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专题4.11 分组分解法（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）
A．±1 B．1或11 C．±11 D．±1或±11
3．用分组分解 的因式，分组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若m＞﹣1，则多项式m3﹣m2﹣m+1的值为（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数
5．在实数范围内分解因式2a3﹣8a的结果是（ ）
A．2a（a2﹣4） B．2a（a+2）（a﹣2）
C．2a（a+4）（a﹣4） D．a（a+2）（a﹣2）
6．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．把多项式1-x2+2xy-y2分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
8．分解因式：x2﹣2xy+y2+x﹣y的结果是（ ）
A．（x﹣y）（x﹣y+1） B．（x﹣y）（x﹣y﹣1）
C．（x+y）（x﹣y+1） D．（x+y）（x﹣y﹣1）
9．观察下列分解因式的过程： ，这种
分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正
确的是（ ）
A．围成一个等腰三角形 B．围成一个直角三角形
C．围成一个等腰直角三角形 D．不能围成三角形
10．下列因式分解错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．分解因式：x2﹣y2+ax+ay＝_____．
12．分解因式；．x3﹣3x2﹣6x+8=_______．
13．因式分解：2xy+9﹣x2﹣y2＝___．
利用因式分解计算：（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020＝___．
14．因式分解： __________．
15．分解因式： __________．
16．因式分解： ______.
17．因式分解： ______.
18．因式分解： ______.
19．因式分解 =________________
20．因式分解：x2﹣y2﹣2x+2y＝_____．
21．分解因式： _________．
22．分解因式：x2－y2－2y－1=_____．
23．因式分解： ________
24．阅读下列文字与例题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）
.
（2）
.
试用上述方法分解因式 ___________________________.
三、解答题
25．因式分解：
（1） （2）
26．因式分解
（1） （2）
27．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式方
法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请
阅读以下例题：
例1．例2．
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
请阅读以下例题：
例1．
请你仿照以上例题的方法，解决下列问题：
（1）分解因式： ；
（2）分解因式： ．参考答案
1．A
【解析】
【分析】根据因式分解的方法与步骤进行判断即可
【详解】
解：A．原式不能分解，符合题意；
B．原式 ，不符合题意；
C．原式 ，不符合题意；
D．原式 ，不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查因式分解、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握提公因式法和公式法
分解因式是解答的关键，注意实数范围内分解因式时2要写成 ．
2．B
【解析】
【分析】根据因式分解的分组分解法即可求解．
【详解】
解：a2-ab-ac+bc=11，
（a2-ab）-（ac-bc）=11，
a（a-b）-c（a-b）=11，
（a-b）（a-c）=11，
∵a＞b，
∴a-b＞0，a，b，c是正整数，
∴a-b=1或11，a-c=11或1．
故选：B．【点拨】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握分组分解法分解因式．
3．D
【解析】
【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公
式分解即可.
【详解】
=
=
= .
故选D.
【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键.
4．C
【解析】
【详解】
解此题时可把多项式m3﹣m2﹣m+1分解因式，根据分解的结果即可判断．
解：多项式m3﹣m2﹣m+1=（m3﹣m2）﹣（m﹣1）=m2（m﹣1）﹣（m﹣1）=（m﹣1）
（m2﹣1）=（m﹣1）2（m+1），
∵m＞﹣1，
∴（m﹣1）2≥0，m+1＞0，
∴m3﹣m2﹣m+1=（m﹣1）2（m+1）≥0，
故选C．
5．B
【解析】
【分析】原式提取2a，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
解：原式
故选:B.
【点拨】考查因式分解，熟练掌握提取公因式法以及公式法是解题的关键.6．B
【解析】
【分析】根据公式法、十字相乘法、分组分解法进行判断即可．
【详解】
解：A、 无法分解，故选项不符合；
B、 ，正确，故选项符合；
C、 ，错误，故选项不符合；
D、 ，错误，故选项不符合；
故选：B．
【点拨】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握公式法、十字相乘法、分组分解法的灵
活运用．
7．B
【解析】
【分析】将 归结为一组，将1归结为一组．变形为 ，然后
再使用平方差公式因式分解即可．
【详解】
解：原式 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了因式分解中的分组分解法及公式法，属于基础题，熟练掌握平方差公
式及完全平方式是解题的关键．
8．A
【解析】
【详解】
当被分解的式子是四，五项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中x2﹣2xy+y2正好
符合完全平方公式，应考虑1，2，3项为一组，x﹣y为一组．
解：x2﹣2xy+y2+x﹣y=（x2﹣2xy+y2）+（x﹣y）=（x﹣y）2+（x﹣y）=（x﹣y）（x﹣y+1）．
故选A．
9．A
【解析】
【分析】先利用分组分解法进行因式分解，然后求解即可得出a、b、c之间的关系，根据
构成三角形三边的要求，即可得出．
【详解】
解： ，
，
，
或 ，
∴当 时，围成一个等腰三角形；
当 时，不能围成三角形；
故选： ．
【点拨A】题目主要考查利用分解因式求解、构成三角形的三边关系，理解题中例题的分组
分解因式法是解题关键．
10．C
【解析】
【分析】利用提公因式法与公式法，分组分解法进行分解逐一判断即可．
【详解】
解：A、2a-2b=2（a-b），正确，故该选项不符合题意；
B、x2-9=（x+3）（x-3），正确，故该选项不符合题意；
C、a2+4a-4≠（a-2）2，原分解错误，故该选项符合题意；
D、x2-2x+1-y2=（x-1+y）（x-1-y），正确，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了因式分解-分组分解法，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意
如果多项式的各项有公因式，必须先提公因式．
11．（x+y）（x﹣y+a）
【解析】
【分析】前两项一组，利用平方差公式分解因式，后两项一组，提取公因式a，然后两组之间再提取公因式（x+y）整理即可．
【详解】
解：x2﹣y2+ax+ay，
＝（x+y）（x﹣y）+a（x+y），
＝（x+y）（x﹣y+a）．
【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法，并根据
多项式的特征灵活选用合适的方法是解题的关键．
12．（x﹣4）（x﹣1）（x+2）
【解析】
【分析】式子中加上2x减去2x，利用分组分解法及十字相乘法分解因式．
【详解】
解：x3﹣3x2﹣6x+8
=
=
=
=
=
=（x﹣4）（x﹣1）（x+2），
故答案为：（x﹣4）（x﹣1）（x+2）．
【点拨】此题考查了十字相乘法及分组分解法分解因式，正确添加项及因式分解的方法是
解题的关键．
13． ; 22020．
【解析】
【分析】先分组 利用完全平方公式 ，再利用平方差公式因式
分解．先提公因式22020得22020（22-2-1）计算括号内的即可．
【详解】解： 2xy+9﹣x2﹣y2= ，
，
，
，
故答案为 ；
（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020，
＝22022-22021-22020，
=22020（22-2-1），
=22020．
故答案为22020．
【点拨】本题考查分组法因式分解，以及因式分解应用计算，掌握分组法因式分解方法，
会利用因式分解应用计算是解题关键．
14．
【解析】
【分析】先分组，然后根据公式法因式分解．
【详解】
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了分组分解法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．
15．
【解析】
【分析】用分组分解法分解即可．【详解】
解：原式=
= ．
【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常
用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．
16．
【解析】
【分析】利用分组分解法，把前两项分成一组应用平方差公式分解，把后两项分成一组提
公因数2，再应用提公因式法分解即可.
【详解】
【点拨】本题考查了因式分解－分组分解法、公式法、提公因式法，公式的灵活使用是解
题的关键.
17．
【解析】
【分析】利用分组分解法，把前两项分成一组提公因式a，把后两项分成一组提公因式b，
再应用提公因式法分解即可.
【详解】
【点拨】本题考查了因式分解－分组分解法、提公因式法，正确找出可提取的公因式是解
题关键．18．
【解析】
【分析】用分组分解法分解，把一、二项一组，三、四项一组，分组后用提公因式法分解.
【详解】
原式=
=
= .
故答案为 .
【点拨】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.
因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式
分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
19．（x+3y-2）（x-2y+3）
【解析】
【分析】先将第三、第五、第六项结合，用十字相乘法对6y2-13y+6进行分解，把二、四
项结合用提公因式法分解，再将 x2+（y+1）x-（3y-2）（2y-3），整体用十字相乘进行分
解，得出即可．
【详解】
解：x2+xy-6y2+x+13y-6
=x2+（y+1）x-（6y2-13y+6）
=x2+（y+1）x-（3y-2）（2y-3）
=（x-2y+3）（x+3y-2）．
故答案为（x+3y-2）（x-2y+3）．
【点拨】此题主要考查了分组分解法分解因式，以及提公因式法和十字相乘法，正确分组
以及熟练利用十字相乘法分解因式是解题关键．
20．（x﹣y）（x+y﹣2）．
【解析】
【分析】利用分组分解法分解，先分别分解前两项和后两项，再提取公因式x-y即可.
【详解】解：x2﹣y2﹣2x+2y＝（x2﹣y2）﹣（2x﹣2y）
＝（x+y）（x﹣y）﹣2（x﹣y）
＝（x﹣y）（x+y﹣2）．
故答案为（x﹣y）（x+y﹣2）．
【点拨】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.
因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式
分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
21．
【解析】
【分析】先分组，再利用提公因式法分解因式即可．
【详解】
解：
故答案为（ab-1）（a+b）
【点拨】本题主要考查了分组分解法和提取公因式法分解因式，熟练应用提公因式法是解
题关键．
22．
【解析】
【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中后三项正好
符合完全平方公式，应考虑采用三一分组，然后再运用平方差公式进行二次分解．
【详解】
x2-y2-2y-1，
=x2-（y2+2y+1），
=x2-（y+1）2，
=（x+y+1）（x-y-1）．
故答案为 .
【点拨】考查因式分解-分组分解法以及公式法，注意掌握因式分解的常用方法.
23．
【解析】【分析】因为多项式有4项，所以对多项式运用分组分解法分解因式，分组后需提取公因
式或运用公式.
【详解】
解：原式
故答案为 .
【点拨】考查因式分解，要注意的是分解的时候一定要彻底.
24．
【解析】
【详解】
试题分析：首先进行分组，然后分别进行因式分解，最后利用提取公因式进行因式分解.
原式=( )+(ac+bc)= +c(a+b)=(a+b)(a+b+c)
考点：因式分解
25．（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）利用平方差公式及提取公因式法进行因式分解．
【详解】
解：（1）原式= ；
（2）原式= ．
【点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
26．（1） ；（2）
【解析】【分析】（1）直接提取公因式 ，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）将最后三项分组，利用公式法分解因式得出答案．
【详解】
解：（1）
；
（2）
【点拨】此题主要考查了分组分解法以及提取公因式法分解因式，正确分组是解题关键．
27．（1）（x-n）（x+n+1）；（2）（a+1）（a+3）
【解析】
【分析】（1）将前两项利用平方差公式分解因式，进而利用提取公因式法分解因式得出答
案；
（2）直接利用拆项法分解因式得出答案．
【详解】
解：（1）原式=（x+n）（x-n）+（x-n）
=（x-n）（x+n+1）；
（2）原式=a2+4a+4-1
=a2-1+4a+4
=（a+1）（a-1）+4（a+1）
=（a+1）（a-1+4）
=（a+1）（a+3）
【点拨】此题主要考查了拆项法以及分组分解法分解因式，读懂材料并理解所给做法是解
题的关键．
