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专题4.10 分组分解法（知识讲解）
【学习目标】
1、认识分组分解法的基本类型一三分组法和二四分组法；
2、能进行基本的分组分解法；
3、能用分组分解法解决实际问题。
【知识要点】
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考
虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作
因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有：
方法 分类 分组方法 特点
①按字母分组②按系数分组
二项、二项
③符合公式的两项分组
四项
三项、一项 先完全平方公式后平方差公式
分组分
五项 三项、二项 各组之间有公因式
解法
三项、三项
各组之间有公因式
二项、二项、二项
六项
三项、二项、一项 可化为二次三项式
【典型例题】
类型一、二二分组分解
1、．第一环节：自主阅读材料
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，
如 ，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因
式，分解过程为：
……分组
……组内分解因式
……整体思想提公因式这种分解因式的方法叫分组分解法．
(1)第二环节：利用这种方法解决以下问题：因式分解： ．
(2)第三环节：拓展运用：已知a，b，c为 的三边，且 ，试判
断 的形状并说明理由．
【答案】(1) ； (2)等腰三角形；见解析
【分析】
（1）前两项提公因式，后两项提公因式，用平方差公式，可得y（x−2）（x＋2）−2
（x−2）（x＋2），再次利用提公因式法即可得出结果；
（2）把 进行整理可得：（2a＋b＋c）（b−c）＝0，而2a＋b＋
c≠0，只能是b−c＝0，则有b＝c，即可判断△ABC是等腰三角形．
解：(1)
；
(2) ∵ ，
∴ ，
，
，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 是等腰三角形．
【点拨】本题主要考查因式分解的应用，解答的关键是对因式分解的方法的掌握与熟练应用．
举一反三：
【变式1】 分解因式：
【答案】
【分析】利用分组分解法分解因式即可．
解： ，
= ，
= ，
= ．
【点拨】本题考查了因式分解，解题关键是恰当对多项式进行分组，熟练运用提取公
因式和公式法进行分解．
【变式2】 分解因式： ．
【答案】 ．
【分析】先将因式进行分组为 ，再综合利用提公因式法和平方差公
式分解因式即可得．
解：原式
．
【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
类型二、三一分组分解
2、先阅读下列材料，然后回答后面问题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组
分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2＋2”分法、“3＋1”
分法、“3＋2”分法及“3＋3”分法等．
如“2＋2”分法：
ax＋ay＋bx＋by
＝（ax＋ay）＋（bx＋by）
＝a（x＋y）＋b（x＋y）
＝（x＋y）（a＋b）
如“3＋1”分法：
2xy＋y2﹣1＋x2
＝x2＋2xy＋y2﹣1
＝（x＋y）2﹣1
＝（x＋y＋1）（x＋y﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣y2﹣x﹣y；
（2）分解因式：45am2﹣20ax2＋20axy﹣5ay2；
（3）分解因式：4a2＋4a﹣4a2b﹣b﹣4ab＋1．
【答案】（1）（x＋y）（x﹣y﹣1）；（2）5a（3m﹣2x＋y）（3m＋2x﹣y）；（3）
（2a＋1）2（1﹣b）
【分析】
（1）首先利用平方差公式因式分解因式，进而提取公因式得出即可；
（2）将后三项运用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式即可；
（3）重新分组利用完全平方公式分解因式得出即可．
解：（1）x2﹣y2﹣x﹣y
＝（x＋y）（x﹣y）﹣（x＋y）
＝（x＋y）（x﹣y﹣1）；
（2）45am2﹣20ax2＋20axy﹣5ay2
＝45am2﹣5a（4x2﹣4xy＋y2）
＝5a[9m2﹣（2x﹣y）2]
＝5a（3m﹣2x＋y）（3m＋2x﹣y）；
（3）4a2＋4a﹣4a2b﹣b﹣4ab＋1＝（4a2＋4a＋1）﹣b（4a2＋4a＋1）
＝（2a＋1）2（1﹣b）．
【点拨】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及分组分解法分解因式，正确分组
是解题关键．
举一反三：
【变式1】 分解因式： ．
【答案】
【分析】先将多项式进行分组分解，再将每一组分解因式，最后利用平方差公式分解
即可．
解：
．
【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法——提公因式
法、公式法、十字相乘法、分组分解法，根据多项式的特征选取合适的方法是解题的关键．
【变式2】 因式分解： ．
【答案】（x-y+5）（x-y-5）
【分析】根据分组分解法的法则原则将x2-2xy+y2为一组，-25为一组，再利用完全平
方公式、平方差公式进行因式分解即可．
解：原式=（x2-2xy+y2）-25
=（x-y）2-52
=（x-y+5）（x-y-5）．
【点拨】本题考查分组分解法分解因式，掌握分组分解法的分组原则，即因式分解在
组内能进行，在组与组之间也能进行，是正确解答的关键．
【变式3】因式分解： ．
【答案】
【分析】首先对后面三项利用完全平方公式进行因式分解，然后利用平方差公式因式
分解即可．
解：原式．
【点拨】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式
分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
类型三、分组分解法综合
3、用分组分解法分解下列因式：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
【答案】 （1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6）
【分析】利用分组分解法运算即可．
解：（1）
=
= ；
（2）
=
=
= ；
（3）
==
= ；
（4）
=
=
= ；
（5）
=
= ；
（6）
=
=
=
【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法是解此题的关键．
举一反三：
【变式1】 阅读理解：如何将 进行因式分解呢？小明同学是这样做的：
我们把这种将多项式先分组，分别变形，再进行分解因式的方法叫分组分解法．
【尝试应用】借助上述方法因式分解
① __________；② __________；
③ ___________；
【拓展提高】若整数x，y满足 ，求x，y的值．
【答案】[尝试应用] ① ；② ；③ ；[拓展提高]
x=1，y=-1
【分析】
[尝试应用] ①②③利用分组分解法解答即可；
[拓展提高]原方程变形为：（2x-3）（3y+2）=1，根据题意有2x-3=1，3y+2=1，或
2x-3=-1，3y+2=-1，即可求出方程的整数解．
解：[尝试应用]
①
=
= ；
②
=
= ；
③
=
= ；
[拓展提高]
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵原方程有整数解，
∴2x-3=1，3y+2=1，或2x-3=-1，3y+2=-1，
解得：x=2，y= （舍），或x=1，y=-1；
∴x=1，y=-1．
【点拨】本题考查了因式分解—分组分解法及其应用，解题的关键是将已知式子合理
分组．
【变式2】 观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：
甲：x2＋2ax﹣3a2
＝x2＋2ax＋a2﹣a2﹣3a2
＝（x＋a）2﹣4a2（分成两组）
＝（x＋a）2﹣（2a）2
＝（x＋3a）（x﹣a）（平方差公式）；
乙：a2﹣b2﹣c2＋2bc
＝a2﹣（b2＋c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a＋b﹣c）（a﹣b＋c）（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）x2﹣4x＋3；
（2）x2﹣2xy﹣9＋y2．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）对该多项式加4，然后再减去4，进而可结合完全平方公式及平方差公式进行因
式分解；
（2）利用分组分解的方法可直接进行因式分解．
解：（1）原式= ；
（2）原式= ．
【点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
