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专题3 概率进一步认识（知识解读）
【学习目标】
1.能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率.
2.能够通过试验，获得事件发生的频率，知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率，
了解频率与概率的区别与联系.
3.通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些简单的实际问题.
【知识点梳理】
考点1 概率
1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称
为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ．
（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这
个事件发生的概率。
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们
发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概
率为P(A) = ．
（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。
（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.
（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.
（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能
性越大，则它的概率越接近 1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越
接近0。
（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1
当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1
不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0
随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1
（6）可能性与概率的关系
事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则
它的概率越接近0．2. 求概率方法：
（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可
能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能
性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来
辅助枚举法。
（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现
的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从 3个口袋中
取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
考点2 频率与概率
1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数
2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率
3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 会稳定在某
个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。
【典例分析】
【考点1 用列举法求概率】
【例1】（2020秋•义乌市期末）在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为
1，2，3，4，从中随机摸出两个小球，则摸出的两个小球标号之和大于 4的概率是（
）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2020秋•无为市期末）随着“新冠”疫情防控进入常态化，为了做好个人防
护，学校要求学生每天上、放学途中必须佩戴口罩．小明和小亮两人家里都购买了相同
数量的淡蓝色和白色一次性医用防护口罩，并且两人每天都随机选择口罩颜色，则某天上学小明和小亮都选择佩戴白色口罩的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2020秋•平舆县期末）从一副扑克中抽出三张牌，分别为梅花 1，2，3，背
面朝上搅匀后先抽取一张点数记为a，放回搅匀再抽取一张点数记为b，则点（a，b）
在直线y＝x﹣1上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022•滑县模拟）某商户开展抽奖活动，如图所示的两个转盘分别被均匀地
分成5个和4个扇形．每个扇形上都标有数字，当满足抽奖条件的某个客户同时自由转
动两个转盘．则转盘停止后，指针都落在偶数上（指针落在线上时，重新转动转盘）的
概率是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2022•南海区一模）为提高教育质量，落实立德树人的根本任务，中共中央办公
厅、国务院办公厅颁布了“双减”政策．为了调查学生对“双减”政策的了解程度，某
学校数学兴趣小组通过网上调查的方式在本校学生中做了一次抽样调查，调查结果共分
为四个等级：
A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．
根据调查结果，绘制了如图的统计图，结合统计图，回答下列问题：
（1）若该校有学生2000人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”“双减”政
策的人数约为多少？
（2）根据调查结果，学校准备开展关于“双减”政策宣传工作，要从某班“非常了
解”的小明和小刚中选一个人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：在一个不
透明的袋中装有2个红球和2个白球，它们除了颜色外无其他差别，从中随机摸出两个
球，若摸出的两个球颜色相同，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个
游戏规则是否公平．【变式2-1】（2021春•垦利区期末）小明和小亮做摸牌游戏，游戏规则为：从形状、大小
完全相同的，印有2，3，4，5，4，6，7，9的8张扑克牌中任摸一张，摸到比5大的牌，
小明赢；否则，小亮赢．
（1）求小明摸到4的概率；
（2）你认为这种游戏规则对他俩公平吗？请你说明理由．若不公平，请你修改游戏规
则，使游戏对双方都公平．
【变式2-2】（2022•湖北模拟）4张相同的卡片分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面
朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装
有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，
将摸到的球的标号作为减数．
（1）用列表法或树状图求这两个数的差为负数的概率；
（2）规定：当抽到的两个数的差为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．这个规定公平
吗？如果不公平，请设计一个公平的规定．
【变式2-3】（2021春•渝中区校级期末）端午节是中国首个入选世界非遗的节日，民间有吃粽子，挂艾草，赛龙舟等习俗．端午前夕，亿品超市为了解市民对白味粽、蛋黄粽、
鲜肉粽、八宝粽（分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱程度，以达到
按需进货的目的，对某居民区的市民进行了抽样调查，并根据调查结果绘制了两幅不完
整的统计图．
（1）本次参加抽样调查的居民共有 人；
（2）将两幅统计图补充完整；
（3）端午节这天，妈妈给小轩轩买了超市最畅销的白味粽和八宝粽各两个，请用“列
表法”或“画树状图”的方法，求出小轩轩选出的两个粽子恰好是一个白味粽和一个八
宝粽的概率．
【考点2 用频率估计概率】
【例3】（2022春•南海区校级月考）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图
中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为
20cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，
并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），
他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的
面 积 大 约 为 （ ）A．6cm2 B．7cm2 C．8 cm2 D．9cm2
【变式3-1】（2021•平乐县模拟）在不透明口袋内有形状、大小、质地完全一样的一袋小
球，其中若干个黑求，白球2个，随机抽取一个小球是黑球的可能性大小是 60%，则黑
球的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式3-2】（2021秋•章丘区期末）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球
和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（
）个．
A．8 B．9 C．14 D．15
【变式3-3】（2021秋•宣化区期末）某鱼塘里养了100条鲤鱼、若干条草鱼和50条罗非鱼，
通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，可估计该鱼塘中草鱼的
数量为（ ）
A．150 B．100 C．50 D．200专题3 概率进一步认识（知识解读）
【学习目标】
1.能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率.
2.能够通过试验，获得事件发生的频率，知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率，
了解频率与概率的区别与联系.
3.通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些简单的实际问题.
【知识点梳理】
考点1 概率
1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称
为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ．
（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这
个事件发生的概率。
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们
发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概
率为P(A) = ．
（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。
（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.
（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.
（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能
性越大，则它的概率越接近 1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越
接近0。
（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1
当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0
随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1
（6）可能性与概率的关系
事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则
它的概率越接近0．
3. 求概率方法：
（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可
能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能
性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来
辅助枚举法。
（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现
的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从 3个口袋中
取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
考点2 频率与概率
1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数
2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率
3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 会稳定在某
个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。
【典例分析】
【考点1 用列举法求概率】
【例1】（2020秋•义乌市期末）在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为
1，2，3，4，从中随机摸出两个小球，则摸出的两个小球标号之和大于 4的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中两次取出的球标号和大于4的有8种结果，
所以摸出的两个小球标号之和大于4的概率是 ＝ ，
故选：D．
【变式1-1】（2020秋•无为市期末）随着“新冠”疫情防控进入常态化，为了做好个人防
护，学校要求学生每天上、放学途中必须佩戴口罩．小明和小亮两人家里都购买了相同
数量的淡蓝色和白色一次性医用防护口罩，并且两人每天都随机选择口罩颜色，则某天
上学小明和小亮都选择佩戴白色口罩的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：画树状图如图：
共有4种等可能的结果，其中某天上学小明和小亮都选择佩戴白色口罩的结果有1种，
∴某天上学小明和小亮都选择佩戴白色口罩的概率为 ，
故选：C．
【变式1-2】（2020秋•平舆县期末）从一副扑克中抽出三张牌，分别为梅花 1，2，3，背
面朝上搅匀后先抽取一张点数记为a，放回搅匀再抽取一张点数记为b，则点（a，b）
在直线y＝x﹣1上的概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：画树状图得：
所有等可能的情况有9种，其中点（a，b）在直线y＝x﹣1图象上的结果有2种情况，
所以点（a，b）在直线y＝x﹣1图象上的概率为 ．
故选：C．
【变式1-3】（2022•滑县模拟）某商户开展抽奖活动，如图所示的两个转盘分别被均匀地
分成5个和4个扇形．每个扇形上都标有数字，当满足抽奖条件的某个客户同时自由转
动两个转盘．则转盘停止后，指针都落在偶数上（指针落在线上时，重新转动转盘）的
概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，自由转动两个转盘，
∴指针落在每个数字上的可能性是相同的．
依据题意列树状图如下：
∵从图中可以看出共有20中等可能，其中指针都落在偶数上的可能有4种，∴指针都落在奇数上的概率是： ＝ ，
故选：B．
【例2】（2022•南海区一模）为提高教育质量，落实立德树人的根本任务，中共中央办公
厅、国务院办公厅颁布了“双减”政策．为了调查学生对“双减”政策的了解程度，某
学校数学兴趣小组通过网上调查的方式在本校学生中做了一次抽样调查，调查结果共分
为四个等级：
A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．
根据调查结果，绘制了如图的统计图，结合统计图，回答下列问题：
（1）若该校有学生2000人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”“双减”政
策的人数约为多少？
（2）根据调查结果，学校准备开展关于“双减”政策宣传工作，要从某班“非常了
解”的小明和小刚中选一个人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：在一个不
透明的袋中装有2个红球和2个白球，它们除了颜色外无其他差别，从中随机摸出两个
球，若摸出的两个球颜色相同，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个
游戏规则是否公平．
【答案】（1）400 （2）不公平
【解答】解：（1）根据调查结果估计这些学生中“比较了解”“双减”政策的人数约
为2000× ＝400；
（2）这个游戏规则是不公平的，理由如下：
画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两个球颜色相同的有4种情况，两个球颜色不同的有8种情
况，
∴P（颜色相同）＝ ＝ ，P（颜色不同）＝ ＝ ，
∴这个游戏规则是不公平的．
【变式2-1】（2021春•垦利区期末）小明和小亮做摸牌游戏，游戏规则为：从形状、大小
完全相同的，印有2，3，4，5，4，6，7，9的8张扑克牌中任摸一张，摸到比5大的牌，
小明赢；否则，小亮赢．
（1）求小明摸到4的概率；
（2）你认为这种游戏规则对他俩公平吗？请你说明理由．若不公平，请你修改游戏规
则，使游戏对双方都公平．
【答案】（1）P（摸到4） ＝ （2）不公平
【解答】解：（1）∵摸牌的结果共有8种，且每种结果出现的可能性相等，小明摸到4
的结果只有2种，
∴P（摸到4） ＝ ；
（2）不公平，
∵摸牌的结果共有8种，且每种结果出现的可能性相等，摸到比5大的牌的结果只有3
种，
∴P（小明赢） ＝ ，
∴P（小亮赢） ＝ ，
∵ ＜ ，
∴游戏规则不公平．
新的游戏规则：从形状、大小完全相同的，印有2，3，4，5，4，6，7，9的8张扑克
牌中任摸一张，摸到奇数牌，小明赢；否则，小亮赢．【变式2-2】（2022•湖北模拟）4张相同的卡片分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面
朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装
有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，
将摸到的球的标号作为减数．
（1）用列表法或树状图求这两个数的差为负数的概率；
（2）规定：当抽到的两个数的差为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．这个规定公平
吗？如果不公平，请设计一个公平的规定．
【答案】（1） （2）两个数的差为正数时，甲获胜，否则，乙获胜．
此时P（甲获胜）＝P（乙获胜）＝ ．
【解答】解：（1）根据题意列表如下：
1 2 3 4
1 0 1 2 3
2 ﹣1 0 1 2
3 ﹣2 ﹣1 0 1
∵共有12种等可能的结果，其中这两个数的差为负数的情况占3种，
∴这两个数的差为负数的概率是 ＝ ；
（2）∵两个数的差为非负数的情况有9种，
∴P（甲获胜）＝ ＝ ，P（乙获胜）＝ ＝ ．
∵P（甲获胜）＞P（乙获胜），
∴这样的规则不公平，
可将规则改为：两个数的差为正数时，甲获胜，否则，乙获胜．
此时P（甲获胜）＝P（乙获胜）＝ ．
【变式2-3】（2021春•渝中区校级期末）端午节是中国首个入选世界非遗的节日，民间有
吃粽子，挂艾草，赛龙舟等习俗．端午前夕，亿品超市为了解市民对白味粽、蛋黄粽、
鲜肉粽、八宝粽（分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱程度，以达到
按需进货的目的，对某居民区的市民进行了抽样调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．
（1）本次参加抽样调查的居民共有 人；
（2）将两幅统计图补充完整；
（3）端午节这天，妈妈给小轩轩买了超市最畅销的白味粽和八宝粽各两个，请用“列
表法”或“画树状图”的方法，求出小轩轩选出的两个粽子恰好是一个白味粽和一个八
宝粽的概率．
【答案】（1）600 （2）略 （3）
【解答】解：（1）60÷10%＝600（人），
即本次参加抽样调查的居民有600人，
故答案为：600；
（2）喜爱C类的人数为：600﹣180﹣240﹣60＝120（人），
喜爱A类的人数所占的百分比为：180÷600×100%＝30%，
喜爱C类的人数所占的百分比为：120÷600×100%＝20%，
将两幅统计图补充完整如下：
（3）把2个白味粽记为A、B，2个八宝粽记为C、D，
画树状图如图：共有12种等可能的结果，小轩轩选出的两个粽子恰好是一个白味粽和一个八宝粽的结
果有8种，
∴小轩轩选出的两个粽子恰好是一个白味粽和一个八宝粽的概率为 ＝ ．
【考点2 用频率估计概率】
【例3】（2022春•南海区校级月考）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图
中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为
20cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，
并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），
他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的
面 积 大 约 为 （ ）
A．6cm2 B．7cm2 C．8 cm2 D．9cm2
【答案】B
【解答】解：假设不规则图案的面积为xcm2，
由已知得：长方形面积为20cm2，根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，
故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上： ，
解得：x＝7，
∴不规则图案的面积大约为7cm2，
故选：B．
【变式3-1】（2021•平乐县模拟）在不透明口袋内有形状、大小、质地完全一样的一袋小
球，其中若干个黑求，白球2个，随机抽取一个小球是黑球的可能性大小是 60%，则黑
球的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解答】解：根据题意，袋中球的总个数为2÷（1﹣60%）＝5，
所以黑球的个数为5﹣2＝3，
故选：D．
【变式3-2】（2021秋•章丘区期末）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球
和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（
）个．
A．8 B．9 C．14 D．15
【答案】C
【解答】解：设袋子中有黑球x个，
∵通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，
∴ ＝30%，
解得：x＝14，
经检验x＝14是原方程的解，
故选：C．
【变式3-3】（2021秋•宣化区期末）某鱼塘里养了100条鲤鱼、若干条草鱼和50条罗非鱼，
通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，可估计该鱼塘中草鱼的
数量为（ ）A．150 B．100 C．50 D．200
【答案】A
【解答】解：∵通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，
∴捕捞到草鱼的概率约为0.5，
设有草鱼x条，根据题意得：
＝0.5，
解得：x＝150，
故选：A．
