
即 .
故选：D
4．已知函数 是奇函数且其图象在点 处的切线方程 ，设函数 ，则
的图象在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出 ，再求出切点的坐标，即得解.
【详解】
解：由已知得 ， ，因为 是奇函数，所以 ， 又因为
，所以 ， ，
所以 的图象在点 处的切线方程为 .
故选：A
5．曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出 的导函数，进而求出 时， ，由导函数的几何意义和倾斜角与斜率的关系，
求出 ，利用万能公式求出结果.
【详解】
，当 时， ，所以 ，由万能公式得：
所以
故选：B
6．已知函数 为奇函数，则 在 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】
利用函数 为奇函数可得 ，求导可求解 ， ，即得解
【详解】
当 时， ，
则 ，
此时 ，
则 ，则 ， ，
所求切线方程为 ，即 .
故选：D
7．已知函数 在R上满足 ，则曲 在点 处的切线方程是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据 求出函数 的解析式，然后对函数 进行求导，进而可得到
在点 处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求切线方程.
【详解】
， .
.
将 代入 ，得 ，， ，
在 处的切线斜率为 ，
函数 在 处的切线方程为 ，即 .
故选：A.
8．曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据导数的几何意义求出切线方程，然后再求切线与两坐标轴围成的三角形的面积.
【详解】
当 时， ，又因为 ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
因为 与两坐标轴的交点坐标为 和 ，
所以此切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 .
故选：B.
9．若函数 图象在点 处的切线方程为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出导函数，表示出切线方程，再求出 的表达式，最后借助导数即可作答.
【详解】由 求导得： ，于是得 ，
函数 图象在点 处的切线方程为 ，
整理得： ，从而得 ， ，
令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
于是得 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
所以 的最小值为 .
故选：D
10．已知 是曲线 上的任一点，若曲线在 点处的切线的倾斜角均是不小于 的
锐角，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求 ，结合已知根据导数的几何意义可得 ，即 对任意 恒成立，再利用基本不等
式求出 即可.
【详解】
因为 ，所以 ，
因为曲线在 处的切线的倾斜角是均不小于 的锐角，
所以 对于任意的 恒成立，即 对任意 恒成立，
所以 ，又 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，故 ，所以 的取值范围是 .
故选：C
类型二:求过一点的切线方程1-10题
1．函数 过点 的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求导数，再根据导数几何意义求切线斜率，最后根据点斜式得结果.
【详解】
设切点为
因为
因此切线方程为
故选：D
2．已知函数 ，若直线 过点 ，且与曲线 相切，则直线 的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
设切点坐标为 ，利用导数求出切线 的方程，将点 的坐标代入直线 的方程，求出 的值，进
而可求得直线 的斜率.
【详解】设切点坐标为 ， ， ，直线 的斜率为 ，
所以，直线 的方程为 ，
将点 的坐标代入直线 的方程得 ，解得 ，
因此，直线 的斜率为 .
故选：B.
3．己知函数 ，函数 ，若两函数的图象恰有两个不同的交点，则实数k的取
值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先求切线的斜率，再由数形结合，求实数k的取值范围.
【详解】
由题知 ，设切点为 ，则切线方程为 ．将 代入可得 ，故
与 （ ）相切时 ，
, ，故由两函数的图象有两个不同交点可得 ，即 ，
故选:A．4．已知曲线 的切线过坐标原点，则此切线的斜率为（ ）
A．e B． C． D．
【答案】A
【分析】
设切点为 ，然后求出曲线 在切点处的切线方程为 ，然后把坐标原点
代入即可解出答案.
【详解】
设切点为 ，由 ，得 ，
∴ ，则曲线 在切点处的切线方程为 ，
把坐标原点 代入，可得 ，解得 ，
∴所求切线的斜率为 .
故选：A.
5．若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设切点为 ，可得切线为 ，所以 ，设 ，则
与 图象有两个交点，讨论 时由单调性可知不符合题意，当 时，由导数判断
的单调性以及最值，数形结合即可求解.
【详解】
设切点为 ，由 可得 ，则切线方程为 ，
因为点 在切线上，所以 ，所以 ，
若过点 可以作曲线 的两条切线，则 有两解，
设 ，可得 ，
当 时， 恒成立，此时 在 上单调递增，
至多一解，所以 不符合题意，
当 时，由 可得 ；由 可得 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
当 趋近于 时， 趋近于 ；
当 趋近于 时， 趋近于 ；
所以若 与 图象有两个交点，可得 即 ，
所以若过点 可以作曲线 的两条切线，则 ，
故选：C.
6．若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
【答案】D
【分析】
根据导数的几何意义设出直线 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 .
故选：D.
7．已知 .若曲线 存在两条过 点的切线，则 的取值范围是___________.
【答案】 或
【分析】
求导函数 设切点坐标为 ，写出切线方程并代入点 得 ，由于有两条
切线，故方程有两非零的根，结合判别式即可求解．
【详解】
由题得 ，设切点坐标为 ，
则切线方程为 ，
又切线过点 ，可得 ，
整理得 ，因为曲线 存在两条切线，故方程有两个不等实根且
若 ，则 ，为两个重根，不成立
即满足 ，解得 或 ．
故 的取值范围是 或
故答案为： 或
8．已知函数 ，过点作 曲线 的切线，则函数的切线方程为
_______________________．
【答案】
【分析】
对函数求导，设切点坐标 ，表示出 与 ，根据导数的几何意义写出切线方程，且该直线
过点 ，代入求解出 的值，即可得切线方程.
【详解】
，设切点坐标为 ，则 ， ，所以切线方程为
，且该直线过点 ，所以 ，得 ，
得 ，所以切线方程为 .
故答案为：
9．已知双曲线 的一条渐近线与曲线 相切，则该双曲线的离心率为
______.
【答案】
【分析】设切点坐标为 ，利用导数求出切线方程，由切线过原点求得 的值，可得出切线的斜率，进而得
出 ，由此可得出双曲线的离心率为 .
【详解】
设切点坐标为 ，对于函数 求导得 ，
所以，曲线 在 处的切线方程为 ，
由于该切线过原点，则 ，解得 .
所以，切线的斜率为 ，所以，该双曲线的离心率为 .
故答案为： .
10．设函数 ，若 为奇函数，则过点 且与曲线 相切的直线方
程为________.
【答案】
【分析】
根据函数是奇函数，构造 求出 值.再另设切点，求出切线方程，将 代入切线方程，
即可求出切点横坐标，切线方程可求.
【详解】
∵函数 为奇函数，
∴ ，
∴ .解得 ，
∴ ，∴ .
设切点为 ，则 .
设切线方程为 .
∵ ，
∴ .
∵该直线过点 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
∴所求直线方程为 ，
即 .
故答案为： .类型三:距离问题1-10题
1．已知抛物线 焦点为 是抛物线 上一点，且 ，点 在抛物线 上运
动，则点 到直线 的最小距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
法一：利用抛物线定义求抛物线方程，设 ，结合点线距离公式得到关于t的函数，求最值即
可；法二：利用导数求与 平行且与抛物线相切的直线，根据平行线的距离公式求点线距离最小
值；法三：设平行于 且与抛物线相切的直线方程，联立抛物线应用方程法求参数，写出切线方
程，进而求距离.
【详解】
法一：抛物线 的准线为 ，由抛物线的定义知： ，解得 ，
∴抛物线 的方程为 ．设 ，点 到直线 的距离 ，当且仅当 时等号成立.
法二：如图，当点 到直线 的距离最小时，抛物线 在点 处的切线与 平行，
设切点 的横坐标为 ，由 ，得 ，则 ，即
∴抛物线 上的点 到直线 距离最小的点是 ，此时点 到直线 的距离为 ．
法三：设与抛物线 相切且与直线 平行的直线为 ，
由 ，整理得
由 ，则 到直线 的最小距离为 .
故选：B．
2．点P在函数 的图像上，若满足到直线 的距离为 的点P有且仅有3个，则实数a的值
为（ ）
A．5或 B．1或3 C．1 D．5
【答案】D
【分析】
在曲线 的点 作切线，使得此切线与直线 平行，得 ，进而根据题意得点 到直
线 的距离为 时满足条件，根据点到直线的距离公式得 或 ，再结合图形分析即可得
答案.【详解】
过函数 的图象上点 作切线，使得此切线与直线 平行，
因为 ，于是 ，所以 ，∴ ，
于是当点 到直线 的距离为 时，则满足到直线 的距离为 的点P有且仅有3个，
∴ ，解得 或 ，
又当 时，函数 的图象与直线 不相交（如图），从而只有一个点到直线距离为 ，所
以不满足；
当 时，函数 的图象与直线 相交，满足条件.
故选：D．
3．若点 在曲线 上运动，点 在直线 上运动， 两点距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
结合图像，当与直线 平行的直线与曲线 相切于点 时，此时 两点距离的最小值为点
到直线 的距离，计算可得点 的坐标，从而算出答案.【详解】
如图可知，当与直线 平行的直线与曲线 相切于点 时，此时 两点距离的最小值为点
到直线 的距离，
设与直线 平行的直线与曲线 相切于点 时，
又 ， 即得 ，
所以点 到直线 的距离为 ，
所以 两点距离的最小值为 .
故选：B
4．若点 与曲线 上点 距离最小值为 ，则实数 为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设点 的坐标为 ，根据直线 与曲线 在点 处的切线垂直，得到 关于 的表达式，再利
用两点间的距离公式结合 的最小值为 ，求出 的值，即可得出实数 的值.
【详解】
设点 的坐标为 ，对函数 求导得 ，
由题意可知，直线 与曲线 在点 处的切线垂直，则 ，
得 ，由两点间的距离公式得 ，
由于 的最小值为 ，即 ， ，解得 ，因此， .
故选：C.
5．曲线 在点（1,1）处的切线为 ，则 上的点到圆 上的点的最近距离是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用导数的几何意义,求出切线方程,然后根据直线和圆的位置关系即可得到结论.
【详解】
,
,
在点 处的切线为l的斜率 ,
切线方程为 ,
即 ,
圆的标准方程为 ,
圆心 ,半径 .
则圆心到直线 的距离 ,上的点到圆 上的点的最近距离是 ,
故答案为 .
6．在平面直角坐标系 中， 是曲线 上的一个动点，则点 到直线 的距离的最小
值是____________.
【答案】
【分析】
画出函数 的大致图象和直线 ，数形结合可知，当直线 的平行直线与曲线相切时，
切点到直线的距离最小，由点线距公式可得最小值.
【详解】
设 ，则 ，
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
如图，画出函数大致图象以及直线 ，
当直线 的平行直线与曲线 相切时，切点P到直线 的距离最小.
设切点 ，切线斜率为 ，
由 ，解得 ，即点 .
则点 到直线 的距离 .
故答案为： .7．设P为y x2﹣2图象C上任意一点，l为C在点P处的切线，则坐标原点O到l距离的最小值为_____.
【答案】2
【分析】
设出切点P坐标，由导数求得C在点P处的切线方程，由点到直线的距离公式写出坐标原点O到l距离，再
由基本不等式求最小值.
【详解】
设P（ ），
由y x2﹣2，得 ，
∴ ，
则C在点P处的切线方程为： ，
整理得： .
∴坐标原点O到l距离d
.
当且仅当 ，即x ＝0时上式等号成立.
0
∴坐标原点O到l距离的最小值为2.
故答案为：2.8．设 为 图象 上任意一点， 为 在点 处的切线，则坐标原点 到 距离的最小值为
_______.
【答案】2
【分析】
设出切点P的坐标，由导数求得C在点P处的切线方程，利用点到直线的距离公式写出坐标原点 到直线
的距离，再结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由题意，设点 ，
由函数 ，可得 ，所以 ，
所以曲线C在点P处的切线方程为 ，
整理得切线 的方程为 ，
又由坐标原点 到直线 的距离
，当且仅当 时，即 时等号成立，
所以坐标原点 到直线 的最小值为2.
故答案为：2.
9．曲线 在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆 上的点的最近距离是________．
【答案】
【分析】
可得曲线在点（1，1）处的切线方程，可得圆心到直线的距离即为l上的点到圆x2+y2+4x+3=0上的点的最
近距离，由点到直线的距离公式可得答案.
【详解】
解：∵y=f（x）= ，∴f'（x）=
∴在点（1，1）处的切线为l的斜率k=﹣1，
∴切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），
即x+y﹣2=0，
圆的标准方程为（x+2）2+y2=1，
∴圆心A（﹣2，0），半径r=1．
则圆心到直线x+y﹣2=0的距离d= ，
∴l上的点到圆x2+y2+4x+3=0上的点的最近距离是d﹣r= ，
故答案为 ．
10．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C：y＝x 2＋a到
1
直线l：y＝x的距离等于C：x 2＋(y＋4) 2 ＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝______________．
2
【答案】
【详解】
试题分析：由新定义可知，直线 与曲线 相离，
圆 的圆心到直线 的距离为 ，此时直线 与圆 相离，
根据新定义可知，曲线 到直线 的距离为 ，
对函数 求导得 ，令 ，
故曲线 在 处的切线方程为 ，即 ，
于是曲线 到直线 的距离为 ，则有 ，解得 或 ，
当 时，直线 与曲线 相交，不合乎题意；当 时，直线 与曲线 相离，合乎题意.
综上所述， .
类型四:零点问题1-10题
1．已知函数 ，若函数 有四个零点，则实数 的取值范围是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
转化条件得直线 与函数 的图象有四个交点，作出函数图象，结合导数的几何意义，数
形结合即可得解.
【详解】
有四个交点，作出 的图象，结合 过
定点 ，则直线应在过此点的 切线以及原点的直线之间，过原点时斜率为 ；当直线与曲
线相切时，由 ，设切点 ，则切线斜率为 ，得 故
，所以 ，则切线斜率为 ，故 .
故选：B
2．设 ，若函数 在区间 上有三个零点，则实数 的取值范围是A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
令 ，可得 .
在坐标系内画出函数 的图象（如图所示）.
当 时， .由 得 .
设过原点的直线 与函数 的图象切于点 ，
则有 ，解得 .
所以当直线 与函数 的图象切时 .
又当直线 经过点 时，有 ，解得 .
结合图象可得当直线 与函数 的图象有3个交点时，实数 的取值范围是 .
即函数 在区间 上有三个零点时，实数 的取值范围是 .选D.
3．已知 ，若存在实数 ，使得 在 上有2个零点，则 的取值范围为
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由 可得 ，令 ，则 ，
由题意可得 与 的图象有2个交点，作出 的图象，求在点 处的切线的
方程求得临界值即可求解.
【详解】
由 可得： ，
令 ，则 ，
若 在 上有2个零点，
则 与 的图象有2个交点，
作出其图象如图所示：由 可得 ，
当 时， ， ，
所以 在 处的切线的方程为 ，
即 ，所以 ，
因为 ，
所以 ， 的取值范围为 ，
故选：A.4．已知函数 且关于 的方程 有三个不等实根，则实数 的取值范围为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
转化关于 的方程 有三个不等实根为 有三个不同的交点，分 ， 讨论，
当 时，考虑临界状况， 与 相切，分析即得解
【详解】由题意，关于 的方程 有三个不等实根，可转化为 有三个不同的交点
结合图像，当 时显然不成立；
当 时，考虑临界状况， 与 相切
设切点为 ，
由于
从而切线方程为： ，由于直线过原点
故
数形结合可知，当 ，即 时， 有三个不同的交点
即关于 的方程 有三个不等实根
故选：
5．已知函数 ，若 存在3个零点，则a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令 ，即 ，则函数 的零点个数即为函数 与函数 交点的
个数，作出函数 与函数 的图象，根据题意结合图形列出不等式组，解之即可得出答案.
【详解】
解：令 ，即 ，
则函数 的零点个数即为函数 与函数 交点的个数，
作出函数 与函数 的图象，如图所示，
当直线 与曲线 相切时，
又当 时， ，则 ，则 ，则 ，即且点为 ，此时 ，
因为 存在3个零点，即函数 与函数 的图象有3个交点，
所以 ，解得 ，
所以a的取值范围是 .
故选：D.6．已知函数 满足 ，且 时， ，若 时，方程
有三个不同的根，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由 ，可得函数 的图像关于直线 对称，由此可画出函数图像，而直线
为过定点 的一条直线，当直线与当 时的函数 的图像相切时，直线与
在 的图像有两个公共点，然后利用导数求出切线的斜率，再结合图像可得答案
【详解】
因为 ，所以函数 的图像关于直线 对称.
当 时， ，则当 时， 的图像如图所示，直线 为过定点
的一条直线.
当直线与当 时的函数 的图像相切时，直线与 在 的图像有两个公共点.
当 时，函数 ， ，设切点为 ，切线的斜率 ，
则切线方程为 ，把点 代入得 ，所以 ；
当直线过点 时， ，
所以 的取值范围为 ，
故选：C.
7．已知函数 有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
可看作 的图象有2个交点，分别判断与 单调性，画出图象，当
与 相切时，设切点为 ，利用 ，
，可得 ，从而 ，再利用图象平移可得答案.
【详解】
函数 有两个不同的零点，则 有两个解，令 ，则 与 有2个交点，
，
当 时 ， 单调递减，当 时 ， 单调递增，
由 得 单调递增，
图象如下，
当 与 相切时，设切点为 ， ，
同时 ，得 ，即 ，
∠DCA
，又 ， ，
所以 ，此时 ，所以 ，
当 时，可看作 的图象向右平移，此时 与 必有2个交点，当 时，图象向左平
移二者必然无交点，
综上 .
故选：D.
8．定义在 上的函数 满足 ，且 时， .若关于 的方程有三个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
把方程问题转化为函数图像交点问题，求出临界值即：函数 图像和直线 相切时 的
值，结合 的性质以及函数对称性，即可得解.
【详解】
当 时，令 ，则 .即
时， 单调递增. 时， 单调递减.且 .
若关于 的方程 有三个不相等的实数根，
如图，当 时，设过点 做曲线的切线交曲线于点 ，
切线方程为： 切线由过点 ，
则 ，又∵ 在 时单调递减.
∴ ，切线的斜率为 ，∴
由对称性知： .
故选：D
9．已知函数 ， ，若函数 有两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作出 的图象，函数 有两个零点，即 与 有两个交点，根据图象，利用数形结合即可
求解结果.
【详解】
作出 的图象，如图所示，
当 与 相切时，设切点为 ，则有 ，解得 ，
所以相切时的斜率 ；
将函数 的图象顺时针旋转，
当 时， 与 有2个交点，满足题意；
当 时， 与 有3个交点，不满足题意；
当 时， 与 有1个交点，不满足题意；
当 时， 与 有0个或1个交点，不满足题意.
故选：D.
10．已知函数 ，若函数 恰有一个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意作出 的图象，将 恰有一个零点转化为“ 的图象仅
有一个交点”，根据 与 图象相切计算出临界值，由此求得 的取值范围.
【详解】
在同一平面直角坐标系中作出 的图象如下图所示：由图可知，当 时， 均过点 ，且仅有此一个交点，故满足；
当 时，考虑 与 相切，设切点为 ，
所以 ，所以 满足，
结合图象可知，若要仅有一个交点，则 ，
综上可知： ，
故选：B.类型五:求参数问题1-10题
1．已知函数 ，若不等式 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
作出函数 的图象，由题意可得在 的图象的上方，分别讨论 、 、 ，结合图象
的平移，以及导数的几何意义即可求解.
【详解】
作出函数 的图象，
由不等式 对任意的 恒成立，
可得 的图象不在 的图象的上方，
且 的图象关于直线 对称，
当 时，由图象可知不满足题意；
当 时， 对任意的 恒成立，满足题意；
当 时，当 的图象与 的图象相切，即有 为切线，
由 可得 ，
设切点为 ，可得切线的斜率为 ，则 ，
所以 ，所以 ，解得： ，
则 时，满足题意.综上可得，实数 的取值范围是 .
故选： .
2．若曲线 与 有一条斜率为2的公切线，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由曲线 与 有一条斜率为2的公切线，求得切线方程，求出 的导数，利用切
线斜率求得切点的横坐标 ，代入 求得切点坐标 ，再代入切线方程即可求
得 的值.
【详解】
由 ，由点斜式得切线方程： ，
对曲线 ， ，
代入 得， ，
将 代入 ，
得： .
故选：A.3．已知 的最小值为0，则正实数 的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】
转化为 的图象在函数 的图象的上方相切，利用两个函数的图象以及导数的几何意义
可求得结果.
【详解】
因为函数 的最小值为0，
所以 的图象在函数 的图象的上方相切，
因为 ，所以 的图象与 轴的交点在 轴负半轴上，
由图可知当正数 最小时，直线 与 在 内的图象相切，
设切点为 ，因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
由 得 .
故选：C
4．已知函数 的图象在 处的切线方程为 ，若 恒成立，则
的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题意求得 ，代入函数解析式，把问题转化为 恒成立，对 分类讨论，分离参数 ，再由导数
求最值得答案．
【详解】
解：因为 ，所以 ，
又函数 的图象在 处的切线方程为 ，
所以 ，
解得 ，所以 ，
因为 恒成立，所以 恒成立．
当 时， 成立．
当 时，令 ，则 ．
当 时， ，
在 和 上单调递减．
当 时， ， 单调递增，
当 时， 恒成立，
所以 ；
当 时， 恒成立，
而 ，所以 ．综上， ，所以m的取值范围为 ．
故选：A
5．若曲线 与曲线 存在公切线，则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到 ，则
有解．再利用导数进一步求得 的取值范围．
【详解】
在点 的切线斜率为 ，
在点 的切线斜率为 ，
如果两个曲线存在公共切线，那么： ．
又由斜率公式得到， ， 由此得到 ，
则 有解，
由 ， 的图象有公共点即可．
当直线 与曲线 相切时，设切点为 ，则
，且 ，可得
即有切点 ， ，故 的取值范围是： ．
故选: .6．若曲线 上存在两条垂直于 轴的切线，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出原函数的导函数，令 ，得到 ，然后将问题转化为 在 上有两个不
同的解，再构造函数 ，求出 的取值范围，即可得到 的取值范围．
【详解】
由 ，得 ，
令 ，则 ，
曲线 存在两条垂直于 轴的切线，
在 上有两个不同的解．
令 ，则 ．
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
，
又当 时， ， ．
的取值范围为 ．
故选： ．
7．若函数 图象上任意一点的切线斜率均大于 ，则实数 的取值范围是________.
【答案】
【分析】分析可知，不等式 对任意的 恒成立，利用参变量分离法结合基本不等式可求得
实数 的取值范围.
【详解】
，则 ，
由题意可知，对任意的 ， ，则 ，
由基本不等式可知，当 时， ，当且仅当 时，等号成立.
所以， ，即实数 的取值范围是 .
故答案为： .
8．设函数 的图象在点 处的切线为 ，若方程 有两个不等实根，则
实数 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】
首先由导数的几何意义可知切线的斜率 ，将切点 代入切线方程可得 的值，即可得
有两个不等实根，转化为 与 图象有两个不同的交点，数形结合即可求解.
【详解】
由 可得 ，
在点 处的切线斜率为 ，所以 ，
将点 代入 可得 ，
所以方程 即 有两个不等实根，等价于 与 图象有两个不同的交点，
作 的图象如图所示：
由图知：若 与 图象有两个不同的交点则 吗，
故答案为：
9．已知k为常数，函数 ，若关于x的函数 有4个零点，则实数k的
取值范围为________.
【答案】
【分析】
将x的函数 有4个零点，转化为 与 有4个不同的交点，然后利用数形
结合法求解.
【详解】
因为函数 有4个零点，
所以 与 有4个不同的交点，
在同一坐标系中作出 与 的图象，如图所示：当 时， 单调递减，
与 有一个交点，则 ；
所以当 时，有3个交点，
求出 与 相切时的k值，
当 时，设切点为 ，
所以 ，则 ，
所以切线方程为 ，
又因为点 在切线上，
所以则 ，
解得 ，
所以 ，
由图像知 有4个零点，
则 ，
故答案为：
10．若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ________.【答案】1或
【分析】
分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得斜率和截距相等，从
而求得切线方程的答案．
【详解】
设 与 和 的切点分别为 ，由导数的几何意义可得 ，曲
线在 在点 处的切线方程为 ，即 ，曲线 在
点 处的切线方程为 ，即 ，则 ，解得
，或 ，所以 或 ．类型六:导数几何意义综合压轴小题1-50题
一、单选题
1．过 引抛物线 的切线，切点分别为A， .若 的斜率等于2，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】
先设切点，根据导数的几何意义求切线方程，再代入点M，得到A， 均满足得到一元二次方程，即得到
直线 的方程和斜率，结合斜率为2解得参数即可.
【详解】
抛物线 ，即 ，则由切线斜率 ，
设切点 ，则 ，又 ，
所以切线 方程为 ，即 ，
同理切线 方程为 ，
两切线均过点 ，故 ，即 ，所以点 均满足方
程 ，即 均在直线 上，即直线 的方程为 ，所以斜率为 ，
故 .
故选：C.
2．关于函数 ，下列判断错误的是（ ）
A．函数 的图象在 处的切线方程为
B． 是函数 的一个极值点
C．当 时，
D．当 时，不等式 的解集为
【答案】B
【分析】
利用导数的几何意义可判断A选项的正误；利用导数与极值的关系可判断B选项的正误，利用导数与函数
最值的关系可判断C选项的正误；利用导数研究函数 的单调性，由此解不等式
，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项， ，则 ，所以， ， ，
所以，函数 的图象在 处的切线方程为 ，即 ，A选项正确；
对于B选项，当 时，对任意的 ， ，
此时函数 在 上单调递增，无极值，B选项错误；
对于C选项，当 时， ，该函数的定义域为 ，.
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增.
所以， ，C选项正确；
对于D选项，当 时， ，则 对任意的 恒成立，
所以，函数 为 上的增函数，
由 可得 ，所以， ，
解得 ，D选项正确.
故选：B.
3．函数 与 的图象上存在关于 轴的对称点，则实数 的取值范围为（ ）( 为自
然对数的底)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
因为 关于 轴对称的函数为 转化为 与 的图象有交点，即方程
有解，对 、 、 进行讨论可得答案.
【详解】
因为 关于 轴对称的函数为 ，又函数 与 的图象上存在关于
轴的对称点，所以 与 的图象有交点，即方程 有解， 时符合题意；
时转化为 有解，即 与 的图象有交点， 是过定点 的直线，其斜率为 ，若 ，则函数 与 的图象必有交点，满足题意；若 ，设 ，
相切时，切点的坐标为 ，则 ，解得 ，切线斜率为 ，由图可知，当
，即 时， 与 的图象有交点，此时， 与 的图象有交点，
函数 与 的图象上存在关于 轴的对称点，
综上可得，实数 的取值范围为 .
故选：C.
4．若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线 的图象，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】
在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知 .故选：D.
5．已知直线 与函数 的图象有且仅有两个公共点，若这两个公共点的横坐标
分别为 ， ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意，如要仅有两个公共点，如图直线 与曲线 在第二象限有一个交点横坐标
为 ，在第四象限有一个切点横坐标为 ，根据导数可得 即可得解.
【详解】由题知，直线 与曲线 在第二象限有一个交点，
在第四象限有一个切点，由切点在切线上，切点在曲线上，
曲线在切点的斜率等于曲线在切点的导数值知
，可得 ，
故选：A．
6．一条倾斜角为 的直线与执物线 交于不同的 两点，设弦 的中点为 过 作平行于 轴
的直线交抛物线于点 ，则以 为切点的抛物线的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设弦 所在直线的方程为 ， ，联立方程得 ，进而得
，再根据导数的几何意义求解.
【详解】设弦 所在直线的方程为 ， ，
所以联立方程 得 ，
所以 ，解得
，
所以 ，
所以点 的坐标为 ，
所以联立方程 得 ，
此时 点在 轴上方，抛物线对应的函数为 ，故求导得 ，
所以点 的切线的斜率为 .
故选：C
7．已知函数 ，若曲线 在点 处的切线经过原点，则 的值为（ ）
A．-2 B．3
C．-1 D．-3
【答案】B
【分析】
求得导数 ，得到 及 ，求得曲线的切线方程，结合切线经过原点，
列出方程，即可求解．
【详解】由题意，函数 ，则 ，
所以 ，又由 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
因为切线经过原点，可得 ，解得 ．
故选：B.
8．已知偶函数 满足 ，且在 处的导数 ，则曲线 在
处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据已知条件可得 是周期为4的函数，即可求出 ，得出切线方程.
【详解】
由条件知 ，所以 ，
从而 ，即函数 的周期为4.
在 中，令 得 ，所以 ，
又 ，所以曲线 在 处的切线方程为 ，
即 .
故选：A.
9．已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，若 ， 是函数
的两个零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先对函数 求导，根据题中条件，利用导数的几何意义求出 ；不妨令 ，结合图象
与函数零点存在定理，确定 与 的范围，从而可得出结果.
【详解】
由 得 ，
所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，
因为切线与直线 垂直，所以 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，
作出 和 的图象，可知恰有两个交点，
因为零点为 ， ，不妨令 ，则 ， ，
故有 ，即 ．
又 ， ，可得 ，所以 ；
又 （因为 ，所以 ，又 ，所以 ，即
，所以 ，因此 ）
，所以 ；即 ；而 ，确定 右边界 ，
所以
因此 ， ， ．
即ABD都错，只有C选项正确.
故选：C．
10．已知函数 有两个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
把函数 有两个零点，转化为函数 的图象与 的图象有两个不同交点，利用导
数研究 的单调性，作出 的大致形状，求出过原点与曲线 相切的直线的斜率，则答
案可求．
【详解】
解：函数 有两个零点，也就是方程 有两个不等实数根，
即函数 的图象与 的图象有两个不同交点，
由 ，得 ，
当 时， ，当 时， ．
在 上为增函数，在 上为减函数，
作出函数 与 的图象如图：
设过原点的直线与 相切于 ，则 ，则切线方程为 ．
把 代入，可得 ，解得 ．
切点坐标为 , ．
则原点与切点连线的斜率为 ．
则函数 有两个零点的实数 的取值范围是 ．
故选：C．
11．已知函数 与 的图象上存在关于直线 对称的点，若点 ， 分别在 ，
的图象上，则当 取最大值时， 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
与 关于直线 对称，所以问题转化为 与 有公共点，求得 的最大值为 ，设直线 与函数 的图象相切，利用导数的几何意义求得切线方程， 的最下值
就是平行线的距离.
【详解】
由题可知，曲线 与 有公共点，即方程 有实数解，即 有实数解，
令 ，则 ，所以当 时， ；当 时， ，故 时，
取得极大值 ，也是最大值，所以 ，所以 ，即 的最大值为 ，
此时 ，设直线 与函数 的图象相切于点 ，如图，因为 ，所
以 ，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，易求得平行线 与
之间的距离为 ，即 的最小值为 .
故选：D.
12．已知 ，若函数 有4个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，将题干条件转化为函数 与 的图象有4个交点，同一坐标系下作出函数 与
的图象，分别讨论 和 时交点个数，再求当 时，函数 与 的图象相切，
求得临界的斜率k，结合图象分析，即可得答案.
【详解】
由题意 有4个零点，即 有4个零点.
设 ，则 恒过点 ，所以函数 与 的图象有4个交点，
在同一直角坐标系下作出函数 与 的图象，如图.
由图象可知，当函数 过点 和 时，即 时，此时函数 与 的图象恰有3个交点；
当 时，函数 与 的图象至多有2个交点
当 时，若函数 与 的图象相切时，设切点为 ，则 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以 ，此时函数 与 的图象恰有3个交点；
当 时，两函数图象至多有两个交点.所以若要使函数 有4个零点，则 .
故选：C.
13．若函数 （ 为常数）存在两条均过原点的切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设切点坐标 ，利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线斜率，从而可得
， ，将问题转化为 与 ， ，存在两个不同的交点；通过导数研究
的图象，从而得到所求范围.
【详解】
由题意得
设切点坐标为： ，
则过原点的切线斜率： ，
整理得： ，
存在两条过原点的切线， ， ，存在两个不同解，
设 ， ，则问题等价于 与 存在两个不同的交点又
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
，
的大致图象如下：
若 与 存在两个不同的交点，则 ，
解得：
故选：B
14．已知函数 ，若过点 可作曲线 的三条切线，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先设过点 的切线方程 ，切点 ，利用导数的几何意义列式，转化为有三个解，通过设函数 ，问题转化为 与 有三个
交点，求 的取值范围.
【详解】
设过点 的直线为 ，
，设切点为 ，
则 ，得 有三个解，
令 ， ，
当 ，得 或 ， ，得 ，
所以 在 ， 单调递增， 单调递减，
又 ， ， 有三个解，
得 ，即 .
故选：D
15．已知函数 ，方程 恰有两个根，记较大的根为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将方程的根转化为两个函数图像的交点问题，结合导数知识求取切线方程，再结合三角计算可得.
【详解】
如图所示：函数 的图像与 恰有两个交点，且最大的根为 ，则函数 在 处的切
线为 ，显然 ，当 时 ，则 ，切点坐标为
所以由点斜式得切线方程为 即
所以 得 ，
故选：D
16．已知函数 ，若方程 有且仅有两个不同的解，则实数m的值
为（ ）
A．2e B．4e C．6e D．8e
【答案】A
【分析】
设 ，判断 为偶函数，只需满足 时， 有 个零点，即 ，
转化为 ， 相切，设切点为 ，利用导数求出切线的斜率即可.
【详解】解：设 ，可得 ，即有 为偶函数，
由题意考虑 时， 有 个零点，
当 时， ， ，
即有 时， ，
由 ，可得 ，
由 ， 相切，设切点为 ，
的导数为 ，可得切线的斜率为 ，
可得切线的方程为 ，
由切线经过点 ，可得 ，
解得 或 舍去 ，
即切线的斜率为2e，
故选：A17．若关于 的方程 恰有三个不同的解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
原题等价于方程 恰好有三个不同的解，作出函数 的图象，观察图象即可得
解.
【详解】
方程 ，即 恰有三个不同的解，即函数 与 有三个不
同的交点.
函数 的图象是顶点 在直线 的“V”型函数；
函数 ， 得斜率为-1的切线的切点 ， ，即切线为 和 ，故
与 相切于点 ；
函数 ， 得斜率为-1的切线的切点 ， ，即切线为 和 ，故
与 相切于点 ；
作图 ， ， 如下：由图象可知， 沿直线 在 之间滑动时 与 有三个不同的交点，故
.
故选：B.
18．将函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象， 的图象在 处切
线垂直于y轴，且 ，则当 取最小正数时，不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由题意利用函数 的图象变换规律，导数的几何意义求得 的解析式，再根据余弦函数
的图象和性质，求得不等式 的解集．
【详解】将函数 的图象向左平移 个单位后，
得到函数 的图象，
的图象在 处切线垂直于y轴，即 的图象在 处切线斜率为零，
由 得 ，则 若取 = ，此时，
， ．
此时， ，不满足条件．
若取 ， ， ，
满足条件．
则当 取最小正数 时，不等式 ，
即 ，故 ，求得 ．
由于函数 的周期为 ，故 ，即 ．
故不等式的解集为 ，
故选：C．
19．设函数 ，直线 是曲线 的切线，则 的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】
先设切点写出曲线的切线方程，得出 、 的值，再利用构造函数利用导数求 的最大值即可.
【详解】解：由题得 ，设切点 ， ，则 ， ；
则切线方程为： ，
即 ，又因为 ，
所以 ， ，
则 ，
令 ，则 ，
则有 ， ； ， ，即 在 上递增，在 上递减，
所以 时， 取最大值 ，
即 的最大值为 .
故选：C.
20．已知函数 ，若 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作出函数 的图像，和函数 的图像，结合图像可知直线 介于 与 轴之间，利用导数
求出直线 的斜率，数形结合即可求解.
【详解】
由题意可作出函数 的图像，和函数 的图像.由图像可知：函数 的图像是过原点的直线，
当直线介于 与 轴之间符合题意，
直线 为曲线的切线，且此时函数 在第二象限的部分的解析式为
，
求其导数可得 ，因为 ，故 ，
故直线 的斜率为 ，
故只需直线 的斜率 .
故选：D
21．过直线 上一点 可以作曲线 两条切线，则点 横坐标 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据导数的几何意义得出切线方程，再将方程 的根的个数问题转化为函数 与函数
的图象的交点个数问题，结合图象，即可得出答案.
【详解】由题意得 ，设切点为 ，
，
则过点 的切线方程为 ，整理得
由点 在切线上，则 ，即
因为过直线 上一点 可以作曲线 两条切线
所以关于 的方程 有两个不等的实数根
即函数 与函数 的图象有两个交点
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，且
时， ； 时，
则函数 与函数 的图象如下图所示
由图可知，
故选：C
22．已知a为常数，函数 有两个极值点x，x(x＜x)，则下列结论正确的是（
1 2 1 2
）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】
求导得 ，令 ， ，转化条件为要使函数 、 的图象有两个
不同交点，由导数的几何意义、函数的图象可得 ；数形结合可得当 时，函数 单调递减，
且 ，即可得 、 ，即可得解.
【详解】
因为 ，
所以若要使函数 有两个极值点，则 有两个零点，
令 ， ，则要使函数 、 的图象有两个不同交点，
易知直线 恒过点 ， ，
在同一直角坐标系中作出函数 、 的图象，如图，
当直线 与函数 的图象相切时，设切点为 ，
则 ，所以 ， ，所以当且仅当 时，函数 、 的图象有两个不同交点，
所以若要使函数 有两个极值点，则 ，故A、B错误；
当 时，由图象可得当 时， ，函数 单调递减，
且 ，
所以 ， ，故C正确，D错误.
故选：C.
23．若存在 ，使得函数 与 的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相
同，则 的最大值为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设曲线 与 的公共点为 ， ，利用 解得 或 ，又 ，且 ，
则 ．再由 ，得到 ．设 ，再由导数求最值得答案．
【详解】
解：设曲线 与 的公共点为 ， ，
， ，
，则 ，
解得 或 ，
又 ，且 ，则 ．
，， ．
设 ， ，
令 ，得 ．
当 时， ；
当 时， ．
的最大值为 ．
故选： ．
24．已知函数 ，方程 有4个不同的实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
转化条件得函数 的图象与直线 有 个交点，结合导数可作出函数 的图象，结合导数的
几何意义数形结合即可得解.
【详解】
因为方程 有4个不同的实数根，
所以函数 的图象与直线 有 个交点，
当 时， ， ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；且当 时， ，则函数 的图象如图，
当 时， ， ，
所以 在 处的切线 的斜率 ；
当 时， ， ，
设 过原点的切线 的切点为 ，
则 的斜率 ，解得 ， ；
若要使函数 的图象与直线 有 个交点，数形结合可得 .
故选：A.25．已知函数 ，若方程 有4个零点，则 的可能的值为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求得 解析式，令 ，将问题转化为 的图象与 的图象有四个不同的交点来求解出
的取值范围，由此确定正确选项.
【详解】
当 ，
所以 .
令 ，得 ，
依题意， 的图象与 的图象有四个不同的交点，画出 和 的图象如下图所示.
由图可知，要使 的图象与 的图象有四个不同的交点，需 ，
即 .四个选项中只有B选项符合.
另外注意：当 时， ， ， ，所以过 的切线方程为
，即 ，故此时切线方程过原点.也即 与 只有 个公共点，不符合题意.
故选： B26．已知函数 ，函数 ，若方程 恰有三个实数解，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
要使方程 恰有三个实数解，则函数 的图象恰有三个交点，再分别作出函数
的图象，观察图象的交点个数即可得解.
【详解】
解：依题意，画出 的图象，如图.直线 过定点 ，由图象可知，函数 的图象与 的图象相切时，函数 的图象恰有两个交点.
下面利用导数法求该切线的斜率.
设切点为 ，
由 ，得 ，
化简得 ，解得 或 （舍去），
要使方程 恰有三个实数解，则函数 的图象恰有三个交点，
结合图象可知 ，
所以实数 的取值范围为 ，
故选：D
27．已知函数 ，若函数 恰有三个零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
画出函数的图象,①当直线 与曲线 相切于点 时, ,推出直线 与函数
的图象恰有3个交点时 的范围;②当直线 与曲线 相切时,设切点为 ,通
过 ,求出 , 或 , ,然后判断求解 的范围.
【详解】
函数 的图象如图所示,①当直线 与曲线 相切于点 时, ,
故当 或 时,直线 与函数 的图象恰有一个交点,
当 时,直线 与函数 的图象恰有两个交点,
②当直线 与曲线 相切时,
设切点为 ,则 ,
,解得 , 或 , ，
当 时,直线 与函数 的图象恰有一个交点,
当 或 时,直线 与函数 的图象恰有两个交点,
当 时,直线 与函数 的图象恰有三个交点,
综上 的取值范围是 .
故选：C.
28．已知直线 与曲线 有且只有两个公共点 ，其中 ，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】B
【分析】
先分析出直线 与曲线 在点A处相切，在点B处相交，求出直线方程为 ，
联立曲线方程 ，解方程组即得 .
【详解】
问题等价于直线 与曲线 有且只有两个公共点 ，画出函数的图象只能
是这样：直线 与曲线 在点A处相切，在点B处相交.
由题得切线的斜率为 ，切线方程为 .
所以 ,所以直线方程为 .
把直线方程和曲线方程 联立得， ，
所以 或 .所以 .
故选：B
29．已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】
作出函数 的图象如下图所示，作直线 ，得出 时， 与函数 的图象有两个交点，
时，直线 与 在 处相切，再令 ，令 ，可得
有三个解： ，再结合函数 的图象可以得出交点的个数，从而得选
项.
【详解】
作出函数 的图象如下图所示，作直线 ，如图，
时， 与函数 的图象有两个交点，即 有两个解 ，且 ，
时， ，则 ，由 ，解得 ，而 时，
，
所以直线 与 在 处相切，即 时，方程 有一个解 ，
令 ，令 ，则 ，
由上面的讨论知方程 有三个解： ，
而 有一个解， 有两个解， 有一个解，所以 有4个解，所以函数 有4个零点，
故选：C.
30．已知函数 在 上的最小值为3，直线l在y轴上的截距为 ，则下列结论
正确是（ ）
①实数 ；
②直线l的斜率为1时， 是曲线 的切线；
③曲线 与直线l有且仅有一个交点.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
对函数进行求导，通过导数判断函数的单调性得 时， 取得最小值，进而可判断①；通过导数
的几何意义求出切线的斜率为1时，切点的横坐标为 ，检验不满足可判断②；将交点的个数转化为
方程 的根的个数，即 ，判断函数 的单调性，得其范围可判断③.
【详解】
因为 ，因为 ， ， ， ，所以 时，取得最小值，所以 ，所以 .故①正确；设切点为 ，又因为
，所以切线满足斜率 ，
∴ ，且过点 ，代入 不成立.
所以直线 不是曲线 的切线，故②错误；
又设直线 ，
则曲线 与直线 的交点个数，等价于方程 的根的个数.
由方程 ，得 .
令 ，则 ，其中 ，且 .
考察函数 ，其中 ，因为 时，
所以函数 在R上单调递增，且 .而方程 中， ，且 .
所以当 时，方程 无根；
当 时，方程 有且仅有一根，
故当 时，曲线 与直线 没有交点，而当 时，曲线 与直线 有且仅有一个交点，
故③错误，正确的个数为1个；
故选：B.
二、多选题
31．已知函数 （ 为自然对数的底数），过点 作曲线 的切线.下列说法正确的是（
）
A．当 时，若只能作两条切线，则
B．当 ， 时，则可作三条切线C．当 时，可作三条切线，则
D．当 ， 时，有且只有一条切线
【答案】ACD
【分析】
设切点为 ，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为： ，可得
，设 ，求 ，利用导数分别求 ， ， 时 的单调
性和极值，切线的条数即为直线 与 图象交点的个数，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
设切点为 ，由 可得 ，
所以在点 处的切线的斜率为 ，
所以在点 处的切线为： ，
因为切线过点 ，所以 ，即 ，
设 ，
则 ，
当 时，
，由 可得 ，由 可得： 或 ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，， ，当 趋近于 时， 趋近于 ，
对于A：当 时，若只能作两条切线，则 与 图象有两个交点，由图知 ，故选项A
正确；
对于B：当 ， 时， 与 图象有一个交点，此时只能作一条切线，故选项B不正确；
对于C： ，当 时，
由 可得 ，由 可得： 或 ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
极小值 ， 极大值 ，
若可作三条切线，则 与 图象有三个交点，所以 ，
故选项C正确；对于D：当 时， ，所以 单调递减，
当 趋近于 时， 趋近于 ，当 趋近于 时， 趋近于 ，
此时 与 图象有一个交点，所以有且只有一条切线，故选项D正
确；
故选：ACD.
32．已知函数 ， ，若x、x、x，x 是方程 仅有的4
1 2 3 4
个解，且x1
1 2 1 2
C． D．
【答案】AC
【分析】
分别作出函数 的图象，根据图象得出x、x、x，x 的数量关系及范围即可求出结果.
1 2 3 4
【详解】
如图所示， 与 的图象在 上有两个交点，所以 ，则 ，
则 ，故A正确；与 的图象在 上有两个交点，则 ，且直线 与 在 处相
切，所以 ，由导数几何意义得 ，将上述两式相除得 ，故C正确．
故选：AC.
33．关于函数 ， .下列说法正确的是（ ）
A． 在 处的切线方程为
B． 有两个零点
C． 有两个极值点
D． 存在唯一极小值点 ，且
【答案】ABD
【分析】
求得导函数，得到 出的导数值，利用导数的几何意义得到切线的斜率，进而得出切线方程，从而判定
A；利用导数研究函数的单调性，极值情况，进而判定零点情况，从而判定BCD.
【详解】
， ， ，
，切线方程为 ,即 ,故A正确；
，当 时， ，
当 时， ， ,∴ ，∴ 时， ，∴ 单调递增，
， ，
在 内， 存在唯一的零点 ,且 ，
且在 内， ， 单调递减；
， ， 单调递增，
∴ 为极值点，且为极小值点.
由 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 有唯一的极值点，且为极小值点 ，且 ，故C错误，D正确；
又∵ ,
结合函数 的单调性可知
∴ 有两个零点，故B正确；
故选：ABD.
34．已知函数 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 在区间 上的最大值与最小值分别为 ， ，则
B．曲线 与直线 相切
C．若 为增函数，则 的取值范围为D． 在 上最多有 个零点
【答案】ACD
【分析】
由定义法确定函数的奇偶性，再求导数判断函数的单调性与切线斜率，以及零点情况.
【详解】
因为对于任意 ，都有 ，
所以 为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确.
又 ，令 ，得 (*)，
因为 ， ，所以方程(*)无实数解，
即曲线 的所有切线的斜率都不可能为 ，故B错误.
若 为增函数，则 大于等于0，
即 ， ，
当且仅当 时等号成立，所以 ，故C正确.
令 ，得 或 ( ).设 ，
则 ，令 ，
则 .当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 为增函数，且 ，所以当 时， ，
从而 ， 单调递增.又因为对于任意 ，都有 ，
所以 为偶函数，其图象关于 轴对称.
综上， 在 上单调递减，在 上单调递增，则直线 与 最多有2个交点，所以 在 上最多有3个零点，故D正确.
故选ACD.
35．某数学研究小组在研究牛顿三叉戟曲线 时通过数学软件绘制出其图象（如图），并给出
以下几个结论，则正确的有（ ）
A．函数 的极值点有且只有一个
B．当 时， 恒成立
C．过原点且与曲线 相切的直线有且仅有2条
D．若 ，则 的最小值为
【答案】ABD
【分析】
由 确定极值点的个数（可由图象得极值点个数），判断A，由绝对值的性质判断B，设切点为
，利用导数的几何意义求出切点坐标，判断C，由 得 ，然后表示出
，用换元法求得最小值后判断D．
【详解】
， ＝0， ， ，极值点有且只有一个，A正确；
（实际上，由图象知函数 的极值点有且只有一个）时， ，B正确；
，设切点为 ，则 ，又切线过原点，
所以 ，即 ， ， ，只有一个切点 ，过原点的切线只有1条，C
错；
，且 ，则 ， ，
，设 ， ， ，
， ，
当 时， ， 递减， 时， ， 递增，
所以 ，所以 的最小值为 ，此时 ．D正确．
故选：ABD．
36．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则曲线 在 处的切线与 相互平行
B．函数 在[1，4]上单调递増的必要不充分条件是
C．记函数 的最小值为 ，则
D．若 ， ，使得 在 恒成立，则 的最大值为3
【答案】ABC
【分析】
根据导数的几何意义判断A；求出函数的导函数，令 ，即可得到 ，从而判断B；利用导数研究函数的单调性，即可判断C；
【详解】
解：依题意， ， ，故 ，故曲线 在 处的切线与
相互平行，故A正确；令 ，利用导数判断D；
，令 ，则 ，则 ，因为 ，故 ，故函数
在 上单调递增的必要不充分条件 ，故B正确；
令 得 ，显然， 时， ，函数 单调递减；
时， ，函数 单调递增，所以 ，令
，则 ，得 ， 时， ，函数 单调递增；
时， ，函数 单调递减；所以 ，故C正确；
，令 ，则 .令 ， ，∴ 时，
，即 单调递增，∵ ， ，
设 并记其零点为 ，故 ，且 ，所以当 时， ，
即 ， 单调递减；当 时， 即 ， 单调递增，所以
，因此 ，由于 且 ，即 ，所以 ，故
D错误.
故选：ABC37．函数 的图象（如图）称为牛顿三叉戟曲线，则（ ）
A． 的极小值点为
B．当 时，
C．过原点且与曲线 相切的直线仅有2条
D．若 ， ，则 的最小值为
【答案】BD
【分析】
对函数 求导，由导数确定极小值点即可判断选项A；按 与 的大小化简 即可判断选项B；
设切点坐标，由导数的几何意义求出切点坐标即可判断选项C；化简 ，并将 转化为一
新变量的函数，求其最小值即可判断选项D.
【详解】
由函数 知， ，求导得： ，
对于A选项： ， ，则 的极小值点为 ，A不正
确；
对于B选项： 时， ， 时，
时， ，即 时，恒有 ，B正确；对于C选项：设切点坐标为 ，则切线斜率为 ，切线方程为
，
而切线过原点，则有 ，解得 ，即过原点且与曲线 相切的直线有
一条，C不正确；
对于D选项： 时 ，
，
，令 ，则 ，
， 时 ， 时 ，
函数 在 上递增，在 上递减， 时
即 有最小值3， 的最小为 ，D正确.
故选：BD
38．设函数 ，若曲线 在点 处的切线与该曲线恰有一个公共点 ，
则选项中满足条件的 有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
讨论当每个选项做为切点时，其切线与 的交点个数即可.
【详解】
A选项：切点 ，切线的斜率为切线方程为：
设 ，其中
又 ，
故 在 内必有一个零点，则 与切线有两个交点，故A错；
B选项：切点 ，切线的斜率为
切线方程为：
设 ，其中
在 单调减，在 单调增，
所以 恒成立，
则 单调增只有一个零点，则 与切线有1交点，故B正确；
C选项：切点 ，切线的斜率为
切线方程为：
设 ，其中
又 ， 在 单调减，在 单调增，所以
恒成立，则 只有一个零点，则 与切线有1交点，故C确；
D选项：切点 ，切线的斜率为
切线方程为：设 ，其中
，
， 在 小于0，在 大于0，
所以 恒成立，则 只有一个零点，则 与切线有1交点，故D正确.
故选：BCD
39．已知函数 ，则（ ）
A．若 ，则函数 有2个极值点
B．若关于 的不等式函数 在 上恒成立，则实数 的取值范围为
C．若曲线 在 处的切线与 相互垂直，则
D．若 ，则函数 的单调递减区间为
【答案】ABC
【分析】
首先求函数的导数，再根据导数的几何意义，求 值，判断 ；当 时，利用导数求函数的增减区间，
并同时判断函数的极值点的个数，判断AD选项；利用参变分离的方程转化为
，构造函数 ，转化为求函数的最小值，判断B.
【详解】
依题意， ，
故 ，故C正确；
当 时， ， ，令 ，故 或 ，
则函数 的单调递减区间为 ， ，区间之间不能用“ ”，单调递增区间为 ，故D错
误，A正确；
当 ，故 ，
令 ，故 ，
而 ，
令 ，故 ，故当 时， ，
当 时， ，故 ，
即实数 的取值范围为 ，故B正确．
故选ABC．
40．若函数 的图象上存在两个不同的点 、 ，使得曲线 在这两点处的切线重合，称函数
具有 性质.下列函数中具有 性质的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
根据题意可知性质 指函数 的图象上有两个不同点的切线是重合的，分析各选项中函数的导函数
的单调性与原函数的奇偶性，数形结合可判断A、B选项的正误；利用导数相等，求解方程，可判断C、D
选项的正误.综合可得出结论.
【详解】由题意可得，性质 指函数 的图象上有两个不同点的切线是重合的，即两个不同点所对应的导数
值相等，且该点处函数的切线方程也相等.
对于A选项， ，则 ，导函数为增函数，不存在不同的两个 使得导数值相等，所以A不
符合；
对于B选项，函数 为偶函数， ，
令 ，可得 或 ，如下图所示：
由图象可知，函数 在 和 处的切线重合，所以B选项符合；
对于C选项，设两切点分别为 和 ，则两切点处的导数值相等有： ，解得： ，
令 ，则 ，
两切点处的导数 ，两切点连线的斜率为 ，则 ，得 ，两切点重合，不
符合题意，所以C选项不符合；
对于D选项， ，设两切点得横坐标分别为 和 ，
则 ，所以 ，取 ， ，则 ， ，
两切点处的导数值为 ，两切点连线的直线斜率为 ，
所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率，符合性质 ，所以D选项符合.
故选：BD.
三、填空题
41．若曲线 与曲线 有公切线，则 的取值范围是_____________.
【答案】
【分析】
分别利用导数的几何意义求出两条曲线的切线，再根据题意得到 的表达式，通过构造函数，再利用导数
的性质进行求解即可.
【详解】
设 是曲线 上一点，由 ，因此过点 的切线的斜率为 ，所以切
线方程为： ，而 ，即 ，
设 是曲线 上一点，
由 ，所以过 点的切线的斜率为 ，所以切线方程为：
，而 ，
即 ，当这两条切线重合时，就是两个曲线的公切线，因此有：
，因为 ，所以
设函数 ， ，因为 ，所以 ，所以函数 是减函数，
，当 时， ，因此 ，
所以 ，
故答案为：
42．已知函数 ，若存在实数 ，使得 成立，则实数
的可能取值为___________.
【答案】
【分析】
，看成点 到点 的距离
的平方，转化为一个点在函数 上，一个点在直线 上，根据导数的几何意义及切线的应用
可以求出 ，再利用取等号的条件即可求解.
【详解】
因为 ，
则看成点 到点 的距离的平方，
其中点 在函数 上，点 在直线 上，
由 ，得 ，令 ，则 ， ，
设 ，所以函数 在点 处的切线与直线 平行，
所以点 到直线 的距离，即点 到点 的距离的最小值，
点 到直线 的距离为 ，
所以 ，过点 且垂直直线 的直线方程为 ，由 ，得 ，
当且仅当 ，即 时， ，
所以 .
所以实数 的所有可能取值为 ，
故答案为： .
43．已知函数 （e为自然对数的底数），若 且 有四个零
点，则实数 的取值范围是_____
【答案】
【分析】
根据定义域为 ，且 ，可知函数 是偶函数．所以只需研究 时函数 有两个零点即
可，然后再转化为两个函数图象交点的问题，结合导数研究函数的切线等，即可解决问题．
【详解】
解：因为函数的定义域为 ，且 ，故函数 是偶函数．
为自然对数的底），
，又因为 有四个零点，所以只需研究 时函数 有两个不等根
即可．
即 在 上有两个互异根．
即 在 上有两个根，令 ， ，过定点 ．
，所以 在 上是增函数，下面求 过 的切线斜率．
设切点为 ， ，切线斜率为 ，
故切线为 ，将 代入得：，即 ，解得 或 （舍去）
此时切线斜率 ．作出 与 图象如下：
可见，当 与 相切，即 时，只有一个公共点，当 时，就会有两个交点．
故 的取值范围为 ．
故答案为： ．
44．已知 ， 是曲线 上的两点，分别以 ， 为切点作曲线C的切线 ， ，且 ，切
线 交y轴于A点，切线 交y轴于B点，则线段 的长度为___________.
【答案】
【分析】
由两切线垂直可知， ， 两点必分别位于该函数的两段上，故可设出切点坐标 ，表示
出两条切线方程，根据两切线垂直，可得 ，又两切线分别与 轴交于 ，
，则可求出 .
【详解】曲线 ，则 ，
设 ，两切线斜率分别为 ， ，
由 得 ，则不妨设 ，
， ， ，
令 ，得
， ， ，
令 ，得
由 ，即 ，得 ，
则 .
故答案为： .
45．已知直线 与曲线 相切，则 的最大值为______.
【答案】
【分析】
设切点为 ，由导数的几何意义可表示出 ，由切点在直线 上可得到
，从而利用 表示出 ，构造函数 ，利用导
数可求得 ，代入可求得结果.
【详解】由 得： ，
设直线 与曲线 相切与点 ，
则 ，又 ，则 ，
，
令 ，
，
， ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
，即 的最大值为 .
故答案为： .
46．已知 ，函数 ，若方程 恰有两个不同的实数根，则实数k的取
值范围是___________．
【答案】
【分析】
程 恰有两个不同的实数根转化为函数 的图象与直线 在两个不
同的交点，作出函数图象与直线后，由图象观察可得结论，其中需要用导数求出 在 处的切线斜率．
【详解】方程 恰有两个不同的实数根，即函数 的图象与直线 在两个不
同的交点，作出函数 的图象与直线 的图象如下，易知直线 恒过定点
，又 ， ， ， ，
时， ， ，即函数 的图象在 处的切线斜率为 ，
由图象可得 或 ．
故答案为： ．
47．直线 与函数 交于 ， 两点，函数 在 ， 两点处切线分别交 轴于 ， 两
点， ， 的中点为 ，两切线交于 点，则 ______.
【答案】1
【分析】
将直线与 求出交点，利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出 ， 两点，利用中点坐标公
式求出 ，再将两切线联立求出点 ，根据两点间的距离公式即可求解.
【详解】
， ，，
如图： ， ，
， ， ，
， ，
，
所以 ，
在点 处的切线方程为： ，①
在 处的切线方程为： ，②
将 代入①、②，可得 ， ，
，即 ，
由 ，，解得 ， ，
所以 ，
故答案为：1
48．已知函数 ，若函数 有四个零点，则实数 的取值范围是
______.
【答案】
【分析】
根据题意，得到 和 有四个交点，结合函数图象，分别讨论 ， 两种情况，结合
导函数的方法，利用数形结合的方法求解即可.
【详解】
若函数 有四个零点，需 和 有四个交点，
作出函数 和 的图象如下图所示，当 时，由图象可得，显然不满足题意；
当 时，
因为直线 恒过点 ，设 与 相切于点 ，
则 ， ，由 ，得 ，所以 ，解得 ， ，即当 时，
函数 和 有两个交点.
当 时，若 与 有两个交点，需方程 有两个不相等的实根，
即方程 有两个不相等的实根，
所以只需 ，解得 或，所以 ；
综上 时，函数 有四个零点.
故答案为：
49．已知函数 ，给出以下命题:
①若函数 不存在单调递减区间，则实数b的取值范围是 ;
②过点 且与曲线 相切的直线有三条;
③方程 的所有实数的和为16.
其中真命题的序号是_____.
【答案】②
【分析】
求出函数 导数 ，由题意可知 无解，根据二次函数的性质可得 的范围，即可判断①是
否正确； 设出切点 ，根据斜率可得 ，再将 代入，解方程求得切点的横坐标，即可判断②是否正确； 由对称性可知，函数 与 的图象都关于点 成中心对称，作出
函数 与函数 的图像，再由图象观察它们共有4个交点，根据对称性，即可求出它们的横
坐标值和，即可判断③是否正确．
【详解】
因为 ，所以 ，
若函数 不存在单调递减区间，所以 无解
则 ，解得 ，所以①错误;
设过点 的直线与曲线 相切于点 ，则有 (*)，
又点 在曲线 上，
所以 ，将 代入(*)，
得 ，
解得 或 或 ，
所以过点 且与曲线 相切的直线有三条，②正确;
又
所以 的图象关于点 成中心对称，且函数 的图象也关于点 成中心对称，
又函数 的导数为 ，
令 解得 或 ，所以 递增区间为 和 ；
令 可得 ，所以 递减区间为 ．
即 时取得极大值 ， 时取得极小值 ，作出函数 与函数 的图像，
由图象可得 的图象与 的图像友4个交点，它们关于 对称，则它们的横坐标和为
，故③错误.
综上所述，真命题的序号为②.
故答案为：②.
50．已知函数 为偶函数，当 时， .若直线 与曲线 至少有两个交点，
则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【分析】
由函数的奇偶性可得 ，当 时，转化条件为函数 与 的图
象交点的个数，当 时，转化条件为函数 与 的图象交点的个数，结合导数的几何意
义，数形结合即可得解.
【详解】
当 时， ，则 ，
若要使直线 与曲线 至少有两个交点，则方程 至少有两个解；
①当 时，令 ，则 即 ，
在同一直角坐标系中作出函数 与 的图象，如图，由图象可得，当 即 时，函数图象有一个交点即 有一个解；
当 即 时，对函数 求导得 ，
当直线 与函数 的图象相切时，设切点为 ，
所以 ，解得 ，此时 ，
当 即 时，函数图象无交点即 无解；
当 即 时，函数图象有一个交点即 有一个解；
当 即 时，函数图象有两个交点即 有两个解；
②当 时，令 ，则 即 ，
在同一直角坐标系中作出函数 与 的图象，如图，
由图象可得，当 即 时，函数图象有一个交点即 有一个解；当 即 时，对函数 求导得 ，
当直线 与函数 的图象相切时，设切点为 ，
所以 ，解得 ，此时 ，
当 即 时，函数图象无交点即 无解；
当 即 时 ，函数图象有一个交点即 有一个解；
当 即 时，函数图象有两个交点即 有两个解；
综上，若要使直线 与曲线 至少有两个交点，
则 .
故答案为： .
